1977年数学高考试题及答案

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1977年高考数学试卷

1977年普通高等学校招生考试数学试题1．解答下列各题：（每题5分）（1）解方程.443=+x 解（2）解不等式|x|<5. 解：（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：2．计算下列各题：（每题5分）（1）.222a ma m +- 解：（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值）解：（3）)6arcsin(cos π解：3．解下列各题：（每题5分）（1）解方程.189321=-+xx解：（2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：4．解下列各题：（每题10分）（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·AE （本题10分）证：连结BE （如图）6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？（本题10分）解：7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x （本题15分）解：8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长（本题15分）解：9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄当A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标α是直角时，P ∠是最大？（本题附加10分）解：10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（本题附加10分）解：B。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

解：如图（列表，描点）略。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年北京市高考数学试卷(文科)

1977年北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1977•北京）计算：1012733(1)9-+-．2．（10分）（1977．3．（10分）（1977•北京）解方程：2142111x x x -+=--． 4．（10分）（1977•北京）不查表求sin105︒的值．5．（10分）（1977•北京）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积．6．（10分）（1977•北京）一条直线过点(1,3)-，并且与直线250x y +-=平行，求这条直线的方程．7．（10分）（1977•北京）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）（1977•北京）为了测湖岸边A 、B 两点的距离，选择一点C ，测得50CA =米，30CB =米，120ACB ∠=︒，求AB ．9．（10分）（1977•北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）（1977•北京）已知二次函数265y x x =-+．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：1012733(1)9-+-．【考点】41：有理数指数幂及根式【专题】11：计算题【分析】由分数指数幂的运算法则，把原式转化为113+由此能求出1012733(1)9-+-的值．【解答】解：原式113=+14133=+- 0=．【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10．【考点】41：有理数指数幂及根式【分析】【解答】解：原式2=【点评】本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：2142111x x x -+=--．【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】11：计算题【分析】先对等式两边同乘21x -进行化简，然后解方程即可．【解答】解：根据题意可知1x ≠等式两边同乘21x -得，21142x x x ++-=-化简得2320x x -+=，解得2x =．经检验，2x =为方程的解，∴原方程的解为2x =．【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105︒的值．【考点】GP ：两角和与差的三角函数【专题】15：综合题【分析】把105︒变为18075︒-︒，然后利用诱导公式化简，把75︒变为3045︒+︒，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．【解答】解：sin105sin(18075)sin75︒=︒-︒=︒sin(3045)sin30cos45cos30sin 45=︒+︒=︒︒+︒︒12== 【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；38：对应思想；4O ：定义法；5Q ：立体几何【分析】根据正三棱柱形的底面积和高求得它的体积．【解答】解：正三棱柱形的底面积为122602S sin =⋅⋅⋅︒底面；且高为10h =，由柱体的体积公式得，()31010V S h cm ===底面．【点评】本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点(1,3)-，并且与直线250x y +-=平行，求这条直线的方程．【考点】II ：直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】11：计算题【分析】先求与直线250x y +-=平行的直线的斜率，再根据其过点(1,3)-，用点斜式求直线方程．【解答】解：直线250x y +-=的斜率2k =-，∴所求直线斜率2k '=-．故过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为32(1)y x +=--，即210x y ++=．【点评】本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．【考点】HT ：三角形中的几何计算【专题】14：证明题【分析】由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．【解答】zm ：如图，在BDC ∆与CEB ∆中，DBC ECB ∠=∠，90BDC CEB ∠=∠=︒，BC BC =，BDC CEB ∴∆≅∆，CD BE =．【点评】此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A 、B 两点的距离，选择一点C ，测得50CA =米，30CB =米，120ACB ∠=︒，求AB ．【考点】HR ：余弦定理；HU ：解三角形【专题】11：计算题【分析】利用余弦定理把50CA =米，30CB =米，120ACB ∠=︒代入即可求得答案．【解答】解：由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC =+-，70AB =米．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y ，则插入的两个数可求．【解答】解：设此数列为2，x ，y ，30．于是有230x y x y x y⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得6x =，18y =．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．【点评】本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）已知二次函数265y x x =-+．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标．【考点】3V ：二次函数的性质与图象【专题】13：作图题；15：综合题；16：压轴题【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令0x =求出对应的y 值，写出坐标为与函数图象y 轴的交点，令0y =求出对应的x 值，写出坐标为函数图象与x 轴的交点．【解答】解：（1）1a =，6b =-，5c =6322b a -∴-=-=，242036444ac b a --==-， ∴顶点坐标为(3,4)-，对称轴为直线3x =．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x 轴相交，0y =即2650x x -+=解得11x =，25x =，所以与x 轴交点的坐标为(1，0)(5，0)；图象与y 轴相交，0x =解得5y =，所以与y 轴交点的坐标为(0,5)．【点评】考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．考点卡片1．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x；最值为：f（）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2，x1•x2；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．2．有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1）（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义常考题型：例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、aC、3D、a（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵，∴B不正确；∵，∴C正确；∵∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【有理数指数幂】（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①a r a s＝a r+s（a＞0，r，s∈Q）；②（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．常考题型：例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、B、a m•a n＝a m•n C、（a m）n＝a m+n D、1÷a n＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，a m÷a n＝a m﹣n，故不成立；B中，a m•a n＝a m+n≠a m•n，故不成立；C中，（a m）n＝a m•n≠a m+n，故不成立；D中，1÷a n＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．3．函数与方程的综合运用【知识点的知识】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．4．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n ＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1n（n﹣1）或S n（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．5．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．6．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．7．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos_B，c2＝a2+b2﹣2ab cos_C变形①a＝2R sin A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；cos A，形式②sin A，sin B，sin C；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos B，cos C解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．8．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S＝a•h a（h a表示边a上的高）；②S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．9．解三角形【知识点的知识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC ah a bh b ch c（h a、h b、h c分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC ab sin Cbc sin Aac sin B；③S△ABC＝2R2sin A sin B sin C．（R为外接圆半径）④S△ABC；⑤S△ABC，（s（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos Ab2＝a2+c2﹣2ac cos Bc2＝a2+b2﹣2ab cos C cos A cos B cos C正弦定理2RR为△ABC的外接圆半径a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C sin A，sin B，sin C射影定理a cos B+b cos A＝ca cos C+c cos A＝bb cos C+c cos B＝a面积公式①S△ah a bh b ch c②S△ab sin Cac sin Bbc sin A③S△④S△，（s（a+b+c））；⑤S△（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sin A sin B＝sin C10．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C ＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．11．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥Sh．。

