北航有限元第3讲弹性问题有限元方法2

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北航有限元第3讲弹性问题有限元方法(1)PPT课件

北京航空航天大学
关于集中力的说明
II U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A
单独考虑集中力
I I U W 1 2ijijd V b iu id V S pp iu id A P iu i
体积力分布面力集中力
WbiuidVSp piuidA
b i 单位体积力 p i 面力
北京航空航天大学
弹性体系统的总势能
对于保守力场作用下的弹性体系统总势能：
II＝U-W U－弹性势能或变形(应变)能 W－外力功
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3.2 弹性问题的变分原理
最小势（位）能原理最小势能原理的等价性
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外力载荷
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3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
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Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
➢ 构造单元位移函数 ➢ 应变的表达 ➢ 应力的表达 ➢ 单元的应变能 ➢ 单元的外力功
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Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
说明： S Sp Su
满足位移边界条件： ui 0
S ij uiljdASp ij uiljdA
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ijijdV biuidV Sp piuidA
SpijuiljdA ij,juidV biuidV Sp piuidA
[ ij,j
bi]uidV
[
Sp
ijlj
pi]uidA
[ij,j b i]u id V S p [ijlj p i]u i件

有限单元法第3章弹性力学平面问题的有限元分析

# ! , ) ’ 0 ! # , %’ " $ # #1 ! #1 ! , , $ * ( 将应力矩阵表示为分块矩阵的形式 $ 有 %
图! ""! 桁架结构的有限元模型
在有限元法中 ! 把单元与单元之间设置的相互连接点 ! 称为结点 # 如图! " " #%! " $$ 一般用号码 #!$!& 进行结点编号 " 结点可为铰结 % 固接或其他形式的连接 " 结点的设置 % 性质及数目等均视所研究问题的性质 % 描绘变形状态的需要和计算精度的要求等而定 " 在有限元法中引进结点概念是至关重要的 " 有了结点 ! 才可将实际连续体看成是仅在结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构 ! 从而可使研究的对象转化成可以使用电子计算机计算的数学模型 " 由单元 % 结点 % 结点连线构成的集合称为有限元模型 " 它是有限元分析与计算的对象 "
性和连续性的要求 # 为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态 " 它应满足下列条件 ’ &位移模式必须能反映单元的刚体位移 # % # % &位移模式必须能反映单元的常量应变 # $ % &位移模式应尽可能地反映位移的连续性 # ! 由于有限元模型中单元之间仅通过结点连接 # 但实际上 " 两个相邻的单元在整个交界处 % 包括结点 & 都是相互连接 ( 相互作用的 " 所以在有限元分析中 " 选择位移模式时除了要求单元之间在结点处有共同的结点位移值外 " 还应尽可能反映在单元之间公共交界处的变形协调 #

第二章弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式

第二章弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。

最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。

它是有限元方法中应用最普遍的单元。

对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。

平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。

我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。

2.2 弹性力学平面问题的有限元列式2.2.1 单元位移模式及插值函数典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m 。

每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。

每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α ),,(m j i每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为[]Tm m j j i im j i e v u v u v u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ααααe α为单元结点位移列阵。

1．单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。

假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式y x u 321βββ++=y x v 654βββ++= （2.2.1）它的矩阵形式是φβ=u （2.2.2）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x 1=ϕ[]T 654321βββββββ=由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= （2.2.3） m m m y x u 321βββ++=上式是关于321,,βββ的线性方程组。

第三章弹性力学有限元法

3.3 单元分析
2.单元分析
K
11 rp

b a
rp(1
13r p
)
1
2
a b
r
p
(
1

1 3

r
p
)
其中：
K
12 rp

r p

1
2

r
p
K
22 rp

b a
r
p
(
1

1 3
r
p
)
1
2
a b
r p(1
1 3
r
p
)
K
21 rp

r p

a5 xy a11 xy

a6 y2 a12 y 2
i
j
l
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
四节点矩形单元的插值多项式
ue
v
e

a1 a7

a2 x a8 x

a3 a9
y y

a4 xy a11xy

N
i

1 (1 4
x a
)(1
y b
z
三角形环单元
O
y
x
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
四边形环单元
回转圆锥薄壳单元
z
O
y
x z
O
y
x
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
m
u e
v
e

