概率与离散型随机变量分布列

概率与离散型随机变量分布列类型一 学会踩点[例1] (高考原题·山东青岛诊断)(本题满分12分)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：过6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 解：(1)由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13，(2分)则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13.(3分) 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝23.(6分) (2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10. 且P (ξ＝6)＝14×13＝112， P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14. P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13. P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14. P (ξ＝10)＝14×13＝112，(10分)所以ξ的分布列为则E(ξ)＝6×112＋7×14＋8×13＋9×14＋10×112＝8.(12分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问采用对立事件求概率，必须有计算甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1的内容，否则扣3分；(2)第(2)问中缺少ξ的可能取值6,7,8,9,10，者扣1分；(3)第(2)问中，直接得P(ξ＝6)＝112，P(ξ＝7)＝14，P(ξ＝8)＝13，P(ξ＝9)＝14，P(ξ＝10)＝112和分布列者扣4分；(4)计算E(ξ)无计算过程扣1分．1．(高考原题·高考全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为E(X)＝0.85a＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.类型二学会审题[例2](高考原题·高考全国乙卷)(本题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？审题路线图[规范解答](1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19＋200＋3×500)×0.04＝4 040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.2．(高考原题·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.类型三学会规范[例3](本题满分12分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率．(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛．设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．[考生不规范示例]解：(1)由题意可知，参加集训的男、女生各有6名．代表队中的学生没有A中学的学生，即全部来自B中学的概率为1 100.所以A中学至少有1名学生入选代表队的概率为99 100.(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.且P(X＝1)＝15，P(X＝2)＝35，P(X＝3)＝1 5.所以X的分布列为因此，X的期望值为E(X)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.[规范解答](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．(2分)参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34 C36C36＝1100.(4分)因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(6分)(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15，(8分)所以X的分布列为(10分)因此，X的数学期望为E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.(12分)[终极提升]——登高博见求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进行：限时规范训练四概率与离散型随机变量分布列(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35.(1)若从这20件商品中按分层(分三层：进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ.解：(1)由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A 1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A 2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 15C 212C 320＋C 15C 13C 112C 320＝55190＋30190＝1738，所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P (ξ＝180)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝210)＝C 23C 12C 35＝610＝35，P (ξ＝240)＝C 33C 35＝110.所以ξ的分布列为故E (ξ)＝180×310＋210×35＋240×110＝204.2．某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A ，B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)求一个零件经过检测为合格品的概率；(2)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率； (3)任意依次抽取该种零件4件，设ξ表示其中合格品的个数，求E (ξ)与D (ξ)． 解：设A ，B 两项技术指标达标的概率分别为P 1，P 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 1·(1－P 2)＋(1－P 1)·P 2＝512，1－(1－P 1)·(1－P 2)＝1112，解得P 1＝34，P 2＝23或P 1＝23，P 2＝34， ∴P ＝P 1P 2＝12.即一个零件经过检测为合格品的概率为12.(2)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫125－C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝1316.(3)依题意知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，E (ξ)＝4×12＝2，D (ξ)＝4×12×12＝1.3．某市为做好会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出数学期望E (ξ)． 解：(1)记“该海产品不能销售”为事件A ， 则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P (ξ＝－200)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫143·34＝364，P (ξ＝－80)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P (ξ＝40)＝C 14·14·⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以ξ的分布列为E (ξ)＝－320×1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81256＝40.4．高考原题某省大学生综合素质大赛将通过各种人才评价手段对参赛选手的政治品质、综合素质和就业能力三个维度33项要素进行全面、深层次的评估．参赛选手要参加“理论部分”和“模拟现场”两项测试，测试成绩都分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某考场考生两项测试成绩的数据统计如下图所示，其中“理论部分”测试成绩为B 的考生有10人．(1)求该考场考生中“模拟现场”测试成绩为A 的人数；(2)若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分． ①求该考场考生“理论部分”测试成绩的平均分；②若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．