2015年七宝中学数学自招试卷及答案
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题1．方程cos x ＝sin π6的解为x ＝ ．2．设{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则a 2+a 8＝ ． 3．求值：sin[arccos(−23)]= ．4．函数y ＝arccos （sin x ），x ∈(−π3，2π3)的值域是 ．5．设数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝﹣1，S n −12a n+1=0（n ∈N *），则{a n }的通项公式为 ．6．利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+⋯+12n −1＞n2（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k +1”时，左边增加了 项．7．若f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点，则b ﹣a 的最小值为 ．8．设数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n，n ＞3，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）＝ ． 9．已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a n ={2n−1，n 为正奇数2n −1，n 为正偶数，则S 9＝ ．10．对于正项数列{a n }，定义H n =na 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n =2n+2，则数列{a n }的通项公式为 ．11．△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ，则A 的取值范围为 ．12．关于x 的方程x 2﹣4 arctan （cos x ）+π•a 2＝0只有一个实数根，则实数a ＝ ． 13．等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3，（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos2015π6，则S 2014＝ ．14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45⋯，1n，2n，…，n−1n，…有如下运算和结论：①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…的前n 项和为T n =n 2+n 4；④若存在正整数k ，使S k ＜10，S k +1≥10，则a k =57．其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 二、选择题15．已知{a n }、{b n }都是公差不为0的等差数列，且lim n→∞anb n=2，S n ＝a 1+a 2+…+a n ，则lim n→∞2S nnb2n的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．1D ．不存在16．设{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a 2n ﹣1}是（ ） A ．公比为12的等比数列B ．公比为√22的等比数列C ．公比为√22或−√22的等比数列D ．公比为√24或1√24的等比数列17．函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个φ值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π618．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列命题：（1）若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }也是递增数列； （2）数列{S n }是递增数列的充要条件是数列{a n }的各项均为正数；（3）若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则S 1•S 2…S k ＝0的充要条件是a 1•a 2…a k ＝0． （4）若{a n }是等比数列，则S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）的充要条件是a n +a n +1＝0． 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题19．已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣n ）x ﹣2n 的图象与x 轴正半轴的交点为A （a n ，0），n ＝1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =3a n +(−1)n−1⋅λ⋅2a n (n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有b n +1＞b n ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数f （x ）＝2√3sin x cos x +3sin 2x +cos 2x ﹣2，x ∈R ； （1）求函数f （x ）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若f （A ）＝2，C =π4．，c ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的值；21．已知函数f （x ）＝2sin （ωx ），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数F(x)=f(x)+f(x +π2)的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令ω＝2，将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象．对任意a ∈R ，求y ＝g （x ）在区间[a ，a +10π]上的零点个数的所有可能．22．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，b n ＝a 2n ﹣2；（1）求a 2、a 3、a 4；（2）求证：数列{b n }为等比数列，并求其通项公式； （3）求和T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ；23．已知{a n }，{b n }为两非零有理数列（即对任意的i ∈N *，a i ，b i 均为有理数），{d n }为一无理数列（即对任意的i ∈N *，d i 为无理数）．（1）已知b n ＝﹣2a n ，并且（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝0对任意的n ∈N *恒成立，试求{d n }的通项公式．（2）若{d n 3}为有理数列，试证明：对任意的n ∈N *，（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝1恒成立的充要条件为{a n =11+d n6b n =d n31+d n 6． （3）已知sin2θ=2425（0＜θ＜π2），d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，试计算b n ．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题1．方程cos x ＝sin π6的解为x ＝ 2k π±π3（k ∈Z ） ．【分析】由诱导公式可得cos x ＝sinπ6=cosπ3=cos （−π3），由余弦函数的周期性可得：x ＝2k π±π3（k ∈z ）． 解：因为方程cos x ＝sinπ6=cosπ3=cos （−π3），所以x ＝2k π±π3（k ∈z ）， 故答案为：2k π±π3（k ∈z ）．2．设{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则a 2+a 8＝ 2π3．【分析】根据等差数列的性质即可求出． 解：∵a 1+a 5+a 9＝π＝3a 5， ∴a 5=π3，∴a 2+a 8＝2a 5=2π3，故答案为：2π33．求值：sin[arccos(−23)]= √53．【分析】利用反三角函数的定义、同角三角函数的基本关系求得sin[arccos （−23）]的值．解：由题意，sin[arccos （−23）]=√1−cos 2[arccos(−23)]=√53．故答案为：√53． 4．函数y ＝arccos （sin x ），x ∈(−π3，2π3)的值域是 [0，5π6) ．【分析】先将sin x 看作整体求出其取值范围，再利用反余弦函数的性质求解．解：当−π3＜x ＜2π3时，−√32＜sin x ≤1，由于反余弦函数是定义域[﹣1，1]上的减函数，且arccos （−√32）=5π6，arccos1＝0，所以值域为 [0，5π6)故答案为：[0，5π6)．5．设数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝﹣1，S n −12a n+1=0（n ∈N *），则{a n }的通项公式为a n ={−1，n =1−2⋅3n−2，n ≥2．【分析】n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，化为：a n +1＝3a n ．n ＝1时，﹣1＝a 1=12a 2，解得a 2＝﹣2．不满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出． 解：n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=12a n +1−12a n ，化为：a n +1＝3a n ． n ＝1时，﹣1＝a 1=12a 2，解得a 2＝﹣2．不满足上式．∴数列{a n }在n ≥2时成等比数列．∴n ≥2时，a n ＝﹣2×3n ﹣2．∴a n ={−1，n =1−2×3n−2，n ≥2．故答案为：a n ={−1，n =1−2×3n−2，n ≥2．6．利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+⋯+12n −1＞n2（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k +1”时，左边增加了 2k 项． 【分析】，最后一项为12−1，n ＝k +1时，最后一项为12−1，由此可得由n ＝k 变到n ＝k +1时，左边增加的项数． 解：由题意，n ＝k 时，最后一项为12−1，n ＝k +1时，最后一项为12−1，∴由n ＝k 变到n ＝k +1时，左边增加了2k +1﹣（2k +1）+1＝2k ， 故答案为：2k ．7．若f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点，则b ﹣a 的最小值为86π3．【分析】再据函数的零点的定义求得函数f （x ）的零点，从而得出结论．解：根据f （x ）＝2sin x ﹣1＝0，即sin x =12，故x ＝2k π+π6，或x ＝2k π+5π6， ∵f （x ）＝2sin x ﹣1在区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）上至少含有30个零点， ∴不妨假设a =π6（此时，k ＝0），则此时b 的最小值为28π+5π6，（此时，k ＝14）， ∴b ﹣a 的最小值为28π+5π6−π6=86π3，故答案为：863π8．设数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n，n ＞3，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）＝ 14524 ． 【分析】利用数列的通项公式，求解数列的和，然后求解数列的极限． 解：数列{a n }的通项公式为a n ={n ，1≤n ≤3(−12)n ，n ＞3， 则a 1+a 2+…+a n ＝1+2+3+116(1−(−12)n−3)1+12=6+124(1+(−12)n−3)，则lim n→∞（a 1+a 2+…+a n ）=lim n→∞[6+124(1+(−12)n−3)]=14524． 故答案为：14524．9．已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a n ={2n−1，n 为正奇数2n −1，n 为正偶数，则S 9＝ 377 ．【分析】由数列的通项可先求出数列的前9项，然后结合等差数列与等比数列的求和公式可求解：∵a n ={2n−1(n 为正奇数)2n −1(n 为正偶数)，∴数列的前9项分别为20，3，22，7，24，11，26，15，28 S 9=(20+22+24+26+28)+（3+7+11+15）=1−451−4+36=377 故答案为37710．对于正项数列{a n }，定义H n =na 1+2a 2+3a 3+⋯+na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n =2n+2，则数列{a n }的通项公式为 a n =2n+12n．【分析】根据“光阴”值的定义，及H n=2n+2，可得a1+2a2+…+na n=n(n+2)2，再写一式，两式相减，即可得到结论．解：∵H n=na1+2a2+3a3+⋯+na n∴a1+2a2+…+na n=n H n∵H n=2n+2∴a1+2a2+…+na n=n(n+2)2①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=(n−1)(n+1)2②①﹣②得na n=n(n+2)2−(n−1)(n+1)2=2n+12∴a n=2n+12n故答案为：a n=2n+12n11．△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围为（0，60°]．【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cos A，将得出的不等式变形后代入表示出的cos A中，得出cos A的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C得：a2≤b2+c2﹣bc，变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc≥bc2bc=12，又A为三角形的内角，则A的取值范围是（0，60°]．故答案为：（0，60°]12．关于x的方程x2﹣4 arctan（cos x）+π•a2＝0只有一个实数根，则实数a＝±1．【分析】设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则可判断出f（x）为偶函数，又f（x）只有一个零点，故只能是x＝0，将x＝0代入原方程解得a＝±1．