五年级奥数题因数与倍数
小学五年级奥数 因数与倍数(一)
因数与倍数（一）【课前小练习】(★)1. 学习短除法和因数式.3. 公因数、公倍数的实际应用1.2.写出12的所有因数，并列举几个12的倍数.写出18的所有因数，并列举几个18的倍数.1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数.2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数板块一:短除法和分解质因数法【例1】(★★☆)求下列每组的最大公因数和最小公倍数.板块二:借助最大公因数未知数⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数【例】★★★求下列每组的最大公因数和最小公倍数.⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★)一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？1【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆)两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？【拓展】(★★★★)由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。
你知道为什么是17年吗？板块三:公因数、公倍数的应用【例6】(★★★)1 1 1学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中，2 3 7其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人.知识大总结. 、.2. 枚举法，短除法，分解质因数法A＝ax、B＝bx，其中a、b互质4. 应用：【例7】(★★★)将92个苹果和138个梨平均分给一班的小朋友，要求每人分到的水果相同，且无剩余. 那么一班最多有多少个小朋友？每个小朋友分到几个苹果几个梨？公因数---除数；公倍数---被除数【今日讲题】例2，例4，例5，例6【讲题心得】__________________________________________________________________. 【家长评价】________________________________________________________________. 2。
五年级奥数春季实验班第7讲 数论综合之高难度因数与倍数问题
第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程：[,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ⎧++=⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩①②③。
解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ，则5570ab ap bp abp p ++=⎧⎨-=⎩，由p ×(ab −1)=70，所以p |70，70=2×5×7，若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去；若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去；若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5，所以原方程的解是2515m n =⎧⎨=⎩。
例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。
解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n −4，2n +5)=(n −4，n +9)=(13，n +9)， 所以(a ，b )=13.例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于样的正整数n ，M n −1=M n 。
解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n −1=M n 。
因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a <n −1，b <n −1，所以a |M n −1，b |M n −1，于是(a ×b )|M n −1，所以M n −1=M n 。
(完整)小学奥数因数与倍数
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
五年级奥数因数与倍数(B级)
五年级奥数因数与倍数(B级)因数和倍数的关系一天，因数和倍数相遇了。
倍数傲慢地问因数：“你见到我怎么不下拜呢？”因数气愤地回答：“你算老几呀？我为什么要拜你？”倍数自信地说：“我是老大，因为一个数的因数只有几个，而一个数的倍数有无数个。
我的家庭庞大，你的家庭成员少得可怜。
你应该拜我。
”因数反驳：“是的，你的家庭庞大，但你知道自己是老几吗？我们的家庭成员虽少，但我们都知道自己的位置。
离开我们这些因数，你们这些倍数还能成立吗？”倍数想了想，承认自己说错了，因数和倍数握手言和，成为密不可分的好伙伴。
因数的概念与最大公因数因数是能够整除一个数的数，倍数是某个数的整数倍。
最大公因数是两个或多个数的公共因数中最大的一个。
求最大公因数的方法有三种：分解质因数法、短除法和辗转相除法。
分解质因数法先将数分解质因数，然后将相同的因数连乘；短除法找出所有共有的因数，然后相乘；辗转相除法每次用除数和余数相除，直到余数为止，最后一个除数就是最大公因数。
最大公因数有以下性质：1）两个数的最大公因数等于它们的公因数中最大的一个；2）最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；3）若两个数互质，则它们的最大公因数为1.因数和倍数是密不可分的好伙伴，它们共同存在于自然数中。
没有因数，就没有倍数；没有倍数，就没有因数。
因数和倍数应该紧密团结在一起，共同发挥作用。
性质（3）指的是“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
虽然不是常见考点，但对于理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系有帮助。
求一个整数的因数个数，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数的指数加1后相乘。
例如，对于整数1400，它的因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个，包括1和1400本身。
这个公式的推导过程建立在数字“唯一分解定理”的基础上，结合乘法原理推导而来，需要掌握。
求一个整数的所有因数的和，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些和相乘。
5年级奥数--因数与倍数
因数与倍数专题提高（3月5日）
专题精华
几个自然数a,b 的最大公因数记作（a,b）,若（a,b）=1,则a和b互质。
自然数a,b的最小公倍数可以记作[a,b],当（a,b）=1时，[a,b]=axb。
两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数x最小公倍数=两数的乘积。
掌握以上数量关系，根据题目中的已知条件，就可以解决因数与倍数的问题。
教材深化：
1.1 小张，小王，小李三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，小张3天去一次，小王4天去一次，小李5天去一次。
有一天，他们三人恰好在图书馆相会。
问至再过多少天他们三人又在图书馆相会？
1.2 某市3路，5路，8路车都从东站出发，3路车每隔10分钟发一次车，5路车每隔15分钟发一次车，而8路车每隔20分钟发一次车。
当这三种路线的车同时发车后，至多少分钟后这三种路线又同时发车？
1.3 大雪后的一天，小轩与爸爸共同步测一个圆形花园的周长。
他们走的起点，路线，方向完全相同。
小轩的步长为54厘米，爸爸的步长为72厘米。
由于两人的脚印有重合，所以雪地只留下60个脚印。
这个花坛的周长是多少？
1.4 四个连续的自然数，它们从小到大一次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。
