1977年数学高考试题及答案

1977年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案

1．（1）计算.)8

27(()14.3()101()412(21

221---

+-+ 解：原式=99

（2）求函数)5lg(3

1

2x x x y -+-+

-=

的定义域 解：根据题意，得⎪⎩

⎪

⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和

（3）解方程.1255

22

=+x

x

解：原方程即,55322

=+x

x

223,3, 1.x x x x ∴+==-=均为原方程的解.

（4）计算⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-333

3

33log log 解：原式=.33log )3log 271

(

log )3(log log 333327

1

33=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(2

2=+-y x 化为极坐标方程

解：原方程可展开为,9962

2=++-y x x

22260,6cos 0,06cos 6cos x x y ρρθρρθρθ-+=-⋅=∴===或即（6）计算

.321lim 2

n n n ++++∞→ 解：原式=.2121lim 2)

1(lim 2

=+=+∞→∞→n n n n n n n

（7）分解因式.48322

24-+--y y y x x

解：原式=2

2

22

)22()(---y y x 2

222

(22)(22)(2)(32).x y y x y y x y x y =-+---+=+--+ 3．过抛物线x y 42

=的焦点作倾斜角为

π4

3

的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点A 、B 两点间的距离 解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为

,1)1(4

3x y x tg

y -=-π

=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x x y x y 解得

由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1.

又解得,044),1(42

2

=-+-=y y y y y 1+y 2=-4,y 1y 2=-4. 由两点间距离公式221221)()(y y x x d -+-=

但,324364)()(212

21221=-=-+=-x x x x x x

8

3232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-d y y y y y y

故AB 两点间距离为83．在直角三角形ABC 中，∠ACB=900

，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，且∠BCD 与∠ACD 之比为3:1，求证CD=DE

证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900

，

∴∠ACD=∠B

又∵CE 是直角△ABC 的斜边AB 上的中线 ∴CE=EB

∠B=∠ECB ，∠ACD=∠ECB 但∵∠BCD=3∠ACD ， ∠ECD=2∠ACD=

21∠ACB=2

1×900=450

， △EDC 为等腰直角三角形 ∴CE=DE

4．在周长为300cm 的圆周上，有甲、乙两球以大小不

等的速度作匀速圆周运动甲球从A 点出发按逆时针方向运动，乙球从B 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C 点D 点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB 的长度

解：如图设厘米甲球速度为甲v ，乙球速度为v 根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可

40

v v v x v 乙甲乙甲或第二次等候时方程

.280)

20(42

120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或 由此可得,280)

20(440x x x -+=

.0)80)(40(=--x x

由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,

（厘米） （厘米） 5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60 证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有

()()180,318060.d d ααααα-+++=︒=︒∴=︒

（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600

证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600

，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为

aq a q

a

,,（此处q 为公比，且0>q ）

由余弦定理可得2

22

2

222111

()()2cos 60,12,20,2a a

a aq q q q

q

q q

=+-⋅

⋅︒=

+-⋅-+= )

,(1,1,11

,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q

由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为600

6．在两条平行的直线AB 和CD 上分别取定一点M 和N ，在直线AB 上取一定线段ME=a ;在线段MN 上取一点K ，连结EK 并延长交CD 于F 试问K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？ 解：过点K 作两条平行直线的公垂线PQ ，

C

A D E B

A 甲 乙 D

B