a1 a4

有限元分析方法第3章弹性力学基础知识3

合并同类项，得
u u v w v v w w u y z yx x yz xz dxdydz y z z z x y x y x
二、弹性体的虚功原理
同理，计算左右、上下两对面上应力及y和z方向体力所做虚功
u v w 左右两面应力虚功＝ y yz yx dxdydz y y y yx u y v yz w dxdydz y y y
＝
v w u xy xz x dxdydz x x x xy x xz u v w dxdydz x x x 高阶小量
X方向体力做功： bx udxdydz
u u v w v v w w u y z yx x yz xz dxdydz y z z z x y x y x
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB 长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力FA与FB之间的关系。
解: 给虚位移 rA , rB ,
Fi ri 0
FA rA FB rB 0
由 rB cos rA sin ( rA , rB 在 A ,B 连线上投影相等)
二、弹性体的虚功原理
dxdydz b u b v b w dxdydz p u p v p w dS
x x y y z z xy xy yz yz zx zx x y z Sp x y z

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)

第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。

一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。

在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。

即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。

构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。

以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。

在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x y ααα==++546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭确定。

将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A x u x u =2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为: m m i j i a x y x y =- m ij by y =- (,,)i j m m i jc x x =-(,,)i j m 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。

有限元分析第3章弹性力学基础知识2

有限元分析Finite Element Analysis李建宇天津科技大学内容Chp.3 弹性力学基础知识2：补充内容1. 边界条件2. 弹性力学中的能量表示3. 弹性力学边值问题要求理解：弹性力学边界条件的提法了解：弹性力学边值问题的内涵掌握：弹性力学中的能量表述课后作业继续检索、阅读弹性力学基本文献有限元分析——弹性力学补充内容弹性力学的“三个基本”1、基本假定2、基本变量3、基本方程弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)2、线弹性(Linear elastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Small deformation)弹性力学基本变量变形体的描述：在外部力和约束作用下的变形体位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述弹性力学基本变量材料参数位移物体变形后的位置物体的变形程度物体的受力状态物体的材料特性应变应力描述变形体的三类变量：dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT位移（displacement）是指位置的移动。

它在x, y 和z轴上的投影用u, v和w。

dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT微元体( Representative volume)应力张量（stress tensor ）x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应变张量（strain tensor ）dyuvwdzdx(x,y,z )xu x d d =εd xxσxσuu +d uτβαγ=α+βx xy xz yx y yz zx zy z εγγγεγγγε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦弹性力学的基本方程应力应变位移几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程上节回顾上节回顾弹性力学基本方程x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x zεεεγγγ∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂几何方程00000000x y z xy yz zx x y u z v w y x z y zx εεεγγγ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎧⎫⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎪⎪⎢⎥⎪⎪∂∂⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦Luε=L ：微分算子上节回顾弹性力学基本方程000yx x zx x xy y zyy yz xz z z b x y z b x y zb x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂平衡方程000000000x y x z y yx zzy xz x y z b b y x z b zyx σσστττ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭A ：微分算子A b σ+=TA L=上节回顾弹性力学基本方程物理方程()()()111x x y z y y z x z z x y xyxy yzyz zxzx E EE GGGεσνσσεσνσσεσνσστγτγτγ⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦===()()()()()()1000111000111000111121120000021120000021120021x x y y z z xy xy yz yz zx zx E ννννννσεννσεννννσενντγννντγντγννν⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬-+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦D ：弹性矩阵D σε=对称上节回顾弹性力学基本方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩT0Lu A b D σεσε+===弹性力学三大方程in Ω边界上呢？一、弹性力学的边界条件(Boundary condition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT两类边界条件：S p：力的边界S u：位移边界一、弹性力学的边界条件1、位移边界条件边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩTuu u v v on S w w =⎧⎪=⎨⎪=⎩一、弹性力学的边界条件以二维问题为例2、力的边界条件边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件∑X=注意ds为边界斜边的长度，边界外法线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds有：一、弹性力学的边界条件以二维问题为例Y =∑同理：M =∑一、弹性力学的边界条件以二维问题为例二维情形的力的边界条件00x x x y y yx y xy p n n n n p σστ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭其中：n x ＝l ；n y ＝m一、弹性力学的边界条件扩展到三维情形的力的边界条件00000000x y xy z x z y x z y xy zyx z yz zx n n n p n n n p n n n p σσστττ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭n ppon S σ=二、弹性力学中的能量表述功能原理的两个基本概念：功（work）：外力功；能量（energy）：如动能、势能、热能等弹性问题中的功和能量：外力功：施加外力在可能位移上所做的功应变能：变形体由于变形而储存的能量二、弹性力学中的能量表述1. 弹性力学中的外力功（work by force ）弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括：Part 1：面力p i 在对应位移上u i 上的功（on S p ）Part 2：体力b i 在对应位移上u i 上的功（in Ω）外力总功为：()()d d pxyzxyzS W p u p v p w S b u b v b w Ω=+++++Ω⎰⎰二、弹性力学中的能量表述2. 弹性力学中的应变能(strain energy)设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。