解：(1)因为“理论部分”测度成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有10÷0.25＝40人，所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为A 的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)①求该考场考生“理论部分”科目的平均分为1×0.2＋2×(1－0.375－0.250－0.200－0.075)＋3×0.375＋4×0.250＋5×0.075＝2.9②设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16,17,18,19,20，P (ξ＝16)＝C 26C 210＝1545，P (ξ＝17)＝C 16C 12C 210＝1245，P (ξ＝18)＝C 16C 12C 210＋C 22C 210＝1345，P (ξ＝19)＝C 12C 12C 210＝445，P (ξ＝20)＝C 22C 210＝145.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝16×1545＋17×1245＋18×1345＋19×445＋20×145＝865.必考点二 概率与统计综合类型一 学会踩点[例1] (本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．A 地区用户满意度评分的频数分布直方图图①B 地区用户满意度评分的频数分布表两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：解：(1)如图所示．(6分)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(8分)(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.(11分)所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．(12分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第一问中的频率分布直方图的每个长方形都要达到相应的高度；否则，错一个扣1分(2)第一问中的“评价”是从两个方面：平均数和分散情况，缺一方面扣1分(3)第二问中缺少结论或者概率计算错，每一种情况都扣1分1．(高考原题·高考四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x －2)＝0.5－0.48，解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．类型二 学会审题[例2] (高考原题·高考全国丙卷)(本题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测高考原题年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i＝40.17, ∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，7≈2.646. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t)2∑n i ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －b ^t . 审题路线图[规范解答] (1)由折线图中的数据和参考数据得t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28, ∑7i ＝1(y i －y )2＝0.55， ∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得 b ^＝∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y )∑7i ＝1 (t i －t )2＝2.8928≈0.103. a^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将高考原题年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测高考原题年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i＝x i，w＝(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z^与x，y的关系为z^＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，^＝100.6＋68w，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68x.因此y关于x的回归方程为y(3)①由(2)知，当x＝49时，^＝100.6＋6849＝576.6，年销售量y的预报值y^＝576.6×0.2－49＝66.32.年利润z的预报值z②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．类型三 学会规范[例3] (本题满分12分)“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动， 活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．(1)若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；(2)为了解活动中接受挑战的情况与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下2×2列联表：根据表中数据，的情况与受邀者的性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[解：(1)ξ＝0,1,2,3E (ξ)＝38＋68＋38＝128.(2)K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝2514，有把握．[规范解答] (1)3个人中接受挑战的人数ξ可为0,1,2,3.每个人接受挑战的概率为12，3个人即为3次独立重复试验．(3分) ∴P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38 P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. ∴随机变量ξ的分布列是(5分)E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.(6分)(2)根据2×2列联表中数据，得到K 2的观测值为k ＝100×(45×15－25×15)260×40×70×30＝2514≈1.79.(10分)因为1.79＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“活动中接受挑战的情况与受邀者的性别有关”．(12分) [终极提升]——登高博见(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．某地区2010年至高考原题年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：(1)求y(2)利用(1)中的回归方程，分析2010年至高考原题年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t －.解：(1)由所给数据计算得t ＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5，a^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b^＝0.5>0，故2010年至高考原题年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2018年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．2．有甲、乙、丙、丁、戊五位工人参加技能竞赛培训．现分别从甲、乙两人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，用茎叶图表示这两组数据如图所示．(1)现要从甲、乙两人中选派一人参加技能竞赛，从平均成绩及发挥稳定性角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；(2)若将频率视为概率，对甲工人在今后3次的竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及期望E (X )． 解：(1)派甲工人参加比较合适．理由如下： x 甲＝16(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x 乙＝16(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.s 2甲＝16[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393.因为x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲、乙两人的成绩相当，但是甲的成绩较乙更为稳定，故派甲参加较为合适．