高等代数教案第6章线性变换

第六章 线性变换Ⅰ.授课题目§6.1 线性变换 §6.2 线性变换运算 §6.3 线性变换的矩阵 §6.4 不变子空间 §6.5 特征值与特征向量 §6.6 矩阵的相似对角化§6.7 Hamilton-Cayley 定理与最小多项式 §6.8 Jordan 标准形 Ⅱ.教学目的与要求1. 理解线性变换、线性变换的矩阵以及线性变换的矩阵等概念；2. 掌握特征值与特征向量的定义、性质、和计算法；3. 理解线性变换的值域与核的概念，掌握不变子空间的定义与性质；4. 掌握相似矩阵的概念和性质，以及相似对角化方法；5. 理解Jordan 标准形、最小多项式的概念与性质. Ⅲ.重点与难点重点: 特征值与特征向量的性质与计算，矩阵的相似对角化； 难点: 相似对角化，不变子空间. Ⅳ.教学内容§6.1 线性变换1. 线性变换定义 6.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 的一个变换（即从V 到V 自身的映射），如果对于V 中的任意两个向量,αβ和数域P 中的任意数k ，都有()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=，则称σ是V 的一个线性变换.例6.1 设n nA P×∈，对任意n P α∈，定义()A σαα=，则σ是线性空间n P 的一个线性变换.例6.2 线性空间V 的恒等变换（或称单位变换）ε，即()()V εααα=∈，以及零变换o ，即()()0o V αα=∈都是线性变换.例6.3设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个固定的数，定义()()k V κααα=∈，则κ是V 的一个线性变换，称之为数乘变换或相似变换或位似. 显然，当1k =是它是恒等变换，当0k =便是零变换.例6.4 在线性空间[]P x 中，定义()()()()[],f x f x f x P x δ′=∈，1则δ是线性空间[]P x 的一个线性变换.例6.5 在线性空间[],C a b 中，定义()()()()[]d ,,xaf x f x x f x C a b τ=∈∫则τ是线性空间[],C a b 的一个线性变换.2. 线性变换的性质性质1 设σ是V 的一个线性变换，则()()()00,,V σσασαα=−=−∀∈.性质2 线性变换保持线性组合不变，即()()()()11221122r r r r k k k k k k σααασασασα++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.注 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组. 但是，当线性变换可逆时，把线性无关的向量组一定变成线性无关的向量组.定理6.1 设V 是数域P 上的线性空间，如果12,,,n εεε⋅⋅⋅的V 的一个基，12,,,n ααα⋅⋅⋅是V 的任意给定的一组向量，那么存在唯一的线性变换σ，使得(),1,2,,.i i i n σεα==⋅⋅⋅证 设α是V 中任意一个向量， 设1122n n a a a αεεε=++⋅⋅⋅+，定义()1122n n a a a σαααα=++⋅⋅⋅+，先证σ是V 的一个线性变换.事实上对任意,V αβ∈，设1ni ii a αε==∑，1ni ii b βε==∑，则()1niiii a b αβε=+=+∑. 因此()()()()()1111n nn ni i i i i i i i i i i i i i a b a b a b σαβσεααασασβ==== +=+=+=+=+ ∑∑∑∑；其次，对k P ∈，1ni ii a V αε==∈∑，则()()111n nni i i i i i i i i k ka ka k a k σασεαασα=== ==== ∑∑∑.因此，σ是V 的一个线性变换. 显然(),1,2,,.i i i n σεα==⋅⋅⋅即这样的线性变换是存在的.设τ也是满足条件的线性变换，则对任意1ni ii a V αε==∈∑，()()()()111nnn i i i i i i i i i a a a σασετετετα=======∑∑∑.故στ=. 证毕.推论 设V 是数域P 上的线性空间，如果12,,,n εεε⋅⋅⋅的V 的一个基，,στ是V 的两个线性变换，如果()(),1,2,,i i i n σετε==⋅⋅⋅，那么στ=.定理6.1和推论说明，线性空间V 上的线性变换完全由它的一组基的像唯一决定.小结：线性空间，子空间，子空间的判定，子空间的和与交 课外作业：P152 1（1）～（4），2； P171 1～2§6.2 线性变换的运算1.线性变换的加法与数量乘法设V 是数域P 上的n 维线性空间，()L V 表示V 上全体线性变换的集合. 对于任意两个线性变换(),L V στ∈，定义它们的和στ+：()()()()()V στασαταα+=+∈.则()L V στ+∈. 事实上，()()()()σταβσαβταβ++=+++()()()()σασβτατβ=+++ ()()()()σατασβτβ=+++()()()()σταστβ=+++，()()()()k k k στασατα+=+ ()()k k σατα=+()()k στα=+.因此，στ+是线性变换.设(),k P L V σ∈∈，定义数量乘法：()()()()k k V σασαα=∈容易知道()k L V σ∈. 事实上，()()()k k σαβσαβ+=+()()()()()()k k k k σασβσασβ=+=+， ()()()()()()k l k l lk l k σασασασα===.可以证明，按上面定义的线性变换的加法与数量乘法满足如下八条运算律：（1）σττσ+=+；（2）()()στψστψ++=++；（3）存在零变换o ，使得对于()L V σ∀∈，o σσ+=；（4）对于()L V σ∀∈，定义()()()()V σασαα−=−∈，则()L V σ−∈，且()0σσ+−=；（5）1σσ=； （6）()()k l kl σσ=； （7）()k l k l σσσ+=+； （8）()k k k στστ+=+. 其中(),,,,L V k l P στψ∈∈.定理6.2 ()L V 对于加法和数量乘法构成数域P 上的一个线性空间.2. 线性变换的乘法设(),L V στ∈，定义它们的乘法：()()()()()V τσατσαα=∈.可以证明，乘积τσ也是线性变换. 它满足如下运算律（9）()στψστσψ+=+； （10）()στψσψτψ+=+； （11）()()στψστψ=（12）()()()k k k στστστ==；（13）存在单位变换()L V ε∈，对于任意()L V σ∈都有εσσεσ==.但是，线性变换的乘法一般不满足交换律. 