人教版数学八年级竞赛教程之公式变形与字母系数方程附答案

公式变形与字母系数方程
【知识精读】
含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程
对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：
（1）当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a
= （2）当a =0时，分以下两种情况：
<1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；
<2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程
【分类解析】
1. 求含有字母系数的一元一次方程的解
例1. 解关于x 的方程236
2ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+
移项，得1262ax bx bc ac -=+
()1262212602126a b x bc ac
a b
a b x bc ac
a b
-=+≠∴-≠∴=+-
2. 求含字母系数的分式方程的解
例2. 解关于x 的方程a ax b b bx a x
-++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得
()b a x ab 222-=-
对b a 22
-是否为0分类讨论：
（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b
=-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x
=，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义
检验：当x ab a b
=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b
=-2是原方程的解。

说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a 、b 全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。

当a 、b 中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a 、b 全为0时，方程不存在。

最后对字母条件归纳，得出方程的解。

3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件
例3. 如果关于x 的方程
a x a
b x b
+=+11有唯一解，确定a 、b 应满足的条件。

分析：显然方程存在的条件是：a ≠0且b ≠0
解：若a ≠0且b ≠0，去分母整理，得 ()()b a x ab b a -=-
当且仅当b a -≠0，即b a ≠时，解得x ab =
经检验，x ab =是原方程的解
∴a b 、应满足的条件：a ≠0且b b a ≠≠0，
说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a 、b 全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。

因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。

4. 在其它学科中的应用（公式变形）
例4. 在物理学中我们学习了公式S v t at =-0212
，其中所有的字母都不为零。

已知S 、v 0、t ，试求a 。

分析：利用字母系数方程完成公式变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这个量就是未知数，其它的量均视为已知量，然后按解字母系数方程求解。

解： S v t at =-0212
∴=-≠∴≠∴=
-12
012
02220202
a t v t S t a t a v t S t
5、中考点拨
例1. 填空：在v v at =+0中，已知v v a 、、0且a ≠0，则t =________。

解： v v at at v v =+∴=-00
a t v v a
≠∴=-0
例2. 在公式P Fs t
=
中，已知P 、F 、t 都是正数，则s 等于（ ） A. Pt F B. Ft P C. FP t
D. 以上都不对 解： P Fs t
Pt Fs =∴= ∴=s Pt F ，故选A 说明：以上两题均考察了公式变形。

6、题型展示：
例1. 解关于x 的方程
x a b c x b c b x c a b
a b c --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c a b
---+---+---=1110 即x a b c c x b c a a x c a b b ---+---+---=0 ∴---++=>>>∴++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c
a b c a b c
x a b c x a b c 1110000
11100
，，
说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式x a b c ---。

若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。

例2. 解关于x 的方程。

ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0
解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 222222
+++=+++++()()()
()()()()
a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b 222202+-+=+-=+≠∴=-+
说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。

例3. 已知z a b z c d
--=，求z 。

（c d +≠0） 分析：本题是求z ，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把方程化归为ax b a =≠()0的形式，便可求解。

解： d ≠0
∴-=--=-+=++=+d z a c b z d z a d b c cz dz cz ad bc d c z ad bc
()()
()
又 d c +≠0
∴=++z bc ad c d
【实战模拟】
1. 解关于x 的方程
x m n x n m
-=-11，其中m n m n ≠≠≠00，，。

2. 解关于x 的方程()()a a x x a --+=-1422。

3. a 为何值时，关于x 的方程x x a a +-=-+12235
的解等于零？ 4. 已知关于x 的方程x x m x --=-323
有一个正整数解，求m 的取值范围。

5. 如果a 、b 为定值，关于x 的一次方程3326kx a x bk +=+-，无论取何值，它的根总是1，求a 、b 的值。

【试题答案】
1. 解：去分母，得nx m mx n -=-
nx mx m n
n m x m n
m n n m x m n n m
-=--=-≠∴-≠∴=--=-() 01
2. 解：原方程变为()a a x x a 25422-++=-
()a a x a 2562-+=-
即()()a a x a --=-232
（1）当a ≠2且a ≠3时，得x a =-13
（2）当a =2时，原方程变为00⋅=x
∴x 为任意数，即原方程有无数个解
（3）当a =3时，原方程为01⋅=x ，此时原方程无解。

3. 解：去分母，得ax a x ax a x +++=--+552436
()815-=-a x a
当a ≠8时，方程有唯一解，x a a
=
--158 设1580--=a a ，则15015
-=∴=a a ， 综上所述，当a =15时，原方程的解为0。

4. 分析：解分式方程综合了分式的运算，整式方程等知识，除此之外，分式方程一般还可能应用代数式的恒等变形的知识。

解： x x m x --=-323
∴--=∴=-x x m
x m
236() 原方程有解，∴-6m 不能为增根
∴-≠63m ，即m ≠3
又 方程解为正整数
∴->60m ，则m <6
∴当m <6且m ≠3时，原方程有正整数解
5. 分析：原方程是关于x 的一元一次方程，由题意把根代入原方程转化为解关于k 的方程。

解：6212kx a x bk +=+-
()61122k x a bk -=--
由题意得x =1代入上式得：
()()611226132k x a bk b k a -=--∴+=-
k 有无数解，∴+=-=⎧⎨⎩601320
b a 解得a b ==-132
6，。