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答（共34页）【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答 ...................................................... 1 北京市（理科） ............................................................................................................................... 1 北京市（文科） ............................................................................................................................... 3 上海市（理科） ............................................................................................................................... 5 上海市（文科） ............................................................................................................................... 8 天津市 ............................................................................................................................................ 10 河北省 ............................................................................................................................................ 13 福建省（理科） ............................................................................................................................. 17 福建省（文科） ............................................................................................................................. 23 黑龙江省......................................................................................................................................... 26 江苏省 .. (29)北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

1977年北京市高考数学试卷(理科)

1977年北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．2．（10分）（1977•北京）计算：．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）（1977•北京）证明：．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）（1977•北京）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（1977•北京）求函数f（x）=的导数．12．（1977•北京）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．1977年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）（1977•北京）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）（1977•北京）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

解：如图（列表，描点）略。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案

1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。

1977年普通高等学校招生考试(北京市)理科数学试题含答案

直线与椭圆有一个交点的充要条件是m = 5,这时直线与椭圆相切.
直线与椭圆有两个交点的充要条件是 : −m2 + 25 0 即m 5,
这时直线与椭圆相割.
直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m2+25<0,即|m|>5
参考题
f
(x)
=
x
2
sin
x
(x 0)的导数.
1．（1）求函数
0 (x = 0)
100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100
= 100 [(1.2)4 −1] = 100 1.0736 = 536.8(万元)
1.2 −1
0.2
7.已知二次函数 y=x2-6x+5
(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;
(2)画出它的图象;
(3)分别求出它的图象和 x 轴、y 轴的交点坐标新疆王新敞奎屯
(2)求椭圆 x2
+
y2
= 1绕
x 轴旋转而成的旋转体体积新疆王新敞
奎屯
a2 b2
f (x) = (x2 sin ) = 2x sin + x2 cos ( − ) = 2x sin − cos .
x
x
x x2
x
x
当x = 0时,
f (0) = lim
f
(x
+
0)
−
f
(0)
=
lim
x 2
对于给定的ε= f(x0)/2>0，必存在δ>0, 当|x- x0|<δ时，有|f(x)-
f(x0)|< f(x0)/2,从而 f(x)> f(x0)- f(x0)/2= f(x0)/2>0

1977年江苏省高考数学试卷

1977年省高考数学试卷一、解答题（共15小题，满分100分）1．（6分）（1977•）计算：．2．（6分）（1977•）求函数的定义域．3．（8分）（1977•）解方程：4．（8分）（1977•）计算：．5．（8分）（1977•）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．6．（8分）（1977•）计算7．（8分）（1977•）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．8．（8分）（1977•）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．9．（8分）（1977•）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．10．（8分）（1977•）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．11．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，求证必有一角为60°．12．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三角都是60°．13．（8分）（1977•）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？14．（1977•）求极限15．（1977•）求不定积分．1977年省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分100分）1．（6分）（1977•）计算：．考点：有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：按照指数幂的简单化简方法，依次化简指数幂，进而可得答案．解答：解：原式==+100﹣1+=99．故答案为：99点评：本题考查指数幂的简单化简，难度不大，学生只要掌握运算公式，做题细心一点就行了2．（6分）（1977•）求函数的定义域．考点：函数的定义域及其求法．分析：根据题意，写出三个部分的定义域，再求交集可得答案．解答：解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．点评：本题考查函数定义域的求法，是基本的题目，要牢记各种函数的定义域．3．（8分）（1977•）解方程：考点：有理数指数幂的运算性质．分析：根据125=53=，令指数相等即可．解答：解：原方程即，∴x2+2x=3∴x=﹣3或x=1．故原方程的解为：x=﹣3或x=1．点评：本题主要考查解指数函数型方程的问题．4．（8分）（1977•）计算：．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用根式分数指数幂化简，然后利用对数性质求解即可．5．（8分）（1977•）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．6．（8分）（1977•）计算7．（8分）（1977•）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．8．（8分）（1977•）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．9．（8分）（1977•）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．10．（8分）（1977•）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．11．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，求证必有一角为60°．12．（8分）（1977•）若三角形三角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三角都是60°．13．（8分）（1977•）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？14．（1977•）求极限15．（1977•）求不定积分．。