例如，在实数域R 上的线性空间[]R x 中，线性变换()()()()()(),d xaf x f x f x f t t δτ′==∫的乘积δτε=，但τδε≠3. 线性变换的逆设()L V σ∈，如果存在()L V τ∈，使得σττσε==，则称σ是可逆变换，称τ为σ的逆变换，记为1τσ−=. 由前一章可知，σ是可逆变换当且仅当它是双射.容易证明，如果σ是可逆线性变换，则σ的逆变换是唯一的，且()1L V σ−∈.4. 线性变换的幂与多项式设()L V σ∈，定义σ方幂：01,k k k σεσσσσσ+===，其中k 为非负整数. σ方幂满足下列运算律（14）m n m nσσσ+=； （15）()nm mn σσ=.一般地，对于(),L V στ∈，()nn nστστ≠. 当σ是可逆变换时，定义σ负整数次幂为()1nn σσ−−=，其中n 是正整数.设()L V σ∈，()01n n f x a a x a x =++⋅⋅⋅+是数域P 上的多项式，定义()01n n f a a a σεσσ=++⋅⋅⋅+.称之为线性变换σ的多项式. 容易证明，()()f L V σ∈.不难验证，在[]P x 中，如果()()()()()(),h x f x g x p x f x g x =+=.则对任一()L V σ∈有()()()()()(),h f g p f g σσσσσσ=+=.特别地，()()()()f g g f σσσσ=.例6.6 在线性空间[]n P x 中，定义线性变换()()()f x f x δ′=，()[]n f x P x ∈.显然有n o δ=.对于a P ∈，定义()()()()[],a n f x f x a f x P x τ=+∈.显然a τ是一个线性变换，称之为关于数a 的平移变换. 利用泰勒展开式，得()()()()()()()2112!1!n n a a f x a f x af x f x f x n −−′′′+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅−，再由n o δ=得()()()()()()()2112!1!n n a a f x a f x af x f x f x n −−′′′+=+++⋅⋅⋅+−()()21212!1!n n a a a f x n εδδδ−−=+++⋅⋅⋅+−. 由()[]n f x P x ∈的任意性，便有()21212!1!n n a a a a n τεδδδ−−=+++⋅⋅⋅+−.5. 线性空间的值域与核定义6.2 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 的一个线性变换，V 的所有元素在σ下的像组成的集合()(){}|V V σσαα=∈称为σ的值域，值域也常记作()Im σ. 零向量的全体原像组合的集合()(){}10|0,V σασαα−==∈称为σ核，核也常记作()Ker σ.定理6.3 σ是线性空间V 上的线性变换，则σ的值域()V σ与核()10σ−都是V 的子空间.例6.7 设()L V σ∈，证明（1）()()Im Ker σσ⊂当且仅当2o σ=；（2）()()()23Ker Ker Ker σσσ⊂⊂⊂⋅⋅⋅；（3）()()()23Im Im Im σσσ⊃⊃⊃⋅⋅⋅.证 （1）()()()2Im Ker Im 0o σσσσσ⊂⇔=⇔=.（2）()(){}Ker Ker 0jij ii i σσσσσ−==，因此()()Ker Ker i j σσ⊂.（3）对一切j i >，()j iV V σ−⊂. 因此，()()()()j i j i i V V V σσσσ−=⊂.例6.8 设σ是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，12,V V 是V 的子空间，且12V V V =⊕. 证明：σ可逆的充要条件是()()12V V V σσ=⊕.证 充分性由于()()12V V V σσ=⊕，因此，对V α∀∈()()()12121122,,V V ασασασαααα=+=+∈∈.从而()()12V ασαασ=+∈，即()V V σ⊂，显然()V V σ⊂，故()V V σ=，即σ是满射.下证σ是单射，即证，若V β∈，()0σβ=，则0β=. 事实上，因为12V V V =⊕，存在唯一的1122,V V ββ∈∈，使得12βββ=+.因而()()()120σβσβσβ=+=.由于()()()()1122,V V σβσσβσ∈∈,()()12,V V V σσ=⊕零向量的表示式是唯一的，所以()()120σβσβ==.再由12,ββ的唯一性知120ββ==，故0β=，σ是单射，因而是双射. 故σ是可逆变换.必要性设σ是可逆变换. 任取V α∈，则()1V σα−∈，由12V V V =⊕知()1121122,,V V σααααα−=+∈∈.因此()()()1212ασαασασα=+=+.从而()()12V V V σσ=+.又设()()12V V ασσ∈I ，则有1122,V V αα∈∈，使得()()12ασασα==.由于σ是可逆变换，且12V V V =⊕，知{}120V V =I ，故()1120αασα−===，从而0α=，所以()(){}120V V σσ=I .故()()12V V V σσ=⊕.例6.9 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换，322,22σετσσε==−+其中ε是恒等变换，证明,στ都是可逆变换.证 （1）由32σε=知221122σσσε⋅=⋅=. 因此，σ是可逆变换，且1212σσ−=. （2）注意到32σε=，因此，42σσ=. 令2m n k δσσε=++，则()()2222m n k τδσσεσσε⋅=−+++432322222222m n k m n k m n k σσσσσσσσε=++−−−+++ 22222422222m n k m n k m n k σεσεσσσσε=++−−−+++()()()222222m n k m n k m n k σσε=−+++−+−++.令2200122m n k m n k m n k−+=+−= −++= ， 解得132,,10105m n k ===. 故()213410δσσε=++，且 τδδτε⋅=⋅=，因此τ是可逆变换，且1τδ−=.§6.3 线性变换的矩阵1.线性变换的矩阵概念定义6.2 设V 是数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεε⋅⋅⋅是V 的一个基，σ是V 的一个线性变换，如果()()()11112121212122221122n nn nn n n nn na a a a a a a a a σεεεεσεεεεσεεεε=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+ ， 用矩阵可以表示成()()()()()()121212,,,,,,,,,n n n A σεεεσεσεσεεεε⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 则称矩阵A 为线性变换σ在基12,,,n εεε⋅⋅⋅下的矩阵.