解：设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4arctan（cos（﹣x））+π•a2＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2＝f（x）∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，又依题意f （x ）只有一个零点，故此零点只能是x ＝0， 所以0﹣4arctan （cos0）+π•a 2＝0， ∴﹣4arctan1+π•a 2＝0， ∴﹣4×π4+π•a 2＝0， ∴a 2＝1，∴a ＝±1， 故答案为：±113．等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3，（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos2015π6，则S 2014＝ 4028 ．【分析】将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a 2+a 2013的值，利用等差数列的性质及数列的前n 项和公式求出n 项和． 解：（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）＝sin2014π3=√32，① （a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝cos 2015π6=−√32，② ①+②得，（a 2﹣2）3+2013（a 2﹣2）+（a 2013﹣2）3+2013（a 2013﹣2）＝0，即（a 2﹣2+a 2013﹣2）[（a 2﹣2）2﹣（a 2﹣2）（a 2013﹣2）+（a 2013﹣2）2]+2013（a 2﹣2+a 2013﹣2）＝0， ∴a 2﹣2+a 2013﹣2＝0， 即a 2+a 2013＝4， ∴S 2014=(a 1+a 2014)×20142=1007×（a 2+a 2013）＝4028， 故答案为：4028．14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45⋯，1n，2n，…，n−1n，…有如下运算和结论：①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…的前n 项和为T n =n 2+n 4；④若存在正整数k ，使S k ＜10，S k +1≥10，则a k =57．其中正确的结论是 ①③④ ．（将你认为正确的结论序号都填上）【分析】①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，…，18，28，38，故a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是12，1，64，2，⋯n−12，由等差数列定义知：数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：Tn =n 2+n 4；④由③知S k ＜10，S k +1≥10，即：n 2+n 4＜10，(n+1)2+(n+1)4≥10，故a k =57．解：①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，…，18，28，38，∴a 24=38，故①正确；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是12，1，64，2，⋯n−12，由等差数列定义n−12−n−22=12（常数）所以数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，故②不正确． ③∵数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：Tn =n 2+n 4，故③正确；④由③知S k ＜10，S k +1≥10， 即：n 2+n 4＜10，(n+1)2+(n+1)4≥10，∴k ＝7，a k =57．故④正确．故答案为：①③④． 二、选择题15．已知{a n }、{b n }都是公差不为0的等差数列，且lim n→∞anb n=2，S n ＝a 1+a 2+…+a n ，则lim n→∞2S nnb2n的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．1D ．不存在【分析】首先{a n }和{b n }都是公差不为零的等差数列，可根据等差数列的性质列出等量关系式代入lim n→∞anb n=2，得到关系式，再求解．解：因为{a n }和{b n }都是公差不为零的等差数列，所以设b n ＝b 1+（n ﹣1）d 1a n ＝a 1+（n ﹣1）d 2 故 lim n→∞an b n =lim n→∞a 1+(n−1)d1b 1+(n−1)d 2=2，可得d 1＝2d 2 又因为a 1+a 2+…+a n ＝na 1+n(n−1)d 12和b 2n ＝b 1+（2n ﹣1）d 1代入 则lim n→∞2S n nb 2n =lim n→∞（2×na 1+n(n−1)d 12nb 1+n(2n−1)d2）=d 12d 2=1． 故选：C ．16．设{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a 2n ﹣1}是（ ） A ．公比为12的等比数列B ．公比为√22的等比数列C ．公比为√22或−√22的等比数列D ．公比为√24或24的等比数列【分析】根据题意，分析可得S n ＝2S 4，结合等比数列的前n 项和公式可得a 11−q=2a 1(1−q 4)1−q，解可得q ＝±√24，又由数列{a 2n ﹣1}为{a n }的奇数项组成的数列，结合等比数列的性质分析可得答案．解：根据题意，若{a n }的前四项之和等于第五项起以后所有项之和， 则S n ＝2S 4，又由{a n }是公比为q （0＜|q |＜1）的无穷等比数列，则a 11−q=2a 1(1−q 4)1−q，变形可得q 4=12，则q ＝±√24，数列{a 2n ﹣1}为{a n }的奇数项组成的数列，则数列{a 2n ﹣1}为公比为q 2=√22的等比数列；故选：B ．17．函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内，则满足此条件的一个φ值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【分析】求出函数的对称轴方程，使得满足在(π6，π3)内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值．解：函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的对称轴方程为：x =kπ2+π4−φ2k ∈Z ， 函数y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)图象的一条对称轴在(π6，π3)内， 所以π6＜kπ2+π4−φ2＜π3当 k ＝0 时π12＞φ2＞−π12，φ=π12故选：A ．18．若数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列命题：（1）若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }也是递增数列； （2）数列{S n }是递增数列的充要条件是数列{a n }的各项均为正数；（3）若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则S 1•S 2…S k ＝0的充要条件是a 1•a 2…a k ＝0． （4）若{a n }是等比数列，则S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）的充要条件是a n +a n +1＝0． 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n 项和的意义，通过举反例可得（1）、（2）、（3）不正确．经过检验，只有（4）正确，从而得出结论． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，故 S n ＝a 1+a 2+a 3+…+a n ，若数列{a n }是递增数列，则数列{S n }不一定是递增数列，如当a n ＜0 时，数列{S n }是递减数列，故（1）不正确．由数列{S n }是递增数列，不能推出数列{a n }的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…， 满足{S n }是递增数列，但不满足数列{a n }的各项均为正数，故（2）不正确．若{a n }是等差数列（公差d ≠0），则由S 1•S 2…S k ＝0不能推出a 1•a 2…a k ＝0，例如数列：﹣3，﹣1，1，3，满足S 4＝0，但 a 1•a 2•a 3•a 4≠0，故（3）不正确．若{a n }是等比数列，则由S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ）可得数列的{a n }公比为﹣1，故有a n +a n +1＝0．由a n +a n +1＝0可得数列的{a n }公比为﹣1，可得S 1•S 2…S k ＝0（k ≥2，k ∈N ），故（4）正确． 故选：B ． 三、解答题19．已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣n ）x ﹣2n 的图象与x 轴正半轴的交点为A （a n ，0），n ＝1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n=3a n+(−1)n−1⋅λ⋅2a n(n为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b n+1＞b n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数f（x）＝x2+（2﹣n）x﹣2n的图象与x轴正半轴的交点横坐标只需令y ＝0求出x即为数列{a n}的通项公式；（2）若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立，然后讨论n的奇偶将λ进行分离，利用恒成立的方法求出λ的范围即可．解：（1）设f（x）＝0，x2+（2﹣n）x﹣2n＝0得x1＝﹣2，x2＝n．所以a n＝n（2）b n＝3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立即：3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，(32)n−1＞(−1)n−1⋅λ恒成立当n为奇数时，(32)n−1＞λ⇒λ＜1当n为偶数时，(32)n−1＞−λ⇒λ＞−32所以−32＜λ＜1，故：λ＝﹣120．已知函数f（x）＝2√3sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2，x∈R；（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）＝2，C=π4．，c＝2，求△ABC的面积S△ABC的值；【分析】（1）用二倍角的正弦和余弦公式化简f（x）为f（x）＝2sin（2x−π6），然后根据正弦函数的递增区间[−π2+2kπ，π2+2kπ]（k∈Z），可得f（x）的递增区间[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z，所得结果与（0，π）取交集即可得到结果；（2）由f（A）＝2，可得A=π3，则可得B=5π12，由正弦定理可得a边，再由面积公式S△ABC=12acsinB可求得．解：（1）因为f（x）＝2√3sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2 =√3sin2x+2sin2x﹣1=√3sin2x﹣cos2x＝2sin （2x −π6），由−π2+2k π≤2x −π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 得−π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ， 又x ∈（0，π），所以0＜x ≤π3或5π6≤x ＜π，所以函数f （x ）在（0，π）上的递增区间为：（0，π3]，[5π6，π），（2）因为f （A ）＝2，∴2sin （2A −π6）＝2，∴sin （2A −π6）＝1， ∴2A −π6=π2+2k π，k ∈Z ，∴A =π3+k π，k ∈Z ， ∵0＜A ＜π，∴A =π3．∴B =π12，在三角形ABC 中由正弦定理得a sinA =csinC，∴a =csinA sinC =2×√3222=√6， S △ABC =12ac sin B =12×√6×2×sin5π12=3+√32． 21．已知函数f （x ）＝2sin （ωx ），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数F(x)=f(x)+f(x +π2)的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ） 令ω＝2，将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象．对任意a ∈R ，求y ＝g （x ）在区间[a ，a +10π]上的零点个数的所有可能．【分析】（1）特值法：ω＝1时，写出f （x ）、F （x ），求出F （π4）、F （−π4），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g （x ），令g （x ）＝0可得g （x ）可能的零点，而[a ，a +10π]恰含10个周期，分a 是零点，a 不是零点两种情况讨论，结合图象可得g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值； 解：（1）f （x ）＝2sin x ，F （x ）＝f （x ）+f （x +π2）＝2sin x +2sin （x +π2）＝2（sin x +cos x ）， F （π4）＝2√2，F （−π4）＝0，F （−π4）≠F （π4），F （−π4）≠﹣F （π4），所以，F （x ）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f （x ）＝2sin2x ，将y ＝f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin2（x +π6）+1的图象，所以g （x ）＝2sin2（x +π6）+1． 令g （x ）＝0，得x ＝k π+512π或x ＝k π+34π（k ∈z ）， 因为[a ，a +10π]恰含10个周期，所以，当a 是零点时，在[a ，a +10π]上零点个数21， 当a 不是零点时，a +k π（k ∈z ）也都不是零点，区间[a +k π，a +（k +1）π]上恰有两个零点，故在[a ，a +10π]上有20个零点．综上，y ＝g （x ）在[a ，a +10π]上零点个数的所有可能值为21或20． 22．