第十九章 含参量正常积分.
第十九章含参量积分
∫ [∫
0
1
b a
b 1 b +∞ 1 1 sin(ln )x y dy ]dx = ∫ dy ∫ sin(ln )x y dx = ∫ dy ∫ e − ( y +1)t sin tdt (令 x = e − t ) 0 a a 0 x x
=∫
1 dy = arctan(1 + b) − arctan(1 + a) . a 1 + (1 + y 2 )
解: 据定理 19.4 知:
Fx ( x, y ) = ∫ x f ( z )dz + y ( x − xy 2 ) f ( xy ) −
y
xy
1 x x f ( )( x − y ) y y y
= ∫ x f ( z )dz + xy (1 − y 2 ) f ( xy )
y
xy
Fxy ( x, y ) = xf ( xy ) +
b
(2) I =
∫
1 b 1 b 1 [cos(ln ) ∫ x y dy ]dx = ∫ dx ∫ x y cos(ln )dy a 0 0 x a x 1
1 ⎧ y ⎪ x cos(ln ) 0 < x ≤ 1 令 f ( x, y ) = ⎨ , 则 f ( x, y ) 在 [0,1] × [a, b] 上连续,据定理 19.5 有 x ⎪ x=0 ⎩0
1 0
+∫
1 0
⎤ 1 dy ) ⎥ 2 x +y ⎦
2
=∫
1 0
1 π dx = . x +1 4
2
类似的,
∫
1 0
dy ∫
x2 − y2 π dx = − 0 ( x 2 + y 2 )2 4
第十九章含参量积分
I ( x ) f ( x , y ) d y , x [a , b]
c
d
在[a, b]上连续.
分析
即
对任何 x
∈
lim I ( x x ) I ( x ) [a, b], 要证： x 0
0, 0 , 当 x 时 , 就有
I ( x x ) I ( x )
在[ a, b ]上连续.
证
对积分用换元积分法，令 y c( x ) t (d ( x ) c( x )), dy (d ( x ) c( x ))dt 于是
d( x)
从而 F ( x )
1 0
f ( x , c( x ) t (d ( x ) c( x ))) (d ( x ) c( x )) d t
首页
c( x )
f ( x, y) d y
×
因为 f ( x , c( x ) t (d ( x ) c( x ))) (d ( x ) c( x ))
在矩形 [ a, b ]×[ 0, 1 ] 上连续，由定理 19.1得
F ( x)
在 [ a, b ] 上连续
d( x)
c( x )
f ( x, y) d y
首页
×
可微性定理
定理19.3 (可微性) （积分号下求导数)
若 f ( x , y ) 及其偏导数 f ( x , y ) 都在 x d 矩形域 R [a, b] [c, d ]上连续, 则 I ( x ) f ( x , y ) d y
c
在[a, b]上连续可微, 且 d d d f ( x, y) d y I ( x ) f ( x , y ) d y c x dx c
第十九章 含参量积分
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
作业 P.178. 习题 2, 9(选做)
补充作业
1. 设 f 是可微函数, 命 F ( u )
计算F"(u). 2. 求函数 f ( x )
u 0
( x u ) f ( x )d x ,
b x ax
sin xt t
(4)
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§2 含参量反常积分
定理19.7(一致收敛的柯西准则) 含参量反常积
分(1)在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 对任
给的 0, 总存在实数 M c, 使得当A1, A2 M 时, 对一切x[a, b], 都有
A2 A1
f ( x , y )d y .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
级数与多元微积分
Series and Calculous in Several Variables
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
x1 x 2 , y1 y 2 ,
就有
f
x1 ,
y1 f
x2 ,
y2 .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.3(可微性) 若函数 f (x, y)与 fx(x, y)都在矩形区 域R[a, b][c, d]上连续, 则
上. 若对任意x[a, b], 作为y的函数 f (x, y)在 [c(x), d(x)]上可积, 则称积分
第十九章 含参量积分
' 从而I1' (u ) = I 2 (u ),因此u ∈ [a, b], 有 I1 (u ) = I 2 (u ) + k , (k为常数).
当u = a时,I 1 (a) = I 2 (a) = 0, 于是k = 0时, 即得 I1 (u ) = I 2 (u ), u ∈ [a, b].
取u = b,即得)dx在[c, d ]上连续. a 注: 由连续性, 若f (x, y)在矩形域R上连续, 则x0 ∈[a, b], 都有
x→x0 c
b
lim ∫ f (x, y)dy = ∫ lim f (x, y)dy
c x→x0
d
d
即 义 矩 域 连 ,其 限 算 积 运 的 序 可 换 . 定 在 形 上 续 极 运 与 分 算 顺 是 交 的
即x ∈ [a, b], 有
注: 由可微性, 若f (x, y)与 f (x, y)在矩形域R上连续, 则导数
x
d d d ∫c f (x, y)dy = ∫c x f (x, y)dy dx
运算与积分运算可交换顺序 .
(iii ) 可 性: , 积
上连续, 若二元函数 f (x, y) 在矩形域R(a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d) 上连续 可微, 则 I (x) 和 J (y) 在 [a, b] 和 [c, d] 可微 且
c
f (x, y)dy, x ∈[a, b]
的无穷限反常积分, 称为定义在 [a, b] 上的含参量 x的无穷限反常积分 或 简称为含参量反常积分. 简称为含参量反常积分
2 含 量 常 分 致 敛 定 , 参 反 积 一 收 的 义
对于含参量反常积分 ∫c f (x, y)dy 和函数 I (x)
数学分析之含参量积分
第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。
教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。
教学时数：12学时§1含参量正常积分一. 含参积分:以实例和引入.定义含参积分和.含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1. 含参积分的连续性:Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数在上连续 . ( 证) P172Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P1732. 含参积分的可微性及其应用:Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且.( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分在上可微, 且. ( 证)P174例1 计算积分. P176.例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数的阶导数存在, 且. P177.§2 含参反常积分一. 含参无穷积分:1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函数.2. 含参无穷积分的一致收敛性:逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使.引出一致收敛问题 .定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对, 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛.Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛,对成立 .例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P1803. 含参无穷积分与函数项级数的关系:Th 19.6 积分在上一致收敛, 对任一数列, ↗, 函数项级数在上一致收敛. ( 证略)二. 含参无穷积分一致收敛判别法:1. Weierstrass M 判别法: 设有函数, 使在上有. 若积分, 则积分在一致收敛.例2 证明含参无穷积分在内一致收敛. P1822. Dirichlet判别法和Abel判别法: P182三. 含参无穷积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1. 连续性: 积分号下取极限定理.Th 19.7 设函数在上连续 . 若积分在上一致收敛, 则函数在上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明)推论在Th.7的条件下, 对, 有2. 可微性: 积分号下求导定理.Th 19.8 设函数和在上连续. 若积分在上收敛, 积分在一致收敛. 则函数在上可微,且.3. 可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数在上连续. 若积分在上一致收敛, 则函数在上可积, 且有.例3 计算积分P186四.含参瑕积分简介:§3 Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数, 即和. 它们统称为Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一. Gamma函数——Euler第二型积分：1. Gamma函数: 考虑无穷限含参积分,当时, 点还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为来讨论其敛散性 .: 时为正常积分 .时, .利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到时积分收敛 . (易见时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散). 因此, 时积分收敛 .: 对R成立,.因此积分对R收敛.综上, 时积分收敛 . 称该积分为Euler第二型积分.Euler 第二型积分定义了内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为,即=, .函数是一个很有用的特殊函数 .2. 函数的连续性和可导性:在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分在内收敛, 但在点发散, 则积分在内非一致收敛 .但在区间内闭一致收敛 .即在任何上,一致收敛 . 因为时, 对积分, 有, 而积分收敛.对积分, , 而积分收敛. 由M—判法, 它们都一致收敛, 积分在区间上一致收敛 .作类似地讨论, 可得积分也在区间内闭一致收敛. 于是可得如下结论:的连续性: 在区间内连续 .的可导性: 在区间内可导, 且.同理可得: 在区间内任意阶可导, 且.3. 凸性与极值:, 在区间内严格下凸.( 参下段), 在区间内唯一的极限小值点( 亦为最小值点) 介于1与2 之间 .4. 的递推公式函数表:的递推公式: .证..于是, 利用递推公式得:,,, …………, ,一般地有.可见, 在上, 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义, 易见对,该定义是有意义的. 因此, 可视为内实数的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是, 自然就有, 可见在初等数学中规定是很合理的.函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了函数表供查. 由函数的递推公式可见, 有了函数在内的值, 即可对, 求得的值. 通常把内函数的某些近似值制成表, 称这样的表为函数表也有在内编制的函数表.)5. 函数的延拓:时, 该式右端在时也有意义 . 用其作为时的定义, 即把延拓到了内.时, 依式, 利用延拓后的, 又可把延拓到内 .依此, 可把延拓到内除去的所有点. 经过如此延拓后的的图象如P192图表19—2.例1 求, , . ( 查表得.)解.), .6. 函数的其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数 . 倘能如此, 可查函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ> 令, 有=,因此, , .ⅱ> 令.注意到P7的结果, 得的一个特殊值.ⅲ> 令, 得. 取, 得.例2 计算积分, 其中.解I.二. Beta函数——Euler第一型积分：1．Beta函数及其连续性：称( 含有两个参数的)含参积分为Euler第一型积分. 当和中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对, 该积分收敛. 由于时点和均为瑕点. 故把积分分成和考虑.: 时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非负,和,( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散).: 时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非负,和,( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散).综上, 时积分收敛. 设D,于是, 积分定义了D内的一个二元函数. 称该函数为Beta函数, 记为, 即=不难验证, 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此, 函数是D内的二元连续函数.2. 函数的对称性: .证=.由于函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.3. 递推公式: .证,而,代入式, 有,解得.由对称性, 又有.4. 函数的其他形式:ⅰ> 令, 有,因此得, .ⅱ> 令, 可得, .特别地, , .ⅲ> 令, 有==,即,ⅳ> 令, 可得.ⅴ> , .三. 函数和函数的关系: 函数和函数之间有关系式,以下只就和取正整数值的情况给予证明. 和取正实数值时, 证明用到函数的变形和二重无穷积分的换序.证反复应用函数的递推公式, 有,而.特别地, 且或时, 由于, 就有.余元公式——函数与三角函数的关系：对，有.该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц, 微积分学教程Vol 2 第3分册, 利用余元公式, 只要编制出时的函数表, 再利用三角函数表, 即可对, 查表求得的近似值.四.利用Euler积分计算积分:例3 利用余元公式计算.解, .例4 求积分.解令, 有I.例5 计算积分.解, 该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛,把该积分化为函数在其定义域内的值, 即判得其收敛 . )I.例6 , 求积分,其中V : .解.而.因此, .第二十章曲线积分教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数()x ?=?dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分?=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x01)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则??-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则?-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ?-→+11220limα; (2)?→220cos lim xdx x αα.解（1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ?-+1122在[-1,1]上连续.则--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==??→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ?+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ??+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=??,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) ()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求?+→++αααα12201limx dx. 解记?+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==?→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ?-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分?--02yt dt e ,由连续性定理可得?--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ?+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数xf ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ?=dy y x f d c),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =?)() (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=?