微分几何1曲面的概念12光滑曲面曲面的切平面和法线
微分几何课程标准
《微分几何》课程标准一、课程概述《微分几何》是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课，本课程是以数学分析为主要工具研究空间形式的一门数学分科。
它以经典微分几何为主要内容，主要讨论三维欧氏空间中曲线和曲面的局部性质。
同时还介绍了现代研究方法，即外微分、活动标架方法去处理曲线、曲面的局部理论。
通过本课程的学习，可以使学生空间思维及几何直观想象能力得到提高，为进一步学习诸如流形上微积分、偏微分方程、拓扑、黎曼几何等课程打好基础。
二、课程目标1、知道《微分几何》这门科学的性质，地位与独立价值，知道该学科的研究对象、研究方法、学科进展与未来方向；2、理解本学科的基本概念、基本原理和方法及初步的应用；3、能用《微分几何》的观点来认识中学几何的内容；4、具备进一步学习现代微分几何及其它数学分支的基础知识。
三、课程内容、教学要求该课程的知识与技能要求分为了解、理解、掌握三个层次，下面教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
（一）曲线论（二）曲面论四、课程实施（一）课时安排与教学建议《微分几何》是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课。
每周安排4课时，共60课时。
函授生一般为40课时。
具体安排如下：（二）教学组织形式与教学方法的要求1、教学班是主要教学组织，班级授课是教学的主要组织形式。
根据几何学种的特点，尽可能使用多媒体教学手段。
2、充分利用习题课课时，灵活地组织学生进行有利于培养学生发现问题，分析问题与解决问题的能力的各种教学活动。
3、评价教学方法要以实现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情，更好地培养学生的空间思维及几何直观想象能力。
五、教材编写与选用本课程选用梅向明、黄敬元编写的由高等教育出版社出版的教材《微分几何》（第二版）六、学习评价与考核1、这门课程的评价依据本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。
该门课程的成绩评定采用平时考核（30%）和期末考试（70%）相结合的形式。
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
微分几何曲面论曲面的概念
曲面论
§1 曲面的概念
1.简单曲面及其参数表示；
主要内容 2.光滑曲面 曲面的切平面和法线； 3.曲面上的曲线族和曲线网.
1.1 简单曲面及其参数表示
1.简单曲面
定义1（约当曲线）平面上不自交的闭曲线称为约当曲线.
注
（约当定理）约当曲线分平面为两部分，
并 且 每 一 部 分 都 以 此 曲线 为 边 界 ，
r (u0 , v0 ) [ru(u0 , v0 ) rv (u0 , v0 )]
X x(u0 , v0 )
Y y(u0 , v0 )
Z z(u0 , v0 )
yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
3.曲纹坐标网
v坐标直线
v
G
f
z
.
(u0 , v0 )
v坐标曲线 P(u0 , v0 )S
O
u u坐标直线 O
y u坐标曲线
x
设u坐曲标面直( S线)的的方方程程为为 rvr(vu0,,v ),
则 过 曲面(S)上点P(u0 , v0
r r (u, v0 ) {x(u,v0 ), y(u,v0
证：设总点 的存P参(在u数0(,u表 v00,)v示为0 .)的正一常个点邻，则域ruU(，u0在,v0此)邻rv (域u0内 ,vr0u)r0v,
0,y即ຫໍສະໝຸດ urvu yv
z z
u z
,
u z
v v
x x
u x
,
u x
v v
y
u y
0,
(u, v)U .