例6.10 在平面向量2R 构成的2维线性空间中，取两个彼此正交的单位向量12,εε作为它的基. 设τ是围绕坐标原点按逆时针方向旋转θ角的线性变换，求τ在基12,εε下的矩阵.解 ()()11212cos cos sin ,,sin θτεεθεθεεθ=+=()()()21212sin sin cos ,cos θτεεθεθεεθ−=−+=. 因此，()()()()()121212cos sin ,,,sin cos θθτεετετεεεθθ−==. 故，τ在基12,εε下的矩阵是cos sin sin cos θθθθ−.例6.11 设n nA P×∈，对任意n P α∈，定义()A σαα=，σ是线性空间n P 的线性变换. 设12,,,n εεε⋅⋅⋅是n P 的单位坐标向量，j α是A 的第j 列，那么()j j j A σεεα==，故σ在基12,,,n εεε⋅⋅⋅下的矩阵是A .例 6.12 设W 是n 维线性空间V 的一个()m m n <维子空间，12,,,m εεε⋅⋅⋅是W 的一个基，把它扩充成V 的一个基11,,,,,m m n εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义(),1,2,,0,1,,ii i mi m n εσε=⋅⋅⋅ = =+⋅⋅⋅， σ是V 的一个线性变换，称为对子空间W 的投影. 投影σ在基11,,,,,m m n εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅下的矩阵是diag ()1,,1,0,,0⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中主对角线上1的个数是m 个.2. 重要性质定理6.4设V 是数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεε⋅⋅⋅是V 的一个基，对于V 的任意线性变换σ在这个基下的矩阵设为A ，我们定义()A πσ=.则():n nL V P π×→是双射.定理6.5 定理6.4中定义的双射():n n L V P π×→具有以下性质：对任意(),,L V k P στ∈∈，有 （1）()()()πστπσπτ+=+； （2）()()k k πσπσ=； （3）()()()πστπσπτ=；（4）如果σ是可逆线性变换，则()πσ是可逆矩阵，且()()()11πσπσ−−=.推论 设V 是数域P 上的n 维线性空间，则V 的全体线性变换的集合()L V 与n nP ×同构，因而()2dim L V n =.定理 6.6设V 是数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεε⋅⋅⋅是V 的一个基， V 的线性变换σ在这个基下的矩阵设为A . 如果V α∈在基12,,,n εεε⋅⋅⋅下的坐标是()12,,,Tn x x x ⋅⋅⋅，()σα在基12,,,n εεε⋅⋅⋅下的坐标是()12,,,Tn y y y ⋅⋅⋅，那么1122n n x y x y A x y =M M .定理6.7 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，向量组（I ）12,,,n εεε⋅⋅⋅，和（II ）12,,,n ηηη⋅⋅⋅分别是V 的两个基，如果σ在这两个基下的矩阵分别是,A B ，并且从（I ）到（II ）的过渡矩阵是X ，那么1B X AX −=.定义 6.3 设,A B 是数域P 上的两个n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆阵X ，使得1B X AX −=，则称矩阵A 与B 相似，记作~A B ，称X 为相似变换矩阵.相似是矩阵的一种等价关系，它具有以下三个性质： （1）反身性：~A A ；（2）对称性：如果~A B ，那么~B A ； （3）传递性：如果~A B ，~B C ，那么~A C .利用矩阵相似的概念，定理6.7可以说成定理6.8 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作是同一线性变换在两个基下所对应的矩阵.例6.13 设V 是数域P 上的2维线性空间，12,εε是V 的一个基，线性变换σ在基12,εε下的矩阵是2110 −. 求线性变换σ在另一组基12,ηη下的矩阵，这里()()121211,,12ηηεε−=−.§6.4 不变子空间1.不变子空间定义6.3 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，如果对任意W ξ∈，有()W σξ∈，即()W W σ⊂，则称W 是σ的不变子空间，简称σ-子空间.例6.14 设()L V σ∈，则（1）整个空间V 和零子空间{}0都是σ-子空间； （2）σ的值域()V σ与核()10σ−都是σ-子空间； （3）σ-子空间的和与交仍为σ-子空间.例6.15 任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间.例 6.16 设(),L V στ∈，如果σττσ=，那么τ的值域()V τ与核()10τ−都是σ-子空间. 设()f σ是σ的多项式，则()()f f σσσσ=，因而()f σ的值域()()f V σ与核()()()10f σ−都是σ-子空间.练习 1. 已知()()()123321,,,,TTa a a a a a σ=是3P 的一个线性变换，验证下列3P 的子空间是否为σ-子空间：（1）(){}11212,,0|,TW x x x x P =∈；（2）(){}21212,0,|,TW x x x x P =∈2. 证明[]P x 的子空间[]n P x 是关于微商变换()()()f x f x δ′=的不变子空间.定理6.9 设σ是线性空间V 的线性变换，W 是V 的一个子空间，12,,,s ααα⋅⋅⋅是W 的一个基，则W 是σ-子空间的充要条件是()()()12,,,s σασασα⋅⋅⋅全属于W .2.不变子空间的性质定义6.4设σ是线性空间V 的线性变换，W 是V 的一个σ-子空间，只考虑σ在W 上的作用，则得到子空间W 的一个线性变换，称之为σ在W 上的限制，记作|W σ.于是，对任意W ξ∈，则()()|W σξσξ=. 如果W ξ∉，则()|W σξ没有意义. 若W 是V 的一个σ-子空间，则|W σ是W 上的一个线性变换.