高等数学第6章课件§5 线性子空间

L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) = L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α t ).
由§3定理1，
α1 ,α 2 ,⋯ ,α t 就是 L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) 的一组基，
所以，L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) 的维数＝t．
§6.5 线性子空间
α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 推论：设 是线性空间V中不全为零 α i1 ,α i2 ,⋯ , α ir ( r ≤ s ) 的一组向量， 是它的一个极大
1、线性子空间的定义
设V是数域P上的线性空间，集合 W ⊆ V (W ≠ ∅ ) 若W对于V中的两种运算也构成数域 P上的线性空间, 线性子空间 子空间 则称W为V的一个线性子空间 线性子空间，简称为子空间 子空间． 注： P 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数.
§6.5 线性子空间
2、线性子空间的判定
V P 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W ⊆ V
(W ≠ ∅ )，若W对于V中两种运算封闭，即
∀α , β ∈ W , 有 α + β ∈ W ; ∀α ∈ W , ∀k ∈ P , 有 kα ∈ W W V 则W是V的一个子空间．
推论：V为数域P上的线性空间,W ⊆ V (W ≠ ∅ ), 则
α 则对 ∀α i , i = 1, 2,⋯ , r , 有 i ∈ L( β 1 , β 2 ,⋯ , β s )， α 从而 i 可被 β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表出；
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α 同理每一个 β i 也可被 r 线性表出.
所以，α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 与 β 1 , β 2 ,⋯ , β s 等价． 反之，α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 与 β 1 , β 2 ,⋯ , β s 等价． ∀α ∈ L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) ， 可被 α ,α ,⋯ ,α α 线性表出， 1 2 r 从而可被 β 1 , β 2 ,⋯ , β s线性表出，即 α ∈ L( β 1 , β 2 ,⋯ , β s ), ∴ L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) ⊆ L( β 1 , β 2 ,⋯ , β s )
0 = α + ( −α ) ∈ W W 由加法封闭，有 ,即W中的零元
V 就是V中的零元， 3）成立．
§6.5 线性子空间
1 V P 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
W = {0} 子集合 是 V的一个线性子空间，称之为 V的
零子空间 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 平凡子空间 这两个子空间有时称为平凡子空间 平凡子空间，而其它的
V W是V的子空间 ⇔ ∀α , β ∈ W , ∀a , b ∈ P , aα + bβ ∈ W .
§6.5 线性子空间
W P 证明：要证明W也为数域P上的线性空间， W 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 由于 W ⊆ V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 1 2 5 6 7 8 是显然成立的．下证 3）、4）成立． ∵ W ≠ ∅ ，∴ ∃α ∈ W . 且对 ∀α ∈ W 由数乘运算 ， 封闭，有 −α = (−1)α ∈ W，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素， 4）成立．
L( β 1 , β 2 ,⋯ , β s (A). 则 )的维数＝秩(A).
§6.5 线性子空间
(A) A r 证：设秩(A) r，不失一般性，设A的前r列线 (A)＝r r A s-r 性无关，并将这r 列构成的矩阵记为A1，其余s-r s-r列 A A (A 构成的矩阵记为A2， 则A＝(A1, A2)，且 秩(A1)＝秩(A)＝r， ( β 1 , β 2 ,⋯ , β r ) = (α 1 , α 2 ,⋯ , α n ) A1
非平凡子空间 子空间称为非平凡子空间 非平凡子空间． 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, R[ V 则R[x]为V的一个子空间． 3 P[ P[ 例3 P[x]n是P[x]的线性子空间．
§6.5 线性子空间
例4 n元齐次线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n x n = 0 ⎪ a21 x1 + a22 x 2 + ⋯ + a 2 n xn = 0 ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪a x + a x +⋯ + a x = 0 s2 2 sn n ⎩ s1 1
§6.5 线性子空间
同理可得， L( β 1 , β 2 ,⋯ , β s ) ⊆ L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) 故， L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) = L( β 1 , β 2 ,⋯ , β s ) 2）设向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 的秩＝t，不妨设
α1 ,α 2 ,⋯ ,α t ( t ≤ r ) 为它的一个极大无关组． 因为 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 与 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α t 等价， 所以,
n
即 Pn 由它的一组基生成 . 类似地，还有
事实上，任一有限 维线性空间都可由 . 它的一组基生成.
P[ x ]n = L(1, x , x 2 ,⋯ , x n−1 ) = { a0 + a1 x + ⋯ + an−1 x n−1 a0 , a1 ,⋯ , an−1 ∈ P}
§6.5 线性子空间
令W = {k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r ki ∈ P , i = 1, 2,⋯ , r }
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 即 的一切线性 . 组合所成集合.
§6.5 线性子空间
二、一类重要的子空间 ——生成子空间
V P 定义：V为数域P上的线性空间，α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ∈ V， 则子空间
∴ α + β ∉ W 2 , 故W2不是Pn的子空间. W P
§6.5 线性子空间
下证W3是Pn的子空间.
首先 0 = (0,0,⋯ ,0) ∈ W3 , ∴W3 ≠ ∅
∀ 其次， α , β ∈ W 3 , ∀ k ∈ P ,
设 α = ( x1 , x 2 ,⋯ , x n − 1 , 0), β = ( y1 , y 2 ,⋯ , y n − 1 , 0) 则有α + β = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,⋯ , xn−1 + yn−1 ,0) ∈ W3
W = { k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r ki ∈ P , i = 1,2,⋯ , r }
称为V的由 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 生成的子空间 生成的子空间， 记作 L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) ．
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α 称 r 为 L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) 的一组 生成元. 生成元.
无关组，则
L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α s ) = L(α i1 , α i2 ,⋯, α ir )
为 3、设 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n P上n维线性空间V的一组基， P 矩阵，若 A为P上一个 n × s
( β 1 , β 2 ,⋯ , β s ) = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) A
§6.5 线性子空间
例7 在Pn 中，
ε i = (0,⋯ ,0,1,0⋯ ,0), i = 1,2,⋯ , n
n 为Pn的一组基， ∀α = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) ∈ P
i
有 α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n
故有 P = L(ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n )
(＊)
的全部解向量所成集合 W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子 W ( ) 解空间 空间，称W为方程组(＊)的解空间 解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A = ( aij ) s×n ；
② (＊)的一个基础解系就是解空间 W的一组基.
§6.5 线性子空间
5 P 例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,⋯ , n − 1}
有关结论
α 1、设W为n维线性空间V的任一子空间， 1 ,α 2 ,⋯ ,α r
W 是W的一组基，则有 W = L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r )
2、（定理3） V 1）α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r； β 1 , β 2 ,⋯ , β s 为线性空间V中的
两组向量，则 L(α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) = L( β 1 , β 2 ,⋯ , β s )
β 1 , β 2 ,⋯ , β r 下证 线性无关 .
k1β 1 + k2 β 2  k1 ⎞ ( β 1 , β 2 ,⋯ , β r ) ⎜ ⋮ ⎟ = 0, ⎜k ⎟ ⎝ r⎠
§6.5 线性子空间
⎛ k1 ⎞ 从而 (α 1 ,α 2 ,⋯ ,α n ) A1 ⎜ ⋮ ⎟ = 0 ⎜k ⎟ ⎝ r⎠
第六章 线性空间
§1 集合·映射 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §2 线性空间的定义 与简单性质 §7 子空间的直和 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构 小结与习题