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用函数方程或参数方程表示。
在三维空间中，曲面与平面不同，它具有曲率和法线方向。
曲面的切平面和法线方程是研究曲面性质的重要工具，在许多领域都有广泛的应用。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面是曲面在某一点处与该点切线平行的平面。
在二维平面上，我们可以通过直线的斜率来确定该直线的切线方向。
在三维空间中，曲面的切线方向可以通过曲面的偏导数来确定。
假设曲面的函数方程为z=f(x,y)，则其在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)其中fx和fy分别表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数。
如果曲面的参数方程为：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)则其在点(P0)处的切平面方程可以表示为：r(u,v)=r(u0,v0)+r/u|P0(u-u0)+r/v|P0(v-v0)其中r表示曲面的参数方程，r/u和r/v分别表示曲面在点P0处的偏导数。
二、曲面的法线方程曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，是曲面的一个重要性质。
对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。
由于曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，因此曲面的法线方程也可以表示为：n(r-r0)=0其中r表示曲面上的任意一点，r0表示曲面上的某一点。
三、曲面的切线和法线方向曲面的切线和法线方向在曲面上的任意一点处是唯一的。
曲面的切线方向垂直于曲面的法线方向，因此我们可以通过曲面的法线方程来确定曲面的切线方向。
对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。
微分几何与曲面的性质与变换
微分几何与曲面的性质与变换微分几何是数学中的一个分支，主要研究曲线和曲面的性质以及它们在空间中的变换。
通过微分几何的研究，我们能够深入了解曲面的形态、曲率以及它们的变换规律。
本文将重点探讨微分几何与曲面的性质与变换。
1. 曲面的定义与性质曲面是由平面来包裹而成的几何对象。
在微分几何中，我们主要关注的是二维曲面，即可以用二维投影来表示的曲面。
曲面可以通过参数方程来定义，例如常见的球面、圆柱面和锥面等。
曲面上的点可以由参数方程中的参数表示。
曲面的性质包括曲面的形状、曲率和法线等。
曲面的形状可以通过曲面的方程或参数方程来描述，例如曲面的曲率半径描述了曲面在某一点的局部弯曲程度。
曲面上每一点都有一个法线向量，它垂直于曲面，在计算曲面的性质时，法线的方向和长度起着重要的作用。
2. 第一基本形式微分几何中引入了第一基本形式的概念，用来刻画曲面上的测量性质。
第一基本形式是曲面上的度量，它由曲面的内部点之间的距离关系推导而来。
第一基本形式包含了曲面上的切线、曲率和曲面间的距离等信息。
通过第一基本形式，我们可以计算曲面上的曲率、曲面上两点之间的距离以及曲面上的长度等。
3. 曲面的变换微分几何中，曲面的变换是一个重要的研究对象。
曲面的变换包括刚体变换和仿射变换。
刚体变换是指在平移、旋转和缩放等约束下，可以保持曲面的形状和曲面上的相对距离不变。
仿射变换是指将曲面映射到另一个曲面，保持曲面上所有的直线和比例关系不变。
曲面的变换对于研究曲面的性质和形态有重要的意义。
通过变换，我们可以将一个曲面变形为另一个曲面，从而研究曲面的不同形态和性质。
变换还可以用于曲面的拓扑研究，通过变换可以判断两个曲面是否同胚，即是否存在一一对应的关系。
在计算机图形学和计算机视觉等领域中，曲面的变换是一个重要的研究内容。