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，b n ＝a 2n ﹣2；（1）求a 2、a 3、a 4；（2）求证：数列{b n }为等比数列，并求其通项公式； （3）求和T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ；【分析】（1）由数列的递推式，可令n ＝1，n ＝2，n ＝3计算可得所求值；（2）由数列的递推式，变形整理，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； （3）求得a 2n ＝2﹣（12）n ，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）a 1＝1，a n +1={0.5a n +n ，n 为正奇数a n −2n ，n 为正偶数，可得a 2＝1+12a 1＝1+12=32； a 3＝a 2﹣4=−52，a 4＝3+12a 3=74；（2）证明：b n ＝a 2n ﹣2=12a 2n ﹣1+2n ﹣1﹣2=12（a 2n ﹣2﹣4n +4）+2n ﹣1﹣2 =12（a 2n ﹣2﹣2）=12b n ﹣1，可得数列{b n }为公比为12，首项为−12等比数列，即b n ＝﹣（12）n ；（3）由（2）可得a 2n ＝2﹣（12）n ，T n ＝a 2+a 4+…+a 2n ＝2n ﹣（12+14+⋯+12n）＝2n −12(1−12n )1−12=2n ﹣1+（12）n ．23．已知{a n }，{b n }为两非零有理数列（即对任意的i ∈N *，a i ，b i 均为有理数），{d n }为一无理数列（即对任意的i ∈N *，d i 为无理数）．（1）已知b n ＝﹣2a n ，并且（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝0对任意的n ∈N *恒成立，试求{d n }的通项公式．（2）若{d n 3}为有理数列，试证明：对任意的n ∈N *，（a n +b n d n ﹣a n d n 2）（1+d n 2）＝1恒成立的充要条件为{a n =11+d n6b n =d n 31+d n 6．（3）已知sin2θ=2425（0＜θ＜π2），d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，试计算b n ．【分析】（1）由d n 2+1≠0，可得a n d n 2−b n d n −a n =0，由a n ≠0，可得d n 2+2d n −1=0，解出即可得出．（2）由(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，可得a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，利用{d n 3}为有理数列，即可证明．（3）由体积可得25tan θ＝12+12tan 2θ．分类讨论，利用{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列，即可得出．解：（1）∵d n 2+1≠0，∴a n +b n d n −a n d n 2=0，即a n d n 2−b n d n −a n =0， ∴a n d n 2+2a n d n −a n =0，∵a n ≠0，∴d n 2+2d n −1=0，∴d n =−1±√2．（2）∵(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，∴a n d n 2+a n +b n d n 3+b n d n −a n d n 4−a n d n 2=1，∴a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，∵{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列， ∴{a n +b n d n 3=1b n −a n d n 3=0，∴{a n =11+d n 6b n =d n31+d n 6，以上每一步可逆． （3）sin2θ=2tanθ1+tan 2θ=2425，∴25tan θ＝12+12tan 2θ．∵d n =√tan(n ⋅π2+(−1)n θ)3，∴d n 3=tan(n ⋅π2+(−1)n θ)， 当n ＝2k （k ∈N *）时，∴d n 3=tan(2k ⋅π2+θ)=tanθ当n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，∴d n 3=tan((2k −1)⋅π2−θ)=cotθ，∴{d n 3}为有理数列，∵(a n +b n d n −a n d n 2)(1+d n 2)=1，∴a n d n 2+a n +b n d n 3+b n d n −a n d n 4−a n d n 2=1， ∴a n +b n d n 3+d n (b n −a n d n 3)=1，∵{a n }，{b n }，{d n 3}为有理数列，{d n }为无理数列，∴{a n +b n d n 3=1b n −a n d n 3=0，∴b n =d n 31+d n6， ∴b n =d n31+d n6=tan(n⋅π2+(−1)nθ)1+tan 2(n⋅π2+(−1)nθ)=12sin(n ⋅π+2(−1)n θ)当n ＝2k （k ∈N *）时，∴b n =12sin(2k ⋅π+2θ)=12sin2θ=1225当n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，∴b n =12sin((2k −1)⋅π−2θ)=12sin2θ=1225，∴b n =1225．。
七宝自招题
七宝自招数学试题基本由四个方向组成一、重视知识点的灵活运用。
比如这道分母有理化的计算题，同学可以尝试做一下。
大多数同学都会把分子、分母同时乘以，这样去做未尝不可，但是计算过程极其复杂。
在七宝自招数学共60分的试卷中，这道题占5分，换言之如果付出十多分钟的计算时间显然得不偿失。
那么，更好、更巧妙的方法是什么呢？二、重视知识面的考察。
二期课改之后，初中课本中大量知识点被删除，原先很多初中核心知识点被标上“星号”从而移除出考纲，但是自主招生考试对于这些“纲外”知识一并纳入，都会考到。
此外，包括部分高中知识点，如基本不等式、三角函数、等差数列求和公式，甚至“更难”的高斯方程，这些考点在近年七宝的自招中都出现过。
既然有过先例，那么对于上述知识，凡是想考七宝的同学，必须全力攻克。
三、重视数学思想方法考察。
毫无疑问，数学思想方法几乎是每一个高中生学好数学的必备钥匙。
那么，高中老师以它作为侧重点来考核初中学生就再自然不过了。
尤其是分类讨论、数形结合、函数与方程、换元化归，这四大思想几乎是所有学校的必考内容。
当然，七宝中学也有所谓个性存在。
比如，极限思想。
这是一道典型的极限思想考察题。
无数个根号三，根号里面套根号，初中学生几乎没有学过类似的解题工具。
如果同学真的很有能力，可以把上面这道题轻松解决的话，不妨来看看下面这道题。
例题6和例题5相比，虽然形式上有相似的地方，但是难度上提升了一大截。
初二同学可能觉得做起来很困难，其实都是正常的反应。
但是必须要明确的是，如果想考七宝，那么未来大半年时间内一定要在这些领域里下足功夫。
毕竟，机会青睐那些有准备的人。
四、重视能力的考察。
对于这一类型的要求，最明显的就是近年自招考场上出现了大量所谓“新概念题”，这是未来高考一个鲜明的特征，重视同学的能力迁移，以及对于新知识点所谓“现学现卖”的能力。
比如七宝中学连续几年都考了“高斯方程”，这个知识点不仅初中没学过，就连高中课本里也没有，它是大学高等数学的内容。
2015-2016年上海市闵行区七宝中学高一上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1．（4分）若集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x﹣y=1}，用列举法表示：A∩B=．2．（4分）设全集U=R，若集合，则∁U A=．3．（4分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 的非空真子集的个数为．4．（4分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是命题．（填入“真”或“假”）5．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=．6．（4分）已知集合，则M∩N=．7．（4分）函数y=的定义域是．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，则f （x）的解析式为．9．（4分）已知函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（x∈R），写出y＞0的充要条件．10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．11．（4分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．（4分）设[x]表示不超过x的最大整数，用数组组成集合A的元素的个数是．二、选择题（本大趣共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）若关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＞7 B．a＞1 C．a≥1 D．1＜a＜714．（4分）判断函数f（x）=的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④16．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．1三、解答题（本大题共5题，满分56分10'+10'+10'+12'+14'=56'）17．（10分）已知集合A={x|}，实数a使得集合B={x|（x﹣a）（x﹣5）＞0}满足A⊆B，求a的取值范围．18．（10分）（1）试用比较法证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）（2）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．19．（10分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．21．（14分）已知集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；（3）写出所有满足集合A的偶数．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1．（4分）若集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x﹣y=1}，用列举法表示：A∩B={（3，2）} ．【解答】解：解方程组：，可得：∴集合A∩B=．故答案为：{（3，2）}2．（4分）设全集U=R，若集合，则∁U A={x|x≤0或x＞1} ．【解答】解：∵全集U=R．={x|0＜x≤1}，∴∁U A={x|x≤0或x＞1}．故答案为：{x|x≤0或x＞1}．3．（4分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，∴M={5，6，7，8}，∴M的非空真子集的个数为：24﹣2=14．故答案为：14．4．（4分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是假命题．（填入“真”或“假”）【解答】解：若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的逆命题为：若x+y＞5，则x＞2且y＞3，此命题为假命题，原因：若x=4，y=1，此时x+y＞5，但是x＞2且y＞3不成立而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题故答案为：假5．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）={7，9} ．【解答】解：∵集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，∴∁U A={2，4，6，7，9}，∁U B={0，1，3，7，9}，则（∁U A）∩（∁U B）={7.9}，故答案为：{7，9}6．（4分）已知集合，则M∩N={z|z≥﹣1} ．【解答】解：集合，可得M={y|y≥﹣2}，N={x|x≥﹣1}，则M∩N={z|z≥﹣1}．故答案为：{z|z≥﹣1}．7．（4分）函数y=的定义域是{x|x＜0，且x≠﹣1} ．【解答】解：若使函数y=的解析式有意义，自变量x须满足解得x＜0且x≠﹣1故函数的定义域为{x|x＜0，且x≠﹣1}故答案为：{x|x＜0，且x≠﹣1}8．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，则f（x）的解析式为f（x）=．【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+x+1，所以f（0）=0，则x＞0时，﹣x＜0，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2+（﹣x）+1]=﹣x2+x﹣1．f（x）=，故答案为：f（x）=．9．（4分）已知函数y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3（x∈R），写出y＞0的充要条件a≥1或a＜﹣．【解答】解：若y=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3＞0，则当a2﹣1=0，即a=1或a=﹣1，当a=1时，不等式等价为3＞0，满足条件．当a=﹣1时，不等式等价为﹣2x+3＞0，x＜，不满足条件．当a≠±1时，要使y＞0，则，即，得，，得a＞1或a＜﹣，综上a≥1或a＜﹣，反之也成立，故答案为：a≥1或a＜﹣10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：511．（4分）定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是2．【解答】解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．12．（4分）设[x]表示不超过x的最大整数，用数组组成集合A的元素的个数是76．【解答】解：根据题意，令A n=，显然0≤A n≤100，若A n=0，即0≤＜1，解可得：n=1、2、3、…9，若A n=1，即1≤＜2，解可得：n=10、11、…14，若A n=2，即2≤＜3，解可得：n=15、16、17，若A n=3，即3≤＜4，解可得：n=18、19，若A n=4，即4≤＜5，解可得：n=20、21、22，若A n=5，即5≤＜6，解可得：n=23、24，若A n=6，即6≤＜7，解可得：n=25、26，若A n=7，即7≤＜8，解可得：n=27、28，若A n=8，即8≤＜9，解可得：n=29，若A n=9，即9≤＜10，解可得：n=30、31，若A n=10，即10≤＜11，解可得：n=32、33，若A n=11，即11≤＜12，解可得：n=34，若A n=12，即12≤＜13，解可得：n=35、36，若A n=13，即13≤＜14，解可得：n=37，若A n=14，即14≤＜15，解可得：n=38，若A n=15，即15≤＜16，解可得：n=39，若A n=16，即16≤＜17，解可得：n=40、41，若A n=17，即17≤＜18，解可得：n=42，若A n=18，即18≤＜19，解可得：n=43，若A n=19，即19≤＜20，解可得：n=44，若A n=20，即20≤＜21，解可得：n=45，若A n=21，即21≤＜22，解可得：n=46若A n=22，即22≤＜23，解可得：n=47，若A n=23，即23≤＜24，解可得：n=48，若A n=24，即24≤＜25，解可得：n=49，当n≥50时，（n+1）2﹣n2=2n+1＞100，即当n≥50时，每一个n对应一个[]的值，故一共有25+51=76个不同的数值，即组成集合A的元素的个数是76；故答案为：76．