对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分
二、第二类曲面积分的概念与性质
(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块 的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量 为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为
z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.
解 设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则
三、第二类曲面积分的计算
易得 设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则
称为函数Px,y,z在 称为函数Q（ x,y,z ）在 称为函数Rx,y,z在有向
二、第二类曲面积分的概念与性质
根据上述定义，某流体以速度 流过有向曲面Σ指定侧的流量
在单位时间内
第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质. 例如：
（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则
二、第二类曲面积分的概念与性质
连续性，
也在Dxy上连续.由二重积分的定义
因此
三、第二类曲面积分的计算
类似地，当P（ x,y,z ）在光滑曲面 上连续时，有 这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（ x,y,z ）在光滑曲面
上连续时，有 这里取积分曲面Σ的右侧.
三、第二类曲面积分的计算
【例1】
求 f(x,y,z)分别为
其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，
在ΔSi上任
取一点
如果当各小块曲面的直径的最大值
λ→0时，
二、第二类曲面积分的概念与性质
总存在，则称此极限为函数 在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为
大学高等数学_18对坐标曲面积分_高斯公式_斯托克斯公式_习题课教学提纲
曲面分上侧和 下侧
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
3. 性质
(1) 若
之间无公共内点, 则
A d S
i A d S
(2) 用ˉ 表示 的反向曲面, 则
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 是 上的连续函数, 则
取上侧,
R(x,
y,
z)d
xd
y
D xy
R(x,
n
y,
z(x,
y))
d
xd
y
证:
R(x,
3a d x d y Dx y
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例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中 为球面 x2
y2 z2 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z 2
根据对称性 xyz d x d y 0
解: 把 分为上下两部分
x
o
Dx y 1 1
•若
则有
P(x,
y, z)d
ydz
Dyz
P(x(y, z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
•若
则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z )d z d x (右正左负)
10.5_第二类(对坐标)的曲面积分
求和 流过有向曲面Σ (从负侧流向正侧)的总 流量Φ的近似值为 n n Φ ΔΦ v ( M i ) n( M i ) ΔSi .
i 1 i 1
取极限 当各小块ΔSi的最大直径 0时, 取极限得到流量Φ的精确值为 n lim v ( M i ) n( M i ) ΔSi . 0 i 1 除了流量以外, 电流强度 E ( M ) 通过有向曲面 的电通量Φ也可表示同一类型的极限 n lim E ( M i ) n( M i ) ΔSi .
第一类曲面积分 两类曲面积分的转化公式
14
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
四、第二类曲面积分的计算法
若光滑有向曲面Σ 由方程 z = z(x, y)给出, Σ在xOy面上的投影区 域为Dxy , 函数 z(x, y)在 Dxy上具有一阶连续偏 导数, 则由
x
z
n
dS
z z( x , y )
如曲面Σ为封闭曲面: F ndS .
12
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2.性质
(1) 线性性质 (k1F1 k2 F2 ) ndS
(k1, k2为常数)
k1 F1 ndS k2 F2 ndS ,
(2) 可加性 若Σ由Σ1和Σ2组成, 则 F ndS F ndS F ndS ,
1
2
(3) 有向性 F ndS F ndS .
13
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
三、两类曲面积分之间的联系
设 F ( x, y, z ) { P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}, n( x , y , z ) {cos , cos , cos },
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分 ㈠本课的基本要求了解对坐标的曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握对坐标的曲面积分的计算方法㈡本课的重点、难点对面积的曲面积分的概念为重点，其计算方法为难点 ㈢教学内容一．对坐标的曲面积分的概念与性质 这里假定曲面是光滑的。
通常我们遇到的曲面都是双侧的。
例如由方程),(y x z z =表示的曲面，有上侧与下侧之分（假定z 轴铅直向上）；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。
以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。
在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。
我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧。
例如，对于曲面),(y x z z =，如果取它的法向量n 的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。
这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就你为有向曲面。
设∑是有向曲面。
在∑上取一小块曲面s ∆，把s ∆投影到xoy 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy )(σ∆。
假定s ∆上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦γcos 有相同的符号（即γcos 都是正的或都是负的）。
我们规定s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(γγσγσxy xy xys 其中0cos ≡γ也就是0)(=∆xy σ的情形。
s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆实际就是s ∆在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号。
类似地可以定义s ∆在yoz 面及zox 面的投影yz s )(∆及zx s )(∆。
1．引例：流向曲面一侧的流量问题 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++=给出，∑是速度场中一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 都在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。
对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分
对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分曲面积分是多元函数的积分扩展，用于计算曲面上某个量的总和。
它分为对面积和对坐标的曲面积分。
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。
每个小面元的贡献取决于曲面上某个标量场的值以及该面元的面积。
计算对面积的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。
2.计算每个小面元的面积。
3.计算每个小面元上标量场的值。
4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。
每个小面元的贡献取决于曲面上某个向量场的分量以及该面元的面积。
计算对坐标的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。
2.计算每个小面元的面积。
3.计算每个小面元上向量场的分量。
4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。
通过对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分，我们可以计算曲面上各种量的总和，这在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
第五节 对坐标的曲面积分
3π 3π 3π ydzdx = 0 + + = 4 4 2
例3 计算
∫∫ xzdxdy + xydydz + yzdzdx Σ
Σ
其中Σ 是
所围成的
平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 空间区域的整个边界曲面的外侧 解
z
Σ
分成四个部分 左侧 下侧 后侧
z
例 1 计 ∫∫ xyzdxdy 算
Σ
+
Σ2
中Σ 其 Σ 球 中 是 面
x2 + y2 + z2 = 1外侧
在x ≥ 0, y ≥ 0的 分 部 .