通过曲面的变换，我们可以实现曲面的形变、变形以及场景中不同曲面之间的相互作用等效果。
微分几何与曲面的性质与变换之间有着密切的联系。
微分几何答案(第二章)
第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u { cosv0, sin v0,0}，为曲线的直母线； v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u- 曲线为r ={ a （ u+ v0） , b （u- v0） ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r =｛ a（u0 +v） , b（u0 -v ） ,2 u0 v｝ =｛ a u0 , b u0 ,0 ｝ +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。
3．求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。
解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos }，r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0；法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。
cos cos cos sin sin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有a2 b2一个切平面。
—解椭 圆 柱 面 x 2y 2 1 的 参 数 方 程 为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。
微分几何与曲面的性质与变换
微分几何与曲面的性质与变换微分几何是研究曲线、曲面及其在高维空间中性质的一门学科。
曲面是微分几何研究的重要对象之一，掌握曲面的性质和变换是理解微分几何的关键。
本文将介绍微分几何的基本概念、曲面的性质以及曲面的变换。
一、微分几何的基本概念微分几何是微积分的一个分支，它以微积分的方法研究曲线、曲面以及更高维空间中的几何性质。
微分几何的基本概念包括曲线的参数化表示、切向量、曲率、曲面的参数化表示等。
在微分几何中，曲线通常被表示为参数形式。
例如，给定参数t，曲线可以表示为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中x(t)，y(t)，z(t)分别是曲线在x、y、z轴上的坐标函数。
切向量是曲线上某一点处切线的方向向量，它可以表示为曲线的导数向量。
曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度，它可以通过曲线的切向量的导数来计算。
曲面的参数化表示类似于曲线的参数化表示，只不过坐标函数变成了两个参数的函数。
二、曲面的性质曲面是三维空间中的一个二维对象，它有许多独特的性质。
曲面的性质包括曲率、法向量、第一和第二基本形式等。
曲率是描述曲面在某一点处曲率的一个度量。
曲率可以通过曲面的法向量和曲面上的切平面相互之间的关系来定义。
曲面的法向量是与曲面上的每个点处的切平面垂直的一个向量。
第一基本形式描述了曲面上切向量的内积，它刻画了曲面的局部几何性质。
第二基本形式描述了曲面上法向量的内积，它刻画了曲面的弯曲性质。
三、曲面的变换曲面的变换在微分几何中是一个重要的研究内容。
曲面的变换可以通过变换函数对曲面的坐标进行操作来实现。
常见的曲面变换包括平移、旋转、放缩等。
平移是将曲面沿着某一方向移动一定距离，旋转是将曲面绕着某一轴旋转一定角度，放缩是改变曲面的尺寸。
这些变换操作可以通过矩阵乘法来表示，从而方便实现对曲面坐标的变换。
此外，曲面的变换还可以通过曲面之间的映射来实现。
例如，曲面之间的正则映射可以将一个曲面映射到另一个曲面上，保持曲面上的点之间的距离关系不变。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