二、选择题（本大趣共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）若关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，则实数a的取值范围是（）A．a＞7 B．a＞1 C．a≥1 D．1＜a＜7【解答】解：由于|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的x对应点到4和﹣3对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x的不等式|x﹣4|+|x+3|＜a有实数解，可得a＞7，故选：A．14．（4分）判断函数f（x）=的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵函数，∴f（﹣x）+f（x）=+==0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数是奇函数，故选：A．15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；③a2+b2﹣4ab+3b2=（a﹣2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=2，b=1时，左边=5，右边=4×1×2﹣3×22=﹣4∴③不恒成立；④ab+≥2=2＞2恒成立．故选：D．16．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②，又由A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∴C（S）=3．故选：B．三、解答题（本大题共5题，满分56分10'+10'+10'+12'+14'=56'）17．（10分）已知集合A={x|}，实数a使得集合B={x|（x﹣a）（x﹣5）＞0}满足A⊆B，求a的取值范围．【解答】解：A=（3，4）…..（2分）a≥5时，B=（a，+∞）∪（﹣∞，5），满足A⊆B；…..（6分）a＜5时，B=（5，+∞）∪（﹣∞，a），由A⊆B，得a≥4，故4≤a＜5，…..（10分）综上，得实数a的取值范围为a≥4．…..（12分）18．（10分）（1）试用比较法证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（m，n，a，b∈R）（2）已知x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．【解答】（1）证明：左边=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2，右边=a2x2+2abxy+b2y2，左边﹣右边=a2y2+b2x2﹣2abxy=（ay﹣bx）2≥0，…（2分）∴左边≥右边，命题得证．…（3分）（2）解：∵x2+y2=2，∴由柯西不等式得：（x2+y2）（）≥，…（5分）∴的最小值为．…（7分）19．（10分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），（4分）当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）（2）设年利润为u（万元），则=．（11分）所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）20．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．21．（14分）已知集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；（3）写出所有满足集合A的偶数．【解答】解：（1）∵8=32﹣1，9=52﹣42，∴8∈A，9∈A，假设10=m2﹣n2，m，n∈Z，则（|m|+|n|）（|m|﹣|n|）=10，且|m|+|n|＞|m|﹣|n|＞0，∵10=1×10=2×5，∴或，显然均无整数解，∴10∉M，∴8∈A，9∈A，10∉A，（2）∵集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，则恒有2k+1=（k+1）2﹣k2，∴2k+1∈A，∴即一切奇数都属于A，又∵8∈A，∴x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”，（3）集合A={x|x=m2﹣n2，m、n∈Z}，m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）成立，①当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，（m﹣n）（m+n）为4的倍数，②当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，综上所有满足集合A的偶数为4k，k∈Z．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015年七宝中学数学自招试卷及答案
222015年七宝中学自招试卷【答案】2 ,所以最小值为点为P ,求PCA B【答案】【解析】如图，延长 BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形,AB AD CD BC ， BAE D 90，Q E 、F 分别为 AD 、CD 的中点,AD ABAE 1AD ，DF21CD ， 2AE DF ,在 VADF 与 VBAE 中 BAEAE DFD ，VADF VBAE ， DAF ABE ，Q ABE AEB 90，DAFAEB 90APE90 Q BPGAPEBPG 90 在 VADFAFD GFC与VCGF 中DCG D 90，VADF VCGF ， CG AD ， CGBC ，CF DFPC 1BG 6，1、已知:2是X 2ax 2b 0的一个根，求2b 的最小值【解析】2是χ2ax 2b0的一个根,4 2a 2bb 2 a 2b 2 b 2 2b 2 2b 2 4b 42、已知正方形 ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点,F 为DC 的中点，AF ， BE 的交【解析】令a 1 1 , a 2 1 , a 3 1 , a 4 1 是1 ,可得最小值为 2015 4、已知 :X 为不大于X 的最大整数，在1,2,3, ,2015 中，有个数满足X-2 < 9【答案】 40【解析】Q X .χ $ 9且 X 在 1,2,3,,2015，X 9,当 9 X 16 时， X 3 ,J 2 9 ,则 X 18（舍）；当 16 X 25 时， X 4 , ,χ 216 ,则 X 25（舍）;当25X 36 时，∖ X 5， ' X25 ,则 X 34 ；当 36 X 49 时， 、、X 6 ,X 236 ,则 X 45 ;当 49 X 64时，.X 7，. X 49 ,贝U X 58,……在后面n2X n 1 2.2015 中，每组都有一个数满足题意，40个数满足X $ 92Q 4419362025 452, 共有44 5 1 5、已知 2 2X y1 ,求 ：.X 22X 1 4y 24y 1-I Xy 2χ y 2的值【答案】3a 2015a 1的最小值。
上海市七宝中学2015-2016学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的条件．5．不等式≥1的解集是．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有个；请将该问题推广到一般情况：．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．1815．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={﹣1，2}，因为B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={2}；故答案为{2}；【点评】本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【考点】四种命题．【专题】规律型；对应思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3【点评】本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由|x|＞|y|，化为，或．即可判断出结论．【解答】解：由|x|＞|y|，化为，或．∴“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．故答案为：既非充分也非必要．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．不等式≥1的解集是{x|x＜﹣3或x≥4}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项通分可化不等式为于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，整理可得≥0，等价于，解得x＜﹣3或x≥4，∴不等式≥1的解集为{x|x＜﹣3或x≥4}故答案为：{x|x＜﹣3或x≥4}【点评】本题考查分式不等式的解集，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．【解答】解：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）•（﹣2）=，∴a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0，∴6x2+5x+1＜0，∴（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分x大于等于0和x小于0两种情况，根据绝对值的代数意义化简原不等式，得到（1+x）（1﹣x）大于0或（1+x）（1+x）大于0，求出相应的两解集的并集，即为原不等式的解集．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的题型．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据A∩B=∅，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，即可得到结论．【解答】解：集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，A∩B=∅，∴直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，∴1﹣2m2=﹣3，解得m=±，故答案为：±【点评】本题主要集合的基本运算，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行是解决本题的关键，比较基础9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是（﹣4，2）．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；判别式法；不等式．【分析】分别求出﹣4＜2a﹣b＜5和2a﹣b＜2，从而求出2a﹣b的范围即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，∴﹣1＜a＜2，﹣1＜b＜2，a﹣b＜0，∴﹣2＜2a＜4，﹣2＜﹣b＜1，∴﹣4＜2a﹣b＜5①，而a＜2，a﹣b＜0，则2a﹣b＜2②，综合①②得2a﹣b的范围是（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题考查了不等式的性质问题，是一道基础题．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是3≤x≤8且x为整数．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由集合B中有6个元素，考虑当A与B两集合的交集最少时，仅有一个元素时，得到两集合的并集有15个元素，根据全集有18个元素，得到两集合并集的补集有3个元素；当两集合的交集最多时，有6个元素时，两集合的并集有10个元素，得到两集合并集的补集有8个元素，所以得到两集合并集中元素x的取值范围．【解答】解：因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，∁U（A∪B）中有8个元素，则得到3≤x≤8且x为整数．故答案为：3≤x≤8且x为整数【点评】此题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，是一道综合题．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；构造法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，由单调性可得f（）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，即为m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，即有f（）＞0，且f（3）＞0，即为（t﹣2）+t2﹣4＞0，且3（t﹣2）+t2﹣4＞0，即有t＞2或t＜﹣且t＞2或t＜﹣5，解得t＞2或t＜﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意构造函数运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有7个；请将该问题推广到一般情况：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个．【考点】类比推理．【专题】综合题；集合思想；综合法；推理和证明．【分析】若a∈S，则必有7﹣a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可；针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，则必有7﹣a∈S，那么满足上述条件的集合S可能为：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7个；若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n}的元素个数为奇数个，因为a∈A，则n+1﹣a∈A，所以从集合{1，2，3，…，n}中取出两数，使得其和为n+1，这样的数共有对，所以此时集合M的个数有个，若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为个．故答案为：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个【点评】本题主要考查了子集的定义，以及集合的限制条件下求满足条件的集合，考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由题意E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果．