量纲分析方法的基本原理是定理
国内外海底管道屈曲研究进展
《海洋工程结构力学》国内外海底管道屈曲研究进展摘要：海底管道铺设过程中，往往在海底与铺管作业船之间的管道存在着相当长一段的悬跨段，悬跨段长度与水深有关。
在悬跨段经常可能因管子原始的或铺设过程中造成的局部凹陷或损伤而发生屈曲失稳现象。
这种屈曲一旦在管道局部形成，将容易因外部超静水压作用而沿着管道出现纵向屈曲迅速传播，造成危害性较大的传播型屈曲。
这将会严重阻碍管道的正常运行和造成较大的经济损失。
本文即简单评述了国内外海底管道屈曲研究进展情况。
关键词：管道铺设屈曲超静水压Advances on local & global buckling of subsea pipelinesAbstract：When the laying of submarine pipes, there often existence a long period of the suspension span between the seabed and pipe laying ship channel, which length have realated to the depth of water. In spanning the original tubes may often be due to the process or installation or damage caused by depression, while local buckling phenomena occur. Once this form of local buckling in the pipeline made, it will be vulnerable to the external role of super-hydrostatic pressure along the pipeline buckling of vertical spread rapidly, causing the spread of harmful larger type buckling. This will seriously impede the normal operation of pipeline and cause large economic losses. This paper briefly reviews the domestic and buckling of submarine pipelines progress.Key words：Pipe laying Buckling Super-hydrostatic pressure1国内外研究现状当前，海底管道铺设过程的受力性能和屈曲问题引起了广泛的关注，针对该类问题国内外相关学者进行了较为深入的研究。
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
水力学第六章 量纲分析和相似原理
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm
Pp Pm
Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t
tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm
Ep Em
量纲分析在提高工科研究生理论研究能力中的应用
量纲分析在提高工科研究生理论研究能力中的应用作者：岳高伟蔺海晓来源：《中国电力教育》2012年第28期摘要：针对当前工科研究生偏重实验研究或理论研究的现状，提出了实验研究和理论研究有机结合思想——量纲分析。
实验研究是培养工科研究生实践能力和创新能力的中心环节，理论研究不仅弥补实验的不足，还能从理论上对实验进行指导。
量纲分析为实验研究和理论研究架起了沟通的桥梁。
工科研究生只有把实验研究和理论研究有机结合起来才能成为集实验能力和理论水平于一体的综合性人才。
关键词：工科研究生；量纲分析；实验研究；理论研究作者简介：岳高伟（1977-），男，河南临颍人，河南理工大学土木工程学院，副教授；蔺海晓（1978-），男，河南登封人，河南理工大学土木工程学院，讲师。
（河南焦作454000）基金项目：本文系河南省高等教育教学改革研究项目（2009SJGLX132）、河南省重点学科项目（509919）的研究成果。
中图分类号：G643 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2012）28-0015-02近些年来，我国研究生教育取得了长足的发展，但是，研究生的综合素质不仅没有明显提高，反而呈下降趋势，尤其是工科研究生。
衡量研究生综合素质的重要标准是科研能力——研究生独立从事科学研究的能力。
而要想成为一个合格的工科研究生，不仅要具有较强的本领域的实验操作动手能力，而且还得具备扎实的理论分析能力。
然而，目前的工科研究生还停留在大学本科阶段只动手做一些基本理论验证实验，[1-3]缺乏真正的实验技能和创新能力的培养。
因此，不仅要加强对工科研究生在各自工程领域模型实验（实验建模、实验观测、实验分析等）能力的培养，同时还要加强对他们理论模拟能力进行培养。
科学研究离不开实验手段，我国大多数工科研究生在本科阶段的学习中，由于受实验室和实验设备等客观条件的限制等因素影响，在实验室参与实验和开展科研活动的机会不是非常多。
