正弦曲线求解析式
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(五)
(k∈Z) 得到
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1（五）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
利用“五点法”作出函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周 期上的图象， 要经过“取值、 列表、 描点、 连线”这四个步骤． 请 完成下面的填空. ωx＋φ x y 0 π 2 π 3 π 2 2π
研一研·问题探究、课堂更高效
描点、连线，如图所示．
1.3.1（五）
本 课 时 栏 目 开 关
小结 “五点法”作图时，五点的确定，应先令 ωx＋φ 分别为 π 3π 0、2、π、 2 、2π，解出 x，从而确定这五点．
研一研·问题探究、课堂更高效
π 跟踪训练 1 作出 y＝2.5sin2x＋4 的图象． π π 1 解 令X＝2x＋ ，则x＝ X－4.列表： 4 2
φ － ω
0
φ π φ 3π φ 2π φ π －ω＋2ω － ＋ － ＋ ω 2ω －ω＋ ω ω ω
A 0 －A 0
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1（五）
φ － ，0 ω
本 课 时 栏 目 开 关
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是 ， φ φ φ π π 3π － ＋ － ＋ ，0 － ＋ ，A ，－A ω 2ω ， ω ω ， ω 2ω ， φ 2π － ＋ ，0 ω ω . φ T φ 2π － ＋ － 若设 T＝ ω ， 则这五个关键点的横坐标依次为 ω ， ω 4 ， φ 3 φ φ T － ＋ T －ω＋T －ω＋2 ， ω 4 ， .
T 7π π π 解析 由图象知4＝12－3＝4，∴T＝π，ω＝2. 7π π 且 2×12＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6(k∈Z)． π π 又|φ|< ，∴φ＝－ . 2 6
【高中数学必修四】第1章 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线． 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象．正弦函数在⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1] [－1,1]单调性在⎣⎡ －π2＋2k π，π2 ]＋2k π，k ∈Z 上递增，在⎣⎡ π2＋2k π，3π2＋ ]2k π，k ∈Z 上递减 在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增， 在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减 最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11．正弦函数在定义域上是单调函数．( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数． 2．正弦函数在第一象限是增函数．( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 3．存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4．余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确．类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2. 2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值1，最小值－1 B ．最大值1，最小值－12C ．最大值2，最小值－2D ．最大值2，最小值－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 答案 D解析 因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2. 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 A3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4．(2017·九江高一检测)y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.5．(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为() A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 A 解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65. 故选A.6．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3 B.8π3C ．2πD ．4π 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 C解析 作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12， 且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中，b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3， 定义域[a ，b ]中，b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3， 故可得，最大值与最小值之和为2π.7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23 C ．2 D ．3考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 10．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析 原式可化为y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，只需求f (x )＝13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间． 则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π. ∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π. 11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4， 即ω＝34. 三、解答题12．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)要求函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z .∴函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z .13．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12.因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.四、探究与拓展14．已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则() A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β)．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 又a >0，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.。
正弦函数、余弦函数的图象 课件
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图． (1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．
[解析] (1)按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx
0
1
0
－1
0
2－sinx
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
(2)按五个关键点列表：
x
0
π 2
利用正、余弦函数的图象解三角不等式
典例 3 画出正弦函数 y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图象写出 y≥12时 x 的 集合．
[思路分析] (1)作出 y＝sinx，与 y＝12的图象．(2)确定 sinx＝12的 x 值．(3)确 定 sinx>12的解集．