定理6.10 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个σ−子空间，12,,,k εεε⋅⋅⋅是W 的一个基，将它扩充成V 的一个基11,,,,,k k n εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅.则σ在这个基下的矩阵具有如下形状132A A O A.定理6.11 设n 维线性空间V 可以分解成若干个σ−子空间的直和：12s V W W W =⊕⊕⋅⋅⋅⊕.设每一个i W 的维数为()1,2,,i n i s =⋅⋅⋅，其中1sii nn ==∑. 在每一个子空间i W 中取一个基()12,,,1,2,,i i i in i s εεε⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，把它们合在一起成为V 的一个基I. 则σ在这个基下的矩阵为准对角形矩阵12s A A AO ， 其中()1,2,,i A i s =⋅⋅⋅就是σ在基12,,,i i i in εεε⋅⋅⋅下的i n 阶矩阵.反之，如果线性变换σ在基I 下的矩阵是准对角形矩阵，则()12,,,i i i i in W L εεε=⋅⋅⋅是i n 维σ−子空间()1,2,,i s =⋅⋅⋅，并且12s V W W W =⊕⊕⋅⋅⋅⊕.3.线性变换值域与核的维数定理往后，我们把()V σ维数也叫σ的秩，核空间()10σ−的维数也叫σ的零度.例6.17 在线性空间[]n P x 中，令()()()f x f x δ′=，则δ的值域就是[]1n P x −，δ的核就是P ，δ的秩为1n −，δ的零度为1.定理 6.12 设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的一个线性变换，12,,,n εεε⋅⋅⋅是V 的一个基，σ在这个基下的矩阵是A ，那么（1）σ的值域()V σ就是由基像组()()()12,,,n σεσεσε⋅⋅⋅生成的子空间，即()()()()()12,,,n V L σσεσεσε=⋅⋅⋅.（2）σ的秩等于矩阵A 的秩.证 （1）设ξ是V 中的任一向量，它可以用基12,,,n εεε⋅⋅⋅的线性组合表示为1122n n x x x ξεεε=++⋅⋅⋅+，于是()()()()1122n n x x x σξσεσεσε=++⋅⋅⋅+.这个式子说明()()()()()12,,,n L σξσεσεσε∈⋅⋅⋅，因此，()()()()()12,,,n V L σσεσεσε⊂⋅⋅⋅.显然()()()()()12,,,n L V σεσεσεσ⋅⋅⋅⊂，故()()()()()12,,,n V L σσεσεσε=⋅⋅⋅.（2）由于()()()()()()121212,,,,,,,,,n n n A σεεεσεσεσεεεε⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，因而σ的秩=()V σ维数=向量组()()(){}12,,,n σεσεσε⋅⋅⋅的秩=()R A .定理6.13 设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的一个线性变换. 如果1,,r εε⋅⋅⋅是的()V σ的基12,,,r ηηη⋅⋅⋅的原像，1,,r s εε+⋅⋅⋅是()10σ−的一个基，那么向量组11,,,,,r r s εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅是V 的一个基，并且还有σ的秩+σ的零度n =.证 由已知条件有()()1,2,,i i i r σεη==⋅⋅⋅.下面证明11,,,,,r r s εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅是V 的一个基. 设11110r r r r s s l l l l εεεε+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=，则()1111r r r r s s l l l l σεεεε+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()()()11110r r r r s s l l l l σεσεσεσε++=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=. 由于()11,,0r s εεσ−+⋅⋅⋅∈，故()()10r s σεσε+=⋅⋅⋅=.代入上式得11220r r l l l ηηη++⋅⋅⋅+=.而12,,,r ηηη⋅⋅⋅线性无关，故120r l l l ==⋅⋅⋅==，于是110r r s s l l εε+++⋅⋅⋅+=.但是1,,r s εε+⋅⋅⋅是()10σ−的一个基，所以10r s l l +=⋅⋅⋅==，这说明11,,,,,r r s εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性无关.其次，对任意V α∈，设()()()()1111r r r r l l l l σασεσεσεε=+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+，则()110r r l l σαεε−−⋅⋅⋅−=，即()1110r r l l αεεσ−−−⋅⋅⋅−∈. 故1111r r r r s s l l l l αεεεε++−−⋅⋅⋅−=+⋅⋅⋅+.于是1111r r r r s s l l l l αεεεε++=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+.这说明对任意V α∈都可由11,,,,,r r s εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性表示，故11,,,,,r r s εεεε+⋅⋅⋅⋅⋅⋅是V 的一个基.故s n =，()()dim r V σ=，()()1dim 0s r n r σ−−=−=，所以σ的秩+σ的零度n =.注 虽然()()()()1dim dim 0dim V V σσ−+=，但却可能有()()10V V σσ−+≠.并且()V σ的基与()10σ−的基合起来也并不一定是V 的基（参见例6.17）.推论 设σ是有限维线性空间V 的一个线性变换，则σ是单射⇔σ是满射.证 若σ是单射，则(){}100σ−=，由定理6.13知()()()dim dim V V σ=，而()V V σ⊂，故()V V σ=，即σ是满射，因而是双射.反之，若σ是满射，由定理6.13知(){}100σ−=，因而σ是单射，从而是双射.例6.18 设A 是一个n 阶矩阵，2A A =，证明A 相似于对角阵()diag 1,,1,0,,0⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 证 设V 是数域P 上的n 维线性空间， 12,,,n εεε⋅⋅⋅是V 的一个基. 