【解答】解：∵设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，∴A∪B中只比N中少两个元素：0和1，∵E满足A∪B∪E=N，∴E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，∴这样的集合E有无数个．故选：D．【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质．14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．18【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等关系与不等式．【专题】综合题．【分析】利用不等式的基本性质，分别进行变形，可以得到，即为使成立的充分条件．【解答】解：由题意，b＞0＞a时，，∴；0＞a＞b时，，∴；a＞0＞b时，，∴；a＞b＞0时，，∴从而能使成立的充分条件的个数是3个故选C．【点评】本题以不等式为载体，考查充分条件，解题的关键利用不等式的基本性质，分别进行变形．16．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．【解答】解：A：|a﹣b|=|a﹣c+c﹣b|≤|a﹣c|+|c﹣b|=|a﹣c|+|b﹣c|，故A恒成立；B：由于由于函数f（x）=x+在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+＞a+，当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+＞a+，当a=1，a2+=a+．故B恒成立；C：由于．故C恒成立；D：若a﹣b=﹣1，则该不等式不成立，故D不恒成立故选D．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式a2+b2≥2ab成立的条件．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，运用作差法，结合因式分解，可得左边﹣右边=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，即可得证．【解答】证明：由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，又a2b+b2c+c2a﹣ab2﹣bc2﹣ca2=（a2b﹣ab2）+（b2c﹣ca2）+（c2a﹣c2b）=ab（a﹣b）+c（b﹣a）（b+a）+c2（a﹣b）=（a﹣b）（ab﹣bc﹣ac+c2）=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，所以a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查因式分解能力和推理能力，属于基础题．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，即可得出结论；（2）利用A∩B=B，可得B⊆A，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，a=2时，B={x|2x2﹣x+3＜0，x∈R}=∅；∴A∩B=∅；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，B=∅，，∴a≥；B≠∅，，∴0＜a≤综上，a＞0．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】命题α，β有且只有一个是真命题，知两个命题一真一假，故要分为两类求解，α真β假或α假β真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．【解答】解：由命题α：|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2，∴﹣1＜a＜3；∵方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非正实根，令f（x）=x2+（a+2）x+1，则f（0）=1，∴当无解时，△=（a+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜a＜0；当有两个非正根时，，解得a≥0．∴当方程x2+（a+2）x+1=0没有正根时，a的取值范围是：a＞﹣4．∵命题α，β有且只有一个是真命题，∴当α真β假时，得a∈∅；当α假β真时，得﹣4＜a≤﹣1或a≥3．∴命题α，β有且只有一个是真命题时，a的取值范围是（﹣4，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题β：方程x2+（a+2）x+1=0不存正实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无正根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价，该题是中档题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得（）2=1+≤2，由此能求出的最大值．（2）设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，由此利用均值定理能求出满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值．【解答】解：（1）∵x，y∈R+，∴（）2==1+≤2，当且仅当x=y时，对等号，∴当x=y时，的最大值为．（2）∵a，b∈R+，∴设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，∴2m+n≥=2，∵满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，∴2m+n≥k≥k=2k，∴2k，解得k，∴满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值为．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查满足不等式的实数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】新定义；等差数列与等比数列；集合．【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又由于＜＜…＜，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；＜，=1，=a2，…，=a n﹣1（3）根据（2），只要证明====a2即可求得集合A．【解答】解：（1）由于3×4，与或均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，∴该数集具有性质P．（2）证明：∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，=1，=a2，…，=a n，﹣1从而++…++=a1+a2+…+a n，∴；（3）由（2）知，当n=5时，有=a2，=a3，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得=∈A，且1＜=a2，∴==a2，∴====a2即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列，即有集合A={1，2，4，8，16}．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
最新题库2015-2016年上海市闵行区七宝中学高二(上)期末数学试卷和答案
∴圆心到直线 l 的距离 d=
=，
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∴圆心到直线 l：mx+ny﹣1=0 的距离 d=
=，
整理得： m2+n2= ，
令直线 l 解析式中 y=0，解得： x= ，
∴ A（ ，0），即 OA= ，
令 x=0，解得： y= ，
∴ B（ 0， ），即 OB= ，
∵ m2+n2≥2| mn| ，当且仅当 | m| =| n| 时取等号，
15．（ 4 分）设双曲线 nx2﹣（ n+1）y2=1（n∈N*）上动点 P 到定点 Q（1，0）的
距离的最小值为 dn，则
的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
16．（ 4 分）设直线 l 与抛物线 x2=4y 相交于 A，B 两点，与圆 x2+（y﹣5）2=r2（r
＞ 0）相切于点 M，且 M 为线段 AB 中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取
Cn 具有如下性质： ①对任意的 n∈N*，曲线 Cn 都关于原点对称； ②对任意的 n∈N*，曲线 Cn 恒过点（ 0，2）； ③对任意的 n∈N* ，曲线 Cn 均在矩形 OAnDnBn（含边界）的内部，其中
Dn 的坐
标为 Dn（ an，bn）；
④记矩形 OAnDnBn 的面积为 Sn，则
其中所有正确结论的序号是
5．（4 分）设某抛物线 y2=mx（m＞0）的准线与直线 x=1 的距离为 3，则该抛物 线的方程为 y2=8x ． 【解答】 解：当 m＞0 时，准线方程为 x=﹣ =﹣2，
∴ m=8， 此时抛物线方程为 y2=8x． 故答案为： y2=8x．
6．（4 分）设曲线 C 定义为到点（﹣ 1，﹣1）和（ 1， 1）距离之和为 4 的动点的 轨迹．若将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45°，则此时曲线 C 的方程为
上海七宝中学自招数学试题
上海七宝中学自招数学试题今天分享几道能够比肩上海四大名校的七宝中学的自招数学试题。
题目一：计算 \frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}【详解】\frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\boxed{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\square一般我们看到分式化简第一时间想到的就是分母有理话，比如针对这道题应该分子、分母同时乘以 (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})。
这样做也是可以的，毕竟分母变成整数，肯定是能够做出来的。
不过，这样做分子的计算量比较大，且很容易就会算错了。
2015学年七宝中学高一年级上学期期末考试数学试卷
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数写出命题“若00x y >>且，则220x y +>”的否命题 【答案】若00022≤+≤≤y x y x ，则或 2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x =【答案】0【解析】2x x =，则0x =或1x =-(舍，由于不符合集合互异性) 3．若集合{}2M x x =<，{}lg(1)N x y x ==-，则M N =I【答案】)2,1(【解析】{}22M x =-＜＜ }{N=1x ＞4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 【答案】1【解析】2222ab a b ≤+= 1ab ∴≤ 5．函数31()lg 1xf x x x-=++的奇偶性为 【答案】奇函数 【解析】先求定义域101xx-+＞ 11x ∴-＜＜ 又()()()()()2311lglg 11x xf x xx f x x x----=-+=--=-+-+Q()f x ∴为奇函数6． 函数()2234x x x f --⎪⎭⎫ ⎝⎛=π的单调递增区间是【答案】（-3,-1）【解析】014πQ ＜＜且定义域为2320x x --＞，即31x -＜＜∴增区间为（-3，-1）7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 【答案】)2,2(-【解析】Q ()f x 为偶函数 ()20f ∴-= 又](,0-∞Q 是减 ](2,0∴-上()0f x ＜由于关于y 轴对称，()0,2∴上()0f x ＜8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 【答案】)4,0( 【解析】9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是【答案】()-1∞，+【解析】130321x x x ≤+>>-当时，解得012x x >+>当时，3恒成立()1,x ∈-+∞综上，10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 【答案】6- 【解析】2(2)2()122x b bf x y x x +-++===-++ ()2,+∞在上单调递减2,(4)24a f b b ∴=-+==-解得6a b ∴+=-11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =⋅I （4）()()()A B A B f x f x f x =+U 【答案】（1）（2）（3） 【解析】12．对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+- 的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 【答案】0,0=+>-b a b a 【解析】(1),()()1()()0()()0,()1()()()()(1)1,(2)()1(),(2)0,(3)()U A B U A B U A B A B A B U C A A A B A B x A x B f x f x x A x B x C B f x f x x A x B x C A B f x f x f x f x f x f x x C Af x f x x A f x ⋂⊆∈∈==∉∉∈==∉∈∈⋂==≤≤∈⎧==-⎨∈⎩Q 分类讨论：①当，则，此时，②当，且，即此时，③当，且，即时，，此时，综合有，故正确。
2015学年七宝中学高二下学期数学期末试卷