曲面论知识点总结
曲面论知识点总结曲面是三维空间中的一个特殊的几何概念，它在数学中有着重要的地位。
曲面理论研究曲面的性质、形状以及与其他几何概念之间的关系，广泛应用于物理学、计算机图形学、工程等领域。
本文将就曲面的定义、参数化、曲面的性质等知识点进行总结。
一、曲面的定义曲面是三维空间中的一种二维对象，可以用各种数学方法描述，常见的方法有参数方程和隐式方程。
常见的曲面包括球面、圆柱面、圆锥面等。
曲面的定义可以用数学语言描述为：在三维空间中，一般点(x, y, z)可以用参数形式描述为：P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中u和v分别表示曲面上的两个参数。
根据参数的不同取值，曲面上的点可以覆盖整个曲面。
二、曲面的参数化曲面的参数化是指用参数的方法来描述曲面上的点。
参数化的目的是将曲面上的点与参数空间中的点建立起一一对应的关系，以方便对曲面上的点进行计算和研究。
不同的曲面可以采取不同的参数化方法，一般来说，可以采用自然参数化、球坐标参数化等方法来描述曲面。
例如，球面可以用球坐标参数化描述为：P(u, v) = (r * sinu * cosv, r * sinu * sinv, r * cosu)，其中u和v分别表示极角和方位角，r表示球的半径。
通过参数化，我们可以方便地对球面上的点进行计算和研究。
三、曲面的性质曲面有许多重要的性质，包括曲率、法线、切平面等。
这些性质可以帮助我们更好地理解曲面的形状和结构，从而在实际问题中应用。
以下就曲面的性质进行详细介绍：1. 曲率：曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念，可以分为高斯曲率、平均曲率等多种类型。
曲率的计算可以通过偏微分方程或直接计算曲面上某点的曲率向量而得到。
2. 法线：曲面上的每一点都有一个与曲面垂直的法线，它可以用来描述曲面的方向。
法线在计算机图形学中有着重要的应用，可以用来进行阴影计算、光照计算等。
3. 切平面：曲面上的每一点都有一个切平面，它与曲面在该点的切线垂直。
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何教案
微分几何教案微分几何是数学的一个分支，研究的对象是曲线、曲面等几何对象的性质和变化规律。
它是线性代数与微积分的结合，对于理解空间曲线与曲面的特性具有重要意义。
本教案将介绍微分几何的基本概念、重要定理和一些典型应用。
一、微分几何的基本概念1.1 点、向量和坐标系在微分几何中，点是指空间中一个确定的位置，可以使用坐标来表示。
向量是表示方向和大小的量，它可以用于描述点的运动和曲线的切向。
在学习微分几何时，我们常常使用笛卡尔坐标系或参数化曲线来描述点和向量。
1.2 切向量和法向量在曲线和曲面上的每个点上，都有一个唯一的切向量和法向量。
切向量与曲线的切线方向相同，表示曲线在该点的变化趋势；法向量与曲面垂直，表示曲面在该点的局部几何特性。
1.3 曲线的弧长和曲率曲线的弧长是曲线上两个点之间的距离，可以用积分的方法计算。
曲率是曲线在给定点上的几何特性，它表示曲线在该点处的弯曲程度。
曲率越大，曲线的弯曲程度越大。
二、微分几何的重要定理2.1 简单曲线的弧长对于参数化曲线，我们可以通过求导和积分的方法计算其弧长。
当曲线的方程很复杂时，可以使用曲线的切向量和速度向量来计算曲线的弧长。
2.2 曲率和曲率半径曲率是曲线弯曲程度的量度，计算曲率的方法有很多。
曲率半径是曲线在给定点上的曲率的倒数，表征了曲线的局部几何特性。
2.3 曲率的性质和计算曲率具有一些重要的性质，如曲率的大小和方向与曲线的切向量和法向量有关。
我们可以通过求导的方法计算曲线在给定点上的曲率。
三、微分几何的典型应用3.1 曲线的弯曲和拟合在计算机图形学和工程设计中，经常需要对曲线进行拟合和弯曲分析。
微分几何提供了对曲线的弯曲状态和拟合程度进行定量分析的方法。