定义()()1212,,,,,,n n A σεεεεεε⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，σ是V 的一个线性变换，σ在基12,,,n εεε⋅⋅⋅下的矩阵是A由2A A =可知2σσ=. 取()V σ的一个基是12,,,r ηηη⋅⋅⋅，如果它们的原像分别是12,,,r ααα⋅⋅⋅，则()()1,2,,i i i r σαη==⋅⋅⋅，那么()()()()21,2,,i i i i i r σησασαη====⋅⋅⋅从而12,,,r ηηη⋅⋅⋅是它自身的原像. 另取()10σ−的一个基1,,r n ηη+⋅⋅⋅. 由定理 6.13知，12,,,r ηηη⋅⋅⋅,1,,r n ηη+⋅⋅⋅是V 的一个基. 由于(),1,2,,0,1,,i i i ri r nηση=⋅⋅⋅ ==+⋅⋅⋅ 故σ在基12,,,r ηηη⋅⋅⋅,1,,r n ηη+⋅⋅⋅下的矩阵是()diag 1,,1,0,,0⋅⋅⋅⋅⋅⋅.由于同一个线性变换在不同基下的矩阵相似，故知A 相似于对角阵()diag 1,,1,0,,0⋅⋅⋅⋅⋅⋅.例6.19 已知σ是4维线性空间V 的一个线性变换，σ在基1234,,,εεεε下的矩阵是1123311112110312A −=−.求线性变换σ的值域()V σ和核()10σ−的一个基与维数.解 对任意()10ξσ−∈，都有()0σξ=. 因此，()10σ−中任一向量关于基1234,,,εεεε的坐标都满足方程组0Ax =. 所以齐次方程组0Ax =的一个基础解系就是核()10σ−的一个基关于1234,,,εεεε的坐标.下面对A 施行初等行变换得11231001311101001211001203120000r A −−=→−.所以，方程组0Ax =的一个基础解系是()1,0,2,1T −. 取1342αεεε=−+，则()()10L σα−=，故()1dim 01σ−=.其次，注意到()()()()()()()123412341234,,,,,,,,,A σεεεεσεσεσεσεεεεε==.因此，A 的列向量组的极大无关组就是()()()()1234,,,σεσεσεσε的极大无关组的坐标. 由前面初等行变换的结果可知，矩阵A 的前3列是A 的列向量组的极大无关组，因此()11233σεεεε=++，()2123423σεεεεε=+−+，()312342σεεεεε=+++是()()()()1234,,,σεσεσεσε的极大无关组，故()()()()()123,,V L σσεσεσε=，()dim 3V σ=.注 在求值域的基时，为了使表达形式更简洁，可以对A 施行初等列变换1123100031110100121100100312311010c A −=→ −−令11422433431,10,βεεβεεβεε=−=−=+，则()()123,,V L σβββ=，且()dim 3V σ=.§6.5 特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义定义 6.5 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 的一个线性变换. 对数域P 中某个数λ，如果存在非零向量V α∈，使得()σαλα=成立，则称λ是σ的一个特征值，非零向量α称为σ的属于λ的一个特征向量. 设λ是σ的一个特征值，属于λ的全体特征向量连同零向量构成的集合记为(){}|V V λασαλα=∈=，则V λ是V 的子空间，并且是线性变换σ下V 的不变子空间. 称之为σ的属于λ的特征子空间.事实上，对任意,V λαβ∈，()(),σαλασβλβ==，因此()()()()σαβσασβλαλβλαβ+=+=+=+，即V λαβ+∈. 其次，对任意,k P V λα∈∈，()σαλα=. 则()()()k k k k σασαλαλα===，即k V λα∈. 因此V λ是V 的子空间.此外，对任意V λα∈，()V λσαλα=∈，即()V V λλσ⊂，故V λ是V 的σ−子空间.例6.20 令D 表示定义在R 上可微分任意多次的全体实函数作成的线性空间，δ表示求导运算，是D 的一个线性变换. 对每一个实数λ，我们有()x x e e λλδλ=.因此，任意实数λ都是δ的特征值，而xe λ是属于λ的特征向量.例6.21 对任意()[]f x P x ∈，定义()()()f x xf x σ=.容易验证，σ是[]P x 的一个线性变换. 然而，对任意数λ，不存在多项式()[]f x P x ∈，使得()()()()f x xf x f x σλ==，因而，σ没有特征值.2. 特征值与特征向量的求法设V 是数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεε⋅⋅⋅是V 的一个基，V 的线性变换σ在这个基下的矩阵是()ijn nA a ×=. 设λ是σ的一个特征值，ξ是属于λ的一个特征向量，且1ni ii x ξε==∑，即ξ在基12,,,n εεε⋅⋅⋅下的坐标是()12,,,Tn x x x x =⋅⋅⋅. 由()σξλξ=知，Ax x λ=，即x 是齐次方程组()0I A x λ−=的非零解向量. 这里关于λ的方程1112121222120n nn n nna a a a a a I A a a a λλλλ−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−==−−⋅⋅⋅−M M M ，称为矩阵A 的特征方程，它的根就是σ的全部特征值，也称为矩阵A 的特征值（或特征根），x 亦称所以，我们已经看到，求线性变换σ的全部特征值与特征向量，可以归结为求线性变换σ的矩阵A 的特征值与特征向量，其一般步骤如下：（1）求特征方程0I A λ−=的全部解，得到矩阵A 的所有特征根；（2）对每一个特征根i λ，求出齐次方程组()0i I A x λ−=的一个基础解系12,,,s ξξξ⋅⋅⋅，则得到矩阵A 的对应于i λ的所有特征向量1si ii x k ξ==∑，其中12,,,sk k k⋅⋅⋅不全为零.注 基础解系12,,,s ξξξ⋅⋅⋅就是线性变换σ的特征子空间i V λ的一个基12,,,s ηηη⋅⋅⋅的坐标，即()12,,,i s V L ληηη=⋅⋅⋅，其维数等于基础解系所包含的向量个数s ，也等于()i n R I A λ−−，称之为特征值i λ的几何重数.例6.22 求下列矩阵的特征值与特征向量 （1）3452A=； （2）460350361A=−−−−； （3）100001010A=−.注 即使是有理数域上的矩阵，其特征值也可能是虚数，如果放在有理数域或实数域来考虑，可能不存在特征值值. 但是，对复数域来说，任一n 阶方阵总有n 个特征值（重根按重数计算）. 