这四个连续自然数的和最小是多少？
2.1两个数的最大公因数是10，最小公倍数为140。
已知其中一个数为70，则另一个数是
多少？
2.2 现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使4个数的公因数尽可能大，那么四个数的公因数最大可能是多少？
生活数学：
感受奥赛：。
五年级奥数题因数与倍数
五年级奥数题因数与倍数因数与倍数相关习题（1）一、填空题1 ? 28的所有因数之和是 ______ .2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_______ 中不同的拼法?3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是______ .4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____ 人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_________ .6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给_____ 小朋友,每个小朋友得梨______ 个,桔______ 个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片____ 块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）__ 块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个.10. 含有6个因数的两位数有_____ 个.11?写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12?和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米,2 43它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们8之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？14. 已知a与b的最大公因数是12, a与c的最小公倍数是300,b 与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a, b, c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）---------------------------- 答案-----------------------------------------------答案：1. 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2 2 7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2，…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24,又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23 29, 所以这班师生每人种的棵数只能是667 的因数:1,23,29,667. 显然, 每人种667 棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时, 全班人数应是667-1=666, 但666不能被 4 整除, 不可能.所以, 一班共有28名学生.5. 40 或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填40或20.［注］这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36 个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108 的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36 和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36 36=1( 只)每个小朋友可分得桔子: 108 36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48 厘米及宽42 厘米, 所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42 的最大公因数.因为48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以48与42的最大公因数是 6.这样,最大正方形的边长是 6 厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8 块,宽边可剪7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除, 即正方体的棱长是180,45 和18的公因数. 为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45 和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9 厘米. 这样, 长180 厘米可公成20 段, 宽45 厘米可分成5 段, 高18 厘米可分成 2 段. 这根木料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200 块棱长是9 厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果, 这样, 他15个苹果进与出获利1元. 所以他获利10元必须卖出150 个苹果.10. 16含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有 6 个因数的数，用a和b表示M的质因数，那么M a5或M a2 b因为M 是两位数，所以M= a 5只有一种可能M=25，而M= a 2 b 就有以下15种情况： M 223,M 22 5,M 22 7， M 22 11,M 22 13,M 22 17，M 22 19, M 22 23, M 32 2，M 32 5,M 32 7,M32 11 M 52 2,M 52 3,M72 2. 所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得1111=11 101最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 (1+2+3+5)=101 11=1111,它们的最大公因数为101. 所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与123的“最小公倍数” 99， 4 8 4qq 11 1 3即跳了99耳=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4丄和123的4 4 2 8 “最小公倍数” 99，即跳了 99 9 -=11次掉进陷井. 2 经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是14. 先将12、300分别进行质因数分解:212=2 3300=2 2 3 52(1)确定a 的值.依题意a 只能取12或12 5(=60)或12 25(=300).⑵确定b 的值.当a=12时，b 可取12,或12 5,或12 25；当a=60,300时，b 都只能取12.所以,满足条件的a 、b 共有5组:a=12 「a=12 「a=12j a=60 -a=300 1 4- 2 9=40.5（米）.b=12, *L b=60,-b=300,L b=12,円-b=12.⑶确定a, b, c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：22 2 2 2 2 225,5 2, 5 2 ,5 3, 5 2 3,5 2 3,即卩25, 50, 100, 75, 150, 300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5 6=30 （组）因数与倍数相关习题（2）一、填空题1 .