定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=?.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ?--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间. 再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ?=求)('y F .解应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2-?+=?yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-?--=? （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =?解由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(? ?---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(? ?---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(?特别当1-=n k 时有=-xn dt t f x 0)1(,)()(?于是).()()(x f x n =?例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ?++=.解考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ?++=αα? 显然,)1(,0)0(I ==??且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]?[0,1]上满足定理3的条件, 于是++=102'.)1)(1()(dx x x xαα?.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('α?)111(11101010222+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+?+=因此10')(αα?d ?+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102?ααπ-++= )1(2ln 82ln 8?ππ-+=)1(2ln 4π-=.另一方面=-=10'),1()0()1()(αα?d 所以.2ln 8)1(π==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ?和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ?=()?d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()?ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c,与()dy dx y x f dcb a ?,,简便记为()dyy x f dx b adc,与()dx y x f dy dcba,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c,=()dx y x f dy d cba,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba,=()()dx x g y x f dy d cba,.注意推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ?-1ln （b>a>0）. 解由xx x dy x ab bayln -=得I=dx dy x b a y10=??10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ??1=dy y ba ?+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ??+-1012222与()+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ??+-101022222=()dx dy y x y x++101022222=()()dx y x y x d y y x dy++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ??+++10101022221=dx x ?+10211=0arctan 1arctan -=4π. () +-1122222dx y xy x dy =()dx x y x y dy ??+--10122222,由()dy y xy x dx ?+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ??+-10122222=4π,所以()??+-10102222 2dx y x y x dy =–4 π.即()dy yxy x dx+-10122222≠()+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0?上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xb ln 1ln sin 10-?()0>>a b . 解令()xx x x x g ab ln 1ln sin -??? ??=,x x x dy x a b b a yln -=?.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续. 所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-??? ???=()?10x g =dx dy x x b a y ????101ln sin . 令()y x f ,= yx x ??1lnsin , 10≤<="" 0="x" p="">则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可知dx dy x x b ay101ln sin =dx x x dy yba101ln sin =()?+∞aty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++?1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=?+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明⑴? x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ?+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ?+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ?+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-?∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye∞22在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分?+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=?+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明由于+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱?+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,?+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱?A dx u x f a),(-?A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()()0u ?︱=︱+∞adxu x f ),(-? +∞adxu x f ),(0︱≤︱A dxu x f a ),(-A dxu x f a ),(0︱+︱+∞Adx u x f 0 ),(︱+︱?+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了?在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以?在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(α?dx x x x)2(arctan 3+?+∞α的连续性区间.解先看函数)(α?的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+?+∞α当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+?+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(α?的定义域是（-2,2）.我们只需证明?在任意[a,b]?（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+?在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2xxa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx x x x)2(arctan 3+?+∞α[a,b]?（-2,2）上一致收敛,故?在（-2,2）上连续.注意与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证?连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是?连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ?[,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(?+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -?+∞-. 解记J(y)= dx xxy e x 20cos -?+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxy20cos 1-?+∞-=)(y J =?y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==?.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解由于??+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞?在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理）设),(y x f 与),(y x f x 在?I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(?+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.证明设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(?+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(?+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==?∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(?+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(?+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(??+∞+∞=. 定理12 如果函数f 和u f ??都在[)[]βα,,?+∞a 上连续,积分dxuu x f a ?+∞),(在[]βα,上一致收敛,那么?+∞=adx u x f u ),()(?在[]βα,上可微,而且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明对于任意正整数a n >,令?=n an dx u x f x ),()(?.又因为若函数f 及其偏导数uf都在闭矩形[][]βα,,?=b a I 上连续,那么函数?=b a dx u x f x ),()(?在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(=?.所以n ?在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ?=),()('?. 由于.),(dx uu x f a+∞在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ?在[]βα,上一致收敛,且因{}n ?在[]βα,上收敛于?,故?在[]βα,上连续可微,且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222∞+---﹥0,b ﹥0.解把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ?+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ?+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ?+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02a I ax ?+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b][c, )∞+上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a+∞),(=dx y x f dy bac+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]?[c, )∞+上连续,若（1）?+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,?+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分??+∞+∞dy y x f dx ),(与??+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ?∞+---0（b>a>0）.解因为xy e -在[0,)∞+?[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<="" e=""p="" xy="">dx e ax ?+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ?+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ?+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ??-+∞=dx x e e bx ax ?∞+---0=dx e dy xyb a ??+∞-0=?+∞--b a xy dy e y 01=?bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ??+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ?+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-?0102=10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-= -02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ??-+∞-1303)22(=dx e x ?+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy +∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。
第十九章第三节欧拉积分
当 p ≥ 1 时，I (p, q) 为正常积分，当 0 < p < 1时收敛 为正常积分， 时收敛. 时收敛 为正常积分， 时收敛. 当 q ≥ 1 时，J (p, q) 为正常积分，当 0 < q < 1时收敛 时收敛 所以， 收敛. 所以，当 p > 0 , q > 0 时, B(p, q) 收敛 即B(p, q)函数的定义域为 p > 0 , q > 0 函数的定义域为
注意到: Γ(1) = ∫
+∞ x e dx 0
=1
== n!Γ(1)
(2) 当s →0+时, Γ(s) →+∞. 证:
Γ(s +1) ∵ Γ(s) = , Γ(1) =1 s 且 证 Γ(s) 在s > 0连 , 可 明 续
∴s →0+时, Γ(s) →+∞
(3) 余元公式:
当s = 1 时, 有 2
2 0 2 0
π
sin 2 n + 1 u d u =
π
1 2× 1 2
0
(s > 0)
二、 Β函数 函数
Β( p, q ) = ∫ x p 1 (1 x )q 1 dx ,
0 1
p > 0, q > 0
1
Β ( p, q ) = ∫ x
1 2 0
p 1
(1 x )
q 1
dx + ∫ 1 x p 1 (1 x )q 1 dx
2
= I ( p, q ) + J ( p, q )
2
2
e
x
dx =
∫
+∞
0
x
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第19章 含参量积分
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
含参量正常积分
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | .
(4)
所以由(3), (4)可得,
当 | x | 时,
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在 [ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c f ( x, y)dy c fx ( x, y)dy .
证 对于 [a, b]内任意一点x, 设
区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
x x [a, b] (若 x为
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
证 设 x [ a, b], 对充分小的
x 为区间的端点, 则仅考虑
x , 有x x [a, b](若 xx) c [ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x, y)是定义在矩形区域
R [ a, b][ c, d ]上的
二元函数.当 x取
[ a, b]上的定值时,函数
是 f (x, y)
定义在 [ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在 [ c, d ]上可积, 则其积分值
d
I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
在矩形区域
[ a , b][0 ,1]上连续, 由定理19.1得积分
高等数学第19章第1节含参量正常积分
第十九章 含参量积分§1 含参量正常积分从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题， 一、 含参量（正常）积分.注．：1)（P172第4-8行) （1）式的意义如下：设),(y x f 是定义在矩形区域d c b a R ,,⨯=上的二元函数。
当x 取[]b a ,上某定值时，函数),(y x f 则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时),(y x f 在[]d c ,可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为)(x I ，就有[].,,),()(⎰∈=dcb a x dy y x f x I .2)（P172第9-16行) （2）式的意义如下：一般地，设),(y x f 为定义在区域{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上的二元函数，其中)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上 的连续函数（图19-1），若对于[]b a ,上每一 固定的x 值，),(y x f 作为y 的函数在闭区间[])(),(x d x c 上可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记作)(x F 时，就有 [].,,),()()()(⎰∈=x d x c b a x dy y x f x F二、含参量积分的连续性定理1.19（连续性）若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在[]b a ,上连续。
证明: 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间的端点，则仅考虑x ∆0>或x ∆0<），于是[].),(),()()(dy y x f y x x f x I x x I dc⎰-∆+=-∆+ （3）由于),(y x f 在有界闭区域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对R 内任意两点),(11y x 与),(22y x ，只要,,2121δδ<-<-y y x x就有.),(),(2211ε<-y x f y x f （4）所以由（3），（4）可推得：当δ<∆x 时，dy y x f y x x f x I x x I d c⎰-∆+≤-∆+),(),()()().(c d dx dc-=<⎰εε这就证得)(x I 在[]b a ,上连续. ▌ 同理可证：结论1：同理可证：若．．．．．．),(y x f 在矩形区域．．．．．R ．上连续，则含参量．．．．．．．．y 的积分．．．⎰=badx y x f y J ),()( （5）在．[]d c ,上连续．．．.．对于定理1.19的结论也可以写成如下的形式：结论2：若),(y x f 在矩形区域R 上连续，则对任何[]b a x ,0∈，都有⎰⎰→→=dc x xd cx x dy y x f dy y x f .),(lim ),(lim 0注．：1）结论2表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的。
高等数学第19章第2节含参量反常积分
第十九章 含参量积分§2 含参量反常积分一、 一致收敛性及其判别法注．：1)如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。
☆ 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。
注．：1) 注意一致收敛的整体性. 2）注意大N 的公共性.定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有,),(21ε<⎰A A dy y x f （3）例1 证明含参量反常积分⎰+∞sin dy yxy（4） 在[)+∞,δ上一致收敛()0＞其中δ，但在()∞，＋0内不一致收敛。
证：1）(只需证明0,0>∃>∀N ε，使得当N A >时，对一切δ≥x 有ε<⎰∞+Ady yxysin 即可.)①对任意.0>A 作变量代换xy u =，可得,sin sin du uu dy y xyAx A⎰⎰+∞+∞= （5）②由于du uu⎰+∞sin 收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当M A >'，就有.sin 'ε<⎰∞+du uuA ③因为,0>≥δx 所以δA Ax ≥,取δMN =,则当δMN A =>时,M A Ax >≥δ由上式,对一切,0>≥δx 有.sin ε<⎰∞+du uuAx又由（5）可得ε<⎰∞+Ady yxysin 所以(4)在,0>≥δx 上一致收敛。
2）现在证明(4)在()+∞,0内不一致收敛。
（由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个∈x []b a ,，使得.),(0ε≥⎰+∞Ady y x f ）①由于非正常积分⎰+∞0sin du u u收敛(在本节例6中我们将求出这个积分的值），所以⎰⎰+∞+∞→=+00sin sin lim du uu du u u b b ，即0,0>∃>∀δε，当),0(δ∈b 时有,s i ns i n 00ε<-⎰⎰∞+∞+bdu uu du u u②对任0>M 总存在某个)0(>x ，(不妨取Mx 2δ=)，使得δδ<=<20Mx 所以有：,sin sin 00ε<-⎰⎰∞+∞+Mx du u u du u u即.sin sin sin 0000εε+<<-⎰⎰⎰+∞+∞+∞du uu du u u du u uMx （6） ③现令⎰+∞=00sin 21du uuε，由(5)及不等式(6)的左端就有0002sin sin εεε=->=⎰⎰+∞+∞Mx Mdu uu dy y xy即：.sin 0ε≥⎰∞+Mdy yxy所以(4)在()+∞,0内不一致收敛． ▌☆ 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理． 定理19．8 含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A (其中c A =1)，函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n（7）在[]b a ,上一致收敛．证： )⇒ [必要性]由(1)在[]b a ,上一致收敛，故对任给ε>0，必存在M>c ，使当M A A >>'"时，对一切∈x []b a ,，总有.),("'ε<⎰A A dy y x f （8）又由()∞→∞→n A n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m>n>N 时，就有M A A n m >>+1．由(8)对一切∈x []b a ,，就有.),(1ε<⎰+n mA A dy y x f又∵)()(),(),(),(111x u x u dy y x f dy y x f dy y x f m n A A A A A A m mn nn m++=++=⎰⎰⎰+++∴ ε<++)()(x u x u m n 这就证明了级数(7)在[]b a ,上一致收敛．[]充分性（不要求，略，但可以看懂） 用反证法．假若(1)在[]b a ,上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M>c ，存在相应的M A A >>'"和[]b a x ,'∈.使得.),(0'"'ε≥⎰A A dy y x f现取{}c M ,1m ax 1=，则存在112M A A >>及[]b a x ,1∈，使得 .),(0121ε≥⎰A A dy y x f一般地，取{})2(,max )1(2≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及[]b a x n ,∈，使得.),(0212ε≥⎰-nn A A n dy y x f （9）由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且+∞=∞→n n A lim ．现在考察级数.),()(111∑∑⎰∞=∞=+=n n A A nn ndy y x f x u由(9)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n>N ，就有某个[]b a x n ,∈，使得.),()(02122ε≥=⎰+n nA A n n n dy y x f x u这与级数(7)在[]b a ,上一致收敛的假设矛盾．故含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛. ▌ 注．：1) 只要反常积分[]⎰+∞∈cb a x dy y x f ,,),(收敛到)(x I (未必一致收敛) ,就有=)(x I ∑⎰∑∞=∞===+111),()(n A A n nn ndy y x f x u[]⎰+∞∈cb a x dy y x f ,,),(.2)定理中的函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n将与反常积分(1)一致收敛到同一函数[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,),()(.☆☆ 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法．由于它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿，故从略．判别法1：（魏尔斯特拉斯M 判别法） 设有函数)(y g ，使得.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛．判别法2：（狄利克雷判别法） 设)(i 对一切实数N>c ，含参量正常积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切N>c 及一切∈x []b a ,，都有;),(M dy y x f Nc≤⎰)(ii 对每一个∈x []b a ,，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致地收敛于0， 则含参量反常积分 ⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在[]b a ,上一致收敛．判别法3：（阿贝耳判别法） 设)(i ⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛；)(ii 对每一个[]b a x ,∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量x ，),(y x g 在[]b a ,上一致有界，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在[]b a ,上一致收敛。
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。
数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)
第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。
数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)
第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。
高等数学第19章第3节欧拉积分
第十九章 含参量积分§3 欧拉积分注．：1) 欧拉积分均为含参量积分，其中Γ函数为含参量s 的反常积分①， B 函数为含参量（p 和q ）的积分.☆ 下面我们分别讨论这两个函数的性质。
一、Γ函数1. Γ函数的定义域及其连续性、可导性结论．．0．：．Γ函数．．(1) ．．．在．0>s 时收敛，即．．．．．Γ函数的定义域为．．．．．．．0>s ． 事实上:Γ函数（1）可写成如下两个积分之和：),()()(1111x J x I dx e x dx e x s x s xs +=+=Γ⎰⎰+∞----对于)(s I ①当1≥s 时是正常积分.②当0<s<1时是收敛的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得)(P188到7行,我们没有讨论这种情况,所以不能拿出充分的理由)；对于)(s J ①当0>s 时是收敛的无穷限反常积分(上册P273例2), 所以含参量积分(1)在0>s 时收敛，即Γ函数的定义域为 0>s ▌.结论．．1．：．Γ函数．．)(s Γ在定义域．．．．0>s 内连续且可导．．．．．．,．并且．．)(s Γ在．0>s 上存在任意阶导．．．．．．．数：．．⎰+∞--=Γ1)()(ln )(dx x e x s n x s n ，． （．.0>s ）．事实上:在任何闭区间[]()0,>a b a 上，①对于函数)(s I ，当10≤≤x 时有xa xs e xe x----≤11，由于⎰--11dx e x x a 收敛(上册P273例2)，从而)(s I 在上[]b a ,一致收敛（魏尔斯特拉斯M 判别法）；②对于函数)(s J ，当+∞<≤x 1，有,11xb x s e x e x ----≤由于⎰+∞--11dx e x x b 收敛，从而)(s J 在[]b a ,上也一致收敛.于是由[]()0,>a b a 的任意性可知)(s Γ在0>s 上连续。
第十九章 含参量积分习题课
第十九章 含参量积分习题课一 概念叙述1．叙述含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上一致收敛于)(x I 的定义．答，0ε∀>，N c ∃>，当A N >时，[,]x a b ∀∈，都有(,)Af x y dy ε+∞<⎰，则称含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上一致收敛于)(x I ．2．叙述含参量的反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上不一致收敛于)(x I 的定义．答 000,,,[,]N c A N x a b ε∃>∀>∃>∃∈，有00(,)Af x y dy ε+∞≥⎰．3．叙述含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上一致收敛的柯西准则．答 含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上一致收敛的柯西准则0ε⇔∀>，M c ∃>，当M A A >21,时，[],x a b ∀∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰．4．叙述含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上不一致收敛的柯西准则．答 含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上不一致收敛的柯西准则00ε⇔∃>，0,,,[,]M c A A M x a b '''∀>∃>∃∈，有00(,)A A f x y dy ε'''≥⎰．二 疑难问题与注意事项1．含参量积分是积分还是函数？它与已学过的积分有什么联系？答 含参量积分在形式上是积分，但积分值随参量的取值不同而变化，因此实质上是一个函数．即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，而不定积分是满足一定条件的一族函数，定积分表达的则是一个数．如果将常数看作常值函数，则定积分成为含参量正常积分的特殊情形．含参量积分实质上是函数，它提供了构造新函数的一种方法．以前学过的函数出了表示成因变量是自变量的表达式外，还有变限积分表示、函数项级数表示、函数列表示、用函数方程或隐函数等等．2．变限积分公式导数公式小结： 答 (1) ()()d xaF x f t t =⎰，则)()(x f x F ='．(2) ()()d bxF x f t t =⎰， 则)()(x f x F -='．(3) ()()()d v x a F x f t t =⎰， 则)())(()(x v x v f x F '='． (4) ()()()d bu x F x f t t =⎰， 则)())(()(x u x u f x F '-='．(5) ()()()()d v x u x F x f t t =⎰， 则)())(()())(()(x u x u f x v x v f x F '-'='．注意 以上五个公式的被积函数只与积分变量t 有关，与x 无关． （6）()()()()()d v x u x F x f t g x t =⎰不好用以上公式，因为对t 积分，()g x 对t 来讲是常数，先拿出()()()()()d v x u x F x g x f t t =⎰，则()()()()()()()()()d ()d v x v x u x u x F x g x f t t g x f t t '''=+⎰⎰．（7）()()()()(,)d v x u x F x f x t t ϕ=⎰，先要换元把x 移到上下限中去再积分．（8）设⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，则()()()(,)(,())()(,())().d x x c x F x f x y dy f x d x d x f x c x c x '''=+-⎰3．判别含参量反常积分一致收敛性有哪些方法？答 1）利用定义判别：0ε∀>，N c ∃>，当A N >时，[,]x a b ∀∈，都有(,)Af x y dy ε+∞<⎰．2）利用柯西收敛准则：(,)cf x y dy +∞⎰在],[b a 上一致收敛0ε⇔∀>，M c ∃>，当M A A >21,时，[],x a b ∀∈，都有21(,)A A f x y dy ε<⎰．3）利用M -判别法： 设有函数)(y g ，使得.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛．4）狄利克雷判别法：设)(i 对一切实数N c >，含参量正常积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切N c >及一切∈x []b a ,，都有(,)Ncf x y dy M ≤⎰；)(ii 对每一个∈x []b a ,，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量x ，(,)g x y 一致地收敛于0，则含参量反常积分 ⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在[]b a ,上一致收敛．5）阿贝尔判别法：设)(i ⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛；)(ii 对每一个[]b a x ,∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量x ，),(y x g 在[]b a ,上一致有界，则含参量反常积分⎰+∞cdy y x g y x f ),(),(在[]b a ,上一致收敛．4．判别含参量反常积分不一致收敛性有哪些方法？