高等代数教案第6章线性变换

第六章 线性变换

Ⅰ.授课题目

§6.1 线性变换 §6.2 线性变换运算 §6.3 线性变换的矩阵 §6.4 不变子空间 §6.5 特征值与特征向量 §6.6 矩阵的相似对角化

§6.7 Hamilton-Cayley 定理与最小多项式 §6.8 Jordan 标准形 Ⅱ.教学目的与要求

1. 理解线性变换、线性变换的矩阵以及线性变换的矩阵等概念；

2. 掌握特征值与特征向量的定义、性质、和计算法；

3. 理解线性变换的值域与核的概念，掌握不变子空间的定义与性质；

4. 掌握相似矩阵的概念和性质，以及相似对角化方法；

5. 理解Jordan 标准形、最小多项式的概念与性质. Ⅲ.重点与难点

重点: 特征值与特征向量的性质与计算，矩阵的相似对角化； 难点: 相似对角化，不变子空间. Ⅳ.教学内容

§6.1 线性变换

1. 线性变换

定义 6.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 的一个变换（即从V 到V 自身的映射），如果对于V 中的任意两个向量,αβ和数域P 中的任意数k ，都有

()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=，

则称σ是V 的一个线性变换.

例6.1 设n n

A P

×∈，对任意n P α∈，定义

()A σαα=，

则σ是线性空间n P 的一个线性变换.

例6.2 线性空间V 的恒等变换（或称单位变换）ε，即

()()V εααα=∈，

以及零变换o ，即

()()0o V αα=∈

都是线性变换.

例6.3设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个固定的数，定义

()()k V κααα=∈，

则κ是V 的一个线性变换，称之为数乘变换或相似变换或位似. 显然，当1k =是它是恒等变换，当

0k =便是零变换.

例6.4 在线性空间[]P x 中，定义

()()()()[],f x f x f x P x δ′=∈，1

则δ是线性空间[]P x 的一个线性变换.

例6.5 在线性空间[],C a b 中，定义

()()()()[]d ,,x

a

f x f x x f x C a b τ=∈∫

则τ是线性空间[],C a b 的一个线性变换.

2. 线性变换的性质

性质1 设σ是V 的一个线性变换，则()()()00,,V σσασαα=−=−∀∈.

性质2 线性变换保持线性组合不变，即

()()()()11221122r r r r k k k k k k σααασασασα++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.

性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.

注 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组. 但是，当线性变换可逆时，把线性无关的向量组一定变成线性无关的向量组.

定理6.1 设V 是数域P 上的线性空间，如果12,,,n εεε⋅⋅⋅的V 的一个基，12,,,n ααα⋅⋅⋅是V 的任意给定的一组向量，那么存在唯一的线性变换σ，使得

(),1,2,,.i i i n σεα==⋅⋅⋅

证 设α是V 中任意一个向量， 设1122n n a a a αεεε=++⋅⋅⋅+，定义

()1122n n a a a σαααα=++⋅⋅⋅+，

先证σ是V 的一个线性变换.

事实上对任意,V αβ∈，设1

n

i i

i a αε

==

∑，1

n

i i

i b βε

==

∑，则()1

n

i

i

i

i a b αβε

=+=

+∑. 因此

()()()()()1111

n n

n n

i i i i i i i i i i i i i i a b a b a b σαβσεααασασβ==== +=+=+=+=+ ∑∑∑∑；

其次，对k P ∈，1

n

i i

i a V αε

==

∈∑，则

()()111

n n

n

i i i i i i i i i k ka ka k a k σασεαασα=== ==== ∑∑∑.

因此，σ是V 的一个线性变换. 显然

(),1,2,,.i i i n σεα==⋅⋅⋅

即这样的线性变换是存在的.

设τ也是满足条件的线性变换，则对任意1

n

i i

i a V αε

==

∈∑，

()()()()111n

n

n i i i i i i i i i a a a σασετετετα===

====

∑∑∑.

故στ=. 证毕.

推论 设V 是数域P 上的线性空间，如果12,,,n εεε⋅⋅⋅的V 的一个基，,στ是V 的两个线性变换，如果

()(),1,2,,i i i n σετε==⋅⋅⋅，

那么στ=.

定理6.1和推论说明，线性空间V 上的线性变换完全由它的一组基的像唯一决定.

小结：线性空间，子空间，子空间的判定，子空间的和与交 课外作业：P152 1（1）～（4），2； P171 1～2

§6.2 线性变换的运算

1.线性变换的加法与数量乘法

设V 是数域P 上的n 维线性空间，()L V 表示V 上全体线性变换的集合. 对于任意两个线性变换(),L V στ∈，定义它们的和στ+：

()()()()()V στασαταα+=+∈.

则()L V στ+∈. 事实上，

()()()()σταβσαβταβ++=+++

()()()()σασβτατβ=+++ ()()()()σατασβτβ=+++