(2)记“甲工人在一次竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P (A )＝46＝23. 由题意知：X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，且P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. 所以X 的分布列为故E (X )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或E (X )＝3×23＝2 3．(高考原题·河北衡水中学二模)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30,50]内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望． 解：(1)由题意可知⎩⎨⎧2b ＝a ＋0.015，(0.010＋0.015×2＋b ＋a )×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从该10人中抽取3人，此3人所获得代金券的总和为X (单位：元)， 则X 的所有可能取值为150,200,250,300.P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310＝130.X 的分布列为E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.4．甲、乙两种不同规格的产品，其质量按测度指标分数进行划分，其中分数不小于82分的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：(1)(2)根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“两种产品的质量有明显差异”？附：K 2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(3)已知生产1则亏损5元；生产1件乙产品，若为合格品，则可盈利50元，若为次品，则亏损10元．在(1)的前提下，记ξ为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：(1)甲产品的合格率为P 1＝40＋32＋8100＝45. 乙产品的合格率为P 2＝40＋29＋6100＝34. (2)填写完整的2×2列联表如下：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝200×(80×25－75×20)2100×100×155×45≈0.717＜3.841，因而没有95%的把握认为“两种产品的质量有明显差异”．(3)随机变量ξ的可能取值为90,45,30，－15，P(ξ＝90)＝45×34＝35，P(ξ＝45)＝15×34＝320，P(ξ＝30)＝45×14＝15，P(ξ＝－15)＝15×14＝120.所以随机变量ξ的分布列为数学期望E(ξ)＝90×35＋45×320＋30×15－15×120＝66.专题一～三 规范滚动训练(三)(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 1．设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2(n ∈N *)． (1)求证：数列{1T n}是等差数列；(2)设b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵T n ＋2a n ＝2，∴当n ＝1时，T 1＋2a 1＝2， ∴T 1＝23，即1T 1＝32.又当n ≥2时，T n ＝2－2×T nT n －1，得T n ·T n －1＝2T n －1－2T n ， ∴1T n －1T n －1＝12，∴数列{1T n}是以32为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)知，数列{1T n }为等差数列，∴1T n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，∴a n ＝2－T n 2＝n ＋1n ＋2，∴b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)＝1(n ＋2)(n ＋3)＝1n ＋2－1n ＋3，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＝13－1n ＋3＝n 3n ＋9.2．已知在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c 2sin B ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2sin C －a sin A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c 2sin B ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2sin C －a sin A ＝0，由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2c －a 2＝0，化简得b 2＋c 2－a 2－bc ＝0， 即cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝π3. (2)由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝3sin π3＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝3sinB ＋3cos B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6， 即12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以b ＋c ∈(3，23)．3．用五种不同的颜色来涂如图所示的田字形区域，要求同一区域上用同一种颜色，相邻区域用不同的颜色(A 与C 、B 与D 不相邻)．(1)求恰好使用两种颜色完成涂色任务的概率；(2)设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务，记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解：(1)按要求完成涂色任务，可分成三个互斥事件：恰好使用两种颜色完成涂色任务、恰好使用三种颜色完成涂色任务、恰好使用四种颜色完成涂色任务．恰好使用两种颜色完成涂色任务共有A 25＝20种方法； 恰好使用三种颜色完成涂色任务共有2C 35C 13A 22＝120种方法； 恰好使用四种颜色完成涂色任务共有A 45＝120种方法．所以按要求完成涂色任务，共有20＋120＋120＝260种方法． 记“恰好使用两种颜色完成涂色任务”为事件A ，则P (A )＝20260＝113. (2)由已知可得ξ＝0,1,2.记“恰好使用三种颜色完成涂色任务”为事件B ，“恰好使用四种颜色完成涂色任务”为事件C .由(1)得P (B )＝120260＝613，P (C )＝120260＝613.所以P (ξ＝0)＝P (A )P (A )＋P (B )P (B )＋P (C )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6132＝73169，P (ξ＝1)＝P (A )P (B )＋P (B )P (C )＋P (B )P (A )＋P (C )P (B )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫113×613＋613×613＝84169，P (ξ＝2)＝P (A )P (C )＋P (C )P (A )＝113×613＋613×113＝12169. 所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×73169＋1×84169＋2×12169＝108169.4．某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,35](单位：百元)内的手机的利润情况，从高考原题年度销售的一批手机中随机抽取100部，按其价格分成6组，频数分布表如下：(2)用分层抽样的方法从这100部手机中共抽取20部，再从抽出的20部手机中随机抽取2部，用X 表示抽取价格在区间[20,35]内的手机的数量，求X 的分布列及数学期望E (X )．解：(1)价格在区间[5,10)内的频率为5100＝0.05，价格在区间[10,15)内的频率为25100＝0.25，价格在区间[15,20)内的频率为20100＝0.2，价格在区间[20,25)内的频率为15100＝0.15，价格在区间[25,30)内的频率为25100＝0.25，价格在区间[30,35]内的频率为10100＝0.1.频率分布直方图如下图：(2)因为各层抽取的手机数量之比为1∶5∶4∶3∶5∶2，故在抽取的20部手机中，价格在区间[20,35]内的手机有20×3＋5＋220＝10部，X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝C210C010C220＝938，P(X＝1)＝C110C110C220＝1019，P(X＝2)＝。