因此，在考虑特征值问题时，我们常常在复数域内讨论.例6.23 设线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵是122212221A=，求σ的特征值与特征向量.例6.24 在直角坐标系中的坐标旋转变换的矩阵是cos sin sin cos A θθθθ−=， 其特征多项式22cos 1I A λλλθ−=−+，当k θπ≠无实数根，因此当k θπ≠时无实特征值，从几何上看，当k θπ≠时旋转变换后的向量不可能与原向量共线.练习 求矩阵500032023A=−−的特征值与特征向量.例6.25 设λ是矩阵A 的特征值，证明（1）m λ是mA 的特征值； （2）设()1110mm m m f x a x a xa x a −−=++⋅⋅⋅++，则()f λ是()f A 的特征值；（3）若0λ≠，A 是可逆阵，则1λ−是1A −的特征值，A λ是*A 的特征值.例6.26 设n 阶矩阵A 满足2A A =，证明A 的特征值只能是0或1.例6.27 设A 是一个上三角阵11121222000n n nn a a a a a A a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅M M O M . 求A 的特征值.定理6.14 复数域上任意一个方阵必相似于一个上三角阵. 证 设A 是复数域上的n 阶方阵，现对n 用数学归纳法.当1n =时结论显然成立. 假设结论对1n −阶矩阵成立，现对A 是n 阶矩阵的情形证明. 设λ是n 阶复方阵A 的一个特征值，则存在一个非零向量1α，使11A αλα=.把1α扩充成nC 空间的一个基12,,,n ααα⋅⋅⋅. 设列向量12,,,n A A A ααα⋅⋅⋅在这个基下的矩阵为1*0A λ， 这里1A 是1n −阶复方阵，这就是说，()()12121*,,,,,,0n n A A A A λαααααα ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， 或写成()()12121*,,,,,,0n n A A λαααααα ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅. 令()12,,,n P ααα=⋅⋅⋅.则P 是n 阶可逆阵，且1*0AP P A λ =， 或写成11*0P AP A λ−=. 对1n −阶方阵1A 而言，由归纳假设知，存在1n −阶可逆阵Q ，使得11Q A Q −是一个上三角阵. 令100R Q=，则R 是非奇异矩阵，且1111*1010000R P APR A Q Q λ−−− =11*1010000A Q Q λ− = 11*0Q A Q λ− =. 这是一个上三角阵，它与A 相似，证毕.注 类似可证，复数域上任意一个方阵必相似于一个下三角形矩阵.3. 特征多项式的性质 行列式111212122212n nn n nna a a a a a I A a a a λλλλ−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−=−−⋅⋅⋅−M M M 的展开式中，主对角线上的元素之积为()()()1122nn a a a λλλ−−⋅⋅⋅−.由于展开式中其余各项最多包含2n −个主对角线上的元素，因此它对于λ的次数最多是2n −. 于是特征多项式中含λ的n 次与1n −次的项只能在行列式I A λ−的对角线上元素的乘积中出现，它们是 ()11122n n nn a a a λλ−+++⋅⋅⋅+.在特征多项式中令0λ=，则得到常数项()1nA A −=−.因此，如果只写出特征多项式的前两项和常数项，就有()()()111221nn n A nn f a a a A λλλ−=−++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+−.设12,,,n λλλ⋅⋅⋅是矩阵A 的全部特征值，则()()()()12A n f λλλλλλλ=−−⋅⋅⋅−，将右边展开，并比较系数得（1）121122n nn a a a λλλ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，称之为矩阵A 的迹，记作()tr A ，即()1tr niii A a==∑；（2）12n A λλλ⋅⋅⋅=.例6.28 设3阶矩阵A 的全部特征值为1,2,3，求 （1）1*,A A −的特征值；（2）23B A A I =−+的特征值、B 与()tr B . 练习1. 设3阶矩阵A 的全部特征值为1,1,2−，求 （1）12I A −+的特征值； （2）*A 的特征值；（3）23B A A I =−−的特征值、B 与()tr B . 2. 设n 阶矩阵A 满足2A A =. （1）求A 的特征值； （2）证明矩阵I A +可逆.3. 设2560A A I −+=，证明A 的特征值只能是2或3.§6.6 矩阵的相似对角化1. 相似矩阵的性质性质1相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值； 性质2相似矩阵的行列式相等； 性质3相似矩阵的迹相等 性质4 相似矩阵的秩相等性质5 如果矩阵A 与B 相似，则mA 与mB 相似； 性质6 如果两个可逆阵相似，那么它们的逆矩阵也相似；性质7 如果矩阵A 与B 相似，()[]f x P x ∈，则()f A 与()f B 相似.例6.29 已知矩阵20020001,03401002A x B y==−.如果A 与B 相似，求,x y 的值.略解 利用相似矩阵的行列式相等，并有相同的迹，可得0,3x y ==−. 练习：1. 设~,~A C B D ，则00~00A CB D. 2. 设~A B ，则~TTA B .例6.30 证明1212~n i i n i λλλλλλO O， 其中，()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是()1,2,,n ⋅⋅⋅的一个排列.证 设12,,,n εεε⋅⋅⋅是n 维线性空间V 的一个基，定义的V 线性变换()()1,2,,i i i i n σελε==⋅⋅⋅则σ在这个基下的矩阵为12n A λλλ=O . 由于()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是()1,2,,n ⋅⋅⋅的一个排列，因而12,,,n i i i εεε⋅⋅⋅仍为V 的一个基，且()()1,2,,j j j i i i j n σελε==⋅⋅⋅.故σ在基12,,,n i i i εεε⋅⋅⋅下的矩阵为12n i i i B λλλ =O. 从而~A B . 证毕.例6.31 证明11100111000~111000n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ M M O M M M O M . 