八个著名的不等式
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第八讲 几个著名的不等式
在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则
()2
221
1n
n b a b a b
a Λ++≤()(
)
2
22212
222
1
n n b b b a a a
ΛΛ++⋅++
等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。 [一般形式的证明] 作函数
()()()()
(
)
(
)
)(22
2
222122112
2
22212
2
222
11≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ
0≤∆∴ 此时04412122
1≤⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i n
i i i b a b a
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i n
i i i b a b a 12122
1，得证。 [向量形式的证明]
令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ
=
()()(
)
2
22212
222
1
2211cos n
n n n b b b a a a
B A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=
≤=++=⋅θ
()1cos 1≤≤-θ
两边同时平方得：
()2
221
1n
n b a b a b
a Λ++≤()(
)
2
22212
222
1
n n b b b a a a
ΛΛ++⋅++，得证。
[柯西不等式的应用]
例1.1设()()2
2
121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证 解：由柯西不等式可知，原不等式可化为
()()
()
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+
++22
2212
2
2
2
1
111n n
a a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个 当且仅当
,1,1,
122
11
n n
a k a a k a a k a ===Λ
时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。
例1.2设实数y x ,满足y x p y x +=≤+2.62322求的最大值与最小值。 解
y
x p +=2Θ()()()
()11
236
11232132221
33
2
2222
22
22
2
2
≤+⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
≤⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅=+=∴y x y
x y x y x p
1121112≤+≤-≤+∴y x y x 即
等号当且仅当623,2
2,3
2322=+=
=y x k y k x 且时，成立；
即11
6±=k ；故11,11min max -==P P 。
2．琴生（Jensen ）不等式 凸函数的定义
设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于任何x 1、x 2 ∈D 和实数λ∈（0，1），有f[λx 1+（1-λ）x 2]≥λf(x 1)+（1-λ）f(x 2)，则称f(x)
是D上的凸函数（又称D上的“上凸函数”）。
若-f(x)是区间D上的凸函数，则称f(x)是D上的凹函数（又称D上的“下凸函数”）。
凸函数的一个判别法则：如果函数)
(x
f是二次可微分的，则：)
(x
f是上凸函数)(x
f的充分必要条件是0
)
(≤
''x
f．
)
(x
f是下凸函数的充分必要条件是0
)
(≥
''x
f；
定义：设()x f是定义在数集()R
D⊆上的函数，如果对于任意
()()()
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
,x
f
x
f
x
x
f
D
x
xλ
λ
λ
λ+
≤
+
∈有这里()0
1
2
,1
2
1
>
=
+λ
λ
λ
λ则称是()x f D上的凹函数，若不等号反向，则称()x f是D上的凸函数，等
号当且仅当时成立。
2
1
x
x=
[琴生（Jensen）不等式]
设()()x
f
n
i
R
p
i
,
2,1Λ
=
∈+是区间D上的严格的凹函数，则对任意
()()()
n
n
n
n
n
n
n p
p
p
x
f
p
x
f
p
x
f
p
p
p
p
x
p
x
p
x
p
f
D
x
x
x
+
+
+
+
+
+
≤
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
+
+
+
+
∈
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
,有，
当且仅当时
n
x
x
x=
=
=Λ
2
1
，等号成立。
特别地，另(),
2,1
1
n
n
n
p
i
Λ
=
=则有