[解析] 用“五点法”作出 y＝sinx 的简图．
〔跟踪练习2〕关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称； ②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同； ③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称； 其中正确说法的序号是__②__④____．
〔跟踪练习 4〕函数 y＝sinx 与 y＝12x 的图象在(－π2，π2)上的交点有
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
( D)
π
3π 2
2π
cosx
1
0
－1
0
1
cosx－1
0
－1
－2
－1Βιβλιοθήκη 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2))．
正弦电路的电压电流及相量表示
解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为
=（-180o）-（- 45o ）= -135o＜0
所以u（t）滞后i1（t）135o 。
电压u（t）与电流i2（t）的相位差为
= -180o - 60o = -240o 由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位 差应为 = -240o+360o = 120o＞0，因此u（t）超前 i2（t）120o 。
四、正弦量的有效值 有效值的提出： 正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正 弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个 周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上 产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压 u （t）的有效值。用大写字母“U”表示。 有效值的定义式：
1 U T
本讲作业
1、复习本讲内容；
2、预习下一讲内容——正弦电路的相量分析法； 3、书面作业：习题8-1，8-2，8-4，8-5。
8.2 正弦量的相量表示
一、相量表示法的提出 前面学过的解析式（三角函数表示法）和正弦量 的波形图（正弦曲线表示法）都不便于分析计算正弦 电路。为了解决这个问题，引入了正弦量的第三种表 示方法——相量表示法。 二、相量表示法采用的形式 相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。
三、相量表示方法 模等于正弦量的有效值（或振幅），幅角等于 正弦量的初相的复数，称为该正弦量的相量。相量 用该正弦量的符号上加一圆点“ · ”来表示，说明它 是时间的函数，以便与一般复数相区别。 振幅相量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 I m 、 Um 等表示。其振幅相量表达式为
将u3（t）的解析式整理如下： u3（t）= 5cos（100πt + 60o） = 5sin（100πt + 60o + 90o） = 5sin（100πt + 150o ）V 所以得到
由三角函数图象求解析式
已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ） （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】选B.由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝23.如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值 为（ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π【解析】选A. Q 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=. 已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________【解析】由图可知，()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭把代入y=sin 有： 89,510ππϕϕ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭1=sin已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。
【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4π时，f （x ）＝0，即2φπ+⨯43sin(）＝0，可得4πφ=，所以，712f π⎛⎫=⎪⎝⎭2)41273sin(ππ+⨯＝0。
）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.【解析】（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈Q 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=即2x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12π才能得到y ＝sin(－3x )的图象.答案：D4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )＝sin(2x ＋3π) ＝sin(2x －3π) ＝sin(2x ＋32π) ＝sin(2x －32π)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋32π).若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8π对称的两点 ∴f (0)＝f (－4π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2π)∴a ＝－1若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )或4 或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .解：∵T ＝3)3(,1263122=-++=+a a k k ππ又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现45值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23 解得23≤k ≤27，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角初相角有几个下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 错解： 由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32∴y ＝5sin(32x ＋ϕ)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k πϕ＝k π－32π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π)分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意.那么，问题出在哪里呢我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z ) 由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π∴ϕ＝2k π＋3π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π正解二：(最值点法)将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ.由图象求得x 0=-2x,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π. 正解四：(平移法)由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx 中的x ，模仿y=sinx 的五点法来作.ωx 1+φ=0⇒x 1=-ωΦ,ωx 2+φ=2π⇒x 2=ωπΦ-2ωx 3=π⇒x 3=ωπΦ-,ωx 4+φ=23π⇒x 4=ωπΦ-23,ωx 5+φ=2π⇒x 5=ωπΦ-2.即五点(-ωΦ,0),(ωπΦ-2,A),( ωπΦ-,0).(ωπΦ-23,-A).(ωπΦ-2,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像变换为y=sin ωx 的图像，其周期由2π变ωπ2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.