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高二年级下学期期末考试数学试卷(满分150分，时间120分钟)一、填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．一. 填空题1. 复数的实部是 ，虚部是【答案】0，【解析】由题可知的实部是0，虚部是综上所述，答案是：0；2. 232016i i i i⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （i 为虚数单位）【答案】1 【解析】21i =-，32i i i i =⋅=-，422211i i ===（）（-），54i i i i =⋅= 232016i i i i⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1 3. 复数221(23)()2z a a a a i =-+--+（a R ∈）在复平面内对应点位于第 象限【答案】四 【解析】由题意得2223120a a a -+=-+Q （）＞ 22111224a a a -+=-+（） 所以z 的实部大于0，虚部小于0，z 在复平面内对应点位于第四象限4. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能 排在一起，则不同的排法共有 种【答案】24【解析】本题考查排列问题商品,a b 排在一起有22A 种方法；将排在一起的,a b 看作一个元素，与,c d 外的另一元素进行全排列，有22A 种方法；而,c d 两种不能排在一起，将,c d 两元素插入前面产生的三个空中有23A 种方法.所以不同的排列方法总数为22222324A A A =5. 在复数范围内方程5x x =的解是【答案】01x x i x ==±=±或或【解析】5x x =Q50x x ∴-=22(1)(1)0x x x +-=01x x i x ∴==±=±或或6. 在某次数学考试中，学号为i （1,2,3,4i =）的同学的考试成绩(){85,87,88,90,93}f i ∈， 且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有 种【答案】15【解析】1、若()()1=2=85f f 分，则()()3442f f ，有选种 即6种若()()()1=8512f f f 分，且＜ 即4种2、若()()()()1=2=873432f f f f 分，则，有选种 即3种若()()()1=8712f f f 分，且＜ 即1种3、若()()()()1=2=88342 2.f f f f 分，则，有选 即1种若()()()1=8812f f f f f f 分，且＜时，则（2），（3），（4）无法选. 04、若()()()()()1=901=93234f f f f f 或分，则，，均无选法. 0综上：6+4+3+1+1=15种7. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”， 那么函数解析式为221y x =+，值域为{3,1,9}的“孪生函数”共有 个【答案】9【解析】由22213111y x x x x =+====-，得，即或，由222119933y x x x x =+====-，得，即或，即定义域内1-和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有三种结果， 33=9∴⨯共有种。
高中2015年自主招生数学考试含答案
⾼中2015年⾃主招⽣数学考试含答案2015年⾃主招⽣考试⼀、选择题（每⼩题6分，共30分。
每⼩题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的。
请将正确选项的代号填⼊题后的括号⾥，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分⾯积与算式2131242-??-++的结果相同的是………………【】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【】①实数不是有理数就是⽆理数；② a ＜a ＋a ；③121的平⽅根是 ±11；④在实数范围内，⾮负数⼀定是正数；⑤两个⽆理数之和⼀定是⽆理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3、某家庭三⼝⼈准备在“五⼀”期间参加旅⾏团外出旅游。
甲旅⾏社告知：⽗母买全票，⼥⼉按半价优惠；⼄旅⾏社告知：家庭旅⾏可按团体票计价，即每⼈均按⼋折收费。
若这两家旅⾏社每⼈的原标价相同，那么……………………………………………………………………【】 A 、甲⽐⼄更优惠 B 、⼄⽐甲更优惠 C 、甲与⼄相同 D 、与原标价有关4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆⼼O 移动的⽔平距离为【】A 、2πB 、πC 、32D 、45、平⾯内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于……………………………………………………………………………【】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39 ⼆、填空题（每⼩题6分，共48分）1、甲、⼄两⼈骑⾃⾏车，同时从相距65千⽶的两地相向⽽⾏，甲、⼄两⼈的速度和为32.5千⽶/时，则经过⼩时，两⼈相遇。
2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是。
3、某校把学⽣的笔试、实践能⼒和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的⽐例计⼊学期总评成绩，90分以上为优秀。
2015年七宝中学自招试卷及答案
2015年七宝中学自招试卷1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22a b +的最小值【答案】2【解析】2x =-Q 是220x ax b ++=的一个根，4220a b ∴-+=2a b ∴=+()222222244a b b b b b ∴+=++=++()22122b =++≥，所以最小值为22、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC【答案】【解析】如图，延长BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD BC ===，90BAE D ∠=∠=︒，Q E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴12AE AD =，12DF CD =，∴AE DF =，在ADF V 与BAE V 中AD AB BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADF V ≅BAE V ，∴DAF ABE ∠=∠，Q 90ABE AEB ∠+∠=︒，∴90DAF AEB ∠+∠=︒∴90APE ∠=︒Q BPG APE ∠=∠∴90BPG ∠=︒在ADF V 与CGF V 中90AFD GFC DCG D CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ADF V ≅CGF V ，∴CG AD =，∴CG BC =，∴162PC BG ==，3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
【答案】2015-【解析】令11a =-，21a =，31a =-，41a =……20141a =，20151a =-，所以每一项都是1-，可得最小值为2015-4、已知：[]x 为不大于x 的最大整数，在1,2,3,,2015⋅⋅⋅中，有______个数满足29x -=【答案】40【解析】Q 29x -=且x 在1,2,3,,2015⋅⋅⋅，∴9x ≥，当916x ≤<时，3=，29=，则18x =（舍）；当1625x ≤<时，4=，216=，则25x =（舍）；当2536x ≤<时，5=，225=，则34x =；当3649x ≤<时，6=，236=，则45x =；当4964x ≤<时，7=，249=，则58x =，……在后面()221n x n ≤<+中，每组都有一个数满足题意，Q22441936202545=≤<=，∴共有445140-+=个数满足29x -=5、已知221x y +=的值【答案】3【解析】Q 221x y +=∴11x -≤≤，11y -≤≤，且=∴10x +≥，20y -<，且()()120x y +-≥，∴()()120x y +-=∴1x =-，0y =，∴3= 6、113x x y -+++=的图像围成的面积是________ 【答案】6【解析】进行分类，利用113x x y -+++=对x 和y 进行分类；①1x ≤-，0y >时，23y x =+②11x -≤≤，0y >时，1y =③1x ≤，0y >时，23y x =-+④1x ≤-，0y <时，23y x =--⑤11x -≤≤，0y <时，1y =-⑥1x ≤，0y <时，23y x =-；可画出如图所示的图像为：可看出封闭图形为六边形，且上下分别为两个等腰梯形，则封闭图形面积为()1241262+⨯⨯= 7、方程20x ax b ++=与20x bx a ++=有一个公共根，另两个根为：12,x x ；方程20x cx d -+=与20x dx c -+=有一个公共根，另两个根为34,x x ，求1234x x x x 的取值范围(),,,0,.a b c d a b c d <≠≠【答案】【解析】根据题意，20x ax b ++=，20x bx a ++=，20x cx d -+=，20x dx c -+=均有两个公共根，由两个方程相减的计算可得方程20x ax b ++=与20x bx a ++=的公共根为1，方程20x cx d -+=与20x dx c -+=的公共根为1-，不妨令1x 为方程20x ax b ++=的根，2x 为方程20x bx a ++=的根，3x 为方程20x cx d -+=的根，4x 为方程20x dx c -+=的根，由韦达定理两根之积为c a有1x b =，2x a =，3x d =-，4x c =-且由韦达定理两根之和为b a -有1010b a a b +=->⎧⎨+=->⎩及1010d c c d --=<⎧⎨--=<⎩，则可得10101010a b c d -<<⎧⎪-<<⎪⎨-<<⎪⎪-<<⎩ ∴12340x x x x abcd =>又Q()()()()()()1234111x x x x ab c d a a d d ad a d ad =--=---+=+++且10,10a d -<<-<<∴20a d =--≥，即a d +≤-∴()())21234111x x x x ad a d ad ad ad ad=+++≤-=令t =01t <<∴)()()22222123411x x x x ad t t t t ≤=-=- 由二次函数的性质可知：当102t <≤时，2t t -随t 的增大而减小；当112t <<时，2t t -随t 的增大而增大； 所以2211022t t ⎛⎫-≤-< ⎪⎝⎭，即2104t t -≤-<，则()221016t t <-≤，即()221234116x x x x t t ≤-≤，综上，1234x x x x 的取值范围为12341016x x x x <≤ 附：无答案试卷1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22a b +的最小值2、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
2015年高三数学高校自主招生考试 真题分类解析2 复数、平面向量
2015年高三数学高校自主招生考试真题分类解析2 复数、平面向量一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设实数r>1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是A.焦距为4的椭圆B.焦距为的椭圆C.焦距为2的椭圆D.焦距为的椭圆2．(2009年复旦大学)复平面上点=1+2i关于直线l:|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是A.−i B.1−i C.1+i D.i3．(2010年复旦大学)在xOy坐标平面上给出定点A(1,2),B(2,3),C(2,1),矩阵将向量, ,分别变换成向量,,,如果它们的终点A',B',C'的连线构成直角三角形,斜边为B'C',则k的取值为A.±2B.2C.0D.0,−24．(2010年复旦大学)设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin(β−α)= A.± B.,C.±D.,5．(2010年复旦大学)已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是A. B. C. D.6．(2010年复旦大学)在直角坐标系xOy中,已知点(1,0),(, ),(, ),(−1,0),(, )和(,),问在向量(i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)中,不同向量的个数是A.9B.15C.18D.307．(2011年复旦大学)给定平面向量(1,1),那么,平面向量(, )是将向量(1,1)经过A.顺时针旋转60°所得B.顺时针旋转120°所得C.逆时针旋转60°所得D.逆时针旋转120°所得8．(2011年复旦大学)设有复数=, =+isin ,令ω=,则复数ω+ω2+ω3+…+ω2 011=B. C. D.A.ω9．(2011年复旦大学)将复数z=(sin 75°+isin 15°)3 (其中i=))所对应的向量按顺时针方向旋转15°,则所得向量对应的复数是A.+ iB.+ iC. D.10．(2012年复旦大学)设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,,…,,有一个顶点在正y轴上.又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,σ−1表示σ的反变换(即旋转角度大小和σ相同但方向相反),变换τ是将S作关于y轴的对称变换(即将(x,y)变为(−x,y)),στ表示先作变换τ再作变换σ,而τσ,τστ,στστ等的含义类推,则有A.τστ=σB.τστ=σ−1C.τσ=στD.τστσ=σσ11．(2011年同济大学等九校联考)i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则||的最大值为A.−1B.2−C.+1D.2+12．(2011年同济大学等九校联考)向量a,b均为非零向量,(a−2b)⊥a,(b−2a)⊥b,则a,b的夹角为A. B. C. D.13．(2010年清华大学等五校联考)设向量a,b满足==1,a•b=m,则(t∈R)的最小值为A.2B.C.1D.14．(2010年清华大学等五校联考)设复数w=()2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为A. B. C. D.15．(2011年清华大学等七校联考)设复数z满足<1且= ,则|z|=A. B. C. D.16．(2012年清华大学等七校联考)向量a≠e,=1,若∀t∈R,≥,则A.a⊥eB.a⊥(a+e)C.e⊥(a+e)D.(a+e)⊥(a−e)17．(2012年清华大学等七校联考)若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z(x,y)的轨迹是A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧二、填空题。
2015-2016年上海市闵行区七宝中学高二(上)期末数学试卷和答案
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（共12题，每题4分，共48分）1．（4分）线性方程组的增广矩阵是．2．（4分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是．3．（4分）三阶行列式（x∈R）中元素4的代数余子式的值记为f （x），则函数f（x）的最小值为．4．（4分）直线l的斜率k为，则直线l的倾斜角为．5．（4分）设某抛物线y2=mx（m＞0）的准线与直线x=1的距离为3，则该抛物线的方程为．6．（4分）设曲线C定义为到点（﹣1，﹣1）和（1，1）距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°，则此时曲线C的方程为．7．（4分）已知点A的坐标为（4，3），F为抛物线y2=4x的焦点，若点P在抛物线上移动，则当|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为．8．（4分）若直线y=kx+1（k＞0）与双曲线x2﹣=1有且只有一个交点，则k 的值是．9．（4分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．10．（4分）若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x2﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是．11．（4分）（理）已知椭圆C：=1，过椭圆C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为．12．（4分）定义变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点．若曲线经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2…，依此类推，曲线C n﹣1经变换T后得到曲线C n，当n∈N*时，记曲线C n与x、y轴正半轴的交点为A n（a n，0）和B n（0，b n）．某同学研究后认为曲线C n具有如下性质：①对任意的n∈N*，曲线C n都关于原点对称；②对任意的n∈N*，曲线C n恒过点（0，2）；③对任意的n∈N*，曲线C n均在矩形OA n D n B n（含边界）的内部，其中D n的坐标为D n（a n，b n）；④记矩形OA n D n B n的面积为S n，则其中所有正确结论的序号是．二、选择题（共4题，每题4分，总分16分）13．（4分）方程对应的曲线是（）A．B．C．D．14．（4分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（4分）设双曲线nx2﹣（n+1）y2=1（n∈N*）上动点P到定点Q（1，0）的距离的最小值为d n，则的值为（）A．B．C．0 D．116．（4分）设直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，与圆x2+（y﹣5）2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）三、解答题（共5题，总分56分）17．（10分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组何时无解，何时有无穷多解？18．（10分）我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．（1）是否存在点M，使快艇沿航线P→A→M或P→B→M的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．（2）问走私船在怎样的区域上时，路线P→A→M比路线P→B→M的路程短，请说明理由．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x﹣1，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=5﹣x上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知为定值．21．（12分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足，⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线L：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A，B （1）求椭圆的标准方程．（2）当，且满足时，求△AOB的面积S的取值范围．2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12题，每题4分，共48分）1．（4分）线性方程组的增广矩阵是．【解答】解：由线性方程组：，则=，∴其增广矩阵为：，故答案为：．2．（4分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则满足1+1﹣4m＞0，即m＜，故答案为：（﹣∞，）．3．（4分）三阶行列式（x∈R）中元素4的代数余子式的值记为f （x），则函数f（x）的最小值为﹣6．【解答】解：由题意，f（x）==﹣sin2x+6cosx=cos2x+6cosx﹣1=（cosx+3）2﹣10，∵﹣1≤cosx≤1，∴cosx=﹣1时，函数f（x）的最小值为﹣6．故答案为：﹣6．4．（4分）直线l的斜率k为，则直线l的倾斜角为π﹣arctan．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵k=tanθ=﹣，∴θ=π﹣arctan．故答案为：π﹣arctan．5．（4分）设某抛物线y2=mx（m＞0）的准线与直线x=1的距离为3，则该抛物线的方程为y2=8x．【解答】解：当m＞0时，准线方程为x=﹣=﹣2，∴m=8，此时抛物线方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．6．（4分）设曲线C定义为到点（﹣1，﹣1）和（1，1）距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°，则此时曲线C的方程为．【解答】解：点（﹣1，﹣1）和（1，1）绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的点的坐标为A（0，﹣）和B（0，），由题意知，动点P到A和B的距离之和为4，∴动点P的轨迹是以A（0，﹣）和B（0，）为焦点坐标，以4为长轴的椭圆，其方程为．故答案：．7．（4分）已知点A的坐标为（4，3），F为抛物线y2=4x的焦点，若点P在抛物线上移动，则当|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为（，3）．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|，∴要求|PA|+|PF|的最小值，即求|PA|+|PD|的最小值，只有当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，令y=3，可得x=，∴当|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为（，3）．故答案为（，3）．8．（4分）若直线y=kx+1（k＞0）与双曲线x2﹣=1有且只有一个交点，则k的值是或．【解答】解：已知直线y=kx+1①与双曲线x2﹣=1②只有一个交点，即方程只要一个根把方程①代入②，整理得方程（2﹣k2）x2﹣2kx﹣3=0③恰有一根，（1）当k=时，方程③变为﹣2x﹣3=0，得x=﹣，成立．（2）当k=﹣时，方程③变为2x﹣3=0，得x=，成立．（3）当k≠时△=4k2+12（2﹣k2）=0，k=±∵k＞0，∴k=或．故答案为：或．9．（4分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．【解答】解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，∴A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S=OA•OB=≥=3，当且仅当|m|2=|n|2=时取等号，△ABC则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．10．（4分）若函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P，点Q在曲线x2﹣y﹣2=0上运动，则线段PQ中点M轨迹方程是y=2x2﹣2x．【解答】解：当3x﹣2=1，即x=1时，f（x）=log a1+1=1，所以f（x）= 1 （a＞0，a≠1）的图象过定点P（1，1），设Q（q，q2﹣2），中点M（x，y）x=，q=2x﹣1，y====2x2﹣2x．故线段PQ中点M轨迹方程是y=2x2﹣2x．故答案为：y=2x2﹣2x．11．（4分）（理）已知椭圆C：=1，过椭圆C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为．【解答】解：由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，（k＞0），则PB的直线方程为，由，得，设B（x B，y B），则，=，设A（x A，y A），同理可得，则x A﹣x B=，y A﹣y B=k（x A﹣1）﹣k（x B﹣1）=4，∴AB的斜率k===．故答案为：．12．（4分）定义变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点．若曲线经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2…，依此类推，曲线C n﹣1经变换T后得到曲线C n，当n∈N*时，记曲线C n与x、y轴正半轴的交点为A n（a n，0）和B n（0，b n）．某同学研究后认为曲线C n具有如下性质：①对任意的n∈N*，曲线C n都关于原点对称；②对任意的n∈N*，曲线C n恒过点（0，2）；③对任意的n∈N*，曲线C n均在矩形OA n D n B n（含边界）的内部，其中D n的坐标为D n（a n，b n）；④记矩形OA n D n B n的面积为S n，则其中所有正确结论的序号是③④．【解答】解：由于，故曲线C0与x、y轴正半轴的交点为A（4，0）和B（0，2）．由于变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点．则由题意知，故，则，显然曲线C n不关于原点对称；曲线C n不过点（0，2）；曲线C n均在矩形OA n D n B n（含边界）的内部，其中D n的坐标为D n（a n，b n）；故①②错误，③正确．记矩形OA n D n B n的面积为S n，则故=1，故④正确．故答案为：③④二、选择题（共4题，每题4分，总分16分）13．（4分）方程对应的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，且∴x2+y2=4（x≥0，y≥0）图象为以原点为圆心，2 为半径，在第一象限的部分（包括与坐标轴的交点）故选：D．14．（4分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值又∵输入的x值与输出的y值相等当x≤2时，x=x2，解得x=0，或x=1当2＜x≤5时，x=2x﹣4，解得x=4当x＞5时，x=，解得x=±1（舍去）故满足条件的x值共有3个故选：C．15．（4分）设双曲线nx2﹣（n+1）y2=1（n∈N*）上动点P到定点Q（1，0）的距离的最小值为d n，则的值为（）A．B．C．0 D．1【解答】解：设动点P（x，y），则nx2﹣（n+1）y2=1，∴y2=，∵Q（1，0），∴|PQ|===，∴=（）min===．故选：A．16．（4分）设直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，与圆x2+（y﹣5）2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则x12=4y1，x22=4y2，，相减，得（x1+x2）（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），当l的斜率存在且不为0时，利用点差法可得2k=x0，因为直线与圆相切，所以，所以y0=3，即M的轨迹是直线y=3．将y=3代入x2=4y，得x2=12，∴﹣2＜x0＜2．∵M在圆上，∴x02+（y0﹣5）2=r2（r＞0），∴r2=∵直线l恰有4条，∴x0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率为0时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．三、解答题（共5题，总分56分）17．（10分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组何时无解，何时有无穷多解？【解答】解：解方程组，消y得到（a1a4﹣a2a3）x=3a4+2a3，∵等比数列{a n}的公比为q，∴a1a4﹣a2a3=0，当3a4+2a3=0时，即q=﹣时，方程组有无穷多解．18．（10分）我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．（1）是否存在点M，使快艇沿航线P→A→M或P→B→M的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．（2）问走私船在怎样的区域上时，路线P→A→M比路线P→B→M的路程短，请说明理由．【解答】解：（1）建立如图所示的坐标系，|MA|﹣|MB|=2，∴M的轨迹是双曲线的右支，|AB|==2，∴，∴M的轨迹方程是=1（x＞1，y＞0）；（2）走私船在直线l的左侧，且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线P→A→M 最短．理由：设AM的延长线与（1）中曲线交于点N，则PA+AN=PB+BN，PA+AM=PA+AN﹣MN=PB+BN﹣MN＜PB+BM．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x﹣1，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=5﹣x上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣1上，也在直线y=5﹣x上，解得x=3，y=2，∴C（3，2），∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；由题意，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=0或k=﹣，对应的直线方程为y=3或y=﹣x+3；当斜率不存在时，直线x=0不与圆相切，故所求切线方程为y=3或y=﹣x+3，即y﹣3=0或3x+4y﹣12=0；（2）设点C（a，a﹣1），M（x0，y0），则∵MA=2MO，A（0，3），O（0，0），∴x02+（y0﹣3）2=4（x02+y02），即x02+y02=3﹣2y0，又点M在圆C上，∴+=1，∴M点为x02+y02=3﹣2y0与+=1的交点，若存在这样的点M，则x02+y02=3﹣2y0与+=1有交点，即两圆的圆心距d满足：1≤d≤3，∴1≤≤3，即1≤2a2﹣4a+4≤9，解得1﹣≤a≤1+，即a的取值范围是[1﹣，1+]．20．（12分）如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知为定值．【解答】解：（1）方法一：如图，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy．则，F（0，1）．设动点P的坐标为（x，y），则动点Q的坐标为（x，﹣1），，由•，得x2=4y．方法二：由．所以，动点P的轨迹C是抛物线，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，可得轨迹C的方程为：x2=4y．（2）由已知，，得λ1•λ2＜0．于是，，①过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，则有==，②由①、②得λ1+λ2=0．21．（12分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足，⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线L：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A，B （1）求椭圆的标准方程．（2）当，且满足时，求△AOB的面积S的取值范围．【解答】解：（1）∵=，∴点M是线段PF2的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，又∵OM⊥F1F2，∴PF1⊥F1F2，∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，∴椭圆的标准方程为．（2）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，=x1x2+y1y2=，∴，∴，S=S△ABO====，设u=k4+k2，则，S=，u∈[]，∵S关于u在[，2]单调递增，S（）=，S（2）=，∴．。