证 设12,,,n εεε⋅⋅⋅是n 维线性空间V 的一个基，定义的V 线性变换()()121,2,,i n i n σεεεε=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅.则σ在基12,,,n εεε⋅⋅⋅下的矩阵为111111111A ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅M M O M . 令1122121,,,n n n αεεεαεεαεε=++⋅⋅⋅+=−⋅⋅⋅=−则()()1212110001110010100,,,,,,1001110001n n αααεεε⋅⋅⋅ −⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅−M MM M M .容易求得（将以下行列式的每一行都加到第一行上去，再依第一行展开）()1110001110010100101001110001n n −⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=−≠⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−M M M M M ，因此，12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，它也是V 的一个基，且σ在这个基下的矩阵为00000000n B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅M M O M . 故~A B . 证毕.例6.32 设,A B 是两个n 阶矩阵，则AB 与BA 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 证法一 利用分块矩阵的乘法得00nn nn n n I I B I B A I A I I AB λλλλ = −− ，00n n n n n n I B I B I BA I A I A I λλλλλ−−  =  . 两边分别取行列式得n nn n nI BI AB AI λλλλ=−， n nn n nI BI BA AI λλλλ=−. 于是，n n I AB I BA λλ−=−.证法二 若0A ≠，则1BA A ABA −=，即AB 与BA 相似，于是它们有相同的特征多项式.对一般情形，n 阶矩阵A 至多有n 个不同的特征值，所以存在一个实数0t ，对一切0t t >，都有0A tI −≠.于是，()A tI B −与()B A tI −有相同的特征多项式，即()()I A tI B I B A tI λλ−−=−−对一切0t t >都成立. 把上式改成()()I AB tB I BA tB λλ−+=−+.对每一个固定的λ，它们分别是t 的n 次多项式，且对对一切0t t >都成立. 根据定理：对两个次数不超过n 的多项式()(),f x g x ，如果存在1n +个不同的数有相同的值，则()()f x g x =. 故这两个t 的n 次多项式恒等，于是，令0t =代入，得到I AB I BA λλ−=−.证毕.2. 矩阵的相似对角化如果一个矩阵能够与一个对角阵相似，那么就称这个矩阵可对角化. 定理6.15 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.证 设12,,,m λλλ⋅⋅⋅是数域P 上n 阶矩阵A 的m 个互不相同的特征值，12,,,m ααα⋅⋅⋅分别是A 的属于12,,,m λλλ⋅⋅⋅的特征向量，并设10mi ii k α==∑.用A 左乘两端，得110m miii iii i k A k αλα====∑∑，用A 再左乘上式两端，得2110mmi i i i i i i i k A k λαλα====∑∑，类似方法得到110mm i ii i k λα−==∑.把以上各式合写成矩阵形式，得()1111221122111,,,01m m m m m mm k k k λλλλαααλλ−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅M M M . 由于12,,,m λλλ⋅⋅⋅互不相同，由范德蒙行列式的计算公式得()111122111101m m ijj i mm mmλλλλλλλλ−−≤<≤−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−≠⋅⋅⋅∏M MM，因此，()1122,,,0m m k k k ααα⋅⋅⋅=.而每一个()01,2,,i i m α≠=⋅⋅⋅，所以120m k k k ==⋅⋅⋅==，故12,,,m ααα⋅⋅⋅线性无关，证毕.定理6.16 设12,,,m λλλ⋅⋅⋅是线性变换σ的不同的特征值，如果12,,,i i i ir ααα⋅⋅⋅是属于i λ的线性无关的特征向量()1,2,,i m =⋅⋅⋅，则11112112,,,,,,,,m r m m mr αααααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅也线性无关.定理6.17 数域P 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是矩阵A 有n 个线性无关的特征向量.推论1 n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 的每一个i k 重特征值i λ（i k 又叫做i λ的代数重数），齐次方程组()0i I A x λ−=的基础解系恰有i k 个解（即()i i n R I A k λ−−=，特征值i λ的几何重数等于它的代数重数）. 或者说，n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 的每一个特征值i λ，都有dim i i V λλ=的代数重数.推论2 设V 是数域P 上n 维线性空间，σ是V 的一个线性变换，12,,,m λλλ⋅⋅⋅是σ的所有不同的特征值，12,,,m V V V λλλ⋅⋅⋅是其相应的特征子空间，则σ在某一个基下的矩阵是对角形的充分必要条件是，特征子空间12,,,m V V V λλλ⋅⋅⋅的维数之和等于线性空间V 的维数. 换句话说，σ在某一个基下的矩阵是对角形的充分必要条件是12m V V V V λλλ=⊕⊕⋅⋅⋅⊕.推论3 如果n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值，那么A 一定可以对角化.例6.33 设123,,εεε是3维线性空间V 的一个基，线性变换σ在这个基下的矩阵是100252241A=−−−−.