数学试卷77年普通高等试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

解：如图（列表，描点）略。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年黑龙江省高考数学试卷

一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．4．（6分）（1977•黑龙江）．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．6．（6分）（1977•黑龙江）．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P 在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式组求出方程的解．解答：解：原方程同解于解得x=4故x=4是原方程的根．点评：本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．解答：解：∵|x|＜5．∴﹣5＜x＜5．点评：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．考点：圆周角定理.专题：计算题．分析：利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角三角形计算即可．解答：解：设正三角形的边长为a，则．它的边长为18cm．点评：本题主要考查圆中的有关线段，方法是利用直角三角形进行计算．属于基础题．4．（6分）（1977•黑龙江）．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先化简m2﹣2ma+a2=（m﹣a）2再利用求值公式求得．解答：解：当m≥a时，=m﹣a．当m＜a时，=a﹣m．点评：从形式上观察，确定问题的转化．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．考点：两角和与差的正弦函数．分析：先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦公式可得答案．解答：解：原式=sin12°•cos3°+cos12°•sin3°=sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．6．（6分）（1977•黑龙江）．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：先求出的值，为再利用反正弦求出那个角的正弦值为，可知此角为解答：解：由已知=因为sin=所以．答：=点评：本题考查反三角函数，此是一反正弦求角的题，解决此类问题一般是逆向求解，欲求三角函数值对应的角，先找那个角的三角函数值等于这个值．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：将方程中的各项化为同底数的，通过等价变形，求出未知数的值．解答：解：方程即：3x+1﹣3x=18，3x（3﹣1）=18，3x=9=32，∴x=2．点评：本题考查有理指数幂的化简求值．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题设可知，．解答：解：由题设可知，此等比数列的首项a1=2公比q=2，∴．点评：本题考查等比数列的前n项和公式，解题时注意此等比数列的首项a1=2公比q=2．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求出圆锥的底面半径，圆锥的母线，然后求出它的侧面积．解答：解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=，圆锥母线，∴侧面积．点评：本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确求出圆锥的母线长，底面半径，是解题的关键，考查计算能力．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．考点：两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定，要求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．我们可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1，求出直线的斜率，再将已知点代入即可求解．解答：解：因为直线2x﹣5y+3=0的斜率为，所以所求直线的斜率为．所求直线的方程为5x+2y﹣13=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证比例线段AB•AC=AD•AE，可通过证明三角形相似得到，连接BE（如图），利用同弧所对的圆周角相等和∠A的平分线结合即可证明．解答：证明：连接BE（如图）∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴．∴AB•AC=AD•AE．点评：本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：计算题；应用题．分析：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，解方程可知后两年造林面积的年平均增长率．解答：解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，（1+x）2+（1+x）﹣2.64=0，[（1+x）﹣1.2][（1+x）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=﹣2.2，x=﹣3.2（不合题意，舍去）故后两年造林面积的年平均增长率为20%．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程．13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：解对数方程与解对数不等式类似，首先要将等号两边化成底数相等的对数式，观察到已知方程的表达式中出现的对数为常用对数，故将两边都化为常用对数式，然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．解答：解：∵lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）=xlg2=lg2x，∴原方程可化为：2x+2x﹣16=2x∴2x=16∴x=8．点评：解对数方程一般分以下几个步骤：①首先要将等号两边化成底数相等的对数式，②然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．③解方程④代入验证，排除增根．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．考点：数列的应用；等差数列的性质．分析：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有，解这个方程组后能够求出此三角形的三边长．解答：解：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有由（1）得a=12（cm）．代入（2）得，36﹣d2=27，d2=9d=±3故此三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选用．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题．分析：过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P 随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．解答：解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的．故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，由正弦定理得在0≤α≤π内，当时，sinα的值最大，因而sin∠P的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜α，即∠P总是锐角．在内，sin∠P是单调上升的，所以时，∠P最大．点评：本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用．16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=πsin2x在0→π上的积分即可．解答：解：设旋转体的体积为V，则==．故旋转体的体积为：．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的导数、三角函数的二倍角公式等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．。

