压控电压源三阶全极点低通滤波器

压控电压源三阶全极点低通滤波器

图1是一个压控电压源3阶全极点有源低通滤波器的电路。这应该曾经是一种使用非常广泛的电路，出版时间较早的有源滤波器手册里面基本都有这个电路。

笔者在设计电路的时候不假思索的就用上了这个电路，电路设计完之后没有马上计算参数，电路板下单之后才打算计算电路的参数。手里没有滤波器手册，到网上去查结果发现网上居然没有这种滤波器的资料。或许是因为过去运放成本高，所以能省则省；现在运放不值钱了，所以一般设计奇数阶有源滤波器都单独设计一个一阶节，再加一个运放缓冲。 不得已，只好自己推导传递函数，然后解方程来计算电路的参数。现在电路参数已经计算出来，并经过仿真确认。既然花了时间计算，为了方便有同样需要点朋友，特写下这段文字给大家共享。

经过推导（过程略），得到这个电路的传递函数：

()()()()3

213213213213321113213213232131132

2311H C C C R R R C C C R R R C R R R C R s C C C R R R C C R R R C C R R R s s s +++++++++=- 全极点三阶低通滤波器传递函数一般形式为： ()012231-H a s a s a s s +++= (2) 两个传递函数响应相等的条件是：相同阶次的系数相等。于是：

()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=32132103213213321111321321323213113221C C C R R R a C C C R R R C R R R C R a C C C R R R C C R R R C C R R R a (3)

在这组方程中，0a 、1a 、2a 是已知的，在确定滤波器传递函数类型的时候就确定了，比如三阶巴特沃茨滤波器有：10=a 、21=a 、22=a 。 这组参数可以由三阶巴特沃茨滤波器归一化零点位置计算出来，这里所谓的归一化参数是指截至频率的角频率1=ω时的参数。虽然可以用实际滤波器的参数代入方程进行计算，不过通常都不这样做，因为大多数时

图1 压控电压源3阶全极点低通滤波器

候我们得到的数据都是归一化参数，按归一化参数设计之后，再去归一化（标度）也是很方便的。

方程中，除去三个已知数0a 、1a 、2a 之外，1C 、2C 、3C 、1R 、2R 、3R 都是未知数，我们可以先指定三个参数，然后解联立方程计算出另外三个参数。

原则上可以先任意指定三个元件的参数，然后计算另外三个元件的参数。从元件的采购角度看，先确定电容值可能是比较好的选择，但方程很难解，笔者放弃了(笔者也不敢保证一定有解)。通常的做法（不知道是不是唯一的做法）是先固定电阻值，然后计算电容值。最简单的做法是设1321====R R R R （阻抗归一化），然后计算出归一化的电容值。此时有：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=321032131132132312122C C C a C C C C C a C C C C C C C a (4)

三阶巴特沃茨低通滤波器：

前面说过，三阶巴特沃茨低通滤波器有：10=a 、21=a 、22=a 。则：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+11232223

213

21313213231C C C C C C C C C C C C C C C (5)

解这个方程（过程略，下同），可得： ⎪⎩⎪⎨⎧===202451.0546818.3392647.1321C C C

(6)

式6就是图1做三阶巴特沃茨低通滤波器1=R 时的归一化电容值，如果大家需要制作三阶巴特沃茨低通滤波器，可以将这个结果去归一化之后直接使用。

比如，我们要做一个截至频率为1kHz 的三阶巴特沃茨滤波器，设k 47=R ，则：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯==---1034338342293

41110855548.61047102202451.0'10201050.11047102546818.3'10715886.41047102392647.1'πωπωπωR C C R C C R C C (7）

取最接近的标准值，则：7.41=C nF ，122=C nF ，68.01=C nF 。

● 三阶贝塞尔低通滤波器：

贝塞尔低通滤波器也是一种常见的全极点滤波器，三阶贝塞尔低通滤波器也同样可以由图1所示的电路来实现。

在查阅到贝塞尔滤波器的极点位置为

[]1注：3270.10-=p ，0025.10509.12,1j p ±-=。

这个滤波器的传递函数为： ()()()()2101H p s p s p s s ---=- (8)

()()()()0025.10509.10025.10509.13270.1H 1j s j s s s -++++=- (9)

()7992.27500.14288.3H 231

+++=-s s s s (10) 参数7992.20=a 、75.11=a 、4288.32=a 代入式（4）解得：

⎪⎩⎪⎨⎧===2539.04237.19881.0321C C C

(11)

式11就是图1电路用做三阶贝塞尔低通滤波器1=R 时的归一化电容值，原则上也可以去归一化后直接使用。

需要说明的是，这里的零极点位置是在网上查到的，如果你打算直接使用这里的数据，建议自己确认一下零极点数据再使用这里的计算结果。

● 其他三阶全极点滤波器：

除了前面提到的巴特沃茨滤波器和贝塞尔滤波器，常见的全极点滤波器还有切比雪夫滤波器和线性相位滤波器。

特别介绍一下线性相位滤波器。这种滤波器是在贝塞尔滤波器基础上改进的结果，它和贝塞尔滤波器之间的关系，恰好与切比雪夫滤波器和巴特沃茨滤波器之间的关系相同。

巴特沃茨滤波器是幅频特性最平坦的滤波器，而贝塞尔滤波器是相频特性最平坦的滤波器。切比雪夫滤波器引入了通带内幅频特性固定幅度的纹波，结果得到了通带内幅度更小的最大增益误差，以及更好的带外衰减特性；线性相位滤波器则引入了通带内固定幅度的相位差，得到的是通带内更小幅度的最大相位误差。

线性相位滤波器大多数时候有优于贝塞尔滤波器时延特性，和贝塞尔滤波器差不多的阶跃响应，以及优于贝塞尔滤波器的带外衰减特性。

这两种滤波器有一个共同特点，实际上它们不是一种滤波器，而是一个滤波器系列，选择不同的纹波幅度，得到的传递函数是各不相同的。于是不太方便事先计算好结果给大家直接利用，下面简单讲一下如何计算滤波器的电容值的具体步骤。

前面我们解方程式（4）的时候，首先代入了实际传递函数的参数0a 、1a 、2a 。