答1）利用定义判别：000,,,[,]N c A N x a b ε∃>∀>∃>∃∈，有00(,)A f x y dy ε+∞≥⎰． 2）利用柯西准则：000,,,,[,]N c A A N x a b ε'''∃>∀>∃>∃∈，有00(,)A A f x y dy ε'''≥⎰．3）利用(),f x y 在[)[],,c a b +∞⨯上连续，但⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上不连续．4）利用在端点发散．5．如何计算含参量反常积分的计算？答 1）利用牛顿莱布尼兹公式，换元法和分部积分法； 2）利用积分号下求导，例如要求()(),bag t f x t dx =⎰，但是直接求困难，先求()g t '，即先求(),btaf x t dx ⎰，然后再对t 积分，求出()g t ；3）引入收敛因子法；4）化为累次积分，再交换积分的次序，把(),f x t 先表示为积分形式，再利用积分号下求积分的方式，即化为累次积分，再交换积分的次序；5）化为已知的积分 已知的积分：（1）sin sin 2x dx x βπβ+∞=⎰，()()2200lnsin ln cos ln 22x dx x dx πππ==-⎰⎰；（2）)20bx edx b +∞-=>⎰，22y e dy +∞-=⎰；（3）欧拉积分0,)(01>=Γ⎰+∞--s dx e x s x s ，0,0,)1(),(111>>-=⎰--q p dx x x q p B q p ．三 典型例题 1．求下列极限 (1)dx x ⎰-→+11220limαα； (2)dx x x ⎰→220cos lim αα；（3）110limααα+-+→⎰ （4）1220lim 1dxx ααα+→++⎰．解：(1)令()10limI αα-→=⎰，由于22),(αα+=x x f 在]1,1[]1,1[-⨯-上连续，因此()I α在[1,1]-上连续，于是dx x ⎰-→+11220lim αα()()0lim 0I I αα→==1111221xdx xdx xdx -====⎰⎰⎰．(2) 令()2200limcos I x xdx ααα→=⎰，由于x x x f ααcos ),(2=在]1,1[]2,0[-⨯上连续，因此()I α在[1,1]-上连续，于是dx x x ⎰→220cos lim αα()()0lim 0I I αα→===3822=⎰dx x ．（3）令()110limI αααα+-+→=⎰，由于22),(αα+=x x f 在整个平面上连续，1α--，1α+在R 上连续，因此()I α在R 上连续，于是110lim ααα+-+→⎰()()0lim 0I I αα→==1111221xdx xdx xdx -====⎰⎰⎰．（4）令()12200lim1dx I x αααα+→=++⎰，由于221(,)1f x x αα=++在整个平面上连续， 1α+在R 上连续，因此()I α在R 上连续，于是12200lim 1dx x ααα+→++⎰()()0lim 0I I αα→==11200arctan 14dx x x π===+⎰． 2．1）设dy ex F x x xy ⎰-=22)(，求)(x F '．2）设()()0()yF y x y f x dx =+⎰，其中()f x 可导，求()F y ''．3）设()()22220sin t x tx tF t dx x y t dy +-=+-⎰⎰，求()F t '． 解：1）2222225322()2()()22x x xy x x x x x x xy xxF x y edy ex exeey e dy ---⋅---'=-+⋅-=--⎰⎰．2）法1（用⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，则()()()(,)(,())()(,())()d x x c x F x f x y dy f x d x d x f x c x c x '''=+-⎰）： ()()0()2yF y f x dx yf y '=+⎰，()()()32F y f y yf y '''=+．法2（用()()()()d v x u x F x f t t =⎰， 则)())(()())(()(x u x u f x v x v f x F '-'='）：()()()()0()y y yF y x y f x dx x f x dx y f x dx =+=+⎰⎰⎰，()()0()2yF y yf y f x dx '=+⎰，()()()32F y f y yf y '''=+．3）令()()222,sin x tx tf x t x y t dy +-=+-⎰，则()()2,t F t f x t dx =⎰，因此()()()220,2,t t F t f x t dx tf t t '=+⎰，其中()()()()()()()222222222,2cos sin 1sin 1x tt x tf x t t x y t dy x x t t x x t t +-=-+-+++-⋅-+--⋅-⎰．()22222cos 2sin 2cos2x tx t t x y t dy x xt +-=-+-+⎰，于是有()()()2222222242202cos 2sin 2cos22sin t x tt t tx tt tF t tdx x y t dy x xtdx t t y t dy ++--'=-+-+++-⎰⎰⎰⎰3．应用含参变量积分性质计算下列导数．（1）2220ln(sin ),(1)a x dx a π->⎰；（2）20ln(12cos ),a x a dx π-+⎰；（3）22220ln(sin cos ),(0)x d x πθθθ+<<+∞⎰．解：(1)令2220()ln(sin )I a a x dx π=-⎰，22(,)ln(sin )f x a a x =-及222(,)sin a af x a a x=-连续，于是22202()sin a I a dx a x π'=-⎰，令tan x t =，于是21dt dx t=+，2221cos2sin 21x t x t -==+， 于是有2222202222()lim1(1)1 limb b b a dt adtI a t t a a t a t a +∞→+∞'=⋅=++--+==⎰⎰所以()ln(I a a C π==++⎰．2)令=)(a I ⎰+-π2)cos 21ln(dx a x a ，()i 当1<a 时，021cos 2122>+-≥+-a a a x a ，因而)cos 21ln(2a x a +-为连续函数，且具有连续导数，令tan 2x t =，于是221dtdx t =+，221cos 1t x t -=+，于是有()I a '=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a xa ⎰+--+=π022]cos 2111[1dx a x a a a ()()()()22022222220221211211121112111a dta a t a a t t a dta a a t a a dt aa a a t a πππ+∞∞+∞-=+⎛⎫-+-+ ⎪+⎝⎭-=+++--=++-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ 021arctan 01a t a a a π+∞+⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭． 从而)(a I 恒等于常数，根据0)0(=I ，知)1(0)(<=a a I ．()ii 当1>a时，令ab 1=，则1<b ，于是有0)(=b I ， ab b I dx b dx x b b dxbx b b I a I ln 2ln 2)(ln )1cos 2ln()1cos 21ln()1()(020202πππππ=-=-+-=+-==⎰⎰⎰()iii 当1=a时，有()000202(1)ln(22cos )ln 42ln sin 2ln 22ln sin 222ln 24ln sin 0xt x x I x dx dx dxt dt ππππππ=⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=⎰⎰⎰⎰．注()()()022200022ln sin ln sin ln cos ln cos ln 2222x t x dx t d t t dt x dx ππππππππ=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰， ()()()()()()()()()22200022200020022ln sin ln cos ln sin cos 1ln sin 2ln sin 2ln 2ln sin 2ln 222111ln sin ln 2ln sin ln sin ln 222222t x x dx x dx x x dxx dx x dx x dx t dt t dt t dt πππππππππππππ=+=⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭=-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()02022ln sin ln sin ln sin t ut dtu du u du πππππ=-=-=⎰⎰⎰，因此()()2200lnsin ln cos ln 22x dx x dx πππ==-⎰⎰()00202(1)ln(22cos )ln 42ln cos 2ln 22ln cos 222ln 24ln cos 0xt x x I x dx dx dx t dt ππππππ=⎛⎫⎛⎫-=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=⎰⎰⎰⎰综上所述，得知⎩⎨⎧>≤=1,ln 21,0)(a a a a I π．（3）()22220ln(sin cos ),I x x d πθθθ=+⎰()22222222002cos 12sin cos tan x I x d x d x x ππθθθθθθ'==++⎰⎰ 令tan t θ=，arctan t θ=，21dtd t θ=+，于是 ()2222222001121121111x I x x dt dt t x t x t t x x π+∞+∞⎛⎫'==-= ⎪++-+++⎝⎭⎰⎰， 积分得()()()ln 11I x x C x π=++≠，由于()I x 的连续性，此式对1x =也成立，在原式中令1x =，得()10I =，所以ln 2C π=-，所以()1ln 2x I x π+⎛⎫=⎪⎝⎭． 4．应用积分号下求积分方法计算积分．