1977年福建省高考数学试卷（文科）

1977年福建省⾼考数学试卷（⽂科）1977年福建省⾼考数学试卷（⽂科）⼀、解答题（共18⼩题，满分150分）1．（6分）（1977?福建）计算．2．（6分）（1977?福建）求cos（﹣840°）的值．3．（6分）（1977?福建）化简．4．（6分）（1977?福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．5．（6分）（1977?福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．6．（6分）（1977?福建）求\lim_{x→1}．7．（6分）（1977?福建）求函数y=x2+2x﹣4的最⼩值．8．（8分）（1977?福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．9．（10分）（1977?福建）写出等⽐数列的通项公式．10．（10分）求函数的定义域．11．（10分）（1977?福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．12．（10分）（1977?福建）解⽅程．13．（10分）（1977?福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．14．（10分）（1977?福建）把分母有理化．15．（10分）（1977?福建）某中学⾰命师⽣⾃⼰动⼿油漆⼀个直径为1.2⽶的地球仪，如果每平⽅⽶⾯积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）16．（10分）（1977?福建）某农机⼚开展“⼯业学⼤庆”运动，在⼗⽉份⽣产拖拉机1000台．这样，⼀⽉⾄⼗⽉的产量恰好完成全年⽣产任务．⼯⼈同志为了加速农业机械化，计划在年底前再⽣产2310台．正好⽐原计划增产21%．①求⼗⼀⽉、⼗⼆⽉份每⽉增长率；②原计划年产拖拉机多少台？17．（10分）（1977?福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第⼀象限的交点处的切线⽅程．18．（10分）（1977?福建）某⼤队在农⽥基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们⼟法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可⽤最简根式表⽰）．1977年福建省⾼考数学试卷（⽂科）参考答案与试题解析⼀、解答题（共18⼩题，满分150分）1．（6分）（1977?福建）计算．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：先依据有理指数幂的运算性质化简⼩括号⾥的结果，再计算中括号⾥的结果，从⽽得到最后的结果．解答：解：原式=5﹣3×[+1031×0]÷1=5﹣3×=5﹣3×（﹣）=7．点评：本题考查有理指数幂的运算性质．2．（6分）（1977?福建）求cos（﹣840°）的值．考点：运⽤诱导公式化简求值．专题：综合题．分析：根据余弦函数为偶函数化简后，把840°变为2×360°+120°，然后利⽤诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值化简可得值．解答：解：cos（﹣840°）=cos840°=cos（2×360°+120°）=．点评：此题考查学⽣掌握余弦函数的奇偶性，灵活运⽤诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值化简求值，学⽣做题时注意⾓度的变换．3．（6分）（1977?福建）化简．考点：⽅根与根式及根式的化简运算．分析：本题是求算术平⽅根，开根号时要考虑2x﹣3⼤于0，还是⼩于0．解答：解：根据算术根的定义，当时，．当时，．点评：本题考查公式：当n为奇数时，；当n为偶数时，4．（6分）（1977?福建）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm，BC=3cm求AM的长．考点：平⾏线分线段成⽐例定理．专题：计算题．分析：由MN∥BC，因此可以⽤平⾏线分线段成⽐例定理建⽴已知量与未知量之间的关系式，解⽅程进⾏求解．解答：解：设AM为x，∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC，x=1（cm）．点评：如果题⽬的已知有平⾏关系，平⾏线分线段成⽐例定理建⽴已知量与未知量之间的关系是⾸选，也可利⽤平⾏得到相关三⾓形相似，再利⽤相似三⾓形的性质建⽴知量与未知量之间的关系．5．（6分）（1977?福建）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．考点：对数函数的定义；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意知lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4，再由对数的运算性质和定义求出x．解答：解：由题意得，lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4∴lg=4，∴=10000∴x=0.0003．点评：本题考查了对数的运算性质和定义，注意观察两个对数值特点，运⽤了转化思想合为⼀个对数6．（6分）（1977?福建）求\lim_{x→1}．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：先把分母因式分解，然后消除零因⼦，把原式化简为，由此能求出的值．解答：解：=．点评：本题考查函数的极限和运算，解题的关键是消除零因⼦．7．（6分）（1977?福建）求函数y=x2+2x﹣4的最⼩值．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：对于⼆次函数的最值问题，采⽤配⽅法解决．解答：解：∵y=x2+2x﹣4=（x+1）2﹣5∵（x+1）2﹣5≥﹣5，∴y的最⼩值为﹣5．点评：本题考查函数的最域，通过配成完全平⽅式的⽅法，得到⼀元⼆次⽅程的最值⽅法．这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法称为配⽅法，配⽅的依据是完全平⽅公式．8．（8分）（1977?