把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有_________ 个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有 __________ 人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____ 块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____ 块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____ 钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子，每只可得________ 粒.7. 这样的自然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了 1 以外最小的是_____ .8. _________________________________________________ 能被3、7、& 11四个数同时整除的最大六位数是 ____________________________ .9. 把26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1,那么至少要分成________ 组.10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的_______ 倍.二、解答题11. 公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6: 00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少？乙数是多少？5 15 113. 用一、一、1一分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数28 56 20最小是几？14. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.----------------------------- 答案---------------------------------------------- 答案：1. 9若梨减少2个,则有20-2=18（个）;若将苹果增加2个,则有25+2=27（个）,这样都被小朋友刚巧分完?由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数，也就是长方形木板的长和宽的公倍数，又要求最少需要多少块，所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数.2 16 148 7故14与16的最小公倍数是2 8 7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板112 112=7 8=56（块） 16 144. 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9, 6, 7的最小公倍数，9, 6, 7 的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块126 126 126=14 21 18=5292（块）9 6 7［注］上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广?将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一. 希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15 和10的最小公倍数.因为3,5,9,15 和10 的最小公倍数是90, 所以从第一次同时发车后90 分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12 第一群猴子只数=15 第二群猴子只数=20 第三群猴子只数由此可知, 花生总粒数是12,15,20 的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5, 10, 15,……第二群猴子只数是4, 8, 12,……第三群猴子只数是3, 6, 9,……所以，三群猴子的总只数是12, 24, 36,…….因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是 5 粒.7. 421依题意知, 这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420,所以这个数是421.8. 999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11 的公倍数,而3,7,8,11 的最小公倍数是1848.因为999999 1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍,或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求, 有相同质因数的数不能分在一组,26=2 13,91=7 13,143=11 13,所以, 所分组数不会小于 3. 下面给出一种分组方案:(1)26 ，33，35；(2)34 ，91；(3)63 ，85，143.因此,至少要分成 3 组.［注］所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5，21=3 7，35=5 7，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外, 还有多种分组法, 下面再给出三种:(1)26,35 ；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63 ；26，33，35；34，91.(3) 26,85,63 ；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”，将210 330 分解质因数，再进行组合有210 330=2 3 5 7 2 3 5 11222=2 2 32 52 7 11= (2 3 5) (2 3 5 7 11)因此，它们的最小公倍数是最大公因数的7 11=77(倍) .11. 根据题意,先求出8,10,16 的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.从早上6:00 至20:00 共14 小时, 求出其中包含多少个80 分钟.60 14 80=10…40 分钟由此可知,20:00 前40分钟,即19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数, 所得的两个商是互质数. 而这两个互质数的乘积, 恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商——1 2.这一结论的根据是:( 我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数乙数=倍约。
完整五年级奥数第一讲因数与倍数
五年级奥数 第一讲：因数与倍数知识点拨1、 因数和倍数 ：如果a >b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6 >2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如 10能被 5整除，那么 10 就是 5的倍数， 5就是 10的因数。
2、 一个数的因数的求法： ( 1 )列乘法算式找(2)列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15 的因数有哪些？ 方法一： 1215=15， 325=15(一般从自然数 1开始，一对一对的找) 方法二：15+1=15,15七=5 (计算时从除数1开始找，直到重复为止) 所以 15的因数就是 1, 3, 5, 15。
最大的因数就是 15，也就是它本身！最小的是 1。
3、 一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如： 3的倍数 36 9 1215 .... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征： 最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。
4、 2、5、3的倍数的特征 ：① 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2的倍数。
② 个位上是 0或5的数，是 5的倍数。
③ 一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。
5、 常见数字的整除判定方法： ( 1) 2：个位是偶数的自然数(2) 5：个位是 0或5的自然数 注：若一个数同时是 2 和 5 的倍数，则此数的个位一定为 0 ( 3) 4、 25：末两位能被 4、25 整除 (4) 8、125：末三位能被 8、125整除 (5)3、9：各个数位上的数之和能被 3、9 整除(6) 7、11、13通用性质：① 一个数如果是 1001 的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=20121001，则其必能被 7、 ② 从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是 7、11、13的倍数，则其为 ③ 末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为 7、11、13的倍数，则其为(7) 11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除 (8) 99：两位一段(从右往左) ，各段的和能被 99 整除 (9) 999：三位一段(从右往左) ，各段的和能被 999 整除6、 在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数( 0也是偶数)，不是 2的倍数的数叫做奇数。
五年级奥数因数倍数
五年级奥数(因数与倍数)典型例题80 和144的因数各有多少个?举一反三1.求60和90的因数各有多少个?2.求196的因数各有多少个?3.甲数的2倍等于乙数,乙数的3倍等于丙数,丙数的4倍等于甲数,求甲数拓展提高一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积,这个数当然有许多因数是两位数,这些两位数的因数中,最大的是几?奥赛训练1.把316表示成两个数的和,使其中一个是13的倍数,另一个是11的倍数,求这两个数。
2.和子去鱼店买了以下几种鱼:青花鱼,每条130日元:竹荚鱼,每条170日元,沙丁鱼,每条78日元:秋刀鱼,每条104日元,每种鱼都多于1条,正好花了3600日元,请问:和子买了多少条竹荚鱼?(100日元=7元人民币)3.有一个自然数,它的最小的两个因数的差是4,最大的两位因数的差是308.那么,这个自然数是多少?(2011年全国“希望杯”数学邀请赛)因数和倍数(二)典型例题29÷()=()。
5,在括号内填上适当的数,使等式成立。
共有多少种不同的填法?举一反三1. 37÷()=().........5,在括号内填上适当的数,使等式成立。
共有多少种不同的填法?2 . 49÷()=().........9,在括号内填上适当的数,使等式成立。
共有多少种不同的填法?3.面积是165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形,共有多少种?拓展提高一只盒内共有96个棋子,如果不是一次拿出,也不一个一个地拿出,但每次拿出的个数要相等,最后一次正好拿完。
那么。
共有多少种不同的拿法?奥赛训练1.自然数≥3,b≥3,a x b =195.那么,共有多少种不同的拿法?2.一只筐内共有120个苹果,如果不一次拿出,也不一个一个地拿出,但每次拿出的个数要相等,最后一次正好拿完。
那么,共有多少种不同的拿法?3.把自然数的所有因数两两求和,得到若干个自然数,在这些自然数中,最小的数是4,最大的数是324,那么,A是多少?2,5倍数的特征个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数,个位上是0或5的数是5的倍数,因此我们发下,一个数即是2的倍数又是5的倍数,那么它的个位上数字必须是0,另外,一个数的末两位数是4或25的倍数,这个数就是4或25的倍数。
五年级奥数因数与倍数练习题
五年级奥数因数与倍数练习题两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。
1；请写出72的所有因数；其中有多少个因数是3的倍数？2；《1》请写出60的所有因数；《2》请写出105的所有因数。
3；请写出108所有的因数；其中有多少个是4的倍数？4；《1》180的因数有多少个？《2》200的因数有多少个？5；《1》144的因数有多少个？《2》500的因数有多少个？6；490的因数有多少个？7；10000的因数有多少个？8；28；72的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？9；求36与56的最大公因数和最小公倍数。
10；计算《28；44；260》；[28；44；260]11；计算：《60；75》；[60；75]12；求1547与507的最大公因数和最小公倍数。
13；求1085与93的最大公因数与最小公倍数。
14；计算《1064；952》；[1064；952]《用辗转相除法解答》15；用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。
16；求3553；3910；1411的最大公因数。
17；儿童节到了；老师买了320个苹果；240个梨；200个香蕉；用来分给全班同学；请问这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？18；有三根铁丝；一根长54米；另一根长72米；最后一根长36米；要把它们截成同样长的小段；不许剩余；每段最长是多少米？19；现在有香蕉42千克；苹果112千克；桔子70千克；平均分给幼儿园的几个班；每班分到的这三中水果中每种水果的数量相等；那么最多分了多少个班？20；兄弟三人在外工作；大哥6天回家一次；儿哥8天回家一次；小弟12天回家一次；兄弟三人同时在5月1日回家；下次再见面是哪一天？21；一个数与40的最大公因数是8；最小公倍数是80；这个数是多少？22；一个数与20的最大公因数是6；最小公倍数是60；那么这个数是多少？23；甲数和乙数的最大公因数是6；最小公倍数是90；如果甲数是18；那么乙数是多少？24；一个数与36的最大公因数是4；最小公倍数是288；求这个数。
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元：因数和倍数提高题和奥数题板块一：因数和倍数例题1：一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练1：一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2：有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练2：既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3：妈妈买来30个苹果，让XXX把苹果放入篮子里。
不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。
XXX共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练3：五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个研究小组，每组多于2人且少于8人。
可以分成几个小组呢？板块二：2、5、3的倍数的特征例题1：一个五位数29ABC（A、B、C是～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练1：在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5.这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2：5□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练2：4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三：奇数和偶数例题1：一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。
已知小船最初在南岸。
1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？2）XXX说摆渡2016次后，小船在北岸。
他说得对吗？为什么？练1：傍晚XXX开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。
你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2：有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练2：（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？可以做到。
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册 因数与倍数(试题)含答案与解析
经典奥数：因数与倍数（专项试题）一．选择题（共6小题）1．有两根绳子，一根长36厘米，另一根长48厘米，把它们剪成长度相等的小段，且没有剩余，每小段最长（）厘米．A．24B．6C．122．红旗小学六年级有男生48人，女生36人．男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有（）人．A．4B．6C．12D．163．有一张长方形纸，长70cm，宽50cm．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪成的小正方形的边长最大是（）厘米．A．5B．10C．15D．204．学校图书室新购进一些图书，如果每24本一包，能够正好包完．如果每16本一包，也能正好包完．图书室至少买了（）本图书．A．48B．64C．96D．245．淘气与笑笑同时从环形跑道的起点出发，淘气跑一圈需要4分钟，笑笑跑一圈需要6分钟，至少（）分钟后两人还能在起点相遇．A．8B．10C．12D．246．如果把两根长度分别为40厘米和56厘米的塑料管截成长度相等的吸管，并且都没有剩余，每根吸管最长是（）厘米．A．1B．2C．4D．8二．填空题（共6小题）7．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒黄灯5秒，红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时千米的速度行驶．8．暑期，东东和明明到图书馆看书，东东每4天去一次，明明每6天去一次．8月13日两人在图书馆相遇，8月日他们下次相遇．9．六一班有学生48人，六二班有学生54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组去大扫除，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多人．10．王老师有一盒铅笔，如果平均分给2名同学余1支，如果平均分给3名同学余2支，如果平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支。
王老师这盒铅笔至少有。
11．有些自然数。
它加1是2的倍数，它的2倍加1是3的倍数，它的3倍加1是5的倍数，那么所有这样的自然数中最小的一个是。
小学因数与倍数奥数题100道及答案(完整版)
小学因数与倍数奥数题100道及答案(完整版)题目1：一个数既是12 的倍数，又是48 的因数，这个数可能是多少？答案：这个数可能是12、24 或48。
题目2：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？答案：另一个数是18。
因为最小公倍数乘以最大公因数等于两个数的乘积，所以另一个数为36×6÷12 = 18 。
题目3：有一个自然数，除以5 余3，除以7 余4，这个数最小是多少？答案：23 。
从除以7 余4 的数中找除以5 余3 的数，最小为23 。
题目4：已知A = 2×3×5，B = 2×5×7，A 和 B 的最大公因数和最小公倍数分别是多少？答案：最大公因数是10，最小公倍数是210 。
题目5：一个数在80 到100 之间，既是6 的倍数，又是9 的倍数，这个数是多少？答案：90 。
6 和9 的最小公倍数是18 ，在80 到100 之间18 的倍数是90 。
题目6：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数分别是多少？答案：3 和120 或15 和24 。
题目7：有一个数，它的最大因数和最小倍数之和是60，这个数是多少？答案：30 。
一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以这个数是30 。
题目8：把48 块糖和38 块巧克力分别分给同一组同学，结果糖剩3 块，巧克力少了2 块，这个组最多有几名同学？答案：5 名。
48 - 3 = 45 ，38 + 2 = 40 ，45 和40 的最大公因数是5 。
题目9：一个数除以4 余1，除以5 余2，除以6 余3，这个数最小是多少？答案：57 。
这个数加上3 就能被4、5、6 整除，4、5、6 的最小公倍数是60 ，所以这个数最小是57 。
题目10：甲、乙两数的最大公因数是8，最小公倍数是48，甲数是24，乙数是多少？答案：16 。
乙数= 8×48÷24 = 16 。
五年级奥数练习
因数与倍数（一）【课本同步】1、一只框内共有100个苹果，如果不一次拿出，也不一个个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么一共有多少种不同的拿法？2、四个连续自然数的积是3024，求这四个数。
3、一个同学在公园游玩，他在湖的左右岸之间来回划船，如果他最初在左岸，经过若干次后，他到了右岸，那么这个同学横渡湖面的次数是奇数还是偶数？4、1+2+3+4+5+……999+1000的和是奇数还是偶数？5、将1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，那么乘积中的偶数多还是奇数多？6、四个连续奇数的平均数是8，这四个奇数分别是多少？7、15个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？【奥数训练】8、有一列数：1、1、2、3、5、8、13、21……从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，那么在前2000个数中有几个偶数？9、桌上放着5枚正面朝上的硬币，小明开始翻硬币，每次随意翻转2枚，翻转若干次后，小明捂住其中1枚硬币，这时另外的4枚硬币正好是两反两正，那么小明捂住的那枚硬币哪面朝上？10、能不能把2000写成10个连续自然数之和（如55可以写成55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）？如果能，把它写出来；如果不能，请说明理由？11、某班同学参加学校的数学竞赛，试题共20道，评分标准是答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分，请说明：不管情况如何，这个班的得分总数一定是偶数。
12、一间会议室有9盏灯，从1—9依次编号，开始时，只有编号是2、6、9的是灯亮着的，一个同学按1—9，再从1—9的顺序不停地拉开关，一共拉了300下，这时编号是几的灯不是亮着的？13、有20个自然数，它们的和是1999，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多，那么这些数里偶数至少有多少个？14、有四个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且它们年龄相乘的积是360，那么其中年龄最大的一个是多少岁？15、在算式+91=中，已知盖住的是一个能被9盖住的是7的倍数，问盖住的数是多少？16、四个连续奇数的乘积是19305，这四个奇数中最大的一个是多少？17、红红买了3支铅笔，5支圆珠笔，8本笔记本和12块橡皮作为奖品奖励给班上同学，已知铅笔0.8元一支，圆珠笔1.8元一支，其余的单价红红忘了，售货员阿姨让红红付42.4元钱，售货员阿姨有没有算错，为什么？（笔记本和橡皮的单价均为整元数）18，从1 ——100的自然数中，所有不能被8整除的数之和是多少？19，一个三位数能被9整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是7的倍数，这样的三位数中最大是几？20，一个七位数“2009 4,9,5整除，数？21，一个有199位数字的整数：1001001001001……1001，被13除，余数是多少？22，有一个六位数，前四位是2857，即，这个数能被11和13整除，请写出后两位数。
五年级奥数因数与倍数练习题(优选.)
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1、请写出72的所有因数，其中有多少个因数是3的倍数？2、（1）请写出60的所有因数；（2）请写出105的所有因数。
3、请写出108所有的因数；其中有多少个是4的倍数？4、（1）180的因数有多少个？（2）200的因数有多少个？5、（1）144的因数有多少个？（2）500的因数有多少个？6、490的因数有多少个？7、10000的因数有多少个？8、28、72的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？9、求36与56的最大公因数和最小公倍数。
10、计算（28，44，260），[28，44，260]11、计算：（60，75）；[60，75]12、求1547与507的最大公因数和最小公倍数。
13、求1085与93的最大公因数与最小公倍数。
14、计算（1064，952），[1064，952]（用辗转相除法解答）15、用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。
16、求3553，3910，1411的最大公因数。
17、儿童节到了，老师买了320个苹果，240个梨，200个香蕉，用来分给全班同学，请问这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？18、有三根铁丝，一根长54米，另一根长72米，最后一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？19、现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三中水果中每种水果的数量相等，那么最多分了多少个班？20、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，儿哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在5月1日回家，下次再见面是哪一天？21、一个数与40的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？22、一个数与20的最大公因数是6，最小公倍数是60，那么这个数是多少？23、甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？24、一个数与36的最大公因数是4，最小公倍数是288，求这个数。
五年级奥数第19讲倍数和因数
第十九讲倍数和因数例一、一个三位数，既是3 的倍数，又有因数5，并且是一个奇数，这个数最大是几？分析：首先考虑这个三位数既是3 的倍数，又有因数5，说明这个数既是3 的倍数又是5 的倍数。
先考虑5 的倍数，个位上只能是0 或5，但又要满足是奇数的条件，因此最大是995，但9+9+5=23，23 不能被3 整除，所以995 不是3 的倍数，再往下考985，也不能满足条件，依次类推，975 可以同时满足这3 个条件。
所以这个数最大是975。
巩固练习11、一个两位数，既是3 的倍数，又有因数8，这个数最大是几？2、一个三位数，既是4 的倍数，又有因数3，并且是一个偶数，这个数最大是几？3、一个数既是72 的因数，又是4 的倍数，这个数可能是多少？例二、100 以内是3 的倍数的数中，含有因数2 和5 的数有哪些？分析：既是3 的倍数，又含有因数2和5 的数，其实就是2，3，5的倍数。
2和5的倍数。
个位上的数只能是0，再考虑3 的倍数。
所以这样的数分别30，60和90.100 以内是3 的倍数的数中，含有因数2 和5 的数有30,60 和90，巩固练习21、150 以内是3 的倍数的数中，含有因数2 和5 的数有哪些？2、200 以内是4 的倍数的数中，含有因数3 和5 的数有哪些？3、300 以内是5 的倍数的数中，含有因数3 和7 的数有哪些？例三、用12 个同样大小的正方形，可以拼成多少种不同的长方形？分析：因为12 的因数有1，2，3，4，6，12，所以如果12 个正方形拼成行，每行12 个；拼成2 行，每行6个；拼成3 行，每行4 个。
因此，一共可以拼成3种不同的长方形。
巩固练习31、用8个同样大小的正方形，可以拼成多少种不同的长方形？2、用24 个同样大小的正方形，可以拼成多少种不同的长方形？3、王阿姨想用16 块同样大小的方巾，缝制成长方形的披肩，一共有多少有不同的缝制方法？例四、兔妈妈拔了一些萝卜，如果平均分给2 只小兔余1个萝卜，平均分给3 只小兔也余1个萝卜，平均分给5 只小兔还余1个萝卜。
五年级奥数因数倍数进阶
五年级奥数因数倍数进阶因数倍数进阶知识引入1、因数和倍数如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b=c，那么a 和b都是c的因数，c是a和b的倍数。
[注：在研究因数和倍数的时候，小学阶段所涉及的数指的是自然数（一般不包括）]一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2、因数和倍数的关系二者是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。
3、求一个数的因数和倍数的方法（1）求一个数的因数的方法：找一个数的因数时，应从最小的因数找起，一直找到它本身；也可以一对一对地找，如12的因数有：1、12、2、6、3、4。
一个数的因数的个数是有限的。
（2）求一个数的倍数的方法：找一个数的倍数，可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4…所得的积就是这个数的倍数。
没有大小限制时，一个数的倍数的个数是无穷的。
4、求因数个数与所有因数的和（1）求任一整数因数的个数一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为23527，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)难点在于公式的逆推，有相称一部分常考的偏困难型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有几何个因数，然后再结合其他几个前提将原数“复原构造”出来，大概是“构造出可能的最值”。
（2）求任一整数的所有因数的和一个整数的所有因数的和是在对其严厉分化质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂乞降，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。
如：233537，所以所有因数的和为(122223)(13)(155253)(17)此公式没有第一个公式经常使用，推导进程相对复杂，需要很多步提取公因式，规律性的记忆即可。
因数与倍数奥数题
因数与倍数计算题（精选）1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?2、一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?3、今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?4、加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?5、有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚?6、甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．那么甲数、乙数是多少?7、有一个数，既是6的倍数，又是60的因数，这个数可能是多少？8．A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少?9．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?10． a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?11．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？12．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？13．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？14．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？15．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？16．有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?10．两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?11．3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?。
小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数-5星题(含解析)
数论-因数和倍数-因数-5星题 课程目标知识提要因数• 定义对于整数a 和b ，如果a ∣b ，我们就称a 是b 的因数。
精选例题因数1. 三个最简真分数的分母分别是6，15和20，它们的乘积是130，那么在这三个最简真分数中，最大的数是．【答案】56． 【分析】设这三个真分数分别为a 6,b 15,c 20，其中a 不含因数2和3；b 不含因数3和5；c 不含因数2和5，且a,b,c 均为非0自然数．依题意：a 6×b 15×c 20=130，abc =60=22×3×5．所以a =5,b =4,c =3．所以最大数为：56．2. 有80颗珠子，5年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，又恰好分完．姐姐比妹妹大2岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差颗．【答案】4【分析】设5年前妹妹的年龄为x ，那么5年前今年妹妹x x +5姐姐x +2x +75年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以2x +2与2x +12均为80的因数，且这两个因数的差为10，80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，所以只有10与20的差为10，所以2x+2=10,x=4,5年前按照4:6的比例分配，姐姐分80÷(4+6)×6=48(颗),今年按照9:11的比例分配，姐姐分到80÷(9+11)×11=44(颗),两次分配相差48−44=4(颗).3. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．4. 请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按适宜的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数．【答案】其中一个答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】设填好后的数从左往右依次为a1,a2,⋯,a11,所有数的和为66，那么有a11∣66−a11，故a11∣66，可以设a11=11，那么其余数的和为55，那么倒数第二个数肯定是55的约数，可以填5；还剩50，那么倒数第三个数肯定是50的约数，可以填10，最后经过尝试得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、3、7、2、6、4、10、5、11等答案．观察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11这组答案，可以发现一个一般的规律：假设所给数是1∼2n+1，那么n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n，2n+1符合题意；假设所给数是1∼2n，那么n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n符合题意．5. 一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．【答案】130【分析】最小的那个约数肯定是1，接着感觉到还是不好下手，先考虑奇偶分析．〔或随便尝试几种情况后肯定会想到奇偶分析〕如果这个数不含因数2，即为奇数．由于12+奇2+奇2+奇2=偶，矛盾．如果这个数含因数2，即为偶数，由于12+22+奇2+奇2=奇，12+22+偶2+奇2=偶，12+22+奇2+偶2=偶，12+22+偶2+偶2=奇，那么只有1、2、偶、奇和1、2、奇、偶这两种情况可能，故这个数最小的四个约数从小到大依次为：1、2、4、p或1、2、p、2p．〔其中p为1个非2的质数〕对于1、2、4、p，说明p∣12+22+42+p2，即p∣21+p2，所以p∣21，那么p是3或7，经验证都不对．对于1、2、p、2p，说明p∣12+22+p2+(2p)2，即p∣5+5p2，整理得p∣5(1+p2)，很明显p不能整除1+p2，所以p只能是5，所以这个数是5×(1+52)=130．6. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：〔1〕说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？〔2〕如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．【答案】〔1〕8和9；〔2〕60060【分析】〔1〕为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为a．根据2～15号同学所述结论，2∼15中只有两个连续的自然数不能整除a，其他的数都能整除a．由于2∼7中的每一个数的2倍都在15以内，如果2∼7中有某个数不能整除a，那么这个数的2倍也不能整除a，然而2∼7中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以2∼7中每一个数都是a的约数．由于2与5互质，那么2×5=10也是a的约数．同理可知，12、14、15也都是a的约数．还剩下的四个数为8、9、11、13，只有8、9是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是8和9．〔2〕1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是：22×3×5×7×11×13=60060．因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，且最小为2倍，所以均不是五位数，那么1号同学写的五位数是60060．。
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13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米， 它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 12 米设有一个陷井,当它们因数与倍数相关习题（1）一、填空题1．28 的所有因数之和是_____.2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数 字的积是 24.这个两位数是_____.4. 李老师带领一班学生去种树 ,学生恰好被平均分成四个小组 ,总共种树 667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_____.6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相 等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片_____块.8. 长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块 (不余料)_____块.9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个,又以 2 元钱 5 个苹果的价 格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.10. 含有 6 个因数的两位数有_____个.11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少1 32 43 8之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最 小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a ,b ,c 共有多少组(例如:a =12、b =300、c =300，与 a =300、b =12、c =300 是不同的两个自然数 组)———————————————答 案——————————————————————答 案:1． 5628 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3.64因为28=2⨯2⨯7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4.28因为667=23⨯29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.5.40或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6.36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨:36÷36=1(只)每个小朋友可分得桔子:108÷36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7.56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.因为48=2⨯2⨯2⨯2⨯3,42=2⨯3⨯7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)⨯(42÷6)=8⨯7=56(块)正方形布片.8.200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)⨯(45÷9)⨯(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.9.150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 与12 的“最小公倍数” ， ÷ =9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4 和12 的 99 99 9 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是 4 ⨯ 9=(米). 10. 16含有 6 个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有 5 个相同的质因数连 乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因数 的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么M = a 5 或 M = a 2 ⨯ b因为 M 是两位数，所以 M = a 5 只有一种可能 M =25，而 M = a 2 ⨯ b 就有以下 15 种情况：M = 2 2 ⨯ 3, M = 2 2 ⨯ 5, M = 2 2 ⨯ 7 ，M = 2 2 ⨯ 11, M = 2 2 ⨯ 13, M = 2 2 ⨯ 17 ，M = 2 2 ⨯ 19, M = 2 2 ⨯ 23, M = 32 ⨯ 2 ，M = 32 ⨯ 5, M = 32 ⨯ 7, M = 32 ⨯ 11 ，M = 5 2 ⨯ 2, M = 5 2 ⨯ 3, M = 7 2 ⨯ 2 .所以,含有 6 个因数的两位数共有 15+1=16(个) 11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只 能分别是 2,3 和 5,这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组. 12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和 ,也就是说它们的最大 公因数应该是 1111 的因数.将 1111 作质因数分解,得 1111=11 ⨯ 101 最大公因数不可能是 1111,其次最大可能数是 101.若为 101,则将这四个数分别 除以 101,所得商的和应为 11.现有 1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数 101,101 ⨯ 2,101 ⨯ 3,101 ⨯ 5, 它们的和恰好是 101 ⨯ (1+2+3+5)=101 ⨯ 11=1111, 它们的最大公因数为 101. 所以 101 为所求. 3 3 99 4 8 4 即跳了 99 11 1 3 4 4 2 8 “最小公倍数” ，即跳了 ÷ =11 次掉进陷井. 2 2 2 1 214. 先将 12、300 分别进行质因数分解：12=22 ⨯ 3300=22⨯3⨯52(1)确定a的值.依题意a只能取12或12⨯5(=60)或12⨯25(=300).(2)确定b的值.当a=12时,b可取12,或12⨯5,或12⨯25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：a=12a=12a=12a=60a=300b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.(3)确定a,b,c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，52⨯2，52⨯22，52⨯3，52⨯2⨯3，52⨯22⨯3，即25，50，100，75，150，300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5⨯6=30（组）13. 用 、 、1 分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数 “ “因数与倍数相关习题（2）一、 填空题1．把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还 缺 2 个，一共有_____个小朋友.2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结 果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个.这个大班的小朋友最多有_____ 人.3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用 这样的木板_____块.4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体， 至少需要这种长方体木块_____块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔 3、5、9、15、10 分 钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子 可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.7. 这样的自然数是有的:它加 1 是 2 的倍数,加 2 是 3 的倍数,加 3 是 4 的倍 数,加 4 是 5 的倍数,加 5 是 6 的倍数,加 6 是 7 的倍数,在这种自然数中除了 1 以外最小的是_____.8． 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是_____.9. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组,要求每一组中任意两个数的 最大公因数是 1, 那么至少要分成_____组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的_____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分 钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆 车.该总站发出最后一辆车是 20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是 12.如果甲乙两数 的差是 18,则甲数是多少乙数是多少5 15 1 28 56 20最小是几14. 有 15 位同学,每位同学都有编号,他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一 个自然数,2 号说： 这个数能被 2 整除”，3 号说： 这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请找出这个数.———————————————答案——————————————————————答案:1.9若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2.36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3.56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数.2161487故14与16的最小公倍数是2⨯8⨯7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板112⨯11216⨯14=7⨯8=56(块)4．5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块126⨯126⨯1269⨯6⨯7=14⨯21⨯18=5292(块)[注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5.90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.6.5依题意得花生总粒数=12⨯第一群猴子只数=15⨯第二群猴子只数=20⨯第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.7.421依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.8.999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为÷48=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9.3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2⨯13,91=7⨯13,143=11⨯13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:甲数 ⨯乙数 倍 ⨯ 约 (1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成 3 组.[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如 15=3 ⨯ 5，21=3 ⨯ 7， 35=5 ⨯ 7，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数⨯ 甲乙的最大公因数=甲数 ⨯ 乙数”，将 210 ⨯ 330 分 解质因数，再进行组合有210 ⨯ 330= ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ 1= ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ 1=（2 ⨯ 3 ⨯ 5） ⨯ （2 ⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯ 11）因此，它们的最小公倍数是最大公因数的 7 ⨯ 11=77（倍）.11. 根据题意,先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80,即从第一次三车同时发 出后,每隔 80 分钟又同时发车.从早上 6:00 至 20:00 共 14 小时,求出其中包含多少个 80 分钟.60 ⨯ 14 ÷ 80=10…40 分钟由此可知,20:00 前 40 分钟,即 19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两 个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商 ——12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数 ⨯ 乙数=倍 ⨯ 约= ，所以： 约 ⨯ 约 约 ⨯ 约⨯ ÷ =a ÷ =b ÷ 1 =c ⨯ =a ⨯ =b ⨯ =c 28,56,20 的最大公因数,因此,符合条件的最小分数: = = 26甲数 乙数 倍 甲数 乙数 ⨯ = ， =12 约 约 约 约 约将 12 变成互质的两个数的乘积：①12=4 ⨯ 3，②12=1 ⨯ 12先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的 4 倍，一个是它们最大公 因数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即 4 和 3)之差,所得的商,即甲乙两数的 最大公因数.18 ÷ (4-3)=18甲乙两数,一个是:18 ⨯ 3=54，另一个是：18 ⨯ 4=72.再看②,18 ÷ (12-1)=1 7 ,不符合题意,舍去. 1113.依题意,设所求最小分数为 M N ,则即 M 5 M 15 M 1 N 28 N 56 N 20 M 28 M 56 M 20 N 5 N 15 N 21其中 a ,b ,c 为整数.因为 M N是最小值,且 a ,b ,c 是整数,所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数,N 是M 105 1 N 4 414. (1)根据 2 号~15 号同学所述结论,将合数 4,6,…，15 分解质因数后， 由 1 号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2 ⨯ 3,8=23,9=32,10=2 ⨯ 5,12=22 ⨯ 3,14=2 ⨯ 7,15=3 ⨯ 5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是 8 与 9 两个连续自然数(可逐次 排除,只有 8 与 9 满足要求).(2)1 号同学所写的自然数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 这 12 个数 整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是⨯⨯⨯⨯⨯3=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.。