即使有满足做实验的条件，对实验数据的处理也往往仅限于列表、画图等初步的工作，甚少对这些结果进行描述发现其中的规律，[4]更谈不上从实验中总结，找出各物理量的本构关系，把实验研究提升到理论研究的高度。
量纲分析法
量纲分析法3、量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l, 质量和时间的tm量纲作为基本量纲，记为,1,2,,,,; 而速度的量纲可表示为. v,LT,f,MLT,,,,,,l,L,m,M,t,Tv，力f在国际单位制中，有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的,量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N;称为基本量纲。
任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，,,,,,,, ,,q,LMTI,NJ量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系;先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
l例3—1: 单摆运动，质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固定，小m球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。
mgtt,m,l,g解:在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式,,,312t,,mlg ---------------(3.1) 1其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取(3(1)式的量纲表达式有 ,,,,,23,,,,，,,2,,1232331T,MLT 整理得: --------------(3.2) ,,,,,,,,t,mlg 由量纲齐次原则应有,,0,1,,,，,0 ---------------(3.3) ,23,,2,,13,11l,,0,,,,,,,,解得: 代入(3(1)得 -------(3.4) t,,123g22(3.4)式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理，定理:设n个物理量之间存在一个函数关系 x,x,？？,x12n--------------(3.5) ，，fx,x,？？,x,012n为基本量纲，m,n。
量纲分析法
量纲数 j j n k , n，并代入变量的量纲组成量纲关系式。
如在该问题中，有：
4 h A1 d A2 A3
5
g B1
d B2 B3
步骤 5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂
量纲分析法
一、量纲
1. 量纲的定义 是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、 加速度。 2. 基本量纲
彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。 3. 导出量
最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。 国际单位制中基本量纲为：
[L]、[t]、[M]、[T]。
二、量纲分析法—π定理
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
z 1, y 2, x 0
p
2
同理有，分别有：
ML1T 1 L x4 LT 1 y4 ML3 z4 M L T z4 x4 y4 3z4 y4
2
2g
hf
P
g
2
g
f 1 , l , Re d d
莫迪图
hf
Re ， l
dd
2
2g
例题： 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b
，孔长为 L )的体积流量 Q 为动力粘性系数 、单位长度上的压降
p / L 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的
z4 1, y4 1, x4 1
4
流体流动-第七次课(湍流摩擦阻力损失,管路计算)讲解
d 4ab
2 ab
e 2(ab) (ab)
环形管
de
4 ( R2 r 2 ) 2 ( Rr )
2(R r)
a b rR
四、局部阻力
流体流经管件时，其速度的大小、方向等发生变化， 出现漩涡，内摩擦力增大，形成局部阻力。
常见的局部阻力有：
突扩
突缩
弯头
三通
由局部阻力引起的能耗损失的计算方法有两种： 阻力系数法和当量长度法。
h fi
81l1V12 2d15
82l2V2 2
2d
5 2
83l3V32
2d
5 3
各支管的流量比为：
V1 : V2 : V3
d15 :
1l1
d25 :
2l2
d35
3l3
2、分支管路
V0
V1 1 P1
qV=qV1+qV2
2 P2
V2
∑H1= ∑H2 (各支管终点总能量+能量损失相等)