福建）已知sinα=，＜α＜π，求tanα的值．考点：同⾓三⾓函数间的基本关系．专题：计算题．分析：根据⾓的范围及正弦值，利⽤平⽅关系求出⾓的余弦值，正弦值与余弦值之⽐即为要求的正切值．解答：解：∵，∴，∴．点评：本题考查同⾓三⾓函数的基本关系的应⽤，关键是利⽤平⽅关系时依据⾓的范围选取符号．9．（10分）（1977?福建）写出等⽐数列的通项公式．考点：等⽐数列的通项公式．专题：计算题．分析：先根据题意可知数列的⾸项和公⽐，进⽽根据等⽐数列的通项公式可得答案．解答：解：设等⽐数列为{a n}，依题意可知a1=﹣，q=﹣=﹣∴．点评：本题主要考查了等⽐数列的通项公式．属基础题．10．（10分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数⼤于0，偶次根式被开放数⾮负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在⼀起的综合型函数的定义域，注意取交集．11．（10分）（1977?福建）证明（sinα﹣cosα）2+sin2α=1．考点：三⾓函数中的恒等变换应⽤．分析：利⽤完全平⽅式分解，根据同⾓三⾓函数关系和⼆倍⾓公式逆⽤，得到要求结果，等式的证明有⼏种表达形式，从左边推到右边是最基本的推导过程．解答：证：左边=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α+2sinαcosα．=sin2α+cos2α=1．∴左边=右边．点评：证明三⾓恒等式的⽅法：（1）遵循化繁为简的原则，可以从“左边右边”，或从“右边左边”．（2）依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同⼀个式⼦．（3）依据等价转化思想，证明与原式等价的另⼀个式⼦成⽴，从⽽推出原式成⽴．12．（10分）（1977?福建）解⽅程．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题；转化思想．分析：⽅程中含有根式，⼀般平⽅去根号，故移向平⽅转化为整式⽅程求解即可，注意等价转化．解答：解：移项得．两边同时平⽅，得x2﹣16x+48=0，x=12，x=4（增根）．∴原⽅程的根为x=12．点评：本题考查含有根式的⽅程的解法，属基本运算的考查，在求解中注意是否为等价转化．13．（10分）（1977?福建）解不等式x2﹣x﹣6＜0．考点：⼀元⼆次不等式的解法．专题：计算题．分析：直接按照⼀元⼆次不等式的解法解得即可．解答：解：根据题意，原不等式可化为（x﹣3）（x+2）＜0解得﹣2＜x＜3．点评：本题考查⼀元⼆次不等式的解法，是基础题．14．（10分）（1977?福建）把分母有理化．考点：⽅根与根式及根式的化简运算．分析：计算时，将根式⾥⾯的被开⽅数分母有理化，即可化简．解答：解：原式=．点评：化简时，注意到的有理化因式为15．（10分）（1977?福建）某中学⾰命师⽣⾃⼰动⼿油漆⼀个直径为1.2⽶的地球仪，如果每平⽅⽶⾯积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）考点：球的体积和表⾯积．专题：计算题．分析：本题可以直接利⽤题⽬的条件求解．解答：解：设地球仪的表⾯积为S，则所以，共需油漆150×1.44π=216π≈678（克）．点评：本题考查学⽣对公式的使⽤，是基础题．16．（10分）（1977?福建）某农机⼚开展“⼯业学⼤庆”运动，在⼗⽉份⽣产拖拉机1000台．这样，⼀⽉⾄⼗⽉的产量恰好完成全年⽣产任务．⼯⼈同志为了加速农业机械化，计划在年底前再⽣产2310台．正好⽐原计划增产21%．①求⼗⼀⽉、⼗⼆⽉份每⽉增长率；②原计划年产拖拉机多少台？考点：⼀元⼆次不等式的应⽤．专题：应⽤题．分析：（1）要求⼗⼀⽉、⼗⼆⽉份每⽉增长率，我们可以使⽤待定系数法，即设出增长率为x，然后根据计划在年底前再⽣产2310台，我们可以构造⼀个关于x的⽅程，解⽅程即可求出x的值．（2）由增长率和增产量，我们可以根据：原计划⽣产量×增长率=增长量，求出原计划年产拖拉机的台数．解答：解：①设⼗⼀、⼗⼆⽉份平均每⽉增长率为x，则根据题意可得：1000（1+x）+1000（1+x）2=2310，100x2+300x﹣31=0，x=0.1，x=﹣3.1（舍去）故⼗⼀⽉，⼗⼆⽉份平均每⽉增长率为10%；②设原计划年⽣产拖拉机y台，则y=2310÷21%=11000（台）．点评：这是⼀道⽅程的应⽤题，⽅程应⽤题⼀般需要如下步骤：①分析题意，从题⽬中分析已知量与量之间的关系，找出等量关系；②设出合适的未知数，建⽴⽅程③解⽅程求出未知数的值④将值所代表的实际意义，将未知数的值还原到实际问题中．17．（10分）（1977?福建）求抛物线y2=9x和圆x2+y2=36在第⼀象限的交点处的切线⽅程．考点：抛物线的应⽤；圆的切线⽅程．专题：计算题．分析：把圆的⽅程与抛物线⽅程联⽴求得交点的横坐标代⼊抛物线⽅程求得交点的横坐标，进⽽根据交点分别求得过此点的抛物线和圆的切线⽅程．解答：解：解⽅程组（1）代⼊（2）得x2+9x﹣36=0，x=3，x=﹣12（不合题意）将x=3代⼊（1），得（仅取正值），∴在第⼀象限的交点为（）从抛物线y2=9x得∴过点（）的抛物线的切线⽅程是过点（）的圆的切线⽅程是，即．点评：本题主要考查抛物线的应⽤和抛物线与圆的关系．要求学⽣对抛物线和圆的性质等基础知识要牢固掌握．18．（10分）（1977?福建）某⼤队在农⽥基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们⼟法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可⽤最简根式表⽰）．考点：解三⾓形的实际应⽤．专题：计算题．分析：连CB，AP根据∠CAB=60°和AC=AB判定△ABC为等边三⾓形．进⽽可求得∠BCP，∠CBP 和∠BPC，再通过正弦定理进⽽可求得CP，再在△APC中⽤余弦定理求得AP．解答：解：连CB，AP．∵∠CAB=60°，AC=AB=50m，∴△ABC为等边三⾓形．于是，∠BCP=135°﹣60°=75°，∠CBP=120°﹣60°，∠BPC=180°﹣（75°+60°）=45°由正弦定理，得由余弦定理，可得AP2=AC2+CP2﹣2?AC?CP?cos135°==（m）故A、P两点间的距离是⽶．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应⽤．属基础题．。

