玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第一次月考
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（2）当 时，证明： .
21.（12分）已知F1，F2为椭圆E： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1， )在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得 ，λ， 成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
（2）由柯西不等式得 ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，
∴ ，即 ，解得 .
故 的取值范围是 .………………10分
15.2， 16.
17.（1）由 ，利用正弦定理可得 ，
可化为 ， .………………6分
（2） ， ， ， ， .………………6分
18.解：（1）抽取的老年员工 人，
中年员工 人，
青年员工 人………………3分
（2） 的可取值为 ……………… 4分
， ， ………………10分
所以的分布列为
……………12分
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ .
|AC|＝ |x1－x2|
＝ ＝ .
∵直线BD的斜率为－ ，
∴|BD|＝ ＝ .
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ .
综上，2λ＝ ＋ ＝ ，
∴λ＝ .
故存在常数λ＝ ，使得 ，λ， 成等差数列．………………12分
21.（1）解：因为 ，所以 .………………………1分
（2）设这两位顾客返现红包总额为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.
19.（12分）如图所示，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 平面 ，点 为 中点， ， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.（12分）已知函数 , ．
（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求实数 的值；
19.（1）证明：因为 是 的中点， ，
所以 .…………1分
因为底面 是菱形，所以 .…………2分
又 ，所以 .…………3分
又因为 ，所以 .…………4分
（2）方法一：
由（1）知 ， ，所以 . （5分）
过 作 于 ，连接 ，则 ，
又 面 ，则 ，…………6分
所以 是二面角 的平面角．…………7分
由（1）知 是二面角 的平面角，所以 ．…………8分
因为 ，所以 ，即 .………………9分
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最小值 .………………………………………10分
所以 .
综上可知，当 时， .……………………………………12分
思路2：先证明 ．……………………………………………5分
设 ，则 ．
因为当 时， ，当 时， ，
所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增．
∴2a＝4，a＝2.
∴椭圆E： ＋ ＝1.
将P(1， )代入可得b2＝3，
∴椭圆E的方程为 ＋ ＝1.………………4分
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时， ＋ ＝ ＋ ＝ ；
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程 ＋ ＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
由于取等号的条件不同，所以 ．
综上可知，当 时， .……………………………………12分
22.解：（1）设动点
由题意知 ，
由 ，所以
所以点 的轨迹方程为 ………………5分
由已知，直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以动点 到直线 的距离最大值为 .
23.（1） ，当且仅当 等号成立
∴ ；………………5分
17.（12分）已知锐角三角形 中，内角 对边分别为 ，且
（1）求角 的大小;
（2）求函数 的值域.
18.（12分）现在很多年轻人热衷提前消费，其中分期付款就是比较流行的一种消费方式.现某苹果手机直营店推出一种分期消费模式，若某顾客在店内选择任意一款手机进行购买，如果该顾客选择相应的分期消费模式，可获得相应的红包返现.
3.命题 ， 的否定为
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
4.右图为一个四棱锥的三视图，其体积为
A． B．
C． D．
5.若对任意的 都有 ，则函数 的对称轴为
A． B．
C． D．
6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。那么2013年就是癸巳年了。
（i） 周期 ________．
（ii）当 时， ，若函数 在区间 上有且仅有10个零点，则实数 的取值范围是________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
是等边三角形，
所以 ，…………7分
， …………8分
设 是平面 的一个法向量，则
即 …………9分
令 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量.…………10分
平面 的一个法向量为 .…………11分
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .…………12分
20.解：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，
A． B． C． D．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线 在 处的切线方程为______.
14.在 的展开式中，则 的系数是______.
15.在正项等比数列中 中， ，前三项的和为7，若存在 ， ，使得 ，则 的最小值为______.
16.已知定义在 上的函数 和 都是奇函数，
因为曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以 ，解得 .…………………………………………………2分
（2）证法一：因为 , ，
所以 等价于 ．
当 时， ．
要证 ，只需证明 .………………4分
以下给出三种思路证明 ．
思路1：设 ，则 .