事实上，设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义.A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=ωπ2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).f=T = π2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f -1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键：理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(2x -4π)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到 解：y=3cos(2x -4π)=3sin ［2π+( 2x -4π)］=3sin(2x +4π).先将y=sinx 的图像向右平移4π个单位，得到y 1=sin(x+4π)的图像.再将y 1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y 2=sin(2x +4π)的图像.再将y 2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(2x +8π)而不是y=3sin(2+4).例2用五点法作出函数y=4sin(2x+3π)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(2x+3π)的振幅A=4，周期T=4π,令2x+3π=0,得初始值x0=-32π(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表：2x+3π02ππ23π2πx-32π3π34π37π310πy040-40评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的4，即x i=x i-1+4(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.例3设三角函数f(x)=sin(5kx+3π)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T=52kπ=kπ10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，必须且只须f(x)的周期≤1，即kπ10≤1,｜k ｜≥10π=,可见，k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A ，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A ，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x 0=-25π是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.∴函数解析式为y=2sin(32x+35π).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+3π)的图像的两种方法.思路1 x →2x →2(x+6π)=2x+3π.解法 1 y=sinx 纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin2x −−−−−−−→−π单位向左平移6y=sin［2(x+6π)］=sin(2x+3π).思路2 x →x+3π→2x+3π.解法2y=sinx−−−−−−−→−π单位向左平移3y=sin(x+3π)纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin(2x+3π).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即6π和3π)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位，所得到的曲线是y=21sinx 的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=21sinx 变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］,它就是y=21sinx ，即可求得A 、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位，得y=21sin(x-2π);再将横坐标压缩到原来的21，得y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-52π)=54π,所以y=3sin(2x+54π).(2)A=2,当x=0时，y=1,所以2sin φ=1,又｜φ｜＜2π，所以φ=4π,当x=1211π时，y=0，即2sin(ω·1211π+4π)=0,所以ω=1121,所以y=2sin(1121x+4π).评析：若已知曲线与x 轴的交点的坐标，先确定ω=T π2；若已知曲线与y 轴的交点的坐标，先确定φ；若先确定ω则有φ=-ωx 0,其中x 0是离y 轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像.(1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+2π)+1的图像3.已知y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为32π，最小值为-2，且过点(95π，0)，求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜2π)的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2).(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的31(纵坐标不变)，然后再将所得图像向x 轴正方向平移3个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像.例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T= 13π3－ π3 =4π． ∴ω=2πT = 12 ．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值． 分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max =2 +2 ． 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值．分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98 ．∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］．∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12 ．点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析 由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解 令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］，∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评 注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12 ．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π3］时函数y 的最大值。
正弦函数、余弦函数的图象
2
B. D.
π 3π 2 2
2 π 3π 4 4 3π 4
)
,
,
,π
2 2
解析:作出 y=sin x 及 y= 的图象,
∵sin 4 =sin 4 =
,
3π 4 2 2 2 π 3π 4
当 x∈[0,2π],且 ≤x≤ 时,y=sin x≥ .
4
பைடு நூலகம்
π
∴在 x∈[0,2π]上,满足 sin x≥ 2 的 x 的取值范围是 4 ,
答案:D
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 方程2x=cos x的解的个数为( A.0 B.1 C.2 D.无穷多个
)
解析:画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的 交点有无数个,故选D. 答案:D
1
2
3
4
5
1.用“五点法”作出函数 y=3-cos x 的图象,下列点中不属于五点作图 中的五个关键点的是( ) A.(π,-1) B.(0,2) π 3π C. ,3 D. ,3 解析:∵当 x=π 时,y=3-cos π=3+1=4,对应点为(π,4),∴点(π,-1)不属于 五点作图中的关键点. 答案:A
做一做 1 A. C.
1 2 3
(1)已知正弦函数过点 B.1 2 π 3
π 6
,������ ,则 m 的值为
(
)
2 1 2
D.1 ,������ ,则 n 的值为( C.