1977年普通高等学校招生考试(黑龙江省)数学试题及答案

1977年普通高等学校招生考试数学(黑龙江省)试题及答案1．解答下列各题：（1）解方程.443=+x解：方程两边平方得,0432=--x xx=4,x=-1（增根）故 x=4（2）解不等式|x|<5.解：-5<x<5.（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：设正三角形的边长为a ，则).(18)(9233630cos 21cm a cm R a =∴=⋅=︒= 2．计算下列各题：（1）.222a ma m +- 解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时当.2,22m a a ma m a m -=+-<时（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值）解：原式=)3045sin(15sin 3sin 12cos 3cos 12sin ︒-︒=︒=︒⋅︒+︒⋅︒.4)13(230sin 45cos 30cos 45sin -=︒︒-︒︒=（3）)6arcsin(cos π解：原式=.323arcsin π=3．解下列各题：（1）解方程.189321=-+x x 解：18331=-+x x.2,393,18)13(32=∴===-x x x（2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：由题设可知，此等比数列的首项21=a 公比2=q.204612)12(21)1(1010110=--⋅=--=∴q q a S 4．解下列各题：（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=,36306=︒ctg 圆锥母线,1230sin 6=︒=l ∴侧面积)(3722cm Rl S π=π=（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：因为直线0352=+-y x 的斜率为52，所以所求直线的斜率为2-求直线的方程为1325=-+y x 5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·AE证：连结BE （如图） ∵∠CAE=∠EAB ，∠ACB=∠AEB ， ∴△ACD ∽△AEB ， ∴.ABAD AE AC = ∴AB ·AC=AD ·AE6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？解：设后两年造林面积的年平均增长率为x ，依照题意可得200+200（1+x ）+200（1+x ）2=728，200（1+x)2+200（1+x ）-528=0，（1+x)2+（1+x ）-2.64=0，[（1+x ）-1.2][（1+x ）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=-2.2，x=-3.2（不合题意，舍去）故后两年造林面积的年平均增长率为20%7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x解：,2lg 2lg )5lg 1()1622lg(x x x x x ==-=-+.8,162,21622=∴=∴=-+∴x x x x x8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长B解：设三角形三边的长分别为,,,d a a d a +-则依题意有⎩⎨⎧=---+-=+++-)2(54)18)(18)(18(18)1(36)()(ΛΛΛΛΛΛΛΛΛd a a d a d a a d a 由（1）得).(12cm a =代入（2）得,54)6(6)6(18=-⋅⋅+d d.3,9,273622±===-d d d 故此三角形的三边长分别为9cm,12cm,15cm.9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标为什么当α是直角时，P ∠是最大？解：过A 作AB ⊥OP设x 为点P 的横坐标，则 x=OP=OB+BP=α⋅-+α222sin cos R l R 因为∠P 随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P 的最大值是一样的故可以考虑π≤α≤0内∠P 变化的情况，由正弦定理得α⋅=∠sin sin lR P 在π≤α≤0内，当2π=α时，αsin 的值最大，因而P ∠sin 的值也最大∵OA ＜AP ，∴∠P ＜α，即∠P 总是锐角在20π<∠<P 内，P ∠sin 是单调上升的，所以2π=α时，∠P 最大 10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所A形成的旋转体的体积解：设旋转体的体积为V ，则 .202sin 2)2(cos 2222cos 222cos 1sin 2220002π=π⋅π-π=⋅π-π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ=-π=π=⎰⎰⎰⎰ππππx x xd xdx dx x xdx v。

1977年普通高等学校招生考试(福建省)理科数学试题及答案

1977年普通高等学校招生考试理科数学(福建省)试题及答案1．（1）计算02319)]225.0(1031)833[(35÷-⨯+-⨯---解：原式=7（2）︒︒-︒=155170cos 160cos tg y 的值是正的还是负的？为什么？解：y 的值为负的因为tg1550<0,又第二象限角的余弦函数值随着角的增大而减小，所以，cos1600-cos1700>0,故y<0. （3）求函数1x )x 2lg(y --=的定义域解：略1<x<2（4）如图，在梯形ABCD 中，DM=MP=PA ，MN ∥PQ ∥AB ，DC=2cm,AB=3.5cm 求MN 和PQ 的长解：根据梯形中位线性质可得：⎩⎨⎧=+=+PQ25.3MN MN2PQ 2解之，可得PQ=3（cm),MN=2.5(cm) (5)已知lg3=0.4771,lgx=-3.5229,求x.解：lgx=-3.5229=,4771.4∴x=0.0003. (6)求.2x 3x 1x lim21x +--→ 解：)2)(1(1lim 231lim121---=+--→→x x x x x x x x121lim1-=-=→x x （7）解方程.01x 21x 4=+-+D 2 CA 3.5 B解：移项得1x 21x 4-=+两边平方，得0x ,2x ,0)2x (x ,1x 4x 41x 42==∴=-+-=+（增根）故原方程的解为x=2（8）.a3a 4a a 9a 6a 1n n 1n 1n 2n 21n 2-+-++-+- 解：原式=.1a )3a (a )3a )(1a ()3a (a )3a 4a (a )9a 6a (a n 2n 21n 21n 2--=---=+-+--+（9）求函数2x 3x 52y --=的极值解：略y 的极大值为1249. （10）画出下面V 形铁块的三视图（只要画草图）2．（1）解不等式02x 2x 6x x 22<++-- 解略： -2<x<3. （2）证明：).290(tg 2sin cos 22sin cos 22θ-︒=θ+θθ-θ.)290(tg )90cos(1)90cos(1sin 1sin 1)sin 1(cos 2)sin 1(cos 2:2右边左边证=θ-︒=θ-︒+θ-︒-=θ+θ-=θ+θθ-θ=（3）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）解：设地球仪的表面积为S ，则.)(44.136.0422.1(4S 22米π=⨯π=⋅π=所以，共需油漆 ).(67821644.1150克≈π=π⨯（4）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台，求十一月、十二月份平均每月增长率解：设十一、十二月份平均每月增长率为x ，则根据题意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x 2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去）故十一月，十二月份平均每月增长率为10%3．在半径为R 的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n 个正六边形的周长之和S n; （2）所有这些正六边形的周长之和S.解：如图，半径为R 的圆内接正六边形的周长为6R ，设C 为AB 的中点，连结OC ，OB ，则OC ⊥AB∴OC=CD=.2360sin R R =︒⋅ .236⋅=R 第二个正六边形的周长同理可得第三个正六边形的周长,)23(62⋅=R第四个正六边形的周长,)23(63⋅=R …………于是可以得到一个表示正六边形周长的数列： 6R ，.236⋅R ,)23(62⋅R ,)23(63⋅R …,)23(61-⋅n R …①前n 个正六边形周长的和12)23(6)23(62366-⋅++⋅+⋅+=n n R R R R S ])23()23(231[612-++++=n R .])23(1)[32(12231)23(16R R n n-+=--⋅= ②所有这些正六边形周长的和.)32(1232122316R R R S +=-=-=4．动点P （x,y)到两定点A （-3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形解：根据两点间的距离公式可得.16)5(,0910,],)3[(4)3(,,)3(2)3(2)3()3(2222222222222222=+-=++-+-=+++-=++=+-++y x y x x y x y x y x y x yx y x 化简得得两边平方故动点P 的轨迹是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆5．某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A 和P 之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B 和C （如图），测得AB=AC=50 m ，∠BAC=600，∠ABP=1200， ∠ACP=1350，求A 和P 之间的距离（答案可用最简根式表示）解：连CB ，AP∵∠CAB=600， AC=AB=50m ，∴△ABC于是，∠BCP=1350-600=750， ∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450 由正弦定理，得)(62522235045sin 60sin 50sin sin ,sin sin m BPC CBP CB CP BPC CBCBP CP =⋅=︒︒⋅=∠∠⋅=∠=∠ 由余弦定理，可得)(341025)3410(625))(3410(625)22(625502)625(50135cos 2222222m AP m CP AC CP AC AP +=+=+=-⋅⋅⋅-+=︒⋅⋅⋅-+=故A 、P 两点间的距离是341025+米CB6．已知双曲线)(1162422为锐角α=α-αctg y x 和圆222)(r y m x =+-相切于点A （4,34），求r m ,,α的值解：∵点A （4,34）在双曲线上，∴,116424)34(22=α-αctg),,(2,1,0)2)(1(,02,122舍去不是锐角α-=α=α=+α-α=-α+α=α-αtg tg tg tg tg tg tg tg故双曲线方程为)1(1162422 =-y x又圆的方程为)2()(222 r y m x =+- 从（1）得,163222-=x y代入（2）得,4)34(1632)(22222+-==-+-m r x m x.024*******=-+-m mx x因为交点A 是切点，故方程有等根，即其判别式为.3320,040034032==+-m m m由此可得，圆的圆心为（0,3320），半径.21344)332034(22=+-=r 7．设数列1，2，4，…前n 项和是,32dn cn bn a S n +++=求这数列的通项n a 的公式，并确定d c b a ,,,的值解：依题意得S 1=1，即1=+++d c b a ……………………① S 2=3，即3842=+++d c b a ………………② S 3=7，即72793=+++d c b a ………………③ 上面三式虽然成不定方程组，但可如下解： ②-①得 273=++d c b ………………④ ③-②得 4195=++d c b ………………⑤ ⑤-④得 ,2122=+d c.61d c -=……………………⑥将⑥代入④得,27)61(3=+-+d d b111-=d b ……………………⑦将⑥⑦代入①，得,)61()111(=+-+-+d d d ad a 61-=……………………⑧当n>1时，.)65()1(2)133()12)(61()111()133()12(])1()1()1([)(22232321d n n n d n n n d d dn n c n b n d n c n b a dn cn bn a S S a n n n +-+-=+-+--+-=+-+-+=-+-+-+-+++=-=-上式在n=1时，成为,16,1)6151(3)11(221==+⋅-⋅+-⋅=d d a∴.61=d将61=d 分别代入⑥、⑦、⑧中得：.0,65,0===a b c).2(2161)65(3)1(222+-=⋅+-+-=∴n n n n n a n参考题1．求函数)45sin(2π+=-x e y x 的导数解：)45cos(5)2()45sin(22π+⋅+⋅-⋅π+='--x e e x y x x)]45sin(2)45cos(5[2π+-π+=-x x e x2．求定积分⎰+1022.)(2dx e x xe x解：⎰⎰⎰+=+1010221022.)(22dx e x dx xe dx e x xe x x其中)1(2101212122210210-===⎰⎰e e dx e dx xe x x x2)1(22012201101010221022-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=-==⎰⎰⎰⎰e e e e dx e e x e dx xe e x de x dx e x xx x x x⎰-=-+-=+122.25232)1(21)(2e e e dx e x xex。