3.2 曲面的切平面和法线对于曲面上的每个点，都有一个与之相关的切平面和法线。
切平面是与曲面在该点处相切的平面，法线是与切平面垂直的直线。
通过计算曲面的切向量和法向量，可以确定切平面和法线的方程。
3.3 曲面的曲率和凸凹性曲面的曲率描述了曲面的局部几何特性，通过计算曲率可以判断曲面的凸凹性。
数学曲面知识点总结归纳
数学曲面知识点总结归纳一、基本概念1. 曲面的定义曲面是指在三维空间中的一个对象，它是由一个或多个参数方程所描述的。
通常来说，曲面是一种二维的物体，即每个点都由两个参数所确定。
曲面可以是平滑的，也可以是有面部分和尖点的。
2. 曲面的分类根据曲面的性质和方程形式，曲面可以分为多种类型，包括球面、柱面、锥面、双曲面、抛物面等等。
每种类型的曲面都有自己的特点和数学表达方式。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程是描述曲面的一种数学表达方式。
通过参数方程，我们可以用数学的方式来描述曲面上的点的位置和形态。
通常来说，一个曲面上的点可以由两个参数u和v来确定，而这两个参数可以分别在一定的范围内取值，从而确定整个曲面。
4. 曲面的法向量曲面的法向量是指曲面在某一点上的垂直方向的向量。
通过法向量，我们可以得到曲面在某一点的切平面，从而研究曲面的切线、曲率等性质。
二、曲面的性质1. 曲面的法线在曲面上的每一点都有一个与曲面切平面垂直的向量，这个向量就是曲面上该点的法线。
法线在几何学和物理学中有着重要的应用。
2. 曲面的切平面和切向量曲面上的每一点都有一个与曲面切平面相切的向量，这个向量就是曲面上该点的切向量。
切平面和切向量在研究曲面上的切线、曲率等性质时有着重要的作用。
3. 曲面的切线和曲率曲面上的每一点都有一条切线，切线是曲面在该点上的局部线性近似。
曲率是曲面在某一点上的弯曲程度，它可以通过曲面的法向量和切向量来描述。
4. 曲面的方程曲面的方程是描述曲面的一种数学表达方式，通常来说，曲面的方程可以采用参数方程、隐式方程、显式方程等形式。
三、曲面的应用1. 制造业在制造业中，曲面有着广泛的应用。
例如，在汽车制造和航空航天领域，设计和制造曲面形状的零件和构件都需要深入理解曲面的性质和特点。
2. 计算机图形学在计算机图形学中，曲面的建模和渲染是一个重要的领域。
通过数学方法和算法，可以在计算机中绘制出各种曲面形状的三维图像。
微分几何第一章曲线论第二节曲线的概念
定义 对于曲线(C )：r r (t ), r (t )叫做曲线在对应点的切 向量. 非零的切向量， 注 (1)因为曲线在正常点总有 从而曲线在正常点总有 唯一的切线 . 正则曲线处处有唯一的 切线. 问题：曲线在非正常点 处是否有切线？ (2)切向量的方向总是与曲 线的参数增值方向一致 . PR总是与曲线(C )的参数t R P T 的增值方向一致， Q R Q lim PR r ( t 0 )总与参数t t 0 Q P t 0 r (t0 ) r (t0 t ) 的增值方向一致. O 参数t的增值方向也叫曲线的 正向.
n
P2 P P0
Pi Pn
(C ) r r (t )
l ( T ) 0
l ( T ) 0
i 1
则称这个极限值为曲线 段P0 Pn的弧长. 存在性和计算公式 对于曲线(C ) : r r (t ) C 1[a, b],
lim n lim Pi 1 Pi 存在， 且
2.2 光滑曲线 曲线的正常点
定义 对于曲线(C )：r r (t ) (a t b), 如果r (t ) C k , 则称曲线为C k 类曲线. C 1类曲线称为光滑曲线 . C 0类曲线称为连续曲线 . 1 定义 对于C 类曲线r r (t )上的点r (t0 ), 如果r (t0 ) 0, 则称该点为曲线的正常 点. 而r (t0 ) 0的点叫做非正常点 . 如果曲线上的点全是正 常点，则称该曲线为
第一章
曲线论
§2 曲线的概念
主要内容
1.曲线的概念； 2.光滑曲线，曲线的正常点； 3.曲线的切线和法面； 4.曲线的弧长，自然参数.
