第十九章 含参量正常积分.

第十九章 含参量正常积分

§19.1 含参量正常积分

教学要求：

(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．

(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用

教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用

教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念

定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义，且对],[b a 内每一点

x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的

函数

⎰=d

c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1）

设二元函数),(y x f 在区域

}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义，

函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数

⎰

=)

()

(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2）

称()(,)d

c I x f x y dy =⎰和()

()

()(,)d x c x F x f x y dy =⎰为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。

类似可定义含参量y 的正常积分．

含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 .

二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性

1. 连续性:

定理19.1(连续性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数

⎰=d

c dy y x f x I ),()(在],[b a 上连续．

分析 设],[b a x ∈，对充分小的x ∆，有],[b a x x ∈∆+（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ）

，要证)(x I 在],[b a 上连续, 只须证)(x I 在任意],[b a x ∈上连续, 只须证0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时, ε<-∆+|)()(|x I x x I , 即 0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时,

≤

-∆+⎰|)],(),([|d

c dy y x f y x x f ε<-∆+⎰

d

c

dy y x f y x x f |),(),(|.

要使上式成立， 只须 )(|),(),(|c d y x f y x x f -<-∆+ε. 由),(y x f 在R 上连续， 从而一致连续可得结果. 证明思路：连续的定义+一致连续。

证明 ∀x ∈[a,b ]，取∆x ，使x +∆ x ∈[a,b ]，有

I (x +∆ x )-I (x ) =[](,)(,)d

c f x x y f x y dx +∆-⎰ ， |I (x +∆ x )-I (x ) |=|(,)(,)|

d c f x x y f x y dx +∆-⎰，

函数f(x,y)在闭矩形域D 一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, ∀(x 1,y 1), (x 2,y 2)∈D ：| x 1- x 2|<δ,| y 1- y 2|<δ,有 |f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|< ε.

特别是，∀ (x,y ), (x +∆ x , y)∈R ：|∆x |<δ,有 |f(x,y) -f (x +∆ x , y) |<ε. 所以，|∆ x |<δ,有 |I (x +∆ x )-I (x ) |=|(,)(,)|d

c f x x y f x y dx +∆-⎰<ε (b-a ) , 即函数I (x )在区间[a,b ]连续。

结论 设x 0∈[a,b ]，则=⎰

→d

c

x x dy y x f ),(lim

0⎰→d

c x x dy y x f ),(lim 0

(极限运算与积分运算交换顺序).

同理，若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=b a

dx y x f y J ),()(在],[d c 上连续．

定理19.2(连续性)设二元函数),(y x f 在区域

}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=

上连续，其中函数)(x c ,)(x d 为],[b a 上的连续函数 ,则函数

⎰

=)

()

(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （6）

在],[b a 上的连续．

分析 已知定理19.1成立, 要证定理19.2, 要先进行变量变换, 将)(x F 化为)(x I 的形式. 对)(x F 用换元积分法, 令))()(()(x c x d t x c y -+=, 当y 在)(x c 与)(x d 之间取值时, t 在]1,0[上取值, 且dt x c x d dy ))()((-=, 代入得

⎰⎰

--+==1

)

()

())()()))(()(()(,(),()(dt x c x d x c x d t x c x f dy y x f x F x d x c

由于被积函数)))()(()(,(x c x d t x c x f -+))()((x c x d -在上]1,0[],[⨯b a 连续, 由定理19.1即得结论.

证明思路：辅助函数 应用举例 例1 求 ⎰

+→++α

α

αα

12

201lim x dx

. 解 记⎰

+++=α

α

αα1221)(x dx I ，由于α，α+1，2

211

α

++x 连续，由定理19.2知)(αI 在0=α连续,所以

=++⎰

+→α

α

αα12

201lim x dx

411

02π

=+⎰x dx .

2. 可微性

定理19.3(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数

),(y x f x

∂∂

都在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=d

c

dy y x f x I ),()(在],[b a 上可微，且

=⎰d

c

dy y x f dx d ),(⎰

∂∂

d

c

dy y x f x

),( . 即积分和求导次序可换 分析 要证结论成立, 只需证

=

∆-∆+→∆x x I x x I x )

()(lim

0⎰

∂∂

d

c

dy y x f x

),(⎰=d c x dy y x f ),(

⇔ε<-∆∆⎰|),(|

d c x dy y x f x I

ε<-∆-∆+⇔⎰⎰⎰|),(),(),(|

d

c

x d

c

d

c

dy y x f x

dy

y x f dy y x x f

ε<-∆-∆+⇔⎰|)],()

,(),([

|d

c

x dy y x f x

y x f y x x f