高中数学人教A版必修四1.4.3正切函数的性质与图象课件

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高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件1 新人教A版必修4

想一想：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
正切函数的图象（正切曲线）是被互相平行的直线所隔开的无穷多支相同形状的曲线组成的。
想一想：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
小结：
１、正切函数的性质和图象
２、数形结合的思想方法作业：
高中数学必修4 1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数的定义： ta n y k,kZ
x
2
正切函数的几何意义： tanAT
有向线段AT——正切线
y
α的终边
T
1 •P(x, y)
O
A（1,0）x
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的解析式：__y___t_a_nｘ ___ 定义域是 _{x_x__2__k_,_k __Z} 用区间表示为 __( _ _ 2 _ _k _ __ _ _k _ ___ _
思考2：正切函数是周期函数吗？最小正周期 T=_______
正切函数是周期函数，周期是 k（ k Z， k0)
思考3：正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考4：当角x在 (
2
,) 2
内增加时，正切值发生什
么变化?正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
(kk 2
内都是增函数
思考5：当x小于 2 当x大于
且无限接近且无限接近
2
时, 正切值如何变化？时正切值又如何变化？
正切函数有2 没有最大最小值2 ？它的值域是____R___
正切函数y=tanx的性质：
定义域值域
{xxk,kZ}
2
R
周期性

高中数学 1.4.3正切函数图象与性质课件新人教A版必修4

/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11 A
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
精品
6
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
正切线AT
y
x
o x (1,0) A
T
y
T
x
o
(1,0)
，
8
，8
，4
3 ，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 848
84 8 2
精品
9
二:性质你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数定义域值域
y=tanx
{x|xk,kZ}
2
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性增区间精品 (k,k)kZ
C. ( , 0 ) 6
D. ( , 0 ) 4
精品
14
合作学习
精品
15
例题分析
精品
16
例题分析
例 2 解不等式： tanx 3
解：
y
3
0 x 32
解法1 解法2
由精图品 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k 1Z 7 )
例题分析
精品

高中数学 1.4.3正切函数的性质与图像课件新人教A版必修4

第一页，共23页。
自学导引 1．正切函数
y＝tan
x
的定义域是__x|_x_∈__R_，___x≠ ___π2_＋__k_π_，__k_∈__Z．
值域是____R_____．
2．就奇偶性而言，正切函数是_奇___函数．
3．就单调性而言，正切函数在每个开区间_________________
__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__，__k_∈__Z__都是_增___函数．
第二页，共23页。
自主探究函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是否为周期函数？如果是，它的最小正周期是多少？解：由诱导公式可知， Atan(ωx ＋ φ ＋ π) ＝ Atan(ωx ＋ φ) ，即 Atanωx＋ωπ ＋φ＝Atan(ωx＋φ)，也就是 fx＋ωπ ＝f(x)．可见函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，它的最小正周期为 T＝|ωπ |.
第十一页，共23页。
知识点 2 正切函数性质的应用【例 2】 (1)利用正切函数的单调性比较 tan－75π与 tan－127π的大小； (2)已知 f(x)＝asin x＋b tan x＋1 满足 fπ5＝7，求 f995π的值．思路点拨： (1)将两个函数值转化到同一个单调区间内比较； (2)代入函数解析式，再变形求解．
第二十三页，共23页。
第十七页，共23页。
方法点评：求解正切函数不等式，关键是要熟知正切函数的图象，切不可只注意－π2，π2这一支图象，而忘记考虑其周期性．
第十八页，共23页。
3．求满足－ 3＜tan x≤1 的 x 的集合．解：根据正切函数的图象可知，在－π2，π2上，－ 3＜tan x≤1 的 x 的范围是－π3＜x≤π4，而正切函数的周期是 π，故满足－ 3＜ tan x≤1 的 x 的集合是x|kπ－π3＜x≤kπ＋4π，k∈Z.

高中数学人教版必修四《1.4.3正切函数的性质与图像》课件

由T ,
得T
2
所以y tan( x ) 的最小正周期为。
23
由
k
x
2
k ,
k Z,
解得 5 2k x 1 2k, k Z,
2
2 32
3
3
因此，函数的单调递增区间是
5 3
2k，1 3
2k
，k
Z
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
性质定义域值域周期性奇偶性单调性
2、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法。
3、培养学生发觉数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的爱好。
重点：
学绘画正切函数的简图，推导正切函数的性质。
难点：
体验正切函数基本性质的运用
知识探究（一）：正切函数的图象
摸索1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间 ( , ) 的图象，具体应如何操作？
(x R, x k , k Z )
2
正切函数是周期函数，最小周期是
［例2］求函数小正周期.
y 5 tan x , x (2k 1)
2
(k Z ) 的最
解：由T ,
得T
1
2
2
所以y 5 tan x , x (2k 1) (k Z ) 的最小正周期为2 。
2
f (x) tan(x) tan x f (x)
4 5
解：(1) tan1380 tan1430
(2) tan- 13 tan 17
4 5
［例5］求函数y tan( x )的定义域，周期和单调区间。