y
x
Σ1
解
把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
Σ 1 : z1 = 1 x y ;
2 2
Σ 2 : z2 = 1 x y ,
2 2
∫∫ xyzdxdy = ∫∫ xyzdxdy + ∫∫ xyzdxdy
曲面法向量的指向决定曲面的侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 向量的指向决定曲面的 有向曲面. 决定了侧的曲面称为有向曲面 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 有 曲 Σ 取 小 曲面的投影问题: 在 向 面 上 一 块
曲面 S S在xoy面 , 上的投影(S)xy为
(σ )xy (S)xy = (σ )xy 0 当cosγ > 0 时 当cosγ < 0 时. 当cosγ = 0 时
v
流量
θ
A
n0
Φ = Av cosθ = v n0 A
设稳定流动的不可压缩流体( (2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
高等数学对坐标的曲面积分教案
n
大值 0 时
lim
0
i1
R(i
,i,
i
)(Si
讲练结合
教 学过 程
教法运用及 板书要点
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程 zz(x y) 表示
的曲面分为上侧与下侧 设 n(cos cos cos)为曲面上的法向量 在曲面
的上侧 cos0 在曲面的下侧 cos0 闭曲面有内侧与外侧之分
类似地 如果曲面的方程为 yy(z x)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的
把曲面 分成 n 小块 S1 S2 Sn(Si 同时也代表第 i 小块曲面的 面积) 在 是光滑的和 v 是连续的前提下 只要Si 的直径很小 我们就可以 用Si 上任一点(i, i, i )处的流速
viv(i, i, i )P(i, i, i )iQ(i, i, i )jR(i, i, i )k 代替Si 上其它各点处的流速 以该点(i, i, i )处曲面 的单位法向量
nicosi icosi j cosi k 代替Si 上其它各点处的单位法向量 从而得到通过Si 流向指定侧的流量的近 似值为 viniS i (i1, 2, ,n) 于是 通过 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i1
n
[P(i,i,i)cosi Q(i,i,i)cosi R(i,i,i)cos i]Si
时间
---------月---------日 星期-----------------
对坐标的曲面积分的计算方法(一)
对坐标的曲面积分的计算方法(一)对坐标的曲面积分的计算方法1. 引言曲面积分是微积分中的一种重要计算方法，用来求解三维空间中曲面上的某种量的总量。
其中，对坐标的曲面积分是其中一种常见的计算方法。
本文将详细介绍对坐标的曲面积分的计算方法。
2. 曲面积分的定义对坐标的曲面积分是指将一个函数在曲面上的每一点上的值乘以一个微小面积后进行累加得到的总量。
数学上，对坐标的曲面积分的公式如下：[曲面积分公式](其中，[f(x, y, z)]( 是定义在曲面上的函数，[dS]( 表示微小面积。
3. 计算方法对坐标的曲面积分的计算方法可以分为以下几种：3.1 参数化曲面法参数化曲面法是最常用的计算方法之一。
它将曲面上的点表示为二维参数域上的点，然后通过将参数域上的点映射到三维空间，从而得到曲面上的点坐标。
根据参数化曲面的定义，可以将对坐标的曲面积分转化为对参数域上的曲面积分的计算。
3.2 曲面积分的直接计算法对于某些特定的曲面，可以直接计算对坐标的曲面积分。
例如，球面、平面等特殊曲面具有简单的几何形状，可以直接进行计算。
3.3 曲面积分的换元计算法曲面积分的换元计算法是通过选择适当的变量替换来简化计算。
例如，对于某些问题，可以通过使用球坐标、柱坐标或其他坐标系来简化计算。
3.4 曲面积分的参数消去法对于某些特殊的曲面，可以通过参数消去法来简化计算。
