专题一：求函数值域十六法

求函数值域方法

求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识

1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2． 函数值域常见的求解思路：

⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。

⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。 ⑸．其他。

3． 函数值域的求法

（1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数()1y x =≥的值域。 )

+∞

例2：求函数y = [)1,+∞

例3：求函数1y =

的值域。

0≥11≥，

∴函数1y =

的值域为[1,)+∞。

（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2

()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 解：2

2

42(2)6y x x x =-++=--+，

∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴2

1(2)9x ≤-≤ ∴2

3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。 1,44⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

例3：求函数2

256y x x =-++的值域。 73,

8⎛⎤

-∞ ⎥⎝⎦

（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例1：求函数1212

x

x

y -=+的值域。 解：由1212

x x

y -=+解得121x

y y -=+， ∵20x

>，∴

101y

y

->+，∴11y -<< ∴函数1212x

x

y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(≠++=c d

cx b

ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，

值域为⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≠

c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

，采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad

b c a y ≠+-

+

=，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125

x

y x -=

+的值域。 解：∵177(25)112222525225

x x y x x x -++

-===-++++，

∵7

2025

x ≠+，∴1

2y ≠-，

∴函数125x y x -=+的值域为1

{|}2

y y ≠-。

（6）、换元法：

运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如

y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例1

：求函数2y x =

解：令t =0t ≥），则2

12

t x -=，

∴22151()24

y t t t =-++=--+ ∵当12t =

，即38x =时，max 5

4

y =，无最小值。

∴函数2y x =5

(,]4

-∞。

（7）、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而

求得原函数的值域，形如21112

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 例1：求函数223

1

x x y x x -+=-+的值域。

解：由2231

x x y x x -+=-+变形得2

(1)(1)30y x y x y ---+-=，

当1y =时，此方程无解；

当1y ≠时，∵x R ∈，∴2

(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤

，又1y ≠，∴1113

y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11

{|1}3

y y <≤

（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例1

：求函数y x =

解：∵当x 增大时，12x -随x

的增大而减少，x 的增大而增大，

∴函数y x =1

(,]2

-∞上是增函数。