2020高考数学 考前30天能力提升特训(30) 文

考前30天能力提升特训

1．向量v ＝⎝

⎛⎭⎪⎫a n ＋1，n ＋12n 2a n (n ∈N *)，若v 是y ＝2x 的方向向量，a 1＝1，则{}a n 前3项和为( )

A. 5

B. 214

C. 218

D. 3

2．等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝

2n 3n ＋1，则a n b n

等于( ) A. 23 B. 2n －13n －1

C. 2n ＋13n ＋1

D. 2n －13n ＋4

3．设数列{}a n 为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意的n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )

A. 22

B. 20

C. 21

D. 19

4．S n 是数列{a n }的前n 项和，则“数列{a n }为常数列”是“数列{S n }为等差数列”的________条件．

5．已知{a n }为等比数列，其前n 项积为b n ，首项a 1＞1，a 2020·a 2020＞1，(a 2020－1)(a 2020－1)＜0，则使b n ＞1成立的最大自然数n 为________

6.设{}a n 是由正数组成的等差数列，S n 是其前n 项的和．

(1)若S n ＝20，S 2n ＝40求S 3n ；

(2)若互不相等的正整数p ，q ，m ，使得p ＋q ＝2m ，证明不等式S p S q ＜S 2m 成立

1．B 【解析】 y ＝2x 的一个方向向量为n ＝(1,2)，则n ∥v ，于是n ＋12n 2a n ＝2a n ＋1. 方法1：a n ＋1n ＋12＝2×a n n 2，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是以2为公比的等比数列，故a n n 2＝a 112⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)． 方法2：a n ＋1a n ＝12×n ＋12n 2

，由累乘法得：a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1，于是 a n ＝n 2n －12×n －12n －22×…×3222×2212×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝n 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1， 2．B 【解析】 由S 2n －1＝(2n －1)a n ，T 2n －1＝(2n －1)b n ，所以a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝22n －132n －1＋1＝2n －13n －1

. 3．B 【解析】 由a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝99知a 4＝33，由a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝93知a 5＝31，故{}a n 的公差d ＝31－33＝－2，于是a 1＝39，a n ＝41－2n ，令a n ＞0得n ＜20.5，即在数列{}a n 中，前20项均为正值，自第21项起以后各项均为负，因此k ＝20.

故a 1＋a 2＋a 3＝1＋2＋94＝214

. 4．充分不必要 【解析】 若数列{a n }为常数列，则a n ＝a 1(n ∈N *)，S n ＝na 1，显然数列{S n }为等差数列．若数列{S n }为等差数列，设S n ＝An ＋B (A ≠0)，则a 1＝A ＋B ，n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝A ，显然B ≠0时，{a n }不是常数列．

5．4014 【解析】 由条件知a 2020＞1，a 2020＜1，且数列各项均为正，公比0＜q ＜1.因为b 2n

＝(a 1a 2n )n ，b n ＝(a 1a n )n 2，所以b 4014＝(a 1a 4014)40142＝(a 2020a 2020)40142＞1，b 4015＝(a 1a 4015)40152

＝(a 2020)4015＜1，故使b n ＞1成立的最大自然数n 为4014.

6．【解答】 (1)因为在等差数列{}a n 中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，

所以S 3n ＝3S 2n －3S n ＝60.

(2)证明：S p S q ＝14

pq (a 1＋a p )(a 1＋a q ) ＝14pq []a 21＋a 1a p ＋a q ＋a p a q ＝14

pq (a 21＋2a 1a m ＋a p a q ) ＜14⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21＋2a 1a m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a p ＋a q 22＝14m 2(a 21＋2a 1a m ＋a 2m )＝⎣

⎢⎡⎦⎥⎤12m a 1＋a 2m ＝S 2m .即S p S q ＜S 2m .