（1）101sin(ln ),(0,0)ln b a x x dx a b x x ->>⎰ （2）201cos 1ln ,(||1)1cos cos x dx x xπααα+⋅>-⎰ 解：（1）不妨设a b <，有()1100110011sin(ln )sin(ln )ln 11=sin(ln )sin(ln )b a b yab b y y a a x x dx x dy dx x x x dx x dy dy x dx x x -==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰这里，当0x =时，1sin(ln )yx x理解为0，从而1sin(ln )yx x在01,x a y b ≤≤≤≤上连 续，故可应用积分号下的积分法交换积分次序．作代换tx e -=，可得1(1)(1)000(1)02(1)221sin(ln )sin lim sin 1lim [(1)sin cos ]|1(1)1lim {[(1)sin cos ]1}1(1)11(1)B y y t y tB y t BB y tB x dx e tdt e tdt xy t t e y y B B e y y +∞-+-+→+∞-+→+∞-+→+∞===-+-++=-+-+++=++⎰⎰⎰于是，最后得1201sin(ln )arctan(1)|ln 1(1) arctan(1)arctan(1)b a b ba a x x dy dx y x xy b a -==+++=+-+⎰⎰ 注22sin cos cos ,ax ax b bx a bxe bxdx e C a b+=++⎰22sin cos sin .ax ax a bx b bx e bxdx e C a b -=++⎰（2）因为()()1cos 111ln ln 1cos ln 1cos 1cos cos cos 1cos x x x dy x x x y xαααααα-+⋅=+--=⎡⎤⎣⎦-+⎰，于是222001111cos 1cos 1cos dy dx dx dy dy dx y x y x y x πππαααααα---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 令tan 2x t =，11222000221122111cos 11111dt dt dx dt y t y xt y t y y tπ==+-++-++-+⎰⎰⎰ 于是原式0dy ααα-⎛==⎰⎰arcsin αππα==⎰．5．讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性． (1)dy e y x ⎰+∞-02在],[b a )0(>a 上一致收敛；（2）0x xe dx α+∞-⎰在[,)(0)b b +∞>上关于α的一致收敛性．（3）sin xuxe dx x+∞-⎰在[)0,+∞上一致收敛． （4）2sin 1yx I y dx x+∞=+⎰（）在[0,)y ∈+∞中的一致收敛性． 解：（1）（M -判别法）由于对0>≥a x ，+∞<≤y 0有y a yx e e220--≤<，且20201122ae ady e ya y a =-=∞+-+∞-⎰， 即2a y e dy +∞-⎰收敛，由M -判别法知dy e y x ⎰+∞-02在],[b a )0(>a 上一致收敛．（2）法1：（利用定义判断）当0b α≥>时，0A ∀>，有：22110||0()xx A A bA bAAAAA xedx xe dx e e e e A b bαααααα+∞+∞------≤==+≤+→→+∞⎰⎰，根据定义可知x xe dx α+∞-⎰在[,)(0)b b +∞>上关于α的一致收敛．法2：对0b α≥>，0x ≤<+∞，有xbx xexe α--≤，且0bx xe dx +∞-⎰收敛，取2p >lim 0pbx x x x e→∞=，则0bxxe dx +∞-⎰收敛．由M -判别法知0x xe dx α+∞-⎰在[,)(0)b b +∞>上关于α的一致收敛．（3）0A ∀>，sin 1cos 2Axdx A =-≤⎰，1x在()0,+∞单调递减趋于0，由无穷积分的狄利克雷判别法，知0sin xdx x+∞⎰收敛，因此关于u 在[)0,+∞上一致收敛．而xu e -关于x 在[)0,+∞上单调，且01xue -≤≤，即关于u 在[)0,+∞上一致有界，由阿贝尔判别法，知sin xuxe dx x+∞-⎰在[)0,+∞上一致收敛． （4）法1：因为2sin x dx +∞+∞=⎰⎰收敛，且与y 无关，故关于[0,)y ∈+∞是一致收敛的．任意固定[0,)y ∈+∞，11yx+是x 的单调函数，且1||11y x <+，由Abel 判别法知2sin 1yx I y dx x+∞=+⎰（）关于[0,)y ∈+∞上一致收敛． 法2：将I y （）改写成21sin (1)yx x dx x x +∞+⎰，由于()i 22001sin cos |1,[0,)2AAx x dx x y =-≤∀∈+∞⎰；()ii 对每一个固定的[0,)y ∈+∞，1(1)yx x +对x 单调减，（因为当x 增，yx 也增） 且110()(1)y x x x x -≤≤→→+∞+，故当x →+∞时，1(1)y x x +关于y 一致收敛于0．由狄利克雷判别法知2sin 1yx I y dx x +∞=+⎰（）在[0,)+∞一致收敛． 6．设在[][d c a ,),⨯+∞内成立不等式).,(),(y x F y x f ≤若⎰+∞adx y x F ),(在[]d c y ,∈上一致收敛，证明⎰+∞adx y x f ),(在[]d c y ,∈上一致收敛且绝对收敛．证 因为⎰+∞adx y x F ),(在[]d c y ,∈上一致收敛，由柯西准则知，对任给正数ε，总存在实数a M >，使得当M A A >>12时，对一切[]d c y ,∈，都有ε<⎰21),(A A dx y x F ．又[][),),),()(,(),(d c a y x y x F y x f ⨯+∞∈∀≤，从而.),(),(),(),(21212121ε<=≤≤⎰⎰⎰⎰dx y x F dx y x F dx y x f dx y x f A A A A A A A A故⎰+∞adx y x f ),(在[]d c y ,∈上绝对一致收敛．7.若(),f x y 在(),),a c +∞⨯+∞⎡⎣连续，对每个(),y c ∈+∞，()(),aI y f x y dx +∞=⎰收敛，但当y c =时，积分(),af x c dx +∞⎰发散，则()(),aI y f x y dx +∞=⎰在(),c +∞上不一致收敛．证 反证法，设()(),aI y f x y d x +∞=⎰在(),c +∞上一致收敛，则由柯西准则得：对任给正数ε，总存在实数M c >，使得当M A A >>12时，对一切(),y c ∈+∞，都有21(,)A A f x y dx ε<⎰．因为(),fx y 在(),),a c +∞⨯+∞⎡⎣连续，则(),f x y 在[](),,A A c '''⨯+∞上连续，因此21(,)A A f x y dx ⎰连续，令y c +→，则有21(,)A A f x c dx ε<⎰，由反常积分的柯西准则得(),af x c dx +∞⎰收敛，矛盾．8．讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性． 1）()20tx I t e dx +∞-=⎰在()0,+∞上一致收敛吗？ 2）()220cos tx I t e x x dx +∞-=⎰在()0,+∞上一致收敛吗？3）()2tx I t dx -=⎰在()0,+∞上一致收敛吗？4）()0xy I x xe dy +∞-=⎰在[]0,b 上一致收敛吗？ 5）()0xy I x xe dy +∞-=⎰在()0,+∞上一致收敛吗？解 1）因为()001I dx +∞=⎰发散，则()2tx I t e dx +∞-=⎰在()0,+∞上不一致收敛．2）因为()200cos I x x dx +∞=⎰，而2201cos sin 2A x x dx x =⎰当A →+∞，极限不存在，因此()200cos I x x dx +∞=⎰发散，则()2tx I t e dx +∞-=⎰在()0,+∞上不一致收敛．3）取2010u e du ε+∞-=>⎰，对,N c A N ∀>∃>，取210t A =>，使 20tx uAdx du ε+∞--==⎰⎰因此()2tx I t dx -=⎰在()0,+∞上不一致收敛．注 虽然()0000I dx +∞==⎰收敛，但不能推出()2tx I t dx -=⎰在()0,+∞上一致收敛．4)(),xyf x y xe-=在[][)0,0,b ⨯+∞连续，()00,01,0xyx I x xedy x +∞-=⎧==⎨≠⎩⎰不连续，因此()0xy I x xe dy +∞-=⎰在[]0,b 上不一致收敛．5）取010u e du ε+∞-=>⎰，对,N c A N ∀>∃>，取10x A=>，使 0xy u AAxxe dy e du ε+∞+∞--==⎰⎰因此()0xy I x xe dy +∞-=⎰在()0,+∞上不一致收敛．9.从等式⎰----=babxax xyxe e dy e出发，计算积分⎰∞+-->>-0)0(a b dx xe e bxax ． 解dx dy e dx xe e b a xy bxax ][00⎰⎰⎰-∞+∞+--=-由于当b y a x ≤≤≥,0时，ax xye e--≤<0，而⎰+∞-0dx e ay 收敛，故由M -判别法知⎰+∞-0dx e xy 在],[b a 上一致收敛，又因xy e -在b y a x ≤≤+∞<≤,0内连续，所以dy dx e dx x e e xy b a bxax ][00⎰⎰⎰∞+-∞+--=-⎰==b a ab dy y ln 110．求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xbxa(提示：证明中可利用公式22π=⎰∞+-dx e x )；(2);sin 0⎰+∞-dt txte t(3)201cos x xy e dx x +∞--⎰ ． 解 (1)因为⎰---=-22222222b ay x xbxady e x e e ，所以⎰⎰⎰∞+-∞+--=-022222222b ayx xb xady edx dx x e e ．