2013年江西省高考文科数学试题及答案

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2013年江西省高考数学试卷(文科)

2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．016．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：310．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2．【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=x a+1，得y′=ax a﹣1．所以y′|x=1=a，则曲线y=x a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．【分析】由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s n≥100，解不等式可求【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列s n==2n+1﹣2≥100∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．【分析】构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案．【解答】解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，则a≥F（x）max．∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）∴﹣2≤f（x）≤2∴0≤F（x）≤2F（x）max=2∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{a n}，直接求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用数列的通项公式化简b n=，利用裂项法直接求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可得（a n﹣2n）（a n+1）=0所以a n=2n．（2）因为a n=2n，b n=，所以b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得5ab=3b2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种，数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B 1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B 1到平面EA1C1的距离．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A 1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M 点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣k为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=（2）f （f （x ））=当0≤x ≤a 2时，由=x ，解得x=0，因为f （0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由=x ，解得x= 因为f （）==≠，故x=是函数的二阶周期点；当a ＜x ≤a 2﹣a +1时，由=x ，解得x=∈（a ，a 2﹣a +1），因为f （）=，故得x=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a +1＜x ≤1时，由，解得x=∈（a 2﹣a +1，1），因为f （）=≠，故x=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，x 1=，x 2=（3）由（2）得A （，），B （，）则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a +2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数，故s（a）在区间[，]上的最小值为s（）=，最大值为s（）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。

【推荐】2013年江西省高考数学试卷(文科)

2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π9．（5分）已知点A （2，0），抛物线C ：2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=（） A ．2：B ．1：2C ．1：D ．1：310．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= ．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a ，b ，c 成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．20．（13分）椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为，MN 的斜率为m ，证明2m ﹣为定值．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令=时，代入＜＜2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当=时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除C；当=2时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2： B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为==﹣，过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt △MPN 中，tan ∠MNP=﹣=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C ．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA ，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，的变化率由大变小，又y=cos是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2 ．【分析】求出函数的导函数，求出=1时的导数值，写出曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=a+1，得y′=a a﹣1．=a，则曲线y=a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：所以y′|=1y﹣2=a（﹣1），即y=a﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 6 ．是以2为首项，以2为公比的等【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s≥100，解不n等式可求是以2为首项，以2为公比【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an的等比数列==2n+1﹣2≥100sn∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2 ．【分析】构造函数F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，利用正弦函数的特点求出，从而可得答案．F（）ma【解答】解：∵不等式|f（）|≤a对任意实数恒成立，令F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，．则a≥F（）ma∵f（）=sin3+cos3=2sin（3+）∴﹣2≤f（）≤2∴0≤F（）≤2F（）=2ma∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 ．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an }，直接求数列{an}的通项公式an ；（2）利用数列的通项公式化简bn =，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由正项数列{an }满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an ﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因为an =2n，bn=，所以bn===，Tn===．数列{bn }的前n项和Tn为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin 2B ．再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b ﹣a ，由余弦定理可得（2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2ab •cosC=a 2+b 2+ab ．化简可得 5ab=3b 2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种，数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P 1=，去唱歌的概率P 2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P 2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，算出BF 、EF 、FC 的长，从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长，由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC ，结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理，可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1，算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A 1C 1=EC 1=3、A 1E=2，从而得到等腰△A 1EC 1的面积=3，设B 1到平面EA 1C 1 的距离为d ，可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V=××d=d ，从而得到=d ，由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离．【解答】解：（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC ﹣EF=3﹣1=2在Rt △BEF 中，BE==；在Rt △BCF 中，BC==因此，△BCE 中可得BE 2+BC 2=9=CE 2 ∴∠CBE=90°，可得BE ⊥BC ， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥BB 1，又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线， ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=×AA 1×=在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1==3同理可得EC 1==3，A 1E==2∴等腰△A 1EC 1的底边A 1C 1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积为V=××d=d ，可得=d ，解之得d=即点B 1到平面EA 1C 1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为m，证明2m﹣为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣化简整理即可得到2m﹣为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（42+1）2﹣162+162﹣4=0．所以，．则．所以P （）．又直线AD 的方程为．联立，解得M （）．由三点D （0，1），P （），N （，0）共线，得，所以N （）．所以MN 的斜率为=．则．所以2m ﹣为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s （a ）的表达式，再借助导数工具研究s （a ）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f （）=，故f （f （））=f （）=2（1﹣）=（2）f （f （））=当0≤≤a 2时，由=，解得=0，因为f （0）=0，故=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜≤a 时，由=，解得= 因为f （）==≠，故=是函数的二阶周期点；当a ＜≤a 2﹣a+1时，由=，解得=∈（a ，a 2﹣a+1），因为f （）=，故得=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a+1＜≤1时，由，解得=∈（a 2﹣a+1，1），因为f （）=≠，故=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，1=，2= （3）由（2）得A （，），B （，）则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s ′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s ′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数，故s （a ）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。

2013年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.23．（5分）（2013•江西）若sin=，则cosα=（）﹣2，代入已知化简即可．2×﹣=看做4．（5分）（2013•江西）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这B故所求的概率为：=5．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一6．（5分）（2013•江西）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）x=，时，代入＜，得到，显时，代入＜，显然不正确，排除＜7．（5分）（2013•江西）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）8．（5分）（2013•江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）5+9．（5分）（2013•江西）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物：：．过MNP=|MN|=|PM|﹣，=|MN|==：10．（5分）（2013•江西）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（）．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•江西）若曲线y=x α+1（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．12．（5分）（2013•江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．=13．（5分）（2013•江西）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．|=||=|sin3x+cos3x|sin3x+cos3x=2sin3x+14．（5分）（2013•江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．所求圆的方程为：故答案为：15．（5分）（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•江西）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．=满足：==．．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．，，由（，∴=18．（12分）（2013•江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．，共的有，，，，，，，，，，，去唱歌的概率，﹣=19．（12分）（2013•江西）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．V=、E=2=3××d=从而得到=AB=DE=1BE===V=×，=2上的中线等于，=××=3××d==d=的距离为．20．（13分）（2013•江西）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．，所以的方程为；，得（，．（的方程为，解得（（的斜率为=．21．（14分）（2013•江西）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC 的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；[，]时，求（=（）﹣时，由=x≠时，由∈），故得x=时，由x=（=x=，（×=×（×[，[，]（=（。