曲面知识点总结
曲面知识点总结1. 曲面的概念曲面是三维空间中的一种特殊几何体，可以用一定的方程或参数化形式来描述。
在数学上，曲面是平面与立体之间的一种过渡形式，具有一定的曲率和形状特征。
2. 曲面的分类曲面可以根据其形状特征和几何性质进行分类，常见的曲面包括球面、圆锥面、双曲面、抛物面等。
根据曲面方程类型的不同，曲面也可以分为代数曲面和解析曲面两种类型。
3. 曲面的参数化曲面的参数化是指通过一组参数的变化来描述曲面上的点的位置。
通过将曲面的参数方程代入，可以得到曲面上的各个点的坐标，从而更好地理解和分析曲面的性质和特点。
4. 曲面的法向量曲面的法向量是指曲面在某一点处的法线方向。
通过法向量的概念，可以描述曲面的曲率和几何特征，也可以用于计算曲面上的曲线积分和曲面积分等几何分析问题。
5. 曲面的切平面和切线在曲面上的某一点处，可以定义曲面的切平面和切线，用于描述曲面在该点处的局部几何性质。
切平面和切线的几何性质可以帮助理解曲面的曲率和法向量等重要概念。
6. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数或矢量场进行积分的概念。
曲面积分可以用于计算曲面的面积、质量、质心等物理属性，也可以用于描述曲面上的场强、通量等物理量。
曲面积分具有重要的物理和数学应用价值。
7. 曲面的方程曲面的方程是描述曲面几何性质和形状特征的数学表达式。
常见的曲面方程包括隐式方程、参数方程、标准方程等，可以用于描述曲面的曲率、焦点、直角坐标系等重要几何性质。
8. 曲面的应用曲面是数学、物理和工程等领域中重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，曲面可以用于描述电场、磁场、流体流动等现象；在工程学中，曲面可以用于设计曲线、曲面、雕刻等工艺；在计算机图形学中，曲面可以用于构建三维模型、渲染图像等。
9. 曲面的演化随着数学和物理相关领域的发展，曲面的研究也在不断发展和演化。
例如，曲面的微分几何和流形理论为曲面研究提供了更深入的理论基础；曲面的主题几何和拓扑理论为曲面的分类和性质研究提供了新的视角。
求曲面在某点的切平面和法线方程
求曲面在某点的切平面和法线方程曲面的切平面和法线方程是微积分中的重要概念，它们可以帮助我们研究曲面在某一点的性质和特征。
本文将从以下几个方面展开讨论：曲面的定义、切平面的定义和求解方法、法线方程的定义和求解方法、实例分析和总结。
一、曲面的定义曲面是三维空间中的一个二维曲面，它可以用一个或多个参数方程来表示。
一般来说，曲面可以分为解析曲面和隐式曲面两种类型。
解析曲面是指可以用一个或多个参数方程明确地表示出来的曲面，例如球面、圆锥面、双曲面等。
隐式曲面是指不能用参数方程明确地表示出来的曲面，例如平面、柱面、锥面等。
二、切平面的定义和求解方法切平面是指曲面在某一点处的切线所在的平面，它与曲面在该点处的切线垂直。
求解曲面在某一点处的切平面，可以按照以下步骤进行：1. 求出曲面在该点处的切向量。
2. 将切向量作为法向量，建立以该点为原点的平面方程。
具体来说，如果曲面可以用参数方程表示，那么曲面在某一点处的切向量可以通过求参数方程在该点处的偏导数得到。
例如，对于参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，曲面在点P(x0,y0,z0)处的切向量为：T=(∂x/∂u,∂y/∂u,∂z/∂u)×(∂x/∂v,∂y/∂v,∂z/∂v)其中×表示向量叉乘。
然后，以该点为原点，以切向量为法向量，建立平面方程即可得到切平面的方程。
三、法线方程的定义和求解方法法线方程是指曲面在某一点处的法向量所在的直线方程。
求解曲面在某一点处的法线方程，可以按照以下步骤进行：1. 求出曲面在该点处的法向量。
2. 将法向量作为方向向量，建立以该点为原点的直线方程。
具体来说，如果曲面可以用参数方程表示，那么曲面在某一点处的法向量可以通过求参数方程在该点处的偏导数得到。
例如，对于参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，曲面在点P(x0,y0,z0)处的法向量为：N=(∂h/∂u,∂h/∂v,-1)×(∂f/∂u,∂f/∂v,∂g/∂u,∂g/∂v)其中×表示向量叉乘。
微分几何的基础知识及其应用
微分几何的基础知识及其应用微分几何是数学中的一个分支，研究的是空间和曲面的性质。
通过微积分和线性代数的工具，微分几何揭示了物理和几何之间的联系，成为了现代数学和理论物理的基石。
一、微分几何的基础知识1. 曲线和曲面的概念在微分几何中，曲线指的是一条连续的线，可以用线性代数中的向量表示。
曲面指的是一个无限的平滑表面，可以用局部坐标系来刻画。
曲线和曲面是微分几何研究的基本对象。
2. 切向量和法向量曲线和曲面上的每一点都有一个切向量和一个法向量。
切向量是指与相邻点连线的方向相同的向量，而法向量是与曲面垂直的向量。
切向量和法向量在微分几何的研究中起着重要的作用。
3. 曲率和高斯曲率曲面的曲率是指曲面局部形状的弯曲程度。
曲率越大，曲面就越弯曲。
高斯曲率是曲面上每一点的曲率的乘积。
高斯曲率可以用来刻画曲面的形状，是微分几何中的一个重要指标。
二、微分几何的应用1. 电磁场的描述微分几何可以用来描述电磁场中的电磁波传播、电场分布、磁场分布等现象。
通过微分几何的理论，可以对电磁场进行分析和计算，为电磁学的研究提供了一个重要的数学工具。
2. 物理学模型的建立微分几何可以用来建立物理学模型，从而推导出物理学的定律和规律。
例如，在相对论中，微分几何可以帮助建立物理学模型，从而得出爱因斯坦场方程，解释了引力的本质。
3. 计算机视觉的研究微分几何可以用来研究计算机视觉中的几何形状。
通过微分几何的理论，可以对计算机图像进行三维形状建模、目标检测和形状识别，为计算机视觉的发展提供了一个新的方法。