设 ，则 ．
所以函数 在 上单调递增．…………………6分
因为 ， ，
所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .8分
A． B．
C． D．
9.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有
A.15B. 60C. 90D. 540
2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生
A.甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯
7.如果对于任 意实数 ， 表示不超过 的最大整数.例如 ， .那么 是 的（）
A．充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必 要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ，则 的解集为
分期月数及相应的红包返利如下表1：
（月数）
1
3
6
12
返现金额
50
100
200
300
顾客采用的付款月数 的分布列如下表2：
（月数）
1
3
6
12
现该苹果手机店内有2位顾客正准备购买某型号手机，这两位顾客选择怎样的分期消费模式相互独立.设事件 为“购买该商品的2位顾客中，至少有1位采用1个月付款”．
（1）求事件 发生的概率 ；
10.在三角形 中， ， ， ，点 是 边上靠近 的三等分点，则
A． B． C． D．
11.已知函数 在区间 上不是单调函数，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
12.点 在双曲线 的右支上，其左、右焦点分别为 、 ，直线 与以坐标原点 为圆心、 为半径的圆相切于点 ， 是以 为底的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）
设 ，在 中， ， 是等边三角形， ，
是 的中位线，则 ，…………10分
， ，…………11分
，即二面角 的正弦值为 .…………12分
方法二：
由（1）知 . 如图，分别以 ， 方向为 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系. 设 ，则 ， .…………5分
由（1）知 是二面角 的平面角，
所以 ．…………6分
在 中， ，
所以 ．
所以 （当且仅当 时取等号）．…………………………………7分
所以要证明 ，
只需证明 ．………………………………………………8分
下面证明 ．
设 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增．
所以 ．
所以 （当且仅当 时取等号）．……………………………10分
玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第一次月考
数学学科试卷（理科）
命题人：郭闻审题人：邓瑞
1、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设 是虚数单位，则复数
A． B． 来自百度文库． D．
2.已知集合 ， ， ，则
A. B． C． D．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中，已知曲线 .曲线 ，且 ，点 为曲线
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）在以原点 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，求动点 到直线 距离的最大值.
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 的最小值为6， .
（1）求 的值；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第二次月考
数学学科试卷（理科）答案
一、选择题：1-5：DAACD6-10：BACCA11-12：CD
二、填空题：13. 14.
21.（12分）已知F1，F2为椭圆E： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1， )在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得 ，λ， 成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
（2）由柯西不等式得 ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，
∴ ，即 ，解得 .
故 的取值范围是 .………………10分
15.2， 16.
17.（1）由 ，利用正弦定理可得 ，
可化为 ， .………………6分
（2） ， ， ， ， .………………6分
18.解：（1）抽取的老年员工 人，
中年员工 人，
青年员工 人………………3分
（2） 的可取值为 ……………… 4分
， ， ………………10分
所以的分布列为
……………12分
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ .
|AC|＝ |x1－x2|
＝ ＝ .
∵直线BD的斜率为－ ，
∴|BD|＝ ＝ .
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ .
综上，2λ＝ ＋ ＝ ，
∴λ＝ .
故存在常数λ＝ ，使得 ，λ， 成等差数列．………………12分
21.（1）解：因为 ，所以 .………………………1分
（2）设这两位顾客返现红包总额为随机变量 ，求 的分布列及数学期望.
19.（12分）如图所示，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 平面 ，点 为 中点， ， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.（12分）已知函数 , ．
（1）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求实数 的值；
19.（1）证明：因为 是 的中点， ，
所以 .…………1分
因为底面 是菱形，所以 .…………2分
又 ，所以 .…………3分
又因为 ，所以 .…………4分
（2）方法一：
由（1）知 ， ，所以 . （5分）
过 作 于 ，连接 ，则 ，
又 面 ，则 ，…………6分
所以 是二面角 的平面角．…………7分
由（1）知 是二面角 的平面角，所以 ．…………8分
因为 ，所以 ，即 .………………9分
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最小值 .………………………………………10分
所以 .
综上可知，当 时， .……………………………………12分
思路2：先证明 ．……………………………………………5分
设 ，则 ．
因为当 时， ，当 时， ，
所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增．
∴2a＝4，a＝2.
∴椭圆E： ＋ ＝1.