人教A版高中数学必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象

[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为 T＝ωπ.( × ) (2)正切函数在 R 上是单调递增函数．( × ) (3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( × )
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x 是增函数 B．y＝tan x 在第一象限是增函数 C．y＝tan x 在某一区间上是减函数 D．y＝tan x 在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数
所以函数的定义域为
{x|x∈R 且 x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z}.
3－tan x>0 (2)要使 y＝lg( 3－tan x)有意义，需使x≠kπ＋π2k∈Z ，
所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z

.

求函数的定义域注意函数中分母不等于 0，真数大于 0，正切函数中的 x≠kπ＋π2，k∈Z 等问题．
tan2x＋π2＋π3，所以 fx＋π2＝f(x)，所以周期为 T＝π2. 答案：B
类型一求函数的定义域
例 1 求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋1tan
； x
(2)y＝lg( 3－tan x)．
【解析】
(1)要使函数
y＝1＋1tan
有意义， x
1＋tan x≠0，需使x≠kπ＋π2k∈Z，
函数 y＝tan x 的图象与性质解析式
图象
y＝tan x
定义域
值域周期奇偶性
单调性
x__x_≠__k_π_＋_2π_，__k_∈__Z__ __R__ __π__
__奇__函_数___
在开区间__k_π_－__π2_，_k_π_＋__2π__，_k_∈__Z_上都是增函数

人教A版高中数学必修四课件第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象.pptx

正切函数在开区间
2
k
,
2
k
,
k
Z
内都是增函数。
（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？
（2）正切函数会不会在某一区间内是减函数呢？为什么？
例1求函数
y
tan
2
x
3
的定义域、周期和单调区间.
解:函数的自变量 x应满足 x k , k Z,
23
2
即 x 2k , k Z, 3
2
所以正切函数式奇函数.
单调性
v
T
xA
O
u
(2)
v
xA
O
u
T
(3)
如图(1)(2),由正切线
v
的变换规律可得，正
A
Ox u
(1)
T
v
切函数在
2
,
2
内
是增函数，又由正切
函数的周期性可知组
x T 卷网
A
O
u ，正切2 函k数, 2在开k区,间
(4)
k Z
v
值域
A 如图（1）,当x大于且无限接近时，
2
4．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1) tan138与tan143;
(2) tan( 13 )与tan( 17 ).
4
5
Ox u
2
2
T 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸；
(1)
v
T 如图（2）,当x小于且无限接近时，
xA
2
2
O
u 正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸；
(2)
所以正切函数的值域是实数集R.

人教A版高中数学必修四1.4.3正切函数的图象与性质课件

6
6
C.{ x R | x 2k , k Z} D.{x R | x 2k - , k Z}
6
6
2、函数y 2 tan(3x )的周期是（ C ）
4
A、2 B、 C、 D、
3
2
3
6
【拓展】根据正切函数的图象，求满足下列不等式的 x 的范围：
（1） 1 tan x 3 3
5、周期性： T
题型点拔:形如 y Atan( x ) 的函数性质
例:求函数
的定义域、周期和单调区间。
解：原函数要有意义，自变量x应满足即所以，原函数的定义域是
由于
所以原函数的周期是2.
由
【点评解】得对于形如 y Atan( x ) 的函数应注意将 x 看成一个整体，再结合正切函数的性质解
题所以原函数的单调递增区间是
变式题：求函数y 3tan(- x )的单调区间.
24 解：原函数的解析式可化为y -3tan( x - )
24
令u
x
-
，则
y
tan u 的递增区间为:
[k
-
, k], k Z Nhomakorabea24
22
由u 1 x - 得 : k - 1 x - k ,k Z
所隔开的无数多条曲线组成的。 2
探究（三）：正切函数的图象与性质
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性：
问题：正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间( k , k ), k Z 内都是增
函数。
2
2
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性： 4、奇偶性：奇函数

2015-2016高一数学人教A版必修四课件：1.4.3 正切函数的性质与图像

：八点十四分。
小结
3
2
2
0 2
3
2x
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} ⑵ 值域：R
2
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数
⑸
单调性：
增区间(
2
k ,
2
k
)
kZ
(6)渐近线方程：x k , k Z
2
第十一页，编辑于星期五：八点十四分。
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
第三页，编辑于星期五：八点十四分。
探究正切函数的图像
y tan x , x ( , ) y
22
1
A
0'
3
2 8 48
0 3
2
第七页，编辑于星期五：八点十四分。
正切函数性质的初步应用
例1 求函数调区间．
y tan(2的x 定 3义) 域、周期和单
第八页，编辑于星期五：八点十四分。
正切函数性质的初步应用
例2、比较 tan 1与3
4
练习:
的tan大小17.
5
(1) tan138 _____ tan143
1.4.3 正切函数的性质与图象
第一页，编辑于星期五：八点十四分。
回忆正切函数的一些性质
正切函数： y tan x
定义域是
{x x kπ π , k Z} 2
值域是 R
第二页，编辑于星期五：八点十四分。
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z