又
Ws
Vs
15 1000 3600
4.17kg / s
故 Ne Ws We 1381 .5w
N
Ne
1727w 1.727kw
第六节 管路计算
管路计算是
连续性方程：
A1u1 A2u2
柏努利方程:
z1 g
p1
u12 2
W
z2 g
p2
u22 2
g
uB2 2g
hf 2
zA
量纲试题参考答案
1、你认为，量纲分析中最重要的概念和原则是什么？为什么？各举例说明。
答：量纲分析中最重要的概念是量纲。
应当区别量纲和单位，量纲不是单位。
量纲表示物理量的基本属性。
不同属性的物理量具有不同的量纲。
单位是用来对物理量度量的标准。
最重要的原理是∏定理：问题中若有N 个变量（包括n 个自变量和1个应变量），而基本量的数目为k ，那么一定形成N-k 个无量纲变量（包括N-k-1个无量纲自变量和1个无量纲应变量），他们之间形成确定的函数关系。
即：12(,,...)0N k f -∏∏∏=以分析单摆问题为例：显然，单摆的周期p T 取决于四个控制参数，即悬物的质量m ，细绳的长度l ,重力加速度g 以及初始方位角α，于是有一下函数关系：(,,,)p f m l g αT =量纲：m(M), l (L),g(2LT -),α为无量纲数问题中自变量有4个参数，有三个具有独立的量纲，所以问题中的无量纲数只有一个。
选取m, l ,g 作为本问题的基本单位系统就有：12/(/)(1,1,1,)p l g f αT = 可以写为：12/(/)()p l g f αT =这样我们就可以得出一下几个结果：A. p T 正比于12lB. p T 反比于12gC. p T 与m 无关D. p T 只取决于α，()f α的具体形式要用实验或理论分析来求取。
如果初始的方位角α是个小量，那问题就更简单了，从物理上可以判断，()f α实际上是α的偶函数，将()f α在α=0处进行泰勒展开：24''(4)()(0)(0).(0).+......(0)24f f f f f ααα=++≅！于是近似有：12(/).(0)p T l g f = 那么只要一次实验就可以确定(0)f 数值了，这个常数值其实就是从理 论意义上可以推导出的2π。
2、在流体力学和固体力学问题中，各举两个无量纲数，对每个无量纲数，说明其物理意义，并举例说明可以用它来表示现象发生质的变化的判据。
化工原理复习
绪论1、任何一种化工产品的生产过程都是由若干单元操作和化学反应过程组合而成；2、流体力学、传热和传质的基本原理是各单元操作的理论基础；3、混合物含量的表示方法—,,,i i i i c x ρω4、溶液浓度越是远离平衡浓度，其溶解速率就越大，溶液浓度与平衡浓度之差值，可以看作是溶解过程的推动力第一章 流体流动1、绝对压力、表压、真空度的概念及三者之间的关系： 表压=绝对压力-大气压 真空度=大气压-绝对压力2、密度、相对密度、比体积及其关系： 密度：m Vρ=相对密度=31000/kg m ρ 比体积：1V m υρ==3、流体静力学基本方程式：p = p 0 +ρgh4、平均流速、质量流速之间的差别及关系 平均流速：24v v m v q q u q q Au A d ρρπ==== 质量流速：mq u Aωρ==5、连续性方程式伯努利方程及其应用P20连续性方程式：Au ρ=常数伯努利方程：222112212222f p u gz p u p ugz W gz h ρρρ++=+++=+++∑常数6、牛顿黏性定律的表达式，式中各符号的意义及单位 P25牛顿黏性定律：du dy τμ=μ即为黏度 运动黏度：μνρ= 黏度的物理意义：当=1dudy时，单位面积所产生的内摩擦力大小。
单位：Pa ·s7、通常液体黏度随温度增加而减小，气体黏度随温度上升而增大8、流体在圆形直管中作层流流动时，其速度分布是 抛物线 型曲线。
其管中心最大流速为平均流速的 2 倍，摩擦系数λ与Re 关系为λ=64/Re 。
9、量纲分析法的依据或基础 P34 量纲分析法的基础：量纲的一致性量纲分析法的基本原理：π定理 （N =n -m ；某现象涉及物理量数为n 个，这些物理量的基本量纲数为m 个，则该物理现象有N 个独立的量纲为一的量） 10、雷诺数的表达式及物理意义 P35雷诺数：Re du ρμ=物理意义：雷诺数表示惯性力和黏性力之比，反映流体流动状态和湍动程度。
量纲分析的基本理论及其应用
- 3 dim ε M - 1 T4 I2 0 = dim F/ m = L
dim m a = dim m dim a = ML T -
2. 2 量纲的基本运算规则 1) 加减运算
推论 1 :必须是具备相同量纲的物理量 , 才可以
收稿日期 :2002 - 06 - 20 ; 修回日期 :2002 - 12 - 22 基金项目 : 杭州师范学院科研基金资助项目 (2002XNQ04)
56
大 学 物 理
第 23 卷
值、 单位均能协调一致 . 式 ( 7) 也可以视为数的等式 , 这时各物理量的数 值将随着单位制的选择而定 . 设想把 P1 , P2 , …, Pm 的量度单位分别改为原来的 1/ α 1 , 1/ α 2 , …, 1/ α m , 则在新单位制中 , 这些量的数值 P′ 1 , P′ 2 , …, P′ m 与原 来的数值 P1 , P2 , …, Pm 有如下的关系 : ( 13) P′ i =α i Pi , i = 1 , 2 , …, m 由量纲关系式 ( 11 ) , 物理量 Pm + 1 , Pm + 2 , …, Pn 在新旧单位制之间的数值关系为 αmmj Pm + j P′ m + j =α 1 1 jα 22 j …