弹性力学中的有限单元法

∑N y
i
∑N
由插值基函数的性质及坐标变换的定义,可得 u = a0 x + a1 y + a 2
v = b0 x + b1 y + b2 即,在节点位移分布满足刚体模式或常应变模式时,对于等参数插值,单元内的位移模式也满足刚体模式或常应变模式
刚体模式或常应变模式的一般形式为
u = a0 x + a1 y + a 2 v = b0 x + b1 y + b2
i 0 i 1 i 2
则根据插值模式,单元内任一点的位移为
u= v=
∑N u
i =1 8 i =1
8
i i
= a0 = b0
∑N x ∑N x
i =1 i =1 8
8
i i
+ a1 + b1
∑N y
i i =1 8 i i =1
8
i
+ a2 + b2
∑N
i =1 8 i i =1
8
i
∑N v
i i
i i
N 1II = 0.25(1 ξ )(1 η ) 0.5 N 8II
ξ
7
N 2II = 0.25(1 + ξ )(1 η ) N 3II = 0.25(1 + ξ )(1 + η ) N 4II = 0.25(1 ξ )(1 + η ) 0.5 N 8II
N 8II = 0.5(1 ξ )(1 η 2 ) 在节点1,2和3构成的边上 II u P = 0.5[(1 η ) (1 η 2 )]u1 + 0.5[(1 + η ) (1 η 2 )]u 2 + (1 η 2 )u 3

弹性力学平面问题的有限元法

形状函数
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元，具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的量，包括正应力和剪切应力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态，即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法

弹性力学平面问题有限元法

弹性：（塑性）结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。
静力分析：（动态分析）结构所受外力是不随时间变化的恒力。
一、弹性力学中的物理量
载荷、应力、应变、位移
1.载荷
载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和集中力三内任一点，单位体积的体力用 Pv 表示，它可分解为给定坐标系x、y和z 三个坐标轴上的投影 P v x 、P v y 、P v z ，称为体力分量。
3 弹性力学平面问题有限元法
材料力学主要研究杆、梁、柱结构力学主要研究杆系（或梁系）弹性力学主要研究实体和板得受力和变形
弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的
在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变、变形和平衡关系。
线性：（非线性）结构的应力与应变的关系（本构关系）呈线性变化。
➢除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常
采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正
应力和切应力，因为与物体形变和材料强
度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量。
C
z
y
zx
yx yz
zx dz
z
z
z dz
zy
z
zy
z
dz
xz x
xz
x f
fx
x
x
dx
z
xy
vu4125xx36yy
1 2
x,yuv10
x 0
y 0
0 1
0 x
0y43fx,y
65
（4－9）
第三步：求单元中任一点位移 x,y与节点位移 e 的关系
这一步的目的是求出待定系数。

有限元方法概述

北京航空航天大学
主要工学硕士数学课程

工程数学计算方法（数值分析）随机过程矩阵论运筹学（最优化方法）图论模糊数学有限元方法小波分析应用泛函分析北 Nhomakorabea航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提
高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。数学的面貌发生很大变化，现代数学在理论上更加抽象、方法上更加综合、应用上更加广泛。综合运用数学的能力关系到研究生的创新能力和研究水平的提高，对研究生的论文质量至关重要。
X
北京航空航天大学
（2）单元分析用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。
ui 1 ui ( x xi ) u ( x ) ui Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
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第i个单元的应变应力内力
du ui 1 ui i dx Li
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为 E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。
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材料力学解答
N ( x) q( L x)
x
N ( x) q ( L x) A A
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
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再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与边界条件，如下：平衡方程：几何方程：物理方程：边界条件：