π 1 2 π 3 1 2 6 3 2
(2)已知余弦函数过点 A. B.1 2
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.2正弦型函数的性质与图像学案含解析第三册
7．3.2 正弦型函数的性质与图像［课程目标］1。
了解正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．2．会用“五点法”及“图像变换法”作正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像．［填一填］1．正弦型函数（1）形如y＝A sin(ωx＋φ)（其中A，ω,φ都是常数,且A≠0，ω≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．（2）函数y＝A sin（ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R）的周期T＝错误!,频率f＝错误!，初相为φ，值域为[－｜A|，|A｜］，｜A|也称为振幅,|A|的大小反映了y＝A sin（ωx＋φ）的波动幅度的大小．2．正弦型函数的性质正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)( A〉0,ω〉0）有如下性质．(1）定义域:R。
(2)值域：［－A，A]．(3）周期:T＝错误!。
(4)单调区间：单调增区间由2kπ－错误!≤ωx＋φ≤2kπ＋错误!(k∈Z）求得，单调减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z）求得．3．利用图像变换法作y＝A sin（ωx＋φ)＋b的图像［答一答] 1．怎样得到y＝A sin（ωx＋φ)的图像？提示:(1)“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像：画函数y＝A sin(ωx＋φ）的简图,主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是作变量代换．设X＝ωx＋φ，由X取0，错误!，π，错误!，2π来确定对应的x 值．(2）由函数y＝sin x图像变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图像:步骤1:画出正弦曲线在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤2：沿x轴平行移动，得到y＝sin(x＋φ）在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤3：横坐标伸长或缩短，得到y＝sin（ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤4：纵坐标伸长或缩短,得到y＝A sin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤5：沿x轴伸展,得到y＝A sin（ωx＋φ），x∈R的简图．上述变换步骤概括如下：步骤1错误!步骤2错误!步骤3错误!步骤4―→步骤5其中相位变换中平移量为｜φ|单位,φ>0时向左移，φ<0时向右移;周期变换中的纵坐标不变,横坐标变为原来的错误!倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．2．三角函数图像的平移变换和伸缩变换的规律是什么?提示：(1）平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减"规律；②沿y轴平移，按“上加下减"规律．（2）伸缩变换:①沿x轴伸缩：ω>1时,横坐标缩短到原来的错误!倍，0<ω〈1时,横坐标伸长到原来的1ω倍，纵坐标保持不变；②沿y轴伸缩：当A>1时，把纵坐标伸长到原来的A倍,当0〈A〈1时，纵坐标缩短到原来的A倍，横坐标保持不变．3．怎样由图像或部分图像求正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的解析式？提示：关键在于确定参数A，ω，φ。
正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。
例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。
这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。
揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。
一、新知探究 提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。
如图1是大观览车的示意图。
设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。
在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。
在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。
OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。
例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。
求正弦型函数解析式方法
求正弦型函数解析式的方法三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象又是其中的难点,学生往往不知如何从图象中挖掘出有用的信息去求a、 ?棕、?准。
现就几道例题谈谈常用的求解方法。
一、五点法已知五个特殊点中的某几个点，逆求函数解析式我们都知道正弦函数y=sinx的五个特殊点：o（0，0）、a（ ,1）、b（?仔，0）、c（ ?仔，-1）、d（2?仔，0），对应于y=asin（ωx+?准）的五点：第一点（- ，0），第二点（，0），第三点（，0），第四点（，-1），第五点（，0）。
其中a、b间距离为周期t的，a、c间的距离为周期t的，a、d间距离为周期t的。
最终代入特殊点确定初相?准。
例1．右图所示的曲线是y=asin（ωx+?准）（a＞0，ω＞0）图象的一部分，求这个函数的解析式．解:由-2≤y≤2，得a=2已知第二个点（，2）和第五个点（，0）t= ?仔- = ?仔，所以t=?仔ω=2.把（，2）代入×2+?准= ，得φ= .答案：y=2sin（2x+ ）.同步练习：下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）（a）y=sin（x+ ）（b）y=sin（2x- ）（c）y=cos（4x- ）（d）y=cos（2x- ）解析：已知五点中第一点和第二点（- ，0）和（，1），可得t=［ -（- ）］×4=π，所以ω= =2，排除a，c选项。
答案d.二、最值法已知五点中的第二点（x1，a）和第四点（x2，-a），（其中a＞0，x2＞x1）利用t= （x2-x1）求ω，再代第二点或第四点求出?准. 例2．已知函数y=asin（ωx+?准）（a＞0，ω＞0，φ＜π）的一段图象如图所示，求函数的解析式。
由-2≤y≤2，得a=2= π-（- ）=所以t=πω=2因为（- ，2）为“五点画法”中的第二点所以2×（- ）+φ= ?圯φ=所以所求函数解析式为：y=2sin（2x+ ）同步练习：下图是函数y=asin（ωx+?准）的图象的一段，它的解析式为（）a．y= sin（2x+ ）b．y= sin（ + ）c．y= sin（x- ）d．y= sin（2x+ ）解：由函数值域知：a= ， =- -（- π）=所以t=π，ω=2把点（- ，）代入，得?准= π，选d.三、单调性法在利用正弦函数零点（x0，0）时，要注意第一点和第五点是单调增的点，第三点是单调减的点，即是起始点（2kπ，0）还是第三点［（2k+1）π，0］（k∈z）例3．如图为y=asin（ωx+?准）的图象的一段，求其解析式．由- ≤y≤，得a=已知两特殊点（，0）（，0），则 = - =所以t=π，ω= =2把（，0）代入，由2· +?准=2kπ（k取1），得φ= π注意：若把（，0）代入，由2· +?准=2kπ（k取1）得φ= π，错在哪？因为（，0）是图象中单调递减的点，即它是第三点，所以它们的对应关系是：2· +?准=2kπ+π（k取1），得φ= π。
求正弦函数解析式的基本方法及练习题
求正弦函数解析式的基本方法及练习题
一、正弦函数的解析式基本方法
正弦函数是一种基本的三角函数，其解析式可以通过以下方法
得到：
1. 角度法：根据角度的定义，正弦函数可以表示为一个变量角
度与一个定值的关系，即sin(x)。
其中，x是角度，sin是正弦函数。
2. 周期性：正弦函数具有周期性，周期为2π。
根据周期性，
我们可以通过一个周期内的数值变化来推导整个函数的解析式。
3. 泰勒级数展开：正弦函数可以通过泰勒级数展开得到其解析式。
泰勒级数是一种用多项式逼近一个函数的方法，通过迭代计算
可以逼近出正弦函数的解析式。
二、正弦函数解析式的练题
1. 求解析式：根据给定的角度，求出相应的正弦函数解析式。
例如，求sin(30°)的解析式。
2. 求角度：根据给定的正弦函数值，求出相应的角度。
例如，
求sin(x) = 0.5的角度。
3. 综合练：结合以上两种题型，综合考察正弦函数的解析式及
角度求解能力。
以上是求解正弦函数解析式的基本方法及练题。
通过熟练掌握
这些方法，并进行反复练，可以提高对正弦函数的理解和运用能力。
希望能对您有所帮助！。
高中数学第一章三角函数1正弦函数例题与探究(含解析)
1。
5 正弦函数典题精讲1.周期函数一定都有最小正周期吗？剖析:并不是所有周期函数都存在最小正周期.很多同学对此产生质疑，其突破的方法是：通过经验的积累,考虑特殊的周期函数.例如：常数函数f(x)=C（C为常数）,x∈R.当x取定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f（x）的定义域内的每一个值x都有f（x+T）＝C，因此f（x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f（x）没有最小正周期. 2。
正弦函数线有何作用?剖析：有的同学学习了正弦线后，感到正弦线没有什么用处.其突破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积累。