2013年江西高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i(2i)z =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【测量目标】复数的四则运算及复数的几何意义.【考查方式】给出复数z ,通过计算化简判断复数的实部和虚部对应的象限. 【参考答案】D【试题解析】因为i(2i)z =--12i =-，所以复数z 对应的点在第四象限.2.若集合A =｛x ∈R |ax 2+ax +1＝0｝其中只有一个元素，则a = （）A.4B.2C.0D.0或4 【测量目标】集合的基本运算和性质【考查方式】用描述法给出集合A ，通过集合的性质分类讨论确定未知字母的值. 【参考答案】A【试题解析】当0a =时，方程化为10=，无解，集合A 为空集,不符合题意；（步骤1）当0a ≠时，由240a a =-= ，解得4a =.（步骤2）3. sincos 2αα==若（）A. 23-B. 13-C. 13D.23【测量目标】三角恒等变换.【考查方式】给出角的正弦值，求解角的余弦值. 【参考答案】C【试题解析】2221cos 12sin121233=-=-⨯=-=αα4.集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A ,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 ( )A ．23 B.13 C.12 D.16【测量目标】随机事件的概率和古典概型【考查方式】通过给出的两个集合列出所有可能的基本事件，利用古典概型求出满足条件事件的概率. 【参考答案】C【试题解析】从A,B 各任取一个数有（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3）6个基本事件，（步骤1）满足两数之和等于4的有（2,2,），（3,1）2个基本事件，所以21.63P ==（步骤2）5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ( )（第5题图）A.08B.07C.02D.01 【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】通过读取表格数据，有随机数表法的随机抽样过程得到结果.. 【参考答案】D【试题解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体编号是01.6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是（） A.（，1-） B. （1-，0） C.（0，1） D.（1，+）【测量目标】分式不等式的解法和不等式组的解法.【考查方式】给出含有分式的不等式转化为不等式组，解出未知数. 【参考答案】A【试题解析】由21x x x <<可得21,1,x x x x⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩（步骤1）即2310,10,x xx x⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得10101x <x<x x <-⎧⎨<>⎩或或综合知 1.x <-（步骤2）7.阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )(第7题图)A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜11 【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】给定程序框图，通过推理判断得出输出的结果. 【参考答案】B【试题解析】根据程序框图，2,22+1=5,i S ==⨯不满足条件；（步骤1）3,23+2=8,i S ==⨯不满足条件；（步骤2）4,24+1=9,i S ==⨯此时输出4i =，所以填9S <.（步骤3）8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 ( ) A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π(第8题图)【测量目标】由几何体的三视图求体积.【考查方式】将三视图还原为原来的几何体，再利用几何体体积公式求解体积. 【参考答案】A【试题解析】由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体.长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积211045π32=200+9π.2V =⨯⨯+⨯⨯⨯9. 已知点A （2，0），抛物线C ：42x =y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相【考查方式】已知抛物线方程和已知点，建立直线与抛物线之间的位置关系，求解线段长度的比例. 【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的定义和相识三角形的判定及性质求解.如图所示，由抛物线定义知,MF MH =所以::.MF MH MH MN =（步骤1）（第9题图）由于MHN ∽FOA ,则12MHOFHNOA ==，则:MH MN =:MF MH =（步骤2）10.如图.已知12l l ⊥，圆心在1l 上、半径为1m 的圆O 在t =0时与2l 相切于点A ，圆O 沿1l 以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x，令cos y x=，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s ）的函数()yf t =的图象大致为 ( )（第10题图）【测量目标】弧长公式、倍角公式.【考查方式】通过数形结合把圆心角α、弧长x 与时间t 联系起来，建立关于时间的函数关系式从而判断函数图象.【参考答案】B【试题解析】通过圆心角α将弧长x 与时间t 联系起来.(第10题图)圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则x α=，（步骤1）如图所示，cos1,2t α=-即cos1,2xt =-则222cos 2cos 12(1)12(1)1(01).2xy x t t t==-=--=--剟其图象为开口向上，在[]0,1上的一段抛物线.（步骤2）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线1y x α=+（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= . 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出已知两点和曲线函数关系式，利用导数的几何意义，求出函数关系式中未知字母的值.【参考答案】2【试题解析】因为1'y xαα-=⋅，所以在点（1,2）处的切线斜率,k α=则切线方程为2(1).y x α-=-（步骤一）又切线过原点，故02(01)α-=-，解得 2.α=（步骤二）12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈*N ）等于 . 【测量目标】等比数列的概念及其前n 项和公式.【考查方式】给出关于等比数列的实际问题，利用等比数列公式求解. 【参考答案】6【试题解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和11(1)2(12)2 2.112n n n n a q S q +--===---（步骤1）由122100,n +-…得12102.n +…（步骤2）由于67264,2128,==则17,n +…即 6.n …（步骤3）13设()cos3,f x x x +，若对任意实数x 都有|()f x |≤a ，则实数a 的取值范围是 . 【测量目标】辅助角公式化简和不等式的恒成立.【考查方式】给出三角函数，根据三角函数的值域确定未知数的取值范围. 【参考答案】[)2,+∞【试题解析】由于π()sin 3cos 32sin(3),6f x x x x =+=+则π()2sin(3)2,6f x x =+…（步骤1）要使()f x a …恒成立，则 2.a …（步骤2）14.若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线1y =相切，则圆C 的方程是 . 【测量目标】圆与直线的位置关系及圆的弦的性质.【考查方式】给出未知圆的轨迹经过的已知点和已知直线的位置关系，求解圆的方程. 【参考答案】22325(2)()24x y -++=【试题解析】根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解. 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点（0,0）和（4,0），所以设圆心为（2,m ）.（步骤1）又因为圆与直线1y =相切，所以22(42)(0)1,m m -+-=-（步骤2）所以22421,m m m +=-+解得3,2m =-所以圆的方程为22325(2)().24x y -++=（步骤3）15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a 上，且AB //CD ,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .（第15题图）【测量目标】线面垂直的判定和线面平行的判定.【考查方式】给出已知正方体和正四面体棱长之间的位置关系，判断正四面体的一条棱与正方体各个面的位置关系.【参考答案】4【试题解析】根据直线与平面的位置关系求解.取CD 的中点H ,连接EH 、FH .（步骤1）在正四面体CDEF 中，由于,,CD EH CD HF ⊥⊥所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥面EFH ,（步骤2）则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交.（步骤3）三．解答题本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1(1)n nb n a =+，求数列｛n b ｝的前n 项和T n .【测量目标】数列的通项公式和数列的前n 项和的求法.【考查方式】给出n a 与n 之间的关系式，化简得到通项公式n a ；根据求出的n a ，求出n b 的前n 项和n T .【试题解析】解：(21)20n n n n a n a n a n a ---=2（1）由得（-2)(+1）=0（步骤1）由于｛n a ｝是正项数列，则2n a n =.（步骤2）（2）由（1）知2n a n =，故11111()(1)(1)(2)21n n b n a n n n n ===-+++（步骤3）11111111(1...)(1)222312122n T n n n n ∴=-+-++-=-=+++n （步骤4）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B+sin B sin C+cos2B=1.（1）求证：a ，b ，c 成等差数列；（2）若C =23π，求ab的值. 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角函数恒等关系式，利用正弦定理余弦定理把已知条件中角的关系转化为边的关系，从而证明三角形三边成等差数列求出边的值.【试题解析】解：（1）由已知得sin A sin B +sin B sin C +1-2sin 2B =1.故sin A sin B+sin B sin C =2sin 2B （步骤1）因为sin B 不为0，所以sin A +sin C =2sin B （步骤2）再由正弦定理得2,a c b +=所以a ，b ，c 成等差数列.（步骤3）（2）由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222π(2)2cos3b a a b ac -=+-化简得35a b =.（步骤4）18．（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O 为起点，再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X =0就去唱歌，若X <0就去下棋.（第18题图）（1）写出数量积X 的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率【测量目标】向量的数量积，随机事件古典概型.【考查方式】构造数学模型把向量与概率相结合，考查随机事件发生概率. 【试题解析】解：（1） X 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1. （2）数量积为-2的只有25OA OA ∙一种（步骤1）数量积为-1的有15OA OA ∙，1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种（步骤2）数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种（步骤3）数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种（步骤4）故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715P =（步骤5）因为去唱歌的概率为2415P =，所以小波不去唱歌的概率2411111515P P =-=-=（步骤6）19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB //CD ，AD ⊥AB ，AB =2，AD 1AA =3，E 为CD 上一点，DE =1，EC =3（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ;（2）求点1B 到平面11EAC 的距离【测量目标】立体几何【考查方式】给出直四棱柱棱长的值及其之间的位置关系，证明直线与平面之间的位置关系及点到平面的距离. 【试题解析】解.（1）证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，（步骤1）则1,2BF AD EF AB DE FC ==-==（步骤2）在Rt Rt BFE BE BFC BC △中，，△中，（步骤3）在2229BCE BE BC EC +△中，因为＝＝，故BE BC ⊥（步骤4）由1BB ⊥平面ABCD ，得1BE BB ⊥，所以BE ⊥平面11BB C C （步骤5）（2）三棱锥111E A B C -的体积111113A B C V AA S ∙△＝6）在111Rt A D C △中11AC ，（步骤7）（第19题图）同理，1EC ，1EA 8）由余弦定理的11112cos ,sin 33AC E=AC ∠∴∠因此11111111sin 2A C E S AC EC AC E =⨯⨯⨯∠=△设点1B 到平面11EAC 的距离为d ，则三棱锥111B EAC -的体积.1113A EC V d S ∙∙△＝d ==9）20.（本小题满分13分）椭圆C :22221x y a b += (a >b >0)的离心率2e =3a b +=(1) 求椭圆C 的方程；(2) 如图，A,B,D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m k -为定值.(第20题图)【测量目标】椭圆方程，直线与椭圆之间的位置关系.【考查方式】给出椭圆离心率及a 、b 的关系，求出椭圆方程，已知直线与椭圆之间的位置关系，求两条直线斜率的关系式为定值.【试题解析】解：(1)因为c e a==故22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2a b =（步骤1）再由3a b +=得a =2,b =1,（步骤2）∴椭圆C 的方程为2214x y +=：（步骤3）（2）因为B （2，0），点P 不为椭圆顶点，则直线1)2BP y k x k k ≠≠±方程为=(-2)(0且①（步骤4）将①代入2214x y +=，222(41)161640,k x k x k +-+-=22164,241B p B k x x x k -==+ ， 222824,4141P P k k x y k k -∴==-++，得222824(,)4141k k P k k --++（步骤5）又直线AD 的方程为112y x =+ ②（步骤6）①与②联立解得424(,)2121k kM k k +--（步骤7）由222824(0,1),(,),(,0)4141k kD P N x k k --++三点共线可解得42(,0)21k N k --（步骤8）所以MN 的斜率为m =214k +，则211222k m k k +-=-=（定值）（步骤9）21．（本小题满分14分）设函数1,0()1(1),11x x a af x x a x a ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪-⎩剟… a 为常数且a ∈（0，1）.（1）当a =12时，求1(())3f f ；（2）若0x 满足0(())f f x = 0x ,但0()f x ≠0x ，则称0x 为()f x 的二阶周期点，证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点12,x x ；（3）对于（2）中12,x x ，设11(,(()))A x f f x ，22(,(()))B x f f x ,2(,0)C a ，记△ABC 的面积为S （a ），求()S a 在区间[13,12]上的最大值和最小值. 【测量目标】分段函数求值，利用导数求函数最值.【考查方式】给出分段函数关系式，根据自变量的取值和二阶周期点的定义利用数形结合，求出二阶周期点及函数最值. 【试题解析】解：（1）当12a =时，121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝（步骤1）（2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧⎪⎪⎪-<⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+⎪-⎩剟…剟（步骤2）当20x a 剟时，由21x x a=解得0x =,由于()00f =,故0x =不是()f x 的二阶周期点；（步骤3）当2a x a <…时由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈（步骤4）因222211()1111a a af a a a a a a a a a =∙=≠-++-++-++-++故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点；（步骤5）当21a x a a <<-+时，由21()(1)x a x a -=-解得12x a =-2(,1)a a a ∈-+（步骤6）因1111()(1)2122f a a a a =∙-=----故12x a=-不是()f x 的二阶周期点；（步骤7）当211a a x -+剟时，1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+（步骤8）因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =∙-=≠-++--++-++-++故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点.（步骤9）因此，函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++.（步骤10）（3）由（2）得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++ 则2322221(1)1(222)(),'()212(1)a a a a a a S a S a a a a a ---+=∙=∙-++-++（步骤11）因为a 在[13,12]内，故'()0S a >，则()S a 在区间11[]32，上单调递增，（步骤12）故()S a 在区间11[]32，上最小值为11333S ()=，最大值为11220S ()=.（步骤13）。

2013年高考数学试题及答案(全国卷文数3套)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）＝（）A．2B．2C．D．13．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣34．（5分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B ＝，C＝，则△ABC的面积为（）A．2+2B．C．2﹣2D．﹣15．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1B．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）C．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）D．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝012．（5分）（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）（2013•新课标Ⅱ）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是．14．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝．15．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为．16．（4分）（2013•新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x+）的图象重合，则φ＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C﹣A1DE的体积．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．（14分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N＝{﹣2，﹣1，0}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）＝（）A．2B．2C．D．1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣3【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z＝2x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故选：B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B ＝，C＝，则△ABC的面积为（）A．2+2B．C．2﹣2D．﹣1【分析】由sin B，sin C及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c 及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵b＝2，B＝，C＝，∴由正弦定理＝得：c＝＝＝2，A＝，∴sin A＝sin（+）＝cos＝，＝bc sin A＝×2×2×＝+1．则S△ABC故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|＝x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α＝，∴cos2（α+）＝[1+cos（2α+）]＝（1﹣sin2α）＝×（1﹣）＝．故选：A．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S 值，由此即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行第一次：S＝1，第二次：S＝1+，第三次：S＝1++，第四次：S＝1+++．此时k＝5时，符合k＞N＝4，输出S的值．∴S＝1+++故选：B．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a＝log32∈（0，1），b＝log52∈（0，1），c＝log23＞1，所以a＝log32，b＝log52＝，所以c＞a＞b，故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查．9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为（）A．y＝x﹣1或y＝﹣x+1B．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）C．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）D．y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得﹣y﹣k＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．【解答】解：法一：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y＝k（x﹣1）由消去x，得﹣y﹣k＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝﹣4…（*）∵|AF|＝3|BF|，∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2＝且﹣3y22＝﹣4，消去y2得k2＝3，解之得k＝∴直线l方程为y＝（x﹣1）或y＝﹣（x﹣1）法二：做出抛物线的准线，以及A、B到准线的垂线段AA'、BB'，并设直线l交准线与M，设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB'|＝m，|AA'|＝|AF|＝3m，由BB'∥AA'可知，，即，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m，故∠AMA'＝30°，根据斜率与角度的关系可得选C选项．故选：C．【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【分析】对于A，对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法，若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，则f（x）＝x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）＝0，正确．【解答】解：A、对于三次函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；B、∵f（﹣﹣x）+f（x）＝（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，f （﹣）＝（﹣）3+a （﹣）2+b （﹣）+c ＝﹣+c ，∵f （﹣﹣x ）+f （x ）＝2f （﹣），∴点P （﹣，f （﹣））为对称中心，故B 正确．C 、若取a ＝﹣1，b ＝﹣1，c ＝0，则f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，对于f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，∵f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1∴由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＞0得x ∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＜0得x ∈（﹣，1）∴函数f （x ）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f （x ）的极小值点，但f （x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误；D ：若x 0是f （x ）的极值点，根据导数的意义，则f ′（x 0）＝0，故D 正确．由于该题选择错误的，故选：C ．【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）若存在正数x 使2x （x ﹣a ）＜1成立，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣2，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣1，+∞）【分析】转化不等式为，利用x 是正数，通过函数的单调性，求出a 的范围即可．【解答】解：因为2x （x ﹣a ）＜1，所以，函数y＝是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．13．（4分）（2013•新课标Ⅱ）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2．【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有＝10种情况，和为5的有（1，4）（2，3）两种情况，故所求的概率为：＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．14．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝0，故＝（）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝4+0﹣0﹣＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15．（4分）（2013•新课标Ⅱ）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为24π．【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V＝sh＝（×）×OH＝，∴OH＝，在直角三角形OAH中，OA＝＝＝所以表面积为4πr2＝24π；故答案为：24π．【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．16．（4分）（2013•新课标Ⅱ）函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x+）的图象重合，则φ＝．【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y＝cos[2（x﹣）+φ]的图象，即y＝cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y＝sin（2x+）＝的图象与y＝cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2（x﹣）+φ]＝cos（2x+φ﹣π），而函数y＝sin（2x+）＝，由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin （2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π＝，解得：φ＝．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．【点评】本题给出函数y＝cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）＝0，解出d即可得到通项公式a n；＝﹣2（3n﹣2）+27＝﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6（II）由（I）可得a3n﹣2为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，∴，化为d（2a1+25d）＝0，∵d≠0，∴2×25+25d＝0，解得d＝﹣2．∴a n＝25+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+27．＝﹣2（3n﹣2）+27＝﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6（II）由（I）可得a3n﹣2为公差的等差数列．∴S n＝a1+a4+a7+…+a3n﹣2＝＝＝﹣3n2+28n．【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD ⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A 1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得的值，再根据三棱锥C﹣A1DE的体积为••CD，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）∵AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1，∴CD＝＝．∵A1D＝＝，同理，利用勾股定理求得DE＝，A1E＝3．再由勾股定理可得+DE2＝，∴A1D⊥DE．∴＝＝，∴＝••CD＝1．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T＝500X﹣300（130﹣X）＝800X﹣39000，当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000，∴T＝．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程；（Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2＝﹣y2+r2，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3＝﹣x2+r2，由两式整理得x2+3＝y2+2，整理得y2﹣x2＝1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（Ⅱ）由P点到直线y＝x的距离为得，＝，即|x﹣y|＝1，即x＝y+1或y ＝x+1，分别代入y2﹣x2＝1解得P（0，﹣1）或P（0，1）若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y+1）2+x2＝3；若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为，所以圆P的方程为（y﹣1）2+x2＝3；综上，圆P的方程为（y+1）2+x2＝3或（y﹣1）2+x2＝3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x2e﹣x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2e﹣x，∴f′（x）＝2xe﹣x﹣x2e﹣x＝e﹣x（2x﹣x2），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝2，令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．∴x＝0是极小值点，x＝2极大值点，又f（0）＝0，f（2）＝．故f（x）的极小值和极大值分别为0，．（Ⅱ）设切点为（），则切线方程为y﹣＝（x﹣x0），令y＝0，解得x＝＝，∵曲线y＝f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，令，则＝．①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）＝0；②当x 0＞2时，令f′（x0）＝0，解得．当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且＝．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．22．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A，及BC•AE＝DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD＝∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE＝∠DBC，进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB＝BE，可得CE＝DC，利用切割线定理可得DC2＝DB•DA，CA2＝CB2+BA2，都用DB表示即可．【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB＝∠A，∵BC•AE＝DC•AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD＝∠AFE．∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE＝∠DBC，∴∠CFE＝∠AFE＝90°．∴∠CBA＝90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；（2）连接CE，∵∠CBE＝90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，得CE＝DC，又BC2＝DB•BA＝2DB2，∴CA2＝4DB2+BC2＝6DB2．而DC2＝DB•DA＝3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．（2）M点到坐标原点的距离d＝（0＜α＜2π）．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（14分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c＝1⇒（a+b+c）2＝1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b ≥2a ，+c ≥2b ，+a ≥2c ，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca 得：a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，由题设得（a +b +c ）2＝1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝1，所以3（ab +bc +ca ）≤1，即ab +bc +ca ≤．（Ⅱ）因为+b ≥2a ，+c ≥2b ，+a ≥2c ，故+++（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即++≥a +b +c ．所以++≥1．【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．2246．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）（2013•大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•大纲版）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（）A．5B．4C．3D．210．（5分）（2013•大纲版）已知曲线y＝x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a ＝（）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）（2013•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k＝（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•大纲版）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）＝x ﹣2，则f（﹣1）＝．14．（5分）（2013•大纲版）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）（2013•大纲版）若x、y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为．16．（5分）（2013•大纲版）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2013•大纲版）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（2013•大纲版）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）＝ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sin A sin C＝，求C．19．（12分）（2013•大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）（2013•大纲版）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）（2013•大纲版）已知函数f（x）＝x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a＝时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）（2013•大纲版）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，}，集合A＝{1，2}所以∁U A＝{3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）（2013•大纲版）若α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴＝（2λ+3，3），．∵，∴＝0，∴﹣（2λ+3）﹣3＝0，解得λ＝﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）（2013•大纲版）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（2013•大纲版）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1＝x8﹣r2r令8﹣r＝6得r＝2，∴展开式中x6的系数是22C82＝112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【分析】把y看作常数，求出x：x＝，x，y互换，得到y＝log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y＝log2（1+），把y看作常数，求出x：。

2013年高考真题——文科数学(江西卷)解析版 Word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。

4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]：D[解析]：Z ＝-2i-i 2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2. 若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4 [答案]：A[解析]： 010a =≠∆当时，＝不合，当a 0时，＝0，则a=43. 3sin cos 2αα==若（） A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin 12233αα=-=-⨯= 4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是A B. C. D.[答案]：C[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01[答案]：D[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D6. 下列选项中，使不等式x＜1x＜2x成立的x的取值范围是（）A.（，-1）B. （-1，0）C.0，1）D.（1，+）[答案]：A[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A。

2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ．（2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（）（A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ．（3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ．（5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ．（8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ．（9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（）（A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（）（A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____．【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=．（16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=．所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程．解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=．（2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜；当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠，则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，．所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号．（22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽，所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。

2013年高考数学(文科)(课标I)真题及答案

2013年高考数学（文科）（课标I ）真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B=（）（A ）｛1，4｝（B ）｛2，3｝（C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2） 1＋2i (1－i)2＝（）（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是（）（A ） p∧q （B ）￢p∧q （C ）p∧￢q （D ）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－（7）执行右面的程序框图，如果输入的 t ∈[－1，3]，则输出的s 属于（）（A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为（）（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4（9）函数f （x ）=（1－cos x ）sin x 在[－π，π]的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （11（A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（）（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年江西省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析

2013年江西省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素,则a＝( )A.4B.2C.0D.0或43.(5分)若sin＝,则cosα＝( )A.﹣B.﹣C.D.4.(5分)集合A＝{2,3},B＝{1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.5.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来6.(5分)下列选项中,使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)7.(5分)阅读如图所示的程序框图,如果输出i＝4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A.S＜8B.S＜9C.S＜10D.S＜118.(5分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200＋9πB.200＋18πC.140＋9πD.140＋18π9.(5分)已知点A(2,0),抛物线C：x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|：|MN|＝( ) A.2： B.1：2 C.1： D.1：310.(5分)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A,圆O沿l 1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y＝cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)若曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a＝.12.(5分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.13.(5分)设f(x)＝sin3x＋cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是.14.(5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,则圆C的方程是.15.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.三.解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)正项数列{an }满足：an2﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0.(1)求数列{an }的通项公式an；(2)令bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a,b,c成等差数列；(2)若C＝,求的值.18.(12分)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A 1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X＞0就去打球,若X＝0就去唱歌,若X＜0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB＝2,AD＝,AA1＝3,E为CD上一点,DE＝1,EC＝3(1)证明：BE⊥平面BB1C1 C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.20.(13分)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.21.(14分)设函数常数且a∈(0,1).(1)当a＝时,求f(f())；(2)若x0满足f(f(x))＝x,但f(x)≠x,则称x为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2；(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.2013年江西省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简可得复数z＝i(﹣2﹣i)＝﹣2i﹣i2＝1﹣2i,由复数的几何意义可得答案.【解答】解：化简可得复数z＝i(﹣2﹣i)＝﹣2i﹣i2＝1﹣2i,故复数在复平面内所对应的点的坐标为(1,﹣2)在第四象限,故选：D.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题.2.(5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素,则a＝( )A.4B.2C.0D.0或4【分析】当a为零时,方程不成立,不符合题意,当a不等于零时,方程是一元二次方程只需判别式为零即可.【解答】解：当a＝0时,方程为1＝0不成立,不满足条件当a≠0时,△＝a2﹣4a＝0,解得a＝4故选：A.【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定,以及根的个数与判别式的关系,属于基础题.3.(5分)若sin＝,则cosα＝( )A.﹣B.﹣C.D.【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα＝1﹣2sin2,代入已知化简即可.【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa＝1﹣2sin2＝1﹣2×＝1﹣＝故选：C.【点评】本题考查二倍角的余弦公式,把α看做的二倍角是解决问题的关键,属基础题.4.(5分)集合A＝{2,3},B＝{1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3＝6,由列举法可得符合条件的有2种,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解：从A,B中各取任意一个数共有2×3＝6种分法,而两数之和为4的有：(2,2),(3,1)两种方法,故所求的概率为：＝.故选：C.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.5.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读,第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,第三个数为08,符合条件,以下符合条件依次为：08,02,14,07,01,故第5个数为01.故选：D.【点评】本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.6.(5分)下列选项中,使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)【分析】通过x＝,,2验证不等式是否成立,排除选项B、C、D.即可得到正确选项.【解答】解：利用特殊值排除选项,不妨令x＝时,代入x＜＜x2,得到＜,显然不成立,选项B不正确；当x＝时,代入x＜＜x2,得到,显然不正确,排除C；当x＝2时,代入x＜＜x2,得到,显然不正确,排除D.故选：A.【点评】本题考查分式不等式的解法,由于本题是选择题,利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧.当然可以直接解答,过程比较复杂.7.(5分)阅读如图所示的程序框图,如果输出i＝4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A.S＜8B.S＜9C.S＜10D.S＜11【分析】由框图给出的赋值,先执行一次运算i＝i＋1,然后判断得到的i的奇偶性,是奇数执行S＝2*i＋2,是偶数执行S＝2*i＋1,然后判断S的值是否满足判断框中的条件,满足继续从i＝i＋1执行,不满足跳出循环,输出i的值.【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S＝0,i＝1,执行i＝1＋1＝2,判断2是奇数不成立,执行S＝2×2＋1＝5；判断框内条件成立,执行i＝2＋1＝3,判断3是奇数成立,执行S＝2×3＋2＝8；判断框内条件成立,执行i＝3＋1＝4,判断4是奇数不成立,执行S＝2×4＋1＝9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立,输出i＝4.而此时的S的值是9,故判断框中的条件应S＜9.若是S＜8,输出的i值等于3,与题意不符.故选：B.【点评】本题考查了程序框图,考查了循环结构,内含条件结构,整体属于当型循环,解答此题的关键是思路清晰,分清路径,属基础题.8.(5分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200＋9πB.200＋18πC.140＋9πD.140＋18π【分析】根据题意,该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成.根据所给出的数据可求出体积.【解答】解：根据图中三视图可得出其体积＝长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积＝10×4×5＋32π×2＝200＋9π.故选：A.【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高,左视图确定物体的宽和高,俯视图确定物体的长和宽.9.(5分)已知点A(2,0),抛物线C：x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|：|MN|＝( )A.2：B.1：2C.1：D.1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标,从而得到AF的斜率k＝﹣.过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|.Rt△MPN中,根据tan∠MNP＝,从而得到|PN|＝2|PM|,进而算出|MN|＝|PM|,由此即可得到|FM|：|MN|的值.【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为l：y＝﹣1,直线AF的斜率为k＝＝﹣,过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|∵Rt△MPN中,tan∠MNP＝﹣k＝,∴＝,可得|PN|＝2|PM|,得|MN|＝＝|PM|因此,,可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：故选：C.【点评】本题给出抛物线方程和射线FA,求线段的比值.着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.10.(5分)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A,圆O沿l 1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y＝cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A. B. C. D.【分析】通过t的增加,排除选项A、D,利用x的增加的变化率,说明余弦函数的变化率,得到选项即可.【解答】解：因为当t＝0时,x＝0,对应y＝1,所以选项A,D不合题意,当t由0增加时,x的变化率由大变小,又y＝cosx是减函数,所以函数y＝f(t)的图象变化先快后慢,所以选项B满足题意,C正好相反.故选：B.【点评】本题考查函数图象的变换快慢,考查学生理解题意以及视图能力.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)若曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a＝ 2 .【分析】求出函数的导函数,求出x＝1时的导数值,写出曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线方程,把原点坐标代入即可解得α的值.【解答】解：由y＝x a＋1,得y′＝ax a﹣1.＝a,则曲线y＝x a＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线方程为：所以y′|x＝1y﹣2＝a(x﹣1),即y＝ax﹣a＋2.把(0,0)代入切线方程得,a＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数,考查了直线方程点斜式,是基础题.12.(5分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 6 .是以2为首项,以2为公比的等比数列,根据等比数【分析】由题意可得,第n天种树的棵数an≥100,解不等式可求列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn【解答】解：由题意可得,第n天种树的棵数a是以2为首项,以2为公比的等比数列n＝＝2n＋1﹣2≥100sn∴2n＋1≥102∵n∈N*∴n＋1≥7∴n≥6,即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用,解题的关键是等比数列模型的确定13.(5分)设f(x)＝sin3x＋cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是a≥2 .【分析】构造函数F(x)＝|f(x)|＝|sin3x＋cos3x|,利用正弦函数的特点求出F(x),从而max可得答案.【解答】解：∵不等式|f(x)|≤a对任意实数x恒成立,令F(x)＝|f(x)|＝|sin3x＋cos3x|,.则a≥F(x)max∵f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋)∴﹣2≤f(x)≤2∴0≤F(x)≤2＝2F(x)max∴a≥2.即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2.【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想,考查恒成立问题,属于中档题.14.(5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,则圆C的方程是.【分析】设出圆的圆心坐标与半径,利用已知条件列出方程组,求出圆的圆心坐标与半径,即可得到圆的方程.【解答】解：设圆的圆心坐标(a,b),半径为r,因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,所以,解得,所求圆的方程为：.故答案为：.【点评】本题考查圆的标准方程的求法,列出方程组是解题的关键,考查计算能力.15.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 .【分析】判断EF与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可.【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.故答案为：4.【点评】本题考查直线与平面的位置关系,基本知识的应用,考查空间想象能力. 三.解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)正项数列{an }满足：an2﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0.(1)求数列{an }的通项公式an；(2)令bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(1)通过分解因式,利用正项数列{an },直接求数列{an}的通项公式an；(2)利用数列的通项公式化简bn ＝,利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn.【解答】解：(1)由正项数列{an }满足：﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0,可得(an ﹣2n)(an＋1)＝0所以an＝2n.(2)因为an ＝2n,bn＝,所以bn＝＝＝,Tn＝＝＝.数列{bn }的前n项和Tn为.【点评】本题考查数列的通项公式的求法,裂项法求解数列的和的基本方法,考查计算能力.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a,b,c成等差数列；(2)若C＝,求的值.【分析】(1)由条件利用二倍角公式可得sinAsinB＋sinBsinC＝2 sin2B,再由正弦定理可得 ab＋bc＝2b2,即 a＋c＝2b,由此可得a,b,c成等差数列.(2)若C＝,由(1)可得c＝2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2＝a2＋b2﹣2ab•cosC,化简可得5ab＝3b2,由此可得的值.【解答】解：(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1,∴sinAsinB＋sinBsinC＝2 sin2B.再由正弦定理可得 ab＋bc＝2b2,即 a＋c＝2b,故a,b,c成等差数列.(2)若C＝,由(1)可得c＝2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2＝a2＋b2﹣2ab•cosC＝a2＋b2＋ab.化简可得 5ab＝3b2,∴＝.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题.18.(12分)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A 1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X＞0就去打球,若X＝0就去唱歌,若X＜0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【分析】(1)由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2,﹣1,0,1,(2)列举分别可得数量积为﹣2,﹣1,0,1时的情形种数,由古典概型的概率公式可得答案. 【解答】解：(1)由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2,﹣1,0,1,(2)数量积为﹣2的有,共1种,数量积为﹣1的有,,,,,共6种,数量积为0的有,,,共4种,数量积为1的有,,,共4种,故所有的可能共15种,所以小波去下棋的概率P1＝,去唱歌的概率P2＝,故不去唱歌的概率为：P ＝1﹣P 2＝1﹣＝【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及平面向量的数量积的运算,属中档题.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB ∥CD,AD ⊥AB,AB ＝2,AD ＝,AA 1＝3,E 为CD 上一点,DE ＝1,EC ＝3(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1 的距离.【分析】(1)过点B 作BF ⊥CD 于F 点,算出BF 、EF 、FC 的长,从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长,由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC,结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理,可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1,算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝.根据线面垂直的性质和勾股定理,算出A 1C 1＝EC 1＝3、A 1E ＝2,从而得到等腰△A 1EC 1的面积＝3,设B 1到平面EA 1C 1的距离为d,可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V ＝××d ＝d,从而得到＝d,由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离.【解答】解：(1)过点B 作BF ⊥CD 于F 点,则： BF ＝AD ＝,EF ＝AB ＝DE ＝1,FC ＝EC ﹣EF ＝3﹣1＝2在Rt △BEF 中,BE ＝＝；在Rt △BCF 中,BC ＝＝因此,△BCE 中可得BE 2＋BC 2＝9＝CE 2 ∴∠CBE ＝90°,可得BE ⊥BC, ∵BB 1⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD, ∴BE ⊥BB 1,又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线, ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1,得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝×AA 1×＝在Rt △A 1D 1C 1中,A 1C 1＝＝3同理可得EC1＝＝3,A1E＝＝2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于＝,可得＝×2×＝3设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V＝××d＝d,可得＝d,解之得d＝即点B1到平面EA1C1的距离为.【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直,并求点到平面的距离.着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识,属于中档题.20.(13分)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.【分析】(1)由题目给出的离心率及a＋b＝3,结合条件a2＝b2＋c2列式求出a,b,则椭圆方程可求；(2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出P点坐标,两直线方程联立解出M点坐标,由D,P,N 三点共线解出N点坐标,由两点求斜率得到MN的斜率m,代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值.【解答】(1)解：因为,所以,即a2＝4b2,a＝2b.又a＋b＝3,得a＝2,b＝1.所以椭圆C的方程为；(2)证明：因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为.联立,得(4k2＋1)x2﹣16k2x＋16k2﹣4＝0.所以,.则.所以P().又直线AD的方程为.联立,解得M().由三点D(0,1),P(),N(x,0)共线,得,所以N().所以MN的斜率为＝.则.所以2m﹣k为定值.【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了二次方程中根与系数关系,考查了由两点求斜率的公式,是中高档题.21.(14分)设函数常数且a∈(0,1).(1)当a＝时,求f(f())；(2)若x0满足f(f(x))＝x,但f(x)≠x,则称x为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2；(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.【分析】(1)当a＝时,根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；(2)根据二阶周期点的定义,分段进行求解,找出符号定义的根即为所求；(3)由题意,先表示出s(a)的表达式,再借助导数工具研究s(a)在区间[,]上的单调性,确定出最值,即可求解出最值.【解答】解：(1)当a＝时,求f()＝,故f(f())＝f()＝2(1﹣)＝(2)f(f(x))＝当0≤x≤a2时,由＝x,解得x＝0,因为f(0)＝0,故x＝0不是函数的二阶周期点；当a2＜x≤a时,由＝x,解得x＝因为f()＝＝≠,故x＝是函数的二阶周期点；当a＜x≤a2﹣a＋1时,由＝x,解得x＝∈(a,a2﹣a＋1),因为f()＝,故得x＝不是函数的二阶周期点；当a2﹣a＋1＜x≤1时,由,解得x＝∈(a2﹣a＋1,1),因为f()＝≠,故x＝是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点,x1＝,x2＝(3)由(2)得A(,),B(,)则s(a)＝S△OCB ﹣S△OCA＝×,所以s′(a)＝×,因为a∈(),有a2＋a＜1,所以s′(a)＝×＝＞0(或令g(a)＝a3﹣2a2﹣2a＋2利用导数证明其符号为正亦可)s(a)在区间[,]上是增函数,故s(a)在区间[,]上的最小值为s()＝,最大值为s()＝【点评】本题考查求函数的值,新定义的理解,利用导数求函数在闭区间上的最值,第二题解答的关键是理解定义,第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性,本题考查了方程的思想,转化化归的思想及符号运算的能力,难度较大,综合性强,解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现.。

2013年江西省高考数学试卷(文科)最新修正版

2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．016．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：310．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2．【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=x a+1，得y′=ax a﹣1．所以y′|x=1=a，则曲线y=x a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．【分析】由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s n≥100，解不等式可求【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列s n==2n+1﹣2≥100∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．【分析】构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案．【解答】解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，则a≥F（x）max．∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）∴﹣2≤f（x）≤2∴0≤F（x）≤2F（x）max=2∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{a n}，直接求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用数列的通项公式化简b n=，利用裂项法直接求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可得（a n﹣2n）（a n+1）=0所以a n=2n．（2）因为a n=2n，b n=，所以b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得5ab=3b2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种，数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B 1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B 1到平面EA1C1的距离．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A 1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M 点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣k为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=（2）f （f （x ））=当0≤x ≤a 2时，由=x ，解得x=0，因为f （0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由=x ，解得x=因为f （）==≠，故x=是函数的二阶周期点；当a ＜x ≤a 2﹣a +1时，由=x ，解得x=∈（a ，a 2﹣a +1），因为f（）=，故得x=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a +1＜x ≤1时，由，解得x=∈（a 2﹣a +1，1），因为f （）=≠，故x=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，x 1=，x 2=（3）由（2）得A （，），B （，）则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a +2利用导数证明其符号为正亦可） s （a ）在区间[，]上是增函数，故s （a ）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B ．C ．D ．4．（5分）已知双曲线C ：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1﹣t ）．若•=0，则t=．14．（5分）设x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最大值为．15．（5分）已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ：HB=1：2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f （x ）=sinx ﹣2cosx 取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=﹣5．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ）实验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°（Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若AB=CB=2，A 1C=，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．20．（12分）已知函数f （x ）=e x （ax +b ）﹣x 2﹣4x ，曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处切线方程为y=4x +4．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）讨论f （x ）的单调性，并求f （x ）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。