第3章力矩与平面力偶系

练习题：已知 F，a，b， 。用合力矩定理求力 F 对 O 点之矩。
F
Fy
b A

B
Fx
a
O
M
O
(F
)

M
O
(
F
x)

M
O
(
F
y)

F
cos


a

F
sin


b
§3-2 关于力偶的概念
一，力偶 1，力偶：大小相等 ，方向相反而不共线的一对平行力称为力偶。
F B
A F´
(F, F)
力矩的单位: N.m , kN.m
F
o.
A
d
M O (F) Fd M O (F) Fd 2AOAB
AOAB 为三角形OAB的面积
F
o.
A
d
M O (F) Fd
F
(1) 当力沿其作用线滑移时，并不改变力对点之矩。
(2) 力作用线通过矩心时, 则力矩为零。反之, 如果一个力其大小 不为零, 而它对某点之矩等于零, 则此力的作用线必通过该点
第三章 力矩与平面力偶系
§3- 1 关于力矩的概念与计算 §3- 2 关于力偶的概念 §3- 3 平面力偶系的合成与平衡
本章研究关于 力矩和力偶的概念, 力偶的性 质, 平面力偶系的合成与平衡
它们是研究平面一般力系的基础.
§3-1 关于力矩的概念与计算
一、力对点之矩的概念
l A
d F
O 点：矩心 垂直距离 d :力臂
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A点的矩 .
A l
F
300
B
F
Fy
A
300
B Fx
l
用合力矩定理
M A(F) M A(F x) M A(F y) 0 (F sin 300 4) 4kN.m
力偶对物体产生纯转动效应.
F
(-)
B
A
d
F´
力偶作用面
d 称为力偶臂
2，力偶三要素
（1）力偶的大小称为力偶矩
M (F, F) Fd
符号的规定：使物体逆时针转动为正号，反之负为号。
（2）力偶作用面的方位. （3）在力偶作用面内，力偶的转向
3，力偶的性质
（1）力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和等于零。
二, 同一平面内力偶的等效定理 同一平面内两个力偶等效的必要与充分条件：两个力偶矩相等。
推论1：力偶矩矢保持不变，力偶可以在其作用面内任意转移，而 不会改变它对刚体的转动效应。
F1 d
F'1
F'1
=
d
F1
推论2：在保持力偶矩大小不变的条件下，可以同时相应的改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。
例3-2 用合力矩定理计算力 F 对 O点之矩
y
x
A
Fx
600
Fy
F=200N



M O(F) M O(F x) M O(F y)
F x F cos 600, F y F sin 600 M O (F ) 0 F y l F sin 600 0.4 69.3N.m
M O(F) x F y y F x M O(F) x F y y F x
汇交力系的合力
F Rx F x, F Ry F y
M
O
(F
R)

x
F
Ry

y
F
Rx

x
F
y

y
F
x
y
Fn
F1
FR
xA
y
F2
x o
M
O
(
F
R)


M
O(
F
)
平面汇交力系 的合力矩投影定理: 平面汇交力系 的合力对平面上任 一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。
x A
r
y
o


d
Fx x

M O (F) Fd Fr sin( ) Fr(sin cos sin cos)
F sin F y , F cos F x r cos x, r sin y
MO(F) x F y y Fx
MO(F) x F y y Fx


F
d
F

n
(-)
(+)
力偶没有合力，因此力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平 衡。力偶只能与力偶等效，也只能与力偶平衡。
（2）力偶中两力对力偶作用面内任一点的矩恒等于力偶矩 ，而与 所选矩心的位置无关。
F O
F' d
x



M O M O (F) M O (F) Fx F(x d) Fd M (F, F)
A
d l
F
300
B
解: 用定义
M O (F) Fd
M A(F) Fd 2 4sin 300 4kN.m
例题：已知 F，a, 。求 F 力对 O 点之矩。
F

A
a d
解：由定义式：
O
M O (F) Fd Fasin
二，合力矩定理
y
Fy
F
M O (F) Fd
(3) 互相平衡的二力对同一点之的代数和为零

F

F F
d
O

F


M O (F) M O (F) Fd Fd 0
(4) 同一力对不同点的矩一般不同，因此必须指明矩心。
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB 梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A 点的矩 .
如果作用在 A 点上的是一个汇交力系 ( F1, F2, , Fn ) , 则由上式求 出每一个力对矩心 O 的矩 , 加在一起可得
y
Fn
F1
xA
y
F2
x
o
M O(F) xF y yF x x F y y F x
y
F Ry
Fn
F1
FR
xA
y
F Rx
F2
x
o


l A
d F
用力 F 的大小与 O 点到力 F 作用线的垂直距离 d 的乘积，再冠以 适当的正负号，表示 F 对O 点的矩。
用以作为力 F 使物体绕 O 点转动效应的度量。
l A
+
F
d
O
F
-
d
M O (F) Fd
平面力矩为代数量
大小：F·d
符号规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，顺时针转动为负
F1
d1
F'1
F2
d2
F'2
F1d1 F2d2
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
一ຫໍສະໝຸດ Baidu合成 (1) 两个力偶的合成
F1′
d1
F1
M1 F1d1
F2′ d2
M2 F2d2
F2
F1
F1′
d1
F2′ d2
F22′
F2 F11
d
F22 F11′