圆的对称性课件

九年级数学(下)第三章圆
3.2 圆的对称性(1) -----垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
如果是,它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
你是用什么方法解决这个问题的?
圆是轴对称图形.
其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
1
1
则AE＝BE＝ 2 AB＝ 2 ×8＝4厘米
在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理
OA＝ A2 E O2 E32425厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。
练一练
如(中即图C图D，中=一60C⌒条0Dm公，,E路点为的oC是⌒转D弯C⌒上D处一的是点圆一，段心且圆)，弧其
判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ）
⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ） (3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ √ ）
课堂小结：
1.请说出本节所学习的主要内容。 2.还有什么疑惑请提出来
练一练
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点。
B 求证：AC＝DB
如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
N
BE
M
·
F
C
0
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
B
D
600
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段
弯路的半径。
C
E
F O
D
练一练
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，A
则下列结论不正确的是（ ）C A、A⌒C=A⌒D B、B⌒C=B⌒D
C M└
D
C、AM=OM D、CM=DM
●O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
D
①一条直径 条件
②垂直于弦
③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧
⑤平分弦所对的优弧
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
O EB D
练一练
如图，已知在⊙O中，A 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E
2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
布置作业：
3、思考题
。O
C
E1
F
A
已知：在以O点为圆心
的两个同心圆中。大
圆的弦CD交小圆于E、
F，OE、OF的延长线
交大圆于AB。
D B
求证：A⌒C=B⌒D.
3、思考题
。O
A
C
D
E
已知：在以O点为圆心 的两个同心圆中。大 圆的弦AB交小圆于C、 D.
E
A
N ●O
B
└
C
M
└
D
F
挑战自我 画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我 做一做
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于 E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝， 求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
反思小结：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于 弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。
A
60D0
B
O ø650
C
赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥 拱的半径(精确到0.1m).
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
做一做
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同
C
伴说说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
即 R 21.7 8 2(R 7 .2 )2.
解得 R≈27.9（m）. O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
E
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 1 0 ㎝ ， 求圆O的半径。
O
r4
D
A
B
r-4
C
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧 AB”.小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用两个字母).
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
B
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
A
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
C
D
探求不断
如图,CD是直径, AB弦, CD⊥AB,垂足为M 。
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
AD 1 AB 137.418.7, 22
37.4
C
OD O CD CR7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D
B
O2AAD 2OD 2, R
你能发现图中有哪些等量关系？
请你说说它们相等的理由。
C
AM=BM，A⌒
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，
求证：且AMCD=⊥BMA，B于A⌒MC，=B⌒C, A⌒D =B⌒D
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
C
A M└ ●O
D
∵CD⊥AB于M
B ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的
两条弧.
C
∵ CD是直径,
A M└
B
CD⊥AB,
●O
∴ AM=BM,
⌒ ⌒⌒ ⌒
AC = BC, AD = BD.
求证：AC=BD
证明：过O作OE⊥AB于E，
则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
A
C
•o
┐E D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 往往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 做一做
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的 弧相等吗？为什么?
M
●O
由 ① CD是直径 可推得
③ AM=BM
D
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直．径）的直径垂直于弦,
并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗● M
B
●O
被平分的这条 弦不是直径
CD是直径 AM=BM
可推得
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
练一练