有限元法基础-3弹性力学问题有限元法

插值函数－－线性完备的多项式
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
1 u φ 0 v 0 φ u = 6
φ [1, x, y]
i 为待定系数，称为广义坐标
ai x j ym xm y j bi y j ym ci x j xm
1 xi yi yj ym
1 (ci vi c j v j cm vm ) 2A
1 ui 1 2 1 uj 2A 1 um
1 xi 1 3 1 xj 2A 1 xm
1 yj (bi ui b j u j bmum ) 2A ym
16
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
单元等效节点载荷列阵
e T T e e Q6 1 N 63 F31 tdxdy e N 63 T31 tdS QF QT e S
1）均质等厚单元质量
0 F g
Qix N Qi i e 0 Qiy
function）.
位移插值函数的矩阵表示为
Ni u Nq 0
e
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 T ui , vi , u j , v j , um , vm Nm
6
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式形函数的性质
（1） Ni ( x j , y j ) ij
矩阵表达式
1 p (u) ( TCε F T u)tdxdy T T u tdS 2 S
应用到离散系统
1 p ep ( TCε F T u)tdxdy e T T u tdS S e e e 2 1 T T q eT TCB tdxdy q e q eT N F tdxdy N T tdS e e e S 2 e e

三、-弹性力学有限元法基本原理(二)复习过程

三、弹性力学有限元法基本原理(二)
• 根据以上分析，对弹性力学有限元法，为了使有限元解收敛，单元（一维杆，二、三维实体元）的构造必须满足下列要求：
➢ 每个单元的位移模式必须包含完全一次多项式。
➢ 位移模式在单元边界之间连续（C0连续）。
➢ 单元网格在边界上受到均匀载荷，单元上的有限元解应该具有一致的均匀值。
x x0 a y y0 b
由于ξ,η在单元4个节点上的值分别为±1，因此称为自然坐标。
（2）单元位移模式
• 单元共有8个自由度，因此单元位移试探函数设为如下形式：
u12 3 4 v56 7 8
1 ~ 8 为广义坐标。这是包含完全一次式的非完全二次多项式函
数，由于在各坐标轴方向呈线性变化，因此称为双线性位移模式。
i
N i y
1 ab
0
N
i
a
N
i
x
0
a
N i
b
N
i
1 4 ab
b i (1 i )
0
a i (1 i )
(i 1,2,3,4)
0
a
i
(1
i
)
b i (1 i )
• 显然，矩形单元的应变矩阵元素是坐标的线性函数，因此单元内的应变随位置线性变化。但x方向正应变随y线性变化，y方向正应变随x线性变化。
• 实际工作中，往往需要对误差作出具体估计，对于一般的实际问题，可采取下列办法：
（1）用相近的有已知解析解的问题做有限元误差估计，单元类型相同，网格划分相似。则某种网格下其有限元解与解析解的具体误差可以作为实际问题的误差。
（2）根据收敛的含义，可以对网格进行连续多次细化，当两次网格的解相差不大时，可以认为得到的解答足够精确。

北航有限元分析与应用第三讲 ppt课件.ppt

Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
简写为
N e INi
IN j
INm
i j
um
vm
ui
m
e
i j
m
vi
u v
j j
um
vm
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为单元的形状函数
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
坐标轴的平行移动而改变。
3-3 单元刚度矩阵
Fe [B]T[D][B]tdxdyδe
由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的
元素也是常量，且 dxdy A
因此
Fe [B]T[D][B]tA δe
Ke [B]T[D][B]tA
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。
Fyj*
j
Fxj*
F ym m
y t
xy
F yi
x
F xi
i
F xm
(a)结点力、内部应力
Fym* m
x* y* xy*
F
* xm
(b)虚位移、虚应变
Fyi*
F
* xi
i
3-3 单元刚度矩阵
考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm
Fym
u v
j j
um
vm
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm

力学WORD教案-CHAPTER3弹性力学平面问题的有限元法

3弹性力学平面问题的有限元法本章包括以下的内容：3.1弹性力学平面问题的基本方程3.2单元位移函数3.3单元载荷移置3.4单元刚度矩阵3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义3.6整体分析3.7约束条件的处理3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法3.9方程组解法3.1弹性力学平面问题的基本方程弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。

在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。

弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。

弹性力学的基本假定如下：1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。

3.1.1基本变量弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。

体力体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。

面力面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。

应力物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。

物体内某一点的内力就是应力。

图3.1如图3.1假想用通过物体内任意一点 p 的一个截面 mn 将物理分为I 、n 两部分。

将部分n 撇开，根据力的平衡原则，部分n 将在截面 mn 上作用一定的内力。

在mn 截面上取包含 p 点的微小面积 A ，作用于：A 面积上的内力为:Q 。

令.\A 无限减小而趋于p 点时， Q 的极限S 就是物体在p 点的应力。

应力S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用 b 表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用T 表示。

显然，点p 在不同截面上的应力是不同的。

为分析点p 的应力状态，即通过p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。

将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。

用六面体表面的应力分量来表示 p 点的应力状态。

应力分量的下标约定如下：第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。

第3讲弹性问题有限元方法(2)

第3讲弹性问题的有限元方法(2)
金朝海 jch666@
北京航空航天大学
第3讲弹性问题的有限元方法(2)
3.3 连续体弹性问题的有限元求解过程
平面问题 (三角形单元、四边形单元) 三维问题（四面体单元、六面体单元）

3.4 有限元分析中若干问题的探讨
位移函数的构造要求单元形状函数的性质刚度矩阵（单元、整体）的特点位移边界条件的处理位移单元解的下限性
b1 B1 0 c1 0 c1 b1
0 c1 b1
b2 0 c2
0 c2 b2
0 c2 b2
b3 0 c3
0 c3 B1 B 2 B3 b3
b3 B3 0 c3 0 c3 b3
b2 B 2 0 c2
a2 b2 c2
a3 u1 b3 u2 c3 u3
同理可得：
1 a1 1 2 b1 2 A c 3 1
a2 b2 c2
a3 v1 v b3 2 c3 v3
m
i
j
北京航空航天大学
关于单元等效节点载荷列阵的扩充叠加
W q P
e eT e
单元编号 m<i<j
W e qT P u1 u 2 u3 e u n Pi i P je j 0
N—单元形状函数矩阵 qe —单元节点位移矩阵
北京航空航天大学
Step 2. 单元分析——应变
x x ε( x, y ) y 0 xy y 0 u ( x, y ) u ( x, y ) N ( x, y ) q e B ( x , y ) q e y v( x, y ) x

13教学2--多物理场有限元-线弹性问题有限单元法(二)

元将是的局任o 部何性虚的位j ，移不上Px致所ej 影作响的到虚整功体应结相构等，。x并据且圣，维随南o 着原单理元，j 的荷细裁分作，这这样一的影移响置将而逐引步起x缩的小误。差
考虑典型单元, 假定单元上作用有体积力{Fb}、分布面力{p}和集中力{Q}
体积力:
Fb
Fbx
Fby
分布面力:
4.4 集中力的等效移置
Pe
N
T
b
Q
N T
phds
N T
Fb hdxdy
s
A
假设在单元边界ij的b点作用有集中力向量
y
{Q}＝[Qx Qy]T ，根据结点载荷计算公式可得：
Peq
N
T
b
Q
Pyei Pxei
i
可以证明：
N b
I
lj l
I li l
I
0
{Q}
b
j
Pyem
m
Pxem
代入上式整理得：
4、荷y 载向结点Pye移i 置
y
dvi
4.1载荷的静力等效移置Pxei
为何要进行载荷移i置?
py
i
dui
静荷向力结裁所按等点又谓照效移常静有?置P常力x限emQ，不等x单Q化是效y元为作原的等用则假F效在b是设y结F结指，b点x点原作荷上p来用载x，m作在。如用结P体ye在构m 力上单P、x的元em面力上力必的等须荷。是裁因结与此点移d，v荷置j 需裁到将，结dd它v而du点uj们作上按用的静在荷m力结载d等构，vm效上它的的们d原实u在m则际单
4.3 面力的等效移置
Pe
N
T
b
Q
N T