正弦线是当点P为终边与单位圆交点时，正弦函数值的直观表现形式.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对值.由正弦线的方向判断正弦值的正负，由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大小。
由此可见，用正弦线表示正弦函数值,反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法。
正弦函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的正弦线的方向记忆.正弦线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较三角函数式的大小,同时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基础.例如：求函数y=log2(sinx)的定义域。
思路分析：转化为解三角不等式sinx＞0.图1—4—5解：要使函数有意义，x 的取值需满足sinx ＞0。
如图1—4—5所示，MP 是角x 的正弦线,则有sinx=MP ＞0， ∴MP 的方向向上.∴角x 的终边在x 轴的上方。
∴2kπ＜x ＜2kπ+π(k ∈Z ）.∴函数y=log 2（sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π)k ∈Z 。
由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具,通过平时经验的积累,掌握三角函数线的应用。
3。
在推广了的三角函数定义中，为什么三角函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小?剖析：联系相似三角形的知识来分析.设P 0（x 0，y 0)是角α终边上的另一点，｜OP 0｜=r 0,由相似三角形的知识可知,只要点P 0在α终边上,总有r y =0r y .因此所得的比值都对应相等.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的位置即α的大小，与点P 在角α终边上的位置无关.典题精讲例1(经典回放）sin 600°的值是（ )A 。
正弦交流电的三种表示法
例
已知： u
3sin1000
t
A
6
写出表达式的三要素。
幅度： U m 3A
角频率： 1000 rad/s
初相位：
0
6
小技巧：
i Im sin t
sin前面的值为最大值；
t前面的值为角频率ω；
t后面的值为初相位 。
例 已知：某正弦交流电流的振幅为2A,频率为50Hz，
初相角为 , 请写出瞬时值表达式。
4
量的三要素。
解：根据 u Um sin t u
最大值：Um =220 2V,
角频率：ω=314 rad/s,
初相位： u
4
小技巧：
i Im sin t
sin前面的值为最大值；
t前面的值为角频率ω；
t后面的值为初相位 。
习题2： 已知两个同频正弦交流电压的波形图如下图所示, 试写出u1及u2的瞬时值表达式，画出矢量图。
3
i=Imsin(ωt+π/3)
0
t
3
3
i=Imsin(ωt -π/3)
5.1.3 正弦交流电的三要素
例 已知某正弦交流电流的波形图如下图
所示, 试写出电流的三要素和瞬时值表达式i。
i/A
解： 2 2 100 rad / s
T 0.02
1.6
最大值
i
i Im sin(t )
Im 1.6A
6
解：已知 Im 2A
i
6
f 50Hz
2f 2 50 100 rad/ s
i Im sin t 0
2sin(100 )
6
小技巧：i Im sin t 0
三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法
1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。
求正弦函数解析式的基本方法及练习题
求正弦函数解析式的基本方法及练习题
引言
正弦函数（sine function）是一种常见的三角函数，用于描述一条光滑的周期曲线。
本文将介绍求解正弦函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。
求解正弦函数解析式的基本方法
1. 确定基本参数：首先，确定正弦函数的振幅（amplitude）、周期（period）、相位（phase）和纵向平移量（vertical shift）。
这些参数将影响最终的解析式。
2. 构建通用解析式：基于已知参数，构建正弦函数的通用解析式。
通用解析式的形式为：A * sin(Bx + C) + D，其中 A 是振幅，B 是周期的倒数，C 是相位，D 是纵向平移量。
3. 根据具体问题进行修正：根据具体问题的要求，对通用解析式进行修正。
例如，若要求解析式经过某个特定点，可以通过代入该点的值来确定修正项。
4. 检验解析式：最后，通过验证解析式是否满足正弦函数的性质，如周期性、对称性等，来确认解析式的正确性。
练题
1. 已知正弦函数的振幅为 2，周期为π，相位为π/2，纵向平移量为 3，求解对应的解析式。
2. 若正弦函数的解析式为 3 * sin(2x + π) + 4，求解该函数经过的一个满足条件的点。