f ( P1 , P2 , …, Pn ) = 0 ( 7) ( 8)
2 - 3 dim (φA - φ I B ) = dim V = L M T
1
dim E・ d l = dim Edim d l =
dim V/ m dim m = dim V = L 2 M T - 3 I - 1 又例如 q = ρ d V , 其中 ρ为电荷体密度 , 则 ∫
关于量纲分析法及其应用的探讨
ｊ ５豢 摹 １ Ｉ 期
Ｖ０ ． ． １ ５ Ｎｏ １
Ｒｅ ｄ ａ ｄ Ｗ ｒｔ ｅ ｉ ｄ ｃ ｌ ａ ｎ ｉｅＰ ｒ ｉ ａ ｏ
藏 与 ： 走 Ｉ ；
２０ ０ ８年 １月
Ｊ ｕ ｒ ２０ ａｎ ａ ｙ ０８
ａ ５
因 １ ＝ 。 Ｐ ＋ 为 ＩＰ ｊ￣ … ： Ｐｊ ”．
所 以 物 理 量 可 表 示 为
（ ５ ）
Ｐｊ Ｐ‘ 。 Ｐ Ｆ ＝ｌ … ： Ｉ 。 Ｐ ｊ源自… ｎ． （ ６ ）
则
因此通过 （） ６ 式可知，只要了解各 物理量 的幂 次 ｎ ｎ， ； 就 可 以确 定物理量 的基 本结构 。而 无量 纲数 Ｆ Ｉ
基本量 纲和 导出量纲 两类 。基 本量纲 是代表 基本 物理概念 的 量纲， 它不涉 及 其它 量就 能直 接 说 明某 物理 量 ， 出量 纲 是 导 由基 本量纲 组成 ，是 由基 本量 纲通 过各 种 自然规 律 导 出的 。 物理量 Ｑ的量 纲记为 ｄ ｍ ，任 何一个 导 出量 Ｑ的量纲 ｄ ｍ ｉＯ ｉＱ 均可用 基本量纲 的幂 次积 表示 ：
量 问关系 或规 律 的过程 变 得 简 单 、 方便 ， 常 常用 于 单位 换 也 算 、 程或 等式 检 查等 ， 方 因此 在 物 理 理论 分 析 和实 验 中应 着
力推 广 。
２ 量 纲分析基 础
２ １量纲 分析的齐 次定理 ． 内容： 凡是 正确 反映客 观 规律 的物 理方 程 ， 其各项 的量 纲都 必 须是 一致 的 ， 即只 有方 程 两 边量 纲 相 同 ， 方程 才 能成
Ⅱ 定理是 Ｂ ｃ ｉｇ ａ ｕ ｋ ｎ ｈｍ在 １ １ 提 出的。该 定理 的基 ９ ４年
流体力学第八章 量纲分析和相似原理
D
式中，及j为一些特征量的无量纲组合，定义为：
j ak j a1 1 j a2 2 j ak k j
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m m m
b mk m2 a1m1 a2 ak
j 1, 2, ..., n k
这里m1，m2，，mk；m1j，m2j，，mkj均为有理数，可由量纲公式（8.1） 计算得到。 退出 返回
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第八章
量纲分析和相似原理
第一节
量纲分析和定理
一、物理量的单位和量纲 （一）单位及单位系统 度量物理量要有单位，如时间t的单位有s，min，hr…等，长度l的单位 有mm，cm，m…等。单位分为基本单位和导出单位。在一般流体力学问 题中时间、长度、质量和温度的单位为基本单位，它们构成一个基本单 位系统，例如在国际单位制中选用的kg，m，s，K为一种基本单位系统。 其余物理量的单位均是导出单位。 （二）量纲 用基本单位系统来表示物理量单位的式子称为该物理量的量纲，用[ ]或 可用该物理量的大写字母表示。如时间的量纲为[t]或T，长度的量纲为[l] 或L，质量的量纲为[m]或M，温度的量纲为[T]或，速度的量纲为[l][t]-1 或LT-1，力的量纲为[m][l][t]-2或MLT-2。取那些不存在任何联系的性质不同 的量纲作为基本量纲，而把那些可以由基本量纲导出的量纲作为导出量纲。 显然，基本量纲的选取带有任意性。
具有单位的物理量称为有量纲量，其大小与选择的单位系统有关；没 有单位的物理量称为无量纲量，其大小与选择的单位系统无关。角度在物 理学中是以弧度表示的，平面角定义为对应的弧长除以曲率半径，立体角 定义为对应的曲面面积除以曲率半径的平方，都是没有单位的，所以角度 是无量纲量。 （四）量纲相关与量纲无关 一种物理现象包含的许多有量纲的物理量中，有的是量纲相关的，有的 是量纲无关的。凡是一个物理量的量纲能够用其它物理量的量纲组合来表 示的，则该物理量的量纲是不独立的，或者说是量纲相关的；
量纲分析方法
第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。
量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。
按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。
系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。
工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。
绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。
绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。
其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。
但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。
此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。
而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如： 速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LTMLT --== 压强P = F/S 量纲：22[]P MLT L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。
量纲分析
量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。
物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。
被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。
例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。
我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。
离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。
单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。
然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。
我们把这种统一性称为量纲。
单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。
m 、cm、mm 长度类用L表示分、小时、秒时间类用T表示公斤、克质量用M表示一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。
例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。
通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。
一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。
在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。
导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。
量纲分析法原理
量纲和谐原理我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。
它们的名称、记号和量纲如表所示。
表1 流体力学中常见物理量的量纲速度v 表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。
距离是长度l ，它的量纲是[L ]，而时间t 的量纲是[T ]，故速度v 的量纲是[1LT -]。
动量是质量m 和速度v 之积。
质量的量纲是[M ]，故动量的量纲是[1MLT -]。
如果我们选定三个相对对立的，例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。
如表5-1中所示，例如，加速度a 的量纲可表示为[2LT -]，力F 的量纲可表示为[2LMT -]。
当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。
如果我们要写出一个流体微团的运动方程F ma =∑式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W 、压力P 、粘滞τ、力弹性力E等；右边是微团的惯性力ma。
于是得到+++W P E ma t =（5-1）上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2LMT -]。
又如，关于理想流体的伯努利方程2++=2v p z H g gr 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。
每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。
不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。
这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。
量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。
例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。