将P(1， )代入可得b2＝3，
∴椭圆E的方程为 ＋ ＝1.………………4分
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时， ＋ ＝ ＋ ＝ ；
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程 ＋ ＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
由于取等号的条件不同，所以 ．
综上可知，当 时， .……………………………………12分
22.解：（1）设动点
由题意知 ，
由 ，所以
所以点 的轨迹方程为 ………………5分
由已知，直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以动点 到直线 的距离最大值为 .
23.（1） ，当且仅当 等号成立
∴ ；………………5分
17.（12分）已知锐角三角形 中，内角 对边分别为 ，且
（1）求角 的大小;
（2）求函数 的值域.
18.（12分）现在很多年轻人热衷提前消费，其中分期付款就是比较流行的一种消费方式.现某苹果手机直营店推出一种分期消费模式，若某顾客在店内选择任意一款手机进行购买，如果该顾客选择相应的分期消费模式，可获得相应的红包返现.
3.命题 ， 的否定为
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
4.右图为一个四棱锥的三视图，其体积为
A． B．
C． D．
5.若对任意的 都有 ，则函数 的对称轴为
A． B．
C． D．
6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。那么2013年就是癸巳年了。
（i） 周期 ________．
（ii）当 时， ，若函数 在区间 上有且仅有10个零点，则实数 的取值范围是________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
是等边三角形，
所以 ，…………7分
， …………8分
设 是平面 的一个法向量，则
即 …………9分
令 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量.…………10分
平面 的一个法向量为 .…………11分
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .…………12分
20.解：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，
A． B． C． D．
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线 在 处的切线方程为______.
14.在 的展开式中，则 的系数是______.
15.在正项等比数列中 中， ，前三项的和为7，若存在 ， ，使得 ，则 的最小值为______.
16.已知定义在 上的函数 和 都是奇函数，
因为曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以 ，解得 .…………………………………………………2分
（2）证法一：因为 , ，
所以 等价于 ．
当 时， ．
要证 ，只需证明 .………………4分
以下给出三种思路证明 ．
思路1：设 ，则 .
设 ，则 ．
所以函数 在 上单调递增．…………………6分
因为 ， ，
所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .8分
A． B．
C． D．
9.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有
A.15B. 60C. 90D. 540
2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生
A.甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯
7.如果对于任 意实数 ， 表示不超过 的最大整数.例如 ， .那么 是 的（）
A．充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必 要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ，则 的解集为
分期月数及相应的红包返利如下表1：
（月数）
1
3
6
12
返现金额
50
100
200
300
顾客采用的付款月数 的分布列如下表2：
（月数）
1
3
6
12
现该苹果手机店内有2位顾客正准备购买某型号手机，这两位顾客选择怎样的分期消费模式相互独立.设事件 为“购买该商品的2位顾客中，至少有1位采用1个月付款”．
（1）求事件 发生的概率 ；
10.在三角形 中， ， ， ，点 是 边上靠近 的三等分点，则
A． B． C． D．
11.已知函数 在区间 上不是单调函数，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
12.点 在双曲线 的右支上，其左、右焦点分别为 、 ，直线 与以坐标原点 为圆心、 为半径的圆相切于点 ， 是以 为底的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）
设 ，在 中， ， 是等边三角形， ，
是 的中位线，则 ，…………10分
， ，…………11分
，即二面角 的正弦值为 .…………12分
方法二：
由（1）知 . 如图，分别以 ， 方向为 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系. 设 ，则 ， .…………5分
由（1）知 是二面角 的平面角，
所以 ．…………6分
在 中， ，
所以 ．
所以 （当且仅当 时取等号）．…………………………………7分
所以要证明 ，
只需证明 ．………………………………………………8分
下面证明 ．
设 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增．
所以 ．
所以 （当且仅当 时取等号）．……………………………10分
玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第一次月考
数学学科试卷（理科）
命题人：郭闻审题人：邓瑞
1、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设 是虚数单位，则复数
A． B． 来自百度文库． D．
2.已知集合 ， ， ，则
A. B． C． D．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中，已知曲线 .曲线 ，且 ，点 为曲线
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）在以原点 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，求动点 到直线 距离的最大值.
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 的最小值为6， .
（1）求 的值；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第二次月考
数学学科试卷（理科）答案
一、选择题：1-5：DAACD6-10：BACCA11-12：CD
二、填空题：13. 14.