参数消去法通过选择适当的参数变换，将曲面的方程转化为简化形式，从而简化对坐标的曲面积分的计算。
4. 结论对坐标的曲面积分的计算方法有很多种，可以根据具体的曲面和问题选择合适的方法。
参数化曲面法、直接计算法、换元计算法和参数消去法都是常用的计算方法。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解对坐标的曲面积分。
以上是对坐标的曲面积分的计算方法的一些简要介绍，希望对读者有所帮助。
（以上内容仅供参考，具体计算方法以教材和相关资料为准。
）5. 参数化曲面法详解参数化曲面法是计算对坐标的曲面积分最常用的方法之一，下面将详细介绍该方法的步骤：5.1 确定参数域首先，需要确定参数域，即一个二维参数空间。
10.5 对坐标的曲面积分
D yz
而
o
1
xdydz
前
xdydz
后
xdyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
y
D yz
1 y dydz
2
D yz
1 y dydz
2
x
2
D yz
1 y dydz 2 dz
2
0
2
1
1
1 y dy
2
4
z
2
1
1
1 y dy 8
2
1
D yz
其中正负号的选择： 前侧取正号，后侧取负号。
Q( x, y, z )dzdx
: y y ( x, z )
P( x, y ( x, z ), z )dzdx
Dzx
其中正负号的选择： 右侧取正号，左侧取负号。
R( x, y, z )dxdy
: z z ( x, y )
2
x dS
2
y
x
1
( x 2
2
y ) dS
2
1
dS 2
2
F ( x, y, z ) n
0
dS
的物理意义：
设 F ( x , y , z ) 代表空间中一水流形成的流速场， 在该流速场内放入一张有向曲面 ， 考虑单位时间内 流过曲面 指定一侧的水流量 .
2
tdt
0
D xy
a x
a
2
2
(sin
对坐标曲面积分理解
对坐标曲面积分理解坐标曲面积分是数学中一个重要的概念，它在多元微积分以及物理学中有着广泛的应用。
本文将从什么是坐标曲面积分、怎样计算坐标曲面积分、应用示例以及相关注意事项等方面进行详细介绍，帮助读者更好地理解和应用坐标曲面积分。
一、什么是坐标曲面积分坐标曲面积分是对曲面上的某个量进行求和的操作，表示在一个曲面上某个量在曲面上的总体分布情况。
曲面可以是平面上的曲线、三维空间中的曲线、曲面或者更高维度的情况。
二、怎样计算坐标曲面积分1. 参数化表示法一种常用的计算坐标曲面积分的方法是使用参数化表示法。
即将曲面上的每个点都用参数$t$表示，形如$(x(t), y(t), z(t))$。
然后根据具体的问题，可以将曲面的面积分解成曲线的积分或参数的积分，进而求得坐标曲面积分的值。
2. 利用面积元素法面积元素法是另一种常用的计算坐标曲面积分的方法。
它基于曲面上的微小面元$dS$，通过积分对微小面元进行求和，得到坐标曲面积分的结果。
具体可以根据曲面的形状选择不同的坐标系，如直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等。
三、应用示例坐标曲面积分在物理学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 电场的计算在电磁学中，电场可以通过坐标曲面积分计算得到。
曲面上每个微小的面元$dS$周围的电场按照一定的数学关系进行积分，最终可以得到电场在整个曲面上的分布情况。
2. 流体的流量计算在流体力学中，流体的流量可以通过坐标曲面积分进行计算。
通过对曲面上每个微小的面元$dS$周围的流速进行积分，可以得到流体通过整个曲面的总流量。
3. 质量、能量等的分布计算在物理学和工程学等领域，坐标曲面积分可以应用于计算质量、能量等量在曲面上的分布情况。
通过对曲面上每个微小的面元$dS$周围的质量或能量进行积分，可以得到它们在整个曲面上的总量或分布情况。
四、注意事项在进行坐标曲面积分时，需要注意以下几点：1. 曲面的参数化表示应该合理选择，以便于计算和理解。
§10.5对坐标的曲面积分
∫∫−Σ Q( x , y , z )dzdx = − ∫∫Σ Q( x , y , z )dzdx; ∫∫−Σ R( x , y , z )dxdy = − ∫∫Σ R( x , y , z )dxdy .
