2015年七宝中学数学自招试卷及答案

2015年七宝中学自招试卷

1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22

a b +的最小值

【答案】2

【解析】2x =-Q 是220x ax b ++=的一个根，4220a b ∴-+=2a b ∴=+()2

22222244a b b b b b ∴+=++=++ ()22122b =++≥，所以最小值为2

2、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC

【答案】

【解析】如图，延长BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD BC ===，90BAE D ∠=∠=︒，Q E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴12AE AD =，12DF CD =，∴AE DF =，在ADF V 与BAE V 中AD AB BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，∴ADF V ≅BAE V ，∴DAF ABE ∠=∠，Q 90ABE AEB ∠+∠=︒，∴90DAF AEB ∠+∠=︒∴90APE ∠=︒Q BPG APE ∠=∠∴90BPG ∠=︒在ADF

V 与CGF V 中90AFD GFC DCG D CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩

，∴ADF V ≅CGF V ，∴CG AD =，∴CG BC =，∴162

PC BG ==，

3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。

【答案】2015-

【解析】令11a =-，21a =，31a =-，41a =……20141a =，20151a =-，所以每一项都是1-，可得最小值为2015-

4、已知：[]x 为不大于x 的最大整数，在1,2,3,,2015⋅⋅⋅中，有______个数满足

2

9x x -=

【答案】40

【解析】Q 29x x -=且x 在1,2,3,,2015⋅⋅⋅，∴9x ≥，当916x ≤<时，3x ⎡=⎣，29x =，则18x =（舍）；当1625x ≤<时，4x ⎡=⎣，2

16x =，则25x =（舍）；当2536x ≤<时，5x ⎡=⎣，225x =，则34x =；当3649x ≤<时，6x ⎡=⎣，236x =，则45x =；当4964x ≤<时，7x ⎡=⎣，2

49x =，则58x =，……在后面()221n x n ≤<+中，每组都有一个数满足题意，Q 224419362015202545=≤<=，∴共有445140-+=个数满足2

9x x ⎤-=⎦ 5、已知221x y +=222144122x x y y xy x y -+++-+-的值

【答案】3

【解析】Q 22

1x y +=∴11x -≤≤，11y -≤≤，且222144122x x y y xy x y -+++++-+-()()()()2212112x y x y =-++++-

∴10x +≥，20y -<，且()()120x y +-≥，∴()()120x y +-=∴1x =-，0y =，∴2221441223x x y y xy x y -+++++-+-=

6、113x x y -+++=的图像围成的面积是________

【答案】6

【解析】进行分类，利用113x x y -+++=对x 和y 进行分类；①1x ≤-，0y >时，23y x =+②11x -≤≤，0y >时，1y =③1x ≤，0y >时，23y x =-+④1x ≤-，0y <时，23y x =--⑤11x -≤≤，0y <时，1y =-⑥1x ≤，0y <时，23y x =-；可画出如图所示的图像为：

可看出封闭图形为六边形，且上下分别为两个等腰梯形，则封闭图形面积为

()1241262

+⨯⨯= 7、方程20x ax b ++=与2

0x bx a ++=有一个公共根，另两个根为：12,x x ；方程20x cx d -+=与20x dx c -+=有一个公共根，另两个根为34,x x ，求1234x x x x 的取值范围(),,,0,.a b c d a b c d <≠≠

【答案】

【解析】根据题意，20x ax b ++=，20x bx a ++=，20x cx d -+=，2

0x dx c -+=均有两个公共根，由两个方程相减的计算可得方程20x ax b ++=与20x bx a ++=的公共根

为1，方程20x cx d -+=与2

0x dx c -+=的公共根为1-，不妨令1x 为方程20x ax b ++=的根，2x 为方程20x bx a ++=的根，3x 为方程20x cx d -+=的根，4x 为

方程2

0x dx c -+=的根，由韦达定理两根之积为c a

有1x b =，2x a =，3x d =-，4x c =-且由韦达定理两根之和为b a -有1010b a a b +=->⎧⎨+=->⎩及1010d c c d --=<⎧⎨--=<⎩，则可得101010

10a b c d -<<⎧⎪-<<⎪⎨-<<⎪⎪-<<⎩ ∴12340x x x x abcd =>又

Q ()()()()()()1234111x x x x ab c d a a d d ad a d ad =--=---+=+++且

10,10a d -<<-<<

∴

20a d =--≥

，即a d +≤-∴(

)(

))21234111x x x x ad a d ad ad ad ad

=+++≤-=

令t =01t <<

∴)()()2

2222123411x x x x ad t t t t ≤=-=- 由二次函数的性质可知：当102t <≤时，2t t -随t 的增大而减小；当112

t <<时，2t t -随t 的增大而增大； 所以2

211022t t ⎛⎫-≤-< ⎪⎝⎭，即2104t t -≤-<，则()221016t t <-≤，即()221234116x x x x t t ≤-≤，综上，1234x x x x 的取值范围为12341016

x x x x <≤ 附：无答案试卷

1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22

a b +的最小值

2、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC