高中数学必修二《线面平行、面面平行的证明》导学案

线面平行、面面平行的证明导学案

<一>、知识点梳理

(1)线面平行的判定定理: ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄.

(2)线面平行的性质定理: b a b a a //,,//⇒=⋂⊂βαβα.

(3)面面平行的判定定理: βαααββ////,//,,,⇒=⋂⊂⊂b a P b a b a

(4)面面平行判定定理推论：βαβα////,//,,,,,,⇒=⋂=⋂⊂⊂d b c a Q d c P b a d c b a

(5)面面平行判定定理推论：βαγβγα////,//⇒

(6)面面平行的性质定理: b a b a //,,//⇒=⋂=⋂γβγαβα.

(7)面面平行的证明还有其他方法: βαβα//,,⇒⊥⊥a a .

[基础自测]

1．(教材习题改编)若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是( )

A ．a 平行于α内的所有直线

B ．α内有无数条直线与a 平行

C ．直线a 上的点到平面α的距离相等

D ．α内存在无数条直线与a 垂直

2．设m ，l 表示直线，α表示平面，若m ⊂α，则 l ∥α是l ∥m 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．(教材习题改编)已知不重合的直线a ，b 和平面α，

①若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；

③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂α，

上面命题中正确的是________(填序号)．

<二>、例题分析

考点1：线面平行

例1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.

求证：PB//平面 AEC ；

变式练习1： (2012·东北三校联考)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为棱AB 的中点

(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；

例2．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN ∥平面PAD ；

变式练习2. 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是CC 1，AB 的中点．

求证：CN //平面AB 1M ．

考点二、面面平行

例3:棱长为a 的正方体中，E 、F 、G 分别为A1D1、A1B1、AA1中点.求证：平面EFG //平面

BDC1.

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F G

N M C 1B 1

A 1C

B A

变式练习3.：已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC .

【课后练习】

1.下列命题中，正确命题的个数是 .

①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面

②一个平面内的两条直线平行于另一个平面

③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 3、如图，在三棱柱ABC —A1B1C1中， D 是 AC 的中点。

求证：AB1//平面DBC1

4、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,M,N 分别为A1B1, A1D1, B1C1, C1D1 的中点.求证：面AEF ∥面BDMN

B1

B C1

A C

A1D

A

B C D

A 1

B 1

C 1

D 1

N M

P

D C Q B A

5.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点. 求证：MN∥平面AA1C1.

课后练习答案

1、1

2、①②③

3、证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD.

∵ ABC—A1B1C1为三棱柱，∴四边形BCC1B1为平行四边形，∴O为B1C的中点，又∵D为AC的中点，∴OD∥A B1，

又AB1⊄平面DBC1，OD⊂平面DBC1，

∴AB1∥平面DBC1.

4、证明：连接B1D1，FM.

∵E,F,M,N分别为A1B1, A1D1, B1C1, C1D1 的中点.

∴EF∥B1D1，MN//B1D1,∴EF//MN

又EF⊄平面BDMN，MN⊂平面BDMN，∴EF//平面BDMN

又ABCD-A1B1C1D1为正方体

∴AB=A1B1，且AB//A1B1，又FM=A1B1，且FM//A1B1,

∴AB=FM ,且AB//FM

∴四边形ABFM为平行四边形，∴AF//BM

又AF⊄平面BDMN，BM⊂平面BDMN，

∴AF∥平面BDMN.

又∵ EF∩AF=F，EF、AF⊂平面AEF，

∴平面AEF∥平面BDMN

5、证明设A

1C

1

中点为F，连接NF，FC，

∵N为A

1B

1

中点，