总之，微分几何是数学中非常重要的一个分支，对于物理学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
通过对微分几何的研究，我们可以更加深入地理解空间和曲面的性质，为更广泛的研究提供一个坚实的理论基础。
微分几何课程知识点总结
微分几何课程知识点总结微分几何的基础知识包括：1. 曲线的参数化和切向量曲线可以通过参数化函数来描述，参数t变化从而描述曲线上的点的运动。
曲线切向量是描述曲线在某一点上的方向的向量，它是曲线在该点的切线的向量。
求切向量的方法是对参数方程分别求偏导数，然后将偏导数构成的向量进行线性组合，构成切向量。
切向量的方向可用来刻画曲线的弯曲程度。
2. 曲率和法向量曲线的曲率是曲线在某一点处的弯曲程度的数值描述，它是切向量的变化率。
曲率的计算是通过求曲线切向量在参数方程下的导数再求模得到的。
法向量是描述曲线在某一点处的朝向的向量，它垂直于切向量，并且长度为1。
法向量的求取可以通过对曲线的切向量进行求导，然后标准化得到。
3. 曲面的参数化和法向量曲面可以通过参数化函数来描述，参数u,v可以用来描述曲面上的点的位置。
曲面的参数化方程可以由曲线的参数化函数进行推广得到。
求曲面的法向量时，先求出曲面的两个切向量，再通过叉乘得到法向量。
4. 曲率和高斯曲率曲面的曲率是描述曲面在某一点处的弯曲程度的数值描述，它是切向量的变化率。
曲率的计算是通过求曲线切向量在参数方程下的导数再求模得到的。
高斯曲率是描述曲面在某一点处的弯曲性质的一个重要指标，它是曲面的两个主曲率的乘积。
5. 向量场和曲线积分向量场是描述空间中每点都有的向量的场，向量场的积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积等。
曲线积分是在曲线上对向量场进行积分，求取曲线上的长度、质量、力矩等。
以上就是微分几何课程中的基础知识，接下来我们将进一步介绍微分几何的一些重要概念和定理。
1. 第一基本形式和第二基本形式第一基本形式是曲面上的一个内积，它可以用来计算曲面上的长度、夹角、面积、体积等性质。
第二基本形式是曲面上的一个二次型，它可以用来描述曲面上的弯曲性质，如平均曲率、高斯曲率等。
2. 光滑曲线和光滑曲面光滑曲线是指其切向量在全局都是连续可微的曲线。
光滑曲面是指其切向量在全局都是连续可微的曲面。
微分几何1曲面的概念12光滑曲面曲面的切平面和法线
故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，
不妨设第一个不为0，即 (x, y)
x u
(u, v) x
y u
y
v v
由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在
唯一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) ,
代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) 0
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z(x, y)}
rx
{1,0, z} {1,0, p} x
,
ry
{0,1, z} {0,1, q} y
X x0 1 0
Y y0 0 1
Z z0 p0 0 q0
三、法方向与法线
1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方
向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。
由定义，曲面的法方向为
N
ru
rv
单位法向量为
n
ru
rv
无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有
命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的
切向量 ru , rv 所确定的平面上。
这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
3、切平面的方程
设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
(R r(u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0 或写成坐标表示式 X x(u0 , v0 ) Y y(u0 , v0 ) Z z(u0 , v0 )
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二、曲面的切平面
1、切平面的定义
rv
(u0 ,v0 )
C ru
设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
这条曲线在曲面上(u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的
切方向或方向，
切方向仅与 du : dv 有关(P63)
则得到曲面关于新曲纹坐标 (u , v )的方程 r r(u , v)
u v
u v
对 u,v
因此
求导：ru
微分几何
主讲人：郭路军
内 容 提 要
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、
正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）
3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的
曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）