高一数学人教A版必修4课件：1.4.3 正切函数的性质与图象

第一章三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
内容索引
01 明目标
知重点
填要点记疑点
02
03
探要点究所然
当堂测查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
明目标、知重点
填要点·记疑点
函数y＝tan x的性质与图象
③是奇函数的是( C )
A.y＝tan x
B.y＝cos x
C.y＝tan
x 2
D.y＝－tan x
明目标、知重点
1234
4.方程 tan2x＋π3＝ 3在区间[0,2π)上的解的个数是( B )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析由 tan2x＋π3＝ 3解得 2x＋π3＝π3＋kπ(k∈Z)，∴x＝k2π (k∈Z)，又 x∈[0,2π)，∴x＝0，π2，π，32π.故选 B.
明目标、知重点
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. (1)tan－65π与 tan－173π；解 ∵tan－65π＝tan－π－π5＝tan－π5， tan－173π＝tan－2π＋π7＝tan π7，又函数 y＝tan x 在－π2，π2上是增函数，
明目标、知重点
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份,并作出相应终边的正切线. (3)在 x 轴上，把－π2，π2这一段分成 8 等份，依次确定单位圆上 7 个分点的位置. (4)把角x的正切线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合.
明目标、知重点
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到y＝tan x,x∈ －π2，π2 的图象,如图所示.

人教A版高考数学必修4课件1.4.3《正切函数图象与性质》课件

2
渐进线
渐进线
3
0
2
正
渐
切
进线
函
数
渐
图
进线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，

8

，8

，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
二:性质你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
2. 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
P1
6
o1M-11 Ay来自1p1/作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
1.4.3正切函数的图象及性质
函数图形定义域值域最值
单调性奇偶性
周期对称性
y
1

2
0
-1
y=sinx

3
2
2
xR
2 5 x

人教新课标A版高中数学高一必修4课件1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象
6
[预习导引] 正切函数y＝tan x的性质与图象
y＝tan x
图象
1.4.3 正切函数的性质与图象
7
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋2π，k∈Z}
值域周期
R 最小正周期为 π
1.4.3 正切函数的性质与图象
8
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z) 内递增
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是 x|x≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是R.
1.4.3 正切函数的性质与图象
39
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)
(A，ω≠0)的周期为T＝|ωπ| . (3)正切函数在－2π＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.
1.4.3 正切函数的性质与图象
30
跟踪演练3 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解由y＝|tan x|得， y＝t－antaxn，xk，π≤－xπ2<＋kπk＋π<2πx<kk∈πZk∈，Z.
1.4.3 正切函数的性质与图象
31
其图象如图.
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
x≠π3＋kπ.
所以函数的定义域为
π4＋kπ，3π＋kπ∪π3＋kπ，π2＋kπ(k∈Z).
1.4.3 正切函数的性质与图象
11
规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
1.4.3 正切函数的性质与图象

高中数学人教A版必修4第一章1.4.3正切函数的性质与图像课件

1.4.2 正切函数的性质与图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：

高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4

第十三页，共44页。
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型三正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)

人教A版数学必修4第一章1.4.3 正切函数的性质和图象课件(共24张PPT)

( kπ 2
,0 )
三.例题解析
例 1.1 ()求函 yt数 a（ nx）的定 . 义域
解：
由 xk
4
kz,
4
2
可x得 k kz
4
所以y函 ta数 nx()的定义域为
4
xxk,kZ
4
练：求函数 y 1 的定义域 tanx1
解： xtaknx12 xxkk4
2
所以xxk4且xk2,kz
小结：注意正切函数y=tanx自身的定义域。
思考
由诱导公式知
f x t a x n tx a f x n , x R , x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
回顾角在各个象限的正切线
y
T
x
o x (1,0) A
正切线AT
y
x
o x (1,0) A
T
y
o x(1,0) A
x
T
y
T
x
o
(1,0)
A
x
问题：如何利用正切线画出函数图像？
而 ytax在 n9,0 18 上 0 是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。
三.例题解析
例３：求函数 y tan 3x 的周期.
解：因为tan(3x ) tan 3x,
三.例题解析
例1.（2）求函数 y tanx 3的定义域
解：解不等 ta式 nx 3
y
3
0 x
32
由图 x 可 k 3知 ,k 2 ： (k Z )
三.例题解析