易证含参量反常积分⎰+∞-02dx e y x 在],[22b a 上一致收敛，由于y x e 2-在],[),0[22b a ⨯+∞上连续，因此可以交换积分顺序，于是⎰⎰⎰∞+-∞+--=-222222202b ayx xbxadx edy dx x e e22222).2b x y aba eb a +∞-===-⎰⎰⎰(2)⎰⎰+∞⋅-+∞--⋅-=010sin 0sin sin dt txt t e dt t xt e t t由本节例5，易得上式=.arctan )1arctan 10(arctanx x=--(3)由⎰>=-y y dt x xt x xy02)0(sin cos 1知⎰⎰⎰+∞-+∞-=-0002sin cos 1yx x dt x xt e dx dx x xy e 易证含参量反常积分⎰+∞-0sin dx x xt e x 在],0[y 上一致收敛．由于xxte xsin -在],0[),0[y ⨯+∞上连续，因此可以交换积分顺序，于是⎰⎰⎰⎰⎰>+-=+-===-+∞-+∞-y y y y x xy y y y dt t t t tdt dx x xt e dt dx x xy e 022000002)0)(1ln(21arctan 1arctan )(arctan sin cos 1由上题知由于原积分值是y 的偶数，从而当0<y 时，以上结果也对，当0=y 时，显然这一计算结果也满足，故对任一),(+∞-∞∈y 都有原式=).1ln(21arctan 2y y y +-11．应用21022-∞+-=⎰adt e at π)0(>a ．证明230242-∞+-=⎰adt et at π证：dt e a te atde a dt et at atat at ⎰⎰⎰+∞-∞+-+∞-+∞-+-=-=00022222212121 q a dt e a at 2212102π⋅==⎰∞+-234-=a π． 12．计算).21(),21(),25(),25(n n -Γ+Γ-ΓΓ解 ,43)21(2123)23(23)25(π=Γ⋅=Γ=Γ535213411()()/()()/()()/()2225221522Γ-=Γ--=-Γ--=Γ-=,2!)!12()21(2121232212))1(21(212)21(πnn n n n n n -=Γ-⋅-=-+Γ-=+Γ .!)!12(2)1()21()12()322)(122())1(21(122)21(n n n n n n n n n --=Γ----=--Γ--=-Γ 13．已知,)21(π=Γ试证.222π=⎰∞+∞--dx e x x证dx ex x ⎰+∞∞--2222x x edx --∞=⎰220x x e dx +∞-+⎰220y y edy +∞-=⎰220x x edx +∞-+⎰2202x x e dx +∞-=⎰令2x t =，则上式122tte dt +∞-=⎰120122tte t dt +∞--=⋅⎰1202tt e dt +∞--=⎰311()()2222=Γ=Γ=14．证明：(1)61ln 210π-=-⎰dx x x ； (2)∑⎰∞=-=-120)1ln(n nunu dt t t ，10≤≤u ． 证：(1)因∑∞=--=1)1(ln n nn x x )111(≤-<-x ，所以⎰∑⎰∞=---=-101110))1((1ln n n dx n x dx x x 61212π-=-=∑∞=n n ． (2)由于∑∞=-=-1)1ln(n nn t t )10(≤<x ，所以dt n t dt t t u n n u)()1ln(0110⎰∑⎰∞=--=-∑∞=-=12n n nu )10(≤≤u ．。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十九章
第十九章 含参量积分一、证明题1.证明下列各题:(1) ()⎰∞++-122222dx y x x y 在R 上一致收敛;(2)⎰+∞-1y x dy e 2在[a,b]上一致收敛; (3) ⎰+∞-0xy dy xe .(ⅰ)在[a,b](a>0)上一致收敛;(ⅱ)在[0,b]上不一致收敛;(4) ()⎰10dy xy ln 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,b 1(b>1)上一致收敛; (5) ⎰10dy dx 在[]b ,∞-(b>1)上一致收敛. 2.设f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续非负函数.I(x)=()⎰+∞c dy y ,x f 在[a,b]上连续,证明I(x)在[a,b]上一致收敛.3.证明:若f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续函数,含参量非正常积分 I(x)=()⎰+∞c dy y ,x f 在[a,b]上收敛,在x=b 时发散,则I(x)在[)b ,a 上不一致收敛.4.设f 为[)[)+∞⨯+∞,b ,a 上非负连续函数,I(x)=()⎰+∞b dy y ,x f 和 J(y)=()⎰+∞a dx y ,x f 分别为[)+∞,a 和[)+∞,b 上连续函数,证明:若()⎰⎰+∞+∞ab dy y ,x f dx 与()⎰⎰+∞+∞b a dx y ,x f dy 中有一个存在,则 ()⎰⎰+∞+∞a b dy y ,x f dx =()⎰⎰+∞+∞b a dx y ,x f dy 5.设f(x,y)=()y x 11q p 1p e y x +--+-,证明()⎰⎰+∞+∞00,dy y x f dx =()⎰⎰+∞+∞00dx y ,x f dy . 二、计算题1.求下列极限: (1)⎰-→αα+11220dx x lim ; (2)⎰α→α2020xdx cos x lim . 2.设F(x)=⎰-22x x xy dy e ,计算()x F '. 3.应用对参量的微分法,计算:(1)()⎰+202222cos sin ln πdx x b x a . ()0b a 22≠+; (2) ()⎰+-xdx a x a 02cos 21ln .4.设f 为可微函数,试求下列函数F 的二阶导数. (1) F(x)=()()⎰+π0dy y f y x ; (2) F(x)=()⎰-b ady y x y f , ()b a <. 5.从等式⎰-b a xy dy e =xe e bx ax ---出发,计算积分⎰+∞0 dx x e e bx ax ---(b>a>0) 6.计算下列积分(其中0>α,0>β): (1) ⎰∞+---02dx xe e x x a βα; (2) ⎰∞+---0sin 22xdx x e e xx βα. 7.计算下列Γ函数的值:⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γn 21,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γn 21 8.运用欧拉积分计算下列积分(其中n 为自然数): (1)⎰-102dx x x ; (2)⎰+∞-022dx e x x n ; (3) ⎰2046cos sin πxdx ; (4) ⎰22sin πxdx x ;(5) ⎰π+21n 2xdx sin9.回答下列问题:(1) 对极限⎰+∞-→+0xy 0x dy xye 2lim 2能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解? (2) 对()⎰⎰+∞--100dx xy 32exy 2y 2dy 能否运和积分顺序交换来求解? (3) 对F(x)=⎰+∞-0y x 3dy e x 2能否运用积分与求导运算顺序交换来求解? 10.利用余元公式计算下列积分: (1) ()⎰∞++024dx x 1x ; (2) ⎰-10n n x 1dx(n 为自然数)11.应用积分号下微分法或积分号下积分法,计算下列定积分:(1) ()⎰π0dx tgxatgx arctg ,()1<α; (2) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10a b dx x ln x x x 1ln sin ,()0a b >>; (3) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10a b dx x ln x x x 1ln cos ,()0a b >>三、考研复习题1.设f: R R 3→是连续可微函数,证明函数H(x)=()⎰⎰3322b a b a dy z ,y ,x f dz 是可微函数,且()x H '=()⎰⎰∂∂3322b a b a dy x z ,y ,x f dz 2.设F(x,y)=()()⎰-xy y xdz z f yz x ,其中f 为可微函数,求()y ,x F xy. 3.设f 为可微函数,求下列函数F 的导数:(1) F(t)=()⎰⎰⎰≤++++2222t z y x 222dxdydz z y x f ;(2) F(t)=()⎰⎰⎰vdxdydz xyz f ,其中 v=(){x 0z ,y ,x ≤,}t z ,y ≤. 4.应用积分 ⎰+∞-02dt e at =a 2π(a>0),证明: (1) ⎰+∞-0at 2dt e t 2=32a 4π; (2) ⎰+∞-0at n 2dt e t 2=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+π-21n 1n a 2!!1n 2.5.应用积分 ⎰+∞+022a x dx =a 2π,求()⎰∞+++01n 22a x dx .6.求函数F(y)=()[]⎰∞+-021sin dx x x y 的不连续点,并作出函数F(y)的图象.7.设f 是[)[)+∞⨯+∞,0,0上的连续函数,证明: 若()⎰+∞0,dy y x f 在0≥x 上一致收敛于F(x),且()y ,x f lim x +∞→=()y ϕ对任何y [][]+∞⊂∈,0,b a 一致地成立,则 ()x F lim x +∞→=()⎰+∞ϕ0dy y 8.证明: (1) ⎰-101ln dx x x =62π-; (2) ()⎰-udt t t 01ln =∑∞=-1n 22n u ,()1u 0≤≤。
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第十九章 含参量正常积分§19.1 含参量正常积分教学要求：(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的函数⎰=dc dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1）设二元函数),(y x f 在区域}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义，函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2）称()(,)dc I x f x y dy =⎰和()()()(,)d x c x F x f x y dy =⎰为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。