4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
r v
(u0 ,
v0
)
如果它们不平行，即 ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲 面的正常点。
3、正规坐标网
由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
给定曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v)
可得如下命题：
或 r = r (u,v)
命题1 曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ).
证： 事实上，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则由上面论述，总存 在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，
不妨设第一个不为0，即 (x, y)
x u
(u, v) x
y u
y
v v
由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在
唯一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) ,
代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。
ru rv
ru×rv
rv
r0
ru
2、法线的方程 设法线上任一点R (u,v)
rv
ru×rv
r0
R - r0 =(ru×rv)t
ru
R – r0 //ru×rv
R
则法线的方程为 R r(u, v) (ru rv )
用坐标表示为
X x(u, v) Y y(u, v) Z z(u, v)
c1 类的曲面又称为光滑曲面。
2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0 ) 和一条v—曲线： r = r (u0 ,v)
rv
S
r0 (u0 ,v0 )
ru
该点处这两条坐标曲线的切向量为：
ru
(u0 , v0 )
r u
(u0 , v0 )
,
rv
(u0 , v0 )
,
ry
{0,1, z} {0,1, q} y
X x0 1 0
Y y0 0 1
Z z0 p0 0 q0
三、法方向与法线
1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方
向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。
由定义，曲面的法方向为
N
ru
rv
单位法向量为
n
ru
rv
yu zu
zu xu
xu yu
yv zv
zv xv
xv yv
法线的方程为
R r(u, v) (ru rv )
用坐标表示为
X x(u, v) Y y(u
xu yu
yv zv
zv xv
xv yv
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z(x, y)}
它平行于
r(t)
ru
du dt
rv
dv dt
或
r(t)
dv dt
(ru
du dv
rv )
其中 ru , rv 分别是在(u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。
以下切方向三种表示通用：du : dv 、 (d) 和 r(t) 。
由
r(t)
ru
du dt
rv
dv dt
rv
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r(t) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
数有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 ck 类曲面。
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) 0
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z(x, y)}
rx
{1,0, z} {1,0, p} x
rx
{1,0,
z} x
{1,0,
p}
,
ry
{0,1, z} {0,1, q} y
则有
X x Y y Z z(x, y)
p
q
1
例题P65， 求切平面和法线.
四、参数变换
如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标 (u , v ) ：
u u(u ,v ) , v v(u ,v ) r r(u(u ,v ),v(u ,v ))
无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有
命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的
切向量 ru , rv 所确定的平面上。
这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
3、切平面的方程
设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
(R r(u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0 或写成坐标表示式 X x(u0 , v0 ) Y y(u0 , v0 ) Z z(u0 , v0 )