3. 存在性定理 当P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在 存在性定理: 在 上连续时, 对坐标的曲面积分存在. 有向光滑曲面Σ 上连续时 对坐标的曲面积分存在
lim ∑ R(ξ i ,η i , ζ i )( ∆S i ) xy
存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面Σ 上对坐 存在 则称此极限为函数 在有向曲面 的曲面积分(也称为第二类曲面积分). 标x, y的曲面积分 也称为第二类曲面积分 记作 的曲面积分 也称为第二类曲面积分 ∫∫Σ R( x , y , z )dxdy, 即
1 1
= ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz + Q( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy
1
+ ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz + Q( x , y , z )dzdx + R( x , y , z )dxdy .
2
2. 积分曲面的反向性 积分曲面的反向性: ∫∫−Σ P ( x , y , z )dydz = − ∫∫Σ P ( x , y , z )dydz;
r (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A, 求单位 1). 时间流过 A 的流体的质量Φ (假定密度为 1). r v
θ
A
流量
r0 n
v Φ = A v cosθ v v0 = Av ⋅ n
1. 分割 把曲面Σ 分成 小 分割: 分成n小 同时也代表第i小块曲 块∆Si(∆Si同时也代表第 小块曲 Σ 面的面积), 面的面积 在∆Si上任取一点 r o (ξi, ηi, ζi), 则该点流速为 v i , y r 法向量为 ni . ∆ Si x (ξi, ηi, ζi) r r r r vi = v (ξ i ,ηi , ζ i ) = P (ξ i ,ηi , ζ i )i + Q (ξ i ,ηi , ζ i ) j + R(ξ i ,ηi , ζ i )k , r r r r0 该点处的单位法向量 ni = cos α i i +cos β i j +cos γ i k ,
对坐标的曲面积分的计算方法
对坐标的曲面积分的计算方法对坐标的曲面积分的计算引言曲面积分是数学中的重要概念之一，在物理学、工程学等应用中也有广泛的应用。
对于曲面积分的计算，有多种方法可以使用。
本文将详细介绍几种常见的方法。
方法一：参数化计算1.选择适当的参数化表达式，将曲面分解为小面元。
2.对每个小面元进行积分计算，得到结果。
3.将所有小面元的积分结果相加，即得到曲面积分的最终结果。
方法二：高斯公式计算1.利用高斯公式，将曲面积分转化为三重积分。
2.将曲面和其所围成的体积一起考虑，对三重积分进行计算。
3.得到的三重积分结果即为曲面积分的值。
方法三：斯托克斯公式计算1.利用斯托克斯公式，将曲面积分转化为曲线积分。
2.对曲线积分进行计算，得到结果。
3.曲线积分的结果即为曲面积分的值。
方法四：直接计算法向量与积分项的乘积1.对于给定的曲面和积分项，直接计算法向量与积分项的乘积。
2.将所有小面元的乘积结果相加，即得到曲面积分的最终结果。
方法五：利用变量替换简化计算1.对于复杂的曲面积分，可以通过合适的变量替换来简化计算。
2.选择适当的变量替换后，重新计算曲面积分。
3.得到的结果是变量替换后的曲面积分值。
结论通过本文的介绍，我们可以看到，对于坐标的曲面积分的计算，有多种方法可以使用。
选择合适的方法，可以使计算更加简便和高效。
在具体的问题中，可以根据情况选择适合的方法来计算曲面积分，以得到准确的结果。
参考文献•高等数学第七版上册，同济大学数学系编著•《多元函数积分学第二版》，丘维声编著•《数学物理方程丛书第二卷积分方程》，谷超豪编著。
对坐标曲面积分正负
对坐标曲面积分正负对坐标曲面积分正负一、引言（100字）对坐标曲面积分是微积分中的一项重要内容，它广泛应用于物理、工程和数学等领域。
在进行坐标曲面积分计算时，我们需要关注这个积分的正负性质。
本文将就对坐标曲面积分正负进行详细分析，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
二、什么是对坐标曲面积分（150字）对坐标曲面积分是指在某个空间区域上的曲面上，对于某个标量函数进行积分。
这个标量函数可以是物理中的电场、磁场、温度等物理量，也可以是其他领域中的实际问题所涉及的函数。
曲面积分可以用来描述这个函数在空间中的平均值、总量等性质。
三、积分的正负性质（200字）对于坐标曲面积分而言，其正负性质与曲面的取向密切相关。
一般来说，我们约定曲面的正方向为外侧，即曲面朝向空间中的外部。
当曲面的取向与正方向相符时，曲面积分为正；当曲面的取向与正方向相反时，曲面积分为负。
这样的约定可以简化计算，并保持积分的一致性。
四、判断曲面朝向（150字）在进行对坐标曲面积分的计算前，我们需要确定曲面的朝向。
有几种方法可以判断曲面的朝向，以下是两种常见方法：1.通过面积向量确定，即通过计算曲面元素的法向量方向来判断曲面的朝向。
一般情况下，我们选择法向量指向外侧的一侧作为曲面的正方向。
2.通过右手法则确定，即通过右手法则来确定曲面的朝向。
将右手的拇指指向曲面法向量的方向，其他手指指向曲面上的向量，则手指的弯曲方向所指向的一侧即为曲面的正方向。