3. 给定一个未知正弦函数 f(x)，已知 f(0) = 1，f(π/2) = 0，求解该正弦函数的解析式。
请根据上述方法思考并解答练题，以加深对正弦函数解析式的理解。
---
注：本文提供的方法和练习题仅为基础参考，实际问题中可能存在更复杂的情况，需具体问题具体分析。
在使用本文提供的技巧时，请始终独立做出决策，并确保所引用的内容可以确认。
正弦型函数解析式的确定
正弦型函数解析式的确定正弦函数是一种周期性函数，它的图像呈现出波动的特点。
在数学中，正弦函数可以用解析式来表示，其一般形式为：y = A * sin(B * (x + C)) + D其中，A表示振幅，它表示正弦曲线在垂直方向上最大的偏移量；B表示周期，即正弦曲线在水平方向上重复的距离；C表示相位，它表示正弦曲线在水平方向上的平移；D表示垂直方向上的偏移量，即正弦曲线的纵坐标的平移。
接下来，将详细解释如何确定这四个参数。
首先，我们从振幅A谈起。
振幅表示正弦曲线在垂直方向上最大的偏移量，它的取值范围是非负实数。
当A为正时，正弦曲线在正弦函数值的上方产生波峰；当A为负时，正弦曲线在正弦函数值的下方产生波谷。
振幅A的绝对值决定了正弦曲线的振幅大小。
如果A=0，那么正弦函数的图像在y=D的水平线上不再波动，即为一条直线。
其次，我们来谈论周期B。
周期表示正弦曲线在水平方向上重复的距离，它的取值范围是正实数。
周期B的倒数是频率，也就是正弦曲线每秒钟重复的次数。
周期B决定了正弦曲线波动的速度。
当B增大时，波动速度变快，曲线的周期变短；当B减小时，波动速度变慢，曲线的周期变长。
然后，我们来讨论相位C。
相位表示正弦曲线在水平方向上的平移，它的取值范围是实数。
相位C决定了正弦曲线的水平位置。
当C>0时，正弦曲线向左平移；当C<0时，正弦曲线向右平移。
注意，相位C的绝对值越大，平移的距离越远。
最后，我们讨论垂直方向上的偏移量D。
偏移量表示正弦曲线的纵坐标的平移，它的取值范围是实数。
偏移量D决定了正弦曲线的垂直位置。
当D>0时，正弦曲线在y轴的正方向上平移；当D<0时，正弦曲线在y轴的负方向上平移。
偏移量D的绝对值越大，平移的距离越远。
总结起来，通过调整振幅A、周期B、相位C和偏移量D这四个参数的取值，可以得到不同形状和位置的正弦曲线。
这四个参数分别决定了正弦曲线的振幅大小、波动速度、水平位置和垂直位置。
正弦螺线 解析式-详细解释说明
正弦螺线解析式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正弦螺线是一种特殊的曲线，其数学表达式为r=a*cos(b*θ)或者r=a*sin(b*θ)。
在极坐标系中，它呈现出螺旋状的形态，因此被称为正弦螺线。
这篇文章将着重探讨正弦螺线的解析式，并通过对其定义、性质和应用的分析，来深入理解这一数学曲线的重要意义和潜在应用价值。
同时，我们也将展望正弦螺线在数学和工程领域未来研究的方向，以期为相关领域的学者和工程师提供一定的参考和启发。
通过本文的阐述，读者将对正弦螺线有一个更加深入的认识，并能够在实际问题中更好地应用和理解这一特殊的数学曲线。
1.2 文章结构文章结构部分的内容为：文章结构分为引言、正文和结论三部分。
在引言中将对正弦螺线进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将详细探讨正弦螺线的定义、性质和应用。
在结论部分将对正弦螺线的特点进行总结，探讨其意义，并展望未来对正弦螺线的研究方向。
整个文章的结构将使读者能够全面了解正弦螺线，包括其定义、性质、应用以及未来的发展方向。
1.3 目的：本文的目的是对正弦螺线进行深入的解析和探讨，通过对其定义、性质和应用进行详细阐述，使读者对正弦螺线有一个全面深入的理解。
同时，通过总结正弦螺线的特点和意义，展望未来对正弦螺线的研究方向，旨在为相关领域的研究和应用提供参考和指导。
通过本文的阐述，读者将能够对正弦螺线有一个系统性的把握，从而更好地理解和应用这一数学概念。
2.正文2.1 正弦螺线的定义正弦螺线是一种特殊的曲线，它是由一个点在一个斜向上升的螺旋线上移动时所产生的轨迹。
具体来说，正弦螺线是由点沿着一个螺旋线移动，其径向距离随着角度的增加而以正弦函数的形式变化的轨迹。
在三维空间中，正弦螺线可以表示为参数方程式:x(t) = r * cos(t)y(t) = r * sin(t)z(t) = a * t其中，r代表螺线的半径，a代表螺旋线的升高速率，t是参数。
正弦螺线的形状具有精美的几何特征和数学属性，因此在物理学、工程学和艺术领域中都有广泛的应用。
高中数学讲义：y=Asin(wx+t)的解析式的求解