1977年普通高等学校招生考试(上海市)文科数学试题及答案

1977年普通高等学校招生考试文科数学(上海市)试题及答案1．（1）计算.23)]43()311()23)(3121[(÷-⨯+----解略：原式=.21-（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？解：根据已知条件，今年比去年增长%2596249696120==-. 明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）（3）计算.51lg 5lg 32lg 4-+ 解：原式=42．在△ABC 中，∠C 的平分线与AB 相交于D ，过D 作BC 的平分线与AC 相交于E ，已知BC=a ，AC=b ，求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DE b a DE AC AE BCDE -==∴b ·DE=a b-a ·DE ，.b a abDE +=3．（1）化简)()2(222222ba ab a a b ab a a b a a --+÷++-+2A E C解：原式=.)1()1(b a a b ba ab a a b a a b a a +-=--++-+ （2）解不等式.4213312-->-x x解：不等式解为x ＜5 （3）解方程.92131342--=--+x x x x 解：可得x 2-5x+6=0, x=2,x=3（增根）故原方程的解为x=2. 4（1）计算.)120cos(330225sin ︒-︒+︒tg解：原式=.3322360cos )30(45sin +=︒-︒-+︒-=tg（2）求证：.2sin 2xctgx tgx =+ 证：右边左边==+=xx x x x 2sin 2sin cos cos sin（3）△ABC 中，∠A=450，∠B=750，AB=12，求BC 的长解：由正弦定理可知：.64sin sin =⋅=CAAB BC 5．六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm 3）解：由图可知此六角螺帽的体积为)(725010)36(101010)620232021(332mm V ≈⨯π-=⨯⨯π-⨯⨯⨯⨯⨯=6.求直线0333=++y x 的斜20率和倾角，并画出它的图形解：由0333=++y x 可得.150)33(33.333331︒=-=θ-=--=--=arctg k x x y 倾角斜率图略7．当x 为何值时，函数y=x 2-8x+5的值最小，并求出这个最小值解：y=x 2-8x+5=2（x-2)2-3，所以，当x=2时，函数最小值为-38．将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？解：设甲种流酸取x 升，乙种流酸取y 升，根据题意可得如下方程组：⎩⎨⎧⋅=⋅+⋅=+)2(%70600%36%96)1(600ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛy x y x 由（1）得y=600-x.代入（2）得x=340（升）y=260(升）故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升。