五、示例与应用（200字）通过一个具体的例子来说明对坐标曲面积分的正负性质和应用。
设有一个球体，半径为R，以原点为球心。
我们希望计算球体表面上一个标量函数f(x, y, z)的曲面积分。
根据约定，我们知道球体的外表面指向球体外部。
如果标量函数在球体外部取正值，那么球体表面的曲面积分应为正值。
如果标量函数在球体外部取负值，那么球体表面的曲面积分应为负值。
这样的应用在物理学中常见，例如电场在一个闭合曲面上的通量。
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∫∫ Pdydz+Qdzdx +Rdxdy
Σ
=∫∫ Pdydz +Qdzdx + Rdxdy+∫∫ Pdydz +Qdzdx + Rdxdy .
Σ1 Σ2
(2)设Σ是有向曲面, Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面, 则
∫∫ Pdydz+Qdzdx +Rdxdy =∫∫ Pdydz+Qdzdx +Rdxdy .
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流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)) 给出, Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数v(x, y, z)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量, 即流量Φ. 把曲面Σ分成n小块: S1, S2, , Sn(Si也代表曲面面积); 在Si上任取一点(ξi, ηi, ζi ); 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为:
∑vi niSi ; >>>
i=1
n
提示: 通过Si流向指定侧的流量近似为: viniSi ; >>>
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流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)) 给出, Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数v(x, y, z)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量, 即流量Φ. 把曲面Σ分成n小块: S1, S2, , Sn(Si也代表曲面面积); 在Si上任取一点(ξi, ηi, ζi ); 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为:
n
对坐标的曲面积分的定义 函数R(x, y, z)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分:
lim ∫∫ R(x, y, z)dxdy =λ→0∑R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy . i=1
Σ
n
类似地, 可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲 面积分.
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对坐标的曲面积分的定义 函数R(x, y, z)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分:
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例 3 计算曲面 积分∫∫ (z2 + x)dydz zdxdy, 其 中Σ 是曲面
Σ
z = 1 (x2 + y2) 介于平面 z=0 及 z=2 之间的部分的下侧. 2 解 由两类曲面积分之间的关系, 可得
(z2 +x)dydzzdxdy= ∫∫ [(z2 +x)cosα+zcosγ ]dS ∫∫
Σ Σ
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二、对坐标的曲面积分的计算法
设积分曲面Σ由方程z=z(x, y)给出的, Σ在xOy面上的投影 区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函 数R(x, y, z)在Σ上连续, 则有
∫∫R(x, y, z)dxdy=± ∫∫ R[x, y, z(x, y)]dxdy, >>>
lim ∫∫Q(x, y, z)dzdx =λ→0∑Q(ξi,ηi,ζi)(Si)zx . i=1
Σ
n
上述曲面积分也称为第二类曲面积分, 其中 P、Q、R叫 做被积函数, Σ叫做积分曲面.
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对坐标的曲面积分的简写形式 在应用上出现较多的是
∫∫ P(x, y, z)dydz+∫∫Q(x, y, z)dzdx+∫∫ R(x, y, z)dxdy ,
Σ
x2dydz = ∫∫ x2dydz +∫∫ x2dydz = ∫∫ a2dydz ∫∫ 0dydz ∫∫
Σ Σ3 Σ4
Dyz Dyz
=a2bc. 类似地可得
y2dzdx =b2ac , ∫∫
Σ
z2dxdy=c2ab . ∫∫
Σ
于是所求曲面积分为(a+b+c)abc.