（1）证明A 可以对角化；（2）求相似变换X ，使1X AX −为对角形矩阵； （3）求kA ；（4）求V 的一个基，使σ在这个基下的矩阵为（2）中求出的对角阵.例6.34 判断下列矩阵是否可以对角化211031213A −=−.练习 1. 矩阵321222361A − =−−−是否可以相似对角化？如果可以，求相似变换矩阵X ，使1X AX −成为对角形矩阵.答 A 可以对角化，121210301X −=−，()1diag 4,2,2X AX −=−.2. 设3阶矩阵A 满足()1,2,3i i A i i αα==，其中()()()1231,2,2,2,2,1,2,1,2TTTααα==−=−−，求矩阵A .答 7021*******A − =− −−.例6.35 设V 是复数域上的n 维线性空间，,στ是V 的线性变换，且σττσ=. 证明： （1）如果λ是σ的一特征值，那么V λ是τ的不变子空间； （2）,στ至少有一个公共特征向量. 证 （1）V λξ∀∈，由于()()()()()()()()()()στξστξτσξτσξτλξλτξ=====，因此，()V λτξ∈，故V λ是τ的不变子空间.（2）令0|V λττ=是τ在V λ上的限制，由于V λ是复数域上的线性空间，所以0τ在复数域上必有特征值λ′，因而存在,0V λξξ′′∈≠，使得()0τξλξ′′′=.所以，()()0τξτξλξ′′′′==.然而()σξλξ′′=，故ξ′是,στ的公共特征向量，证毕.§6.7 Hamilton-Cayley 定理与最小多项式前面已经知道，数域P 上的全体n n ×矩阵组成了线性空间n nP×，其维数等于2n ，因此，如下21n +个矩阵必线性相关：221,,,,n n A A A I −⋅⋅⋅.即存在不全为零的数()20,1,2,,i c i n=⋅⋅⋅，使得222211010n nn n c A c A c A c I −−++⋅⋅⋅++=.这表明矩阵A 适合数域P 上的某个多项式. 本节试图寻求次数更低的多项式()f x ，使得()0f A =.研究这个问题是有意义的，比如，设有3阶矩阵102011010A=−计算8542234A A A A I −++−.如果我们把A 的每一个方幂算出来，再代入计算显然计算量太大. 如果我们事先知道，对某个多项式()f x ，有()0f A =，然后用()f x 去除()8542234g x x x x x =−++−.由带余除法可知()()()()g x q x f x r x =+，这里()0r x =，或()()()()r x f x ∂<∂. 由()0f A =知()()g A r A =.如果()f x 的次数较低，则可极大地减少计算量. 1. Hamilton-Cayley 定理及其应用定理6.18 设A 是上三角阵，()f x 是A 的特征多项式，则()0f A =.证 设上三角阵112122n n n a a a A λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =O M ， 其主对角线上的元素正好是它的全部特征根12,,,n λλλ⋅⋅⋅. 则A 的特征多项式是()()()()12n f x x x x λλλ=−−⋅⋅⋅−.因此()()()()12n f A A I A I A I λλλ=−−⋅⋅⋅−.经过简单计算，可以得到()()()120i i A I A I A I e λλλ−−⋅⋅⋅−=，对一切1,2,,i n =⋅⋅⋅都成立. 而()()()()i j j i A I A I A I A I λλλλ−−=−−，因此()()()()120i n i f A e A I A I A I e λλλ=−−⋅⋅⋅−=对一切1,2,,i n =⋅⋅⋅都成立，故()0f A =，即矩阵A 的特征多项式()f x 以A 为根，证毕.下面我们把这个结论推广到一般情形.定理6.19 （Hamilton-Cayley 定理）设A 是数域P 上的一个n n ×矩阵，如果()111n n n n f I A a a a λλλλλ−−=−=++⋅⋅⋅++是A 的特征多项式，那么()1110n n n n f A A a A a A a I −−=++⋅⋅⋅++=.证 由定理6.14可知，复数域上任意一个方阵必相似于一个上三角阵. 因此，存在可逆阵X ，使得1A XBX−=，其中B 是上三角阵. 而相似的矩阵有相同的特征多项式，记,A B 有共同的特征多项式()f x ，由前面的分析可知，()0f B =. 因此，()()10f A Xf B X −==.证毕.推论 设σ是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，()f λ是σ的特征多项式，则()f o σ=.定理6.20 设V 是数域P 上n 维线性空间，σ是V 的一个线性变换，如果σ的特征多项式()f λ可以分解成一次因式的乘积()()()()1212s r r rs f λλλλλλλ=−−⋅⋅⋅−，其中12,,,s λλλ⋅⋅⋅是()f λ的所有不同的根，那么V 可以分解成σ不变子空间的直和12s V V V V =⊕⊕⋅⋅⋅⊕，其中()(){}()|01,2,,i ri i V V i s ξσλεξ=∈−==⋅⋅⋅.2. 最小多项式定义6.6 设A 是数域P 上的n 阶矩阵，()f x 是数域P 上的多项式，如果()0f A =，则称A 是()f x 的根，或称A 适合()f x . 进一步，如果()f x 是首项系数为1，且以A 为根的次数最低的多项式，则称()f x 是A 的最小多项式.性质1 设A 是数域P 上的n 阶矩阵，则A 的最小多项式是唯一的.性质2 设()f x 是数域P 上的多项式，A 是数域P 上的n 阶矩阵，如果()g x 是A 的最小多项式，则()f x 以A 为根的充分必要条件是()()|g x f x .推论 设A 是数域P 上的n 阶矩阵，则A 的最小多项式是A 的特征多项式的一个因式.由此可知，为了寻找A 的最小多项式，我们可以先求出A 的特征多项式()f x ，然后将()f x 分解因式，逐一检验，找出A 的最小多项式.例6.36 设矩阵110010001A=，求A 的最小多项式.解 因为A 的特征多项式为()31I A x λ−=−，所以，A 的最小多项式为()31x −的因式. 由于()20,0A I A I −≠−=，故A 的最小多项式为()21x −.练习 求矩阵100001010A=−的最小多项式.如果数域P 上的两个n 阶矩阵,A B 相似：1B XAX −=，那么对数域P 上的任意一个多项式()f x ，有()()1f B X f A X −=. 因此，()0f B =，当且仅当()0f A =，这说明，两个相似的矩阵有相同的最小多项式. 但是两个最小多项式相同的矩阵却未必相似.例6.37 设矩阵1100110001000100,0010002000020002A B==容易计算,A B 的最小多项式都是()()212x x −−. 但是。