当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。
5.2 量纲分析
1、量纲分析指数法
（1）柏金汉姆法（π定理法）（E.Buckingham） 柏金汉姆法（ 定理法） E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3…xn)=0 确定k个量纲彼此独立物理量为重复变量 确定k 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 量纲用重复变量量纲
5.2
量纲分析
原理:1、 原理:1、量纲和谐性原则 :1 2、 Π定理 重点： 重点：量纲分析法
5.2.1 量纲和谐性
量纲和谐性原则 任何一个完整的物理方程， 各项量纲必定是和谐的。 任何一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。 量纲必定是和谐的 量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。 一致性。 量纲和谐性原则应用: 量纲和谐性原则应用: 可检验方程的正确性。 可检验方程的正确性。 物理量单位换算。 物理量单位换算。工程计算时常采用的经验公式中系数往往 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定，使用时单位制 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定， 改变，要注意单位系数换算。 改变，要注意单位系数换算。 推导相似准数和准数方程
5.2.4 量纲分析法
应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法， 应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法，称为量纲 分析法。 分析法。 基本思路： 基本思路： 1、列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 2、根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 3、再通过量纲分析和适当的组合，将上述不定函数式改写 再通过量纲分析和适当的组合， 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 指数法和矩阵法两大类
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量纲分析方法的基本原理是Π定理。
设所选取的单位制中基本量的数目为m，它们是，物理量Q的量纲式为
（1）
对上式取对数，则有
（2）
若
是m维空间的“正交基矢”，则
就是“矢量”ln[Q]
在基矢量上的投影，或者说是它的“分量”。
于是，量纲式可以简写为。
所谓几个物理量的量纲独立，是指无法用它们幂次的乘积组成无量纲量。
用矢量语言表达，就是代表
它们量纲的“矢量”线性无关。
在m维的空间内最多有m个彼此线性无关的矢量。
m
个矢量
（i =1,2, …,m）线性无关的条件是它们组成的行列式不等于0：
（3）
P定理表述为设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量
,而我们所选取的单位
制中有m个基本量（n>m），则由此可组成（n-m ）个无量纲的量，在物理量之间存在的函数关系式
（4）
可表示成相应的无量纲形式
（5）
或者把
解出来：
（6）
n=m的情况下，有两种可能：若的量纲彼此独立，则不能由它们组成无量纲的量；若不独硫还可能组成无量纲的量。
运用P定理作量纲分析示范如下：
在力学问题中，选取质量（M）、长度（L）、和时间（T）作为基本物理量，故m=3。
例1:设一均匀细棒，长度为l，质量为m。
求绕过中点O的转轴的转动惯量 J(如右图)。
解：转动惯量的量纲式为,任意形状的转动惯量可写为, 代表一组能确定其几何形状的无量纲参量，如长方形的两边长之比；三角形的底与高之比，对于几何形状相似的物体，函数是等同的，对于那些只用一个特征长度即可完全确定的几何形体，如正方体，长方体，立方体，圆，球……等，退化为一个未知常数，用k表示。
所以,对细棒,转动惯量J可以写成
（7）
已知平行轴定理
（8）(这里是物体对通过其质心的某个特定轴的转动惯量，d是将此转轴平行移动距离。
)
设式（7）中的J代表细棒的，即过质心o并垂直于棒的转轴的转动惯量。
将转轴移至端点，则
, 按（8）式
（9）
设想棒平均分成两段，每段质量为，长度为 ,按（9）式, 两段绕同一
转轴的转动惯量之和应等于总转动惯量,即: ,∴
∴ 由（7）式得, 由（9）式得
例2.; 由开普勒第三定律推论万有引力的性质。
解：设万有引力具有的形式，并设半长轴a和周期t除随k变化外，还取决于行星本身的质量m，能量E和角动量。
有关参量的量纲为
根据此量纲表可算出，由k/m、E、和组成的一个无量纲量
有
根据P定理式中P为与椭圆轨道形状有关的无量纲参量（如偏心率）。
开普勒第三定律宣称：常量（太阳系的常量），与行星的性质无关。
故上式中
（平方反比律）和。
即, 太阳系常数。