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例 2 计算曲面积分∫∫ xyzdxdy, 其中Σ 是球面 x2+y2+z2=1
外侧在x≥0, y≥0的部分. 解 把有向曲面Σ分成上下两部分:
Σ
Σ1: z = 1x2 y2 (x≥0, y≥0)的上侧,
Σ2 : z = 1x2 y2 (x≥0, y≥0)的下侧.
Σ1和Σ2在xOy面上的投影区域都是 Dxy : x2+y2≤1(x≥0, y≥0).
Σ Σ
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三、两类曲面积分之间的联系
设cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点(x, y, z)处的法向量 的方向余弦, 则
∫∫ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫(Pcosα +Qcosβ +Rcosγ )dS .
Σ Σ
两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式:
≈∑ P(ξi,ηi,ζi)(Si)yz +Q(ξi,ηi,ζi)(Si)zx +R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy] ; [
在上述和中, 令各小曲面直径中的最大值λ→0, 就得到流量Φ 的精确值.
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n
i=1
对坐标的曲面积分的定义 设Σ为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在Σ上有界. 把Σ任意分成n块小曲面: S1, S2, , Sn(Si也代表曲 面面积), Si在xOy面上的投影为(Si)xy, (ξi, ηi, ζi )是Si上任意 取定的一点. 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, 极限
λ→0i=1
lim ∑R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy
n
总存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面Σ上对坐标x、
y的 曲面积分, 记作∫∫ R(x, y, z)dxdy , 即
Σ
lim ∫∫ R(x, y, z)dxdy =λ→0∑R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy . i=1
Σ
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一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如, 由方程z=z(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=(cosα, cosβ, cosγ)为曲面上的法向量. 当cosγ>0时, n所指的一侧是上侧; 当cosγ<0时, n所指的 一侧是下侧. . 类似地, 如果曲面的方程为y=y(z, x), 则曲面分为左侧与 右侧, 在曲面的右侧cosβ>0, 在曲面的左侧cosβ<0. 如果曲面的方程为x=x(y, z), 则曲面分为前侧与后侧, 在 曲面的前侧cosα>0, 在曲面的后侧cosα<0. 闭曲面有内侧与外侧之分.
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例 3 计算曲面 积分∫∫ (z2 + x)dydz zdxdy, 其 中Σ 是曲面
Σ
z = 1 (x2 + y2) 介于平面 z=0 及 z=2 之间的部分的下侧. 2 解 由两类曲面积分之间的关系, 可得
(z2 +x)dydzzdxdy= ∫∫ [(z2 +x)cosα+zcosγ ]dS ∫∫
于是
∫∫ xyzdxdy=∫∫ xyzdxdy+∫∫ xyzdxdy
Σ Σ1 Σ2
= ∫∫ xy 1x2 y2dxdy ∫∫ xy( 1x2 y2 )dxdy = 2 .>>> dxdy 15
Dxy Dxy
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三、两类曲面积分之间的联系
设cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点(x, y, z)处的法向量 的方向余弦, 则
§10.5 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
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一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如, 由方程z=z(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=(cosα, cosβ, cosγ)为曲面上的法向量. 当cosγ>0时, n所指的一侧是上侧; 当cosγ< <0时, n所指的一侧是下侧. , .
Σ Dxy
其中当Σ取上侧时, 积分前取“+”; 当Σ取下侧时, 积分前取 “”. 讨论: >>> 如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？ 应注意的问题: (1)曲面Σ用什么方程表示; (3)曲面Σ取哪一侧.
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(2)向哪个坐标面投影; (4)积分前取什么符号.
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例 1 计算曲面积分∫∫ x2dydz + y2dzdx+ z2dxdy , 其中Σ 是长
∫∫ AdS = ∫∫ AndS ,
Σ Σ
或∫∫ AdS = ∫∫ A dS , n
Σ Σ
其中A=(P, Q, R), n=(cosα, cosβ, cosγ)是有向曲面Σ上点(x, y, z) 处的单位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy)称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影.
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曲面在坐标面上的投影 在有向曲面Σ上取一小块曲面S, 用(σ)xy 表示S在xOy 面上的投影区域的面积. 假定S上各点处的法向量与z轴的夹 角γ的余弦cosγ有相同的符号(即cosγ都是正的或都是负的). 我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为