量纲分析方法的基本原理是定理
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量纲分析方法的基本原理是Π定理。
设所选取的单位制中基本量的数目为m,它们是,物理量Q的量纲式为
(1)
对上式取对数,则有
(2)
若
是m维空间的“正交基矢”,则
就是“矢量”ln[Q]
在基矢量上的投影,或者说是它的“分量”。于是,量纲式可以简写为
。
所谓几个物理量的量纲独立,是指无法用它们幂次的乘积组成无量纲量。用矢量语言表达,就是代表
它们量纲的“矢量”线性无关。在m维的空间内最多有m个彼此线性无关的矢量。m
个矢量
(i =1,2, …,m)线性无关的条件是它们组成的行列式不等于0:
(3)
P定理表述为设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量
,而我们所选取的单位
制中有m个基本量(n>m),则由此可组成(n-m )个无量纲的量,在物理量之间存在的函数关系式
(4)
可表示成相应的无量纲形式
(5)
或者把
解出来:
(6)
n=m的情况下,有两种可能:若的量纲彼此独立,则不能由它们组成无量纲的量;若不独硫还可能组成无量纲的量。
运用P定理作量纲分析示范如下:
在力学问题中,选取质量(M)、长度(L)、和时间(T)作为基本物理量,故m=3。
例1:设一均匀细棒,长度为l,质量为m。求绕过中点O的转轴的转动惯量 J(如右图)。
解:转动惯量的量纲式为,任意形状的转动惯量可写为, 代表一组能确定其几何形状的无量纲参量,如长方形的两边长之比;三角形的底与高之比,对于几何形状相似的物体,函数是等同的,对于那些只用一个特征长度即可完全确定的几何形体,如正方体,长方体,立方体,圆,球……等,退化为一个未知常数,用k表示。所以,对细棒,转动惯量J可以写成
(7)
已知平行轴定理
(8)(这里是物体对通过其质心的某个特定轴的转动惯量,d是将此转轴平行移动距离。)
设式(7)中的J代表细棒的,即过质心o并垂直于棒的转轴的转动惯量。将转轴移至端点,则
, 按(8)式
(9)
设想棒平均分成两段,每段质量为,长度为 ,按(9)式, 两段绕同一
转轴的转动惯量之和应等于总转动惯量,即: ,∴
∴ 由(7)式得, 由(9)式得
例2.; 由开普勒第三定律推论万有引力的性质。
解:设万有引力具有的形式,并设半长轴a和周期t除随k变化外,还取决于行星本身的质量m,能量E和角动量。有关参量的量纲为
根据此量纲表可算出,由k/m、E、和组成的一个无量纲量
有
根据P定理式中P为与椭圆轨道形状有关的无量纲参量(如偏心率)。
开普勒第三定律宣称:常量(太阳系的常量),与行星的性质无关。故上式中
(平方反比律)和。即, 太阳系常数。