上海市闵行区七宝中学2015届高考数学三模试卷理(含解析)
上海市闵行区七宝中学20 15届高考数学三模试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）.把答案直接填写在答题卷的相 应位置上.1. （4 分）已知集合 A={0, 1, a} , B={0, 3, 3a}，若 A A B={0, 3}，则 A U B=.2. （4分）复数i :在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 a=.2-i3. （4分）在等比数列{a n }中，a 1=8, a 4=a 3?a 5，则此数列前n 项和为.F（ — y ）4. （4分）已知偶函数（乂）在（0,+8）上为减函数，且（2）=0,则不等式一X 的解集为.6. （4分）在极坐标系中，圆 p =2与直线p cos 0 + p sin 0 =2交于A, B 两点，O 为极点，则''=.7. （4分）如图是底面半径为1 ,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体， 则该组合体的体积为.a 的值为5,则输出k 的值为.& （4分）若二项式（x+_J ） n 的展开式中第四项与第六项的二项式系数相等，且第四项的系数|x与第六项的系数之比为1: 4，则其常数项为.9. （4分）某类产品按工艺共分 10个档次，最低档次产品每件利润为 8元•每提2014-2015 学年高一个档次，每件利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档产品 60件，每提2014-2015 学年高一个档次将少生产 3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是.10. （ 4分）从甲、乙等五人中任选三人排成一排，则甲不在排头、乙不在排尾的概率为.11. （ 4分）函数f （x ） =Asin （3 x+0）（其中A > 0, | $ | v 丄）的图象如图所示，为了得22 212. （4分）过点（2怎,0）且方向向量为（k , 1）的直线与双曲线卫一=1仅有一个交点，8 4则实数k 的值为.13. （ 4分）某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟） ，并将所得数据绘 制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是 [0 , 100]，样本数据分组为[0 ,20）, [20 , 40）, [40 , 60） , [60 , 80）, [80 , 100].则该校学生上学所需时间的均值估计为.（精确到1分钟）f （x ）的图象向右最小平移个长度单位.(1 ¥ 匕p14. (4分)已知全集为U P?U定义集合P的特征函数为f ■，对于A?U,迈8 1学^CyPB?U,给出下列四个结论：①对?x € U,有如⑸悅(Q习;lk②对？ x € U,若A?B,贝y f A (x )<f B (x);③对？X €U,有f A AB ( x ) =f A ( X) ?f B ( x)；④对？X €U,有f A UB ( x) =f A ( x) +f B ( x).其中，正确结论的序号是.二、选择题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)•每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上.15. ( 5分)已知函数f (x) =2x+1，对于任意正数a, |x i - x?| < a 是|f (xj- f (X2) | < a 成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16. ( 5分)函数f (x) =3- log 2 (- x)的零点所在区间是()A. ( —2 —2)B. (- 2, - 1)C. (一1,—吕)D. (1, 2)17. ( 5分)如果函数y=|x| - 1的图象与方程x2+入y2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数入的取值范围是()A. (-a,- 1] U [0 , 1)B. [ - 1 , 1)C. { - 1 , 0} D .[-1, 0)U( 1 , +a)18. (5分)设等差数列{a n}的前n项和为S,已知(引_]\ *2012 (巧一1)=1 ,J ^2006 - 1)一1)二-1，则下列结论正确的是()A. $012=2012, a2012< a7B. S2012=2012, a2012> a7C. So12=—2012 , a2012 < a7D. S2012= - 2012, a2012> a7三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分.19. (12分)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且r-=-.(I)求r: _ - t --二「-的值；(n)若“二J丨求△ ABC面积的最大值.20. (13分)已知向量;=(x2- 3, 1 )，E = (x,- y),(其中实数x和y不同时为零)，当凶(1) 求函数关系式y=f (x );(2) 若对任意x €(-g,- 2)U [2 , +8)，都有m > f ( x )恒成立，求实数 m 的取值范围.21 . (13分)如图所示，在三棱锥P - ABC 中，PDL 平面ABC ,且垂足D 在棱AC 上，AB=BC=:, AD=1, CD=3 PD=*苗.(1) 证明△ PBC 为直角三角形；(2) 求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.222. ( 18分)已知椭圆x 2+ =1的左、右两个顶点分别为 A , B,曲线C 是以A , B 两点为顶点，4焦距为2 J 的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点 T .(I)求曲线C 的方程；(H) 设P, T 两点的横坐标分别为 X 1, X 2,求证：X 1?X 2为定值；- - 2(川)设厶TAB 与厶POB(其中o 为坐标原点)的面积分别为 S 1与S 2，且「丨■ < 15,求S 1-S 22的取值范围.23. (18 分)实数列 a o , a 1, a 2, a 3,…，由下述等式定义： a n+1 =2n -3a n , n=0, 1, 2,3,…(I) 若a °为常数，求a 1, a 2, a 3的值；(2)令b n = … ，求数列{b n } (n € N)的通项公式(用 a 。
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2015年七宝中学自招试卷
1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22
a b +的最小值
【答案】2
【解析】2x =-Q 是220x ax b ++=的一个根，4220a b ∴-+=2a b ∴=+()2
22222244a b b b b b ∴+=++=++ ()22122b =++≥，所以最小值为2
2、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC
【答案】
【解析】如图，延长BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD BC ===，90BAE D ∠=∠=︒，Q E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴12AE AD =，12DF CD =，∴AE DF =，在ADF V 与BAE V 中AD AB BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴ADF V ≅BAE V ，∴DAF ABE ∠=∠，Q 90ABE AEB ∠+∠=︒，∴90DAF AEB ∠+∠=︒∴90APE ∠=︒Q BPG APE ∠=∠∴90BPG ∠=︒在ADF
V 与CGF V 中90AFD GFC DCG D CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，∴ADF V ≅CGF V ，∴CG AD =，∴CG BC =，∴162
PC BG ==，
3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
【答案】2015-
【解析】令11a =-，21a =，31a =-，41a =……20141a =，20151a =-，所以每一项都是1-，可得最小值为2015-
4、已知：[]x 为不大于x 的最大整数，在1,2,3,,2015⋅⋅⋅中，有______个数满足
2
9x x -=
【答案】40
【解析】Q 29x x -=且x 在1,2,3,,2015⋅⋅⋅，∴9x ≥，当916x ≤<时，3x ⎡=⎣，29x =，则18x =（舍）；当1625x ≤<时，4x ⎡=⎣，2
16x =，则25x =（舍）；当2536x ≤<时，5x ⎡=⎣，225x =，则34x =；当3649x ≤<时，6x ⎡=⎣，236x =，则45x =；当4964x ≤<时，7x ⎡=⎣，2
49x =，则58x =，……在后面()221n x n ≤<+中，每组都有一个数满足题意，Q 224419362015202545=≤<=，∴共有445140-+=个数满足2
9x x ⎤-=⎦ 5、已知221x y +=222144122x x y y xy x y -+++-+-的值
【答案】3
【解析】Q 22
1x y +=∴11x -≤≤，11y -≤≤，且222144122x x y y xy x y -+++++-+-()()()()2212112x y x y =-++++-
∴10x +≥，20y -<，且()()120x y +-≥，∴()()120x y +-=∴1x =-，0y =，∴2221441223x x y y xy x y -+++++-+-=
6、113x x y -+++=的图像围成的面积是________
【答案】6
【解析】进行分类，利用113x x y -+++=对x 和y 进行分类；①1x ≤-，0y >时，23y x =+②11x -≤≤，0y >时，1y =③1x ≤，0y >时，23y x =-+④1x ≤-，0y <时，23y x =--⑤11x -≤≤，0y <时，1y =-⑥1x ≤，0y <时，23y x =-；可画出如图所示的图像为：
可看出封闭图形为六边形，且上下分别为两个等腰梯形，则封闭图形面积为
()1241262
+⨯⨯= 7、方程20x ax b ++=与2
0x bx a ++=有一个公共根，另两个根为：12,x x ；方程20x cx d -+=与20x dx c -+=有一个公共根，另两个根为34,x x ，求1234x x x x 的取值范围(),,,0,.a b c d a b c d <≠≠
【答案】
【解析】根据题意，20x ax b ++=，20x bx a ++=，20x cx d -+=，2
0x dx c -+=均有两个公共根，由两个方程相减的计算可得方程20x ax b ++=与20x bx a ++=的公共根
为1，方程20x cx d -+=与2
0x dx c -+=的公共根为1-，不妨令1x 为方程20x ax b ++=的根，2x 为方程20x bx a ++=的根，3x 为方程20x cx d -+=的根，4x 为
方程2
0x dx c -+=的根，由韦达定理两根之积为c a
有1x b =，2x a =，3x d =-，4x c =-且由韦达定理两根之和为b a -有1010b a a b +=->⎧⎨+=->⎩及1010d c c d --=<⎧⎨--=<⎩，则可得101010
10a b c d -<<⎧⎪-<<⎪⎨-<<⎪⎪-<<⎩ ∴12340x x x x abcd =>又
Q ()()()()()()1234111x x x x ab c d a a d d ad a d ad =--=---+=+++且
10,10a d -<<-<<
∴
20a d =--≥
，即a d +≤-∴(
)(
))21234111x x x x ad a d ad ad ad ad
=+++≤-=
令t =01t <<
∴)()()2
2222123411x x x x ad t t t t ≤=-=- 由二次函数的性质可知：当102t <≤时，2t t -随t 的增大而减小；当112
t <<时，2t t -随t 的增大而增大； 所以2
211022t t ⎛⎫-≤-< ⎪⎝⎭，即2104t t -≤-<，则()221016t t <-≤，即()221234116x x x x t t ≤-≤，综上，1234x x x x 的取值范围为12341016
x x x x <≤ 附：无答案试卷
1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22
a b +的最小值
2、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC
3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
4、已知：[]x 为不大于x 的最大整数，在1,2,3,,2015⋅⋅⋅中，有______个数满足29x x -=
5、已知221x y +=222144122x x y y xy x y -+++-+-的值
6、113x x y -+++=的图像围成的面积是________
7、方程20x ax b ++=与20x bx a ++=有一个公共根，另两个根为：12,x x ；方程20x cx d -+=与20x dx c -+=有一个公共根，另两个根为34,x x ，求1234x x x x 的取值范围(),,,0,.a b c d a b c d <≠≠。