第二单元 匀速圆周运动与向心力公式的应用

第二单元匀速圆周运动与向心力公式的应用

高考要求：1、知道匀速圆周运动的概念；

2、理解线速度、角速度和周期的概念；

3、理解向心加速度和向心力以及与各物理量间的关系；

4、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题。

知识要点：

一、描述匀速圆周运动快慢的物理量

1、线速度：

1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。

2）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向。

3）大小：v＝s/t，s为质点在t时间内通过的弧长。

2、角速度：

1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。

2）大小：ω＝φ/t（rad/s），φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度。

3、周期和频率：

1）周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间做周期。用T表示。

2）频率：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。用f表示。

4、线速度、角速度、周期和频率的关系：

T＝1/f，ω＝2π/ T＝2πf，v＝2πr/ T＝2πrf＝ωr

注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了。

5、向心加速度：

1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

2）大小：a＝v2/r＝ω2r＝4π2f2r＝4π2r/T2＝ωv。

3）方向：总是指向圆心。所以不论a的大小是否变化，它都是个变化的量。

6、解圆周运动的运动学问题关键在于熟练掌握各物理量间的关系。

二、圆周运动中的向心力

1、向心力

1）意义：描述速度方向变化快慢产生原因——向心力。

2）方向：总是指向圆心。

3）大小：F＝ma＝mv2/r＝mω2r＝m4π2f2r＝m 4π2r/T2＝mωv。

4）产生：向心力是效果力，不是性质力。向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定。

5）求解圆周运动动力学问题关键在于分析清楚向心力的来源，然后灵活列出牛顿第二定律关系式。

2、向心力的特点：

1）匀速圆周运动：向心力为合外力，其大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。

2）变速圆周运动：因速度大小发生变化，其向心力和向心加速度都在变化，其所受的合外力不仅大小随时间改变，方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力

提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道方向切线方

向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

3）当沿半径方向的力F＜mv2/r时，物体做离心运动；

当沿半径方向的力F＞mv2/r时，物体做向心运动；

当沿半径方向的力F＝mv2/r时，物体做圆周运动；

当沿半径方向的力F＝0时，物体沿切线做直线运动。

三、竖直平面内圆周运动中的临界问题

1、“绳、杆、轨道”的区别：

1）“绳”对物体只能产生拉力或不产生力，但不可能产生推力；

2）“杆”对物体既可产生拉力，也可产生推力，还可不产力；

3）“轨道”对物体只能产生推力或不产生力，但不可能产生拉力。

2、“绳”、“内轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件：

物体达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，物

体的重力提供其做圆周运动的向心力。即：mg＝mv2临界/r，

其中v临界是物体通过最高点的最小速度，叫做临界速度v临界＝√gr。

当在最高点v≥v临界时，物体将做完整的圆周运动。

3、“轻杆”、

由于杆和管壁的支承作用，物体恰能达最高点的临界速度v临界＝0

1）当v＝0时，轻杆对物体有竖直向上的支持力N，其大小等于

物的重力，即N＝mg。

2）当0＜v＜√gr时，杆对物体的弹力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg＞N＞0，因mg－N＝mv2/r。

3）当v＝√gr时，N＝0。

4）当v＞√gr时，杆对物体有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，因mg＋N＝mv2/r。

管内物体情况杆的弹力情况类似。

4、“外轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件：

物体到达最高点时对轨道的压力刚好等于零，物体的重力提供其做

圆周运动的向心力，即：mg＝mv2临界/r，

其中v临界是物体通过最高点的最大速度，叫做临界速度v临界＝√gr。

当在最高点v≤v临界时，物体将做完整的圆周运动。

典型例题：

例1、如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上d 的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在4r a 小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的 c 2r r b r 边缘上若在传动过程中，皮带不打滑，则（）

A．a点与b点线速度大小相等；

B．a点与c点角速度大小相等；例1图

C．a点与d点向心加速度大小相等；

D．a、b、c、d四点，加速度最小的是b点。

例2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转

动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨

道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）

A．a处为拉力，b处为拉力；

B．a处为拉力，b处为推力；

C．a处为推力，b处为拉力；例2图

D．a处为推力，b处为推力。

例3、在高速公路的拐弯处，路面修得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于（）

A．arcsinv2/Rg；B．arctanv2/Rg；

C．(arcsin2v2/Rg)/2；D．arccotv2/Rg。

例4、在原长为L

的轻弹簧，劲度系数为k，一端系一质量为m的物体，

另一端固定在转盘上的O点，如图所示。物块随转盘一起以角速度

ω转动，物块与转盘间的最大静摩擦力为f m，求物块在转盘上的位

置范围。

例5、如图所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动

后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动。则电机对地面的最大压力和最

小压力之差为______________。5图

例6、如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转

轴距离为L，A、B间用长为L的绳线相连，开始时，A、B与轴心在

同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间摩擦因数均为μ，当转

A物块开始滑动？例6图

例7、一个半径为R的纸质圆筒，绕其中心轴匀速转动，角速度为ω，一

粒子弹沿AO方向打进纸筒，如图所示，从纸筒上的B点穿出，若A、

B所对的圆心角为θ，则子弹的速度为多少？例7图例8、一质量为m的金属小球用L长的细线拴起，固定在一点O，然后

将线拉至水平，在悬点O的正下方某处P钉一光滑钉子，如图所示，

为使悬线从水平释放碰钉后小球仍做圆周运动，则OP的最小距离是

多少？（g＝10m/s2）图

例9、在张家界市国际特技表演赛上，一飞行员做半径为50m的特技表演，设飞行员质量为60kg，飞机做竖直平面上的圆周运动，在最高点时他对座椅的压力与重力相同，他关掉发动机做圆周运动，在最低点时，⑴他对座位的压力多大？⑵在圆周运动的过程中分曾有眼睛“黑视”

的情况发生，“黑视”在何处最严重？（不考虑空气阻力，g＝10m/s2）（g＝10m/s2）

例10、如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1m，长

1m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的

初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2m/ s的垂

直细线方向的水平速度使它做圆周运动。由于钉子B的存在，使线慢例10图

慢地缠在A、B上。

⑴如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间？

⑵如果细线的抗断拉力为7N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间？