类似可定义含参量y 的正常积分．含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。
即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 .二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性1. 连续性:定理19.1(连续性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=dc dy y x f x I ),()(在],[b a 上连续．分析 设],[b a x ∈，对充分小的x ∆，有],[b a x x ∈∆+（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），要证)(x I 在],[b a 上连续, 只须证)(x I 在任意],[b a x ∈上连续, 只须证0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时, ε<-∆+|)()(|x I x x I , 即 0,0>∃>∀δε, 当δ<∆||x 时,≤-∆+⎰|)],(),([|dc dy y x f y x x f ε<-∆+⎰dcdy y x f y x x f |),(),(|.要使上式成立， 只须 )(|),(),(|c d y x f y x x f -<-∆+ε. 由),(y x f 在R 上连续， 从而一致连续可得结果. 证明思路：连续的定义+一致连续。
证明 ∀x ∈[a,b ]，取∆x ，使x +∆ x ∈[a,b ]，有I (x +∆ x )-I (x ) =[](,)(,)dc f x x y f x y dx +∆-⎰ ， |I (x +∆ x )-I (x ) |=|(,)(,)|d c f x x y f x y dx +∆-⎰，函数f(x,y)在闭矩形域D 一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, ∀(x 1,y 1), (x 2,y 2)∈D ：| x 1- x 2|<δ,| y 1- y 2|<δ,有 |f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|< ε.特别是，∀ (x,y ), (x +∆ x , y)∈R ：|∆x |<δ,有 |f(x,y) -f (x +∆ x , y) |<ε. 所以，|∆ x |<δ,有 |I (x +∆ x )-I (x ) |=|(,)(,)|dc f x x y f x y dx +∆-⎰<ε (b-a ) , 即函数I (x )在区间[a,b ]连续。
结论 设x 0∈[a,b ]，则=⎰→dcx x dy y x f ),(lim0⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0(极限运算与积分运算交换顺序).同理，若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=b adx y x f y J ),()(在],[d c 上连续．定理19.2(连续性)设二元函数),(y x f 在区域}),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上连续，其中函数)(x c ,)(x d 为],[b a 上的连续函数 ,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （6）在],[b a 上的连续．分析 已知定理19.1成立, 要证定理19.2, 要先进行变量变换, 将)(x F 化为)(x I 的形式. 对)(x F 用换元积分法, 令))()(()(x c x d t x c y -+=, 当y 在)(x c 与)(x d 之间取值时, t 在]1,0[上取值, 且dt x c x d dy ))()((-=, 代入得⎰⎰--+==1)()())()()))(()(()(,(),()(dt x c x d x c x d t x c x f dy y x f x F x d x c由于被积函数)))()(()(,(x c x d t x c x f -+))()((x c x d -在上]1,0[],[⨯b a 连续, 由定理19.1即得结论.证明思路：辅助函数 应用举例 例1 求 ⎰+→++αααα12201lim x dx. 解 记⎰+++=αααα1221)(x dx I ，由于α，α+1，2211α++x 连续，由定理19.2知)(αI 在0=α连续,所以=++⎰+→αααα12201lim x dx41102π=+⎰x dx .2. 可微性定理19.3(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在],[b a 上可微，且=⎰dcdy y x f dx d ),(⎰∂∂dcdy y x f x),( . 即积分和求导次序可换 分析 要证结论成立, 只需证=∆-∆+→∆x x I x x I x )()(lim0⎰∂∂dcdy y x f x),(⎰=d c x dy y x f ),(⇔ε<-∆∆⎰|),(|d c x dy y x f x Iε<-∆-∆+⇔⎰⎰⎰|),(),(),(|dcx dcdcdy y x f xdyy x f dy y x x fε<-∆-∆+⇔⎰|)],(),(),([|dcx dy y x f xy x f y x x fε<-∆-∆+⇔|),(),(),(|y x f xy x f y x x f x利用函数与其导数之间的桥梁－拉格朗日中值定理εθ<-H +⇔|),(),(|y x f y x x f x x , 利用x f 连续即可.证明思路：导数的定义+Lagrange 中值定理+定理19.1 定理19.4(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域],[],[q p b a R ⨯=上连续，)(x c ，)(x d 为定义在],[b a 上其值含于],[q p 的可微函数，则⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在],[b a 上可微，且⎰=')()(),()(x d x c x dy y x f x F )())(,()())(,(x c x c x f x d x d x f '-'+ . （7）证明 把)(x F 看作复合函数：⎰==dc dy y x fd c x H x F ),(),,()(,其中)(x c c =，)(x d d =,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有⎰=∂∂+∂∂+∂∂=')()(),()(x d x c x dy y x f dxddd H dx dc c H x H x F )())(,()())(,(x c x c x f x d x d x f '-'+.应用举例例2 计算积分=I ⎰++1021)1ln(dx x x .其思路是1) 适当引入参量, 得到()(,)dc I x f x y dy =⎰ 原则是()(,)dx c I x f x y dy '=⎰ 要容易求积2)利用端点条件，例如 ，即可求出 ()x I I t dt βα=⎰解 考虑含参量积分⎰++=1021)1ln()(dx xx I αα. 显然0)0(=I , I I =)1(且函数)(αI 在]1,0[]1,0[⨯=R 上满足定理19.3的条件, 于是⎰++='102)1)(1()(dx x x x I αα⎰+-++++=10222)111(11dx x x x x αααα01)]1ln()1ln(21arctan [1122x x x ααα+-+++=)]1ln(2ln 214[112x απαα+-++=, 所以⎰='10)(ααd I dx x )]1ln(2ln 214[1121απαα+-++⎰)1(2ln 4)1(01arctan 2ln 2101)1ln(82I I -=-++=πααπ另一方面)1()0()1()(1I I I d I =-='⎰αα，所以 ==)1(I I 2ln 8π.例 3 设)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，验证当||x 充分小时，函数⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(ϕ的各阶导数存在，且)()()(x f x n =ϕ. 解 )()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在原点的某方邻域内连续，与是由定理19.4可得+---='⎰-x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(ϕ)()()!1(11x f x x n n --- ⎰---=x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理 )(x ϕ''⎰---=x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去, 求得k 阶导数为)()(x k ϕ⎰-----=x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1. 特别当1-=n k 时有)()1(x n -ϕ⎰=xdt t f 0)(, 故)()()(x f x n =ϕ.3. 可积性定理19.5(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数)(x I 和)(y J 分别在],[b a 和],[d c 上可积．证明 由)(x I 和)(y J 的连续性即知.定理19.6(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则⎰⎰b adcdy y x f dx ),(⎰⎰=d cbadx y x f dy ),(.应用举例例4 求⎰-=10ln dx xx x I ab . 解 令()ln b ax x f x x-=，则 0lim ()0x f x +→=，1lim ()x f x b a -→=-. 将函数f (x )在0与1作连续开拓，即0, 0(),01ln , 1b a x x x f x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩，从而函数f (x )在区间[0,1]连续。