函数()sin y A x w j =+解析式的求解在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x w j =+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A w j 得到，本讲主要介绍求解()sin y A x w j =+解析式的一些技巧和方法一、基础知识：（一）表达式的化简：1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）（1）降幂公式：221cos 21cos2cos ,sin 22a aa a +-==（2）2sin cos sin 2a a a=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos a b a b b a +=+()sin sin cos sin cos a b a b b a -=-()cos cos cos sin sin a b a b a b +=-()cos cos cos sin sin a b a b a b-=+（4）合角公式：()sin cos a b a a a j +=+，其中tan baj =（这是本讲的主角，也是化简的终结技）2、关于合角公式：()sin cos a b a a a j +=+的说明书：（1）使用范围：三个特点：①同角（均为a ），②齐一次，③正余全（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为()()sin f x A x w j =+的形式了，通过以下三步：，表达式变为：sin cos a b a a a a ö+÷ø②二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称j 为辅助角），如cos j j ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b a a j a j a +=+③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b a a a j +=+（3）举例说明：sin y x x=+①12sin cos 22y x x æö=+ç÷èø②1cos ,sin 2cos sin sin cos 232333y x x p p p p æö==Þ=+ç÷èø③2sin 3y x p æö=+ç÷èø（4）注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：12sin cos 22y x x æö=+ç÷èø，可视为1sin ,cos 2626p p ==，那么此时表达式就变为：2sin sin cos cos 66y x x p p æö=+ç÷èø，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x p æö=-ç÷èø所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。
正弦曲线求解析式
(3)设这个简谐振动的函数表达式为
y A sin( x ), x [0, )
2 5 那么,A=2;由于 0.8得 ； 2 由图象知初相为0,于是所求函数表达式是
5 y 2 si n x , x [0, ). 2
方法：
（1）求A 最大值f1、最小值f2，A=(f1-f2)/2; （2）求ω先周期T 相邻两个最高点与最低点的横坐标间 的距离即为T/2，由周期公式求出ω （3）求φ 代值，代特殊点的坐标
（２）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函 数表达式.
y/cm
2 A 0.4 0.8 B D E 1.2 F
o
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为2cm;周期
为8s;频率为1.25 (2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一 次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示 完成了一次往复运动
y
3
O
3
5 6
x
3
例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开 平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化 曲线是一个三角函数的图象，如图. s/cm （1）求这条曲线对 4 应的函数解析式； 7p （2）小球在开始振 12 动时，离开平衡位 O p t/s 置的位移是多少？ 12
-4
如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似 满足函数: y A sin( x ) b
A. 向左平移π/4个单位
C. 向左平移π/ 8个单位
B. 向右平移π / 4 个单位
D. 向右平移π/ 8个单位
把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上 几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸 展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪 形的曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习： 已知函数
y A cos( x ) （A>0,ω>0,
0 ）的最小值是 -5 ，图象上相邻两个最高
5 点与最低点的横坐标相差 ,且图象经过点 (0, ) ， 4 2
求这个函数的解析式。
• 例：已知函数y＝Asin(ωx＋φ) （A>0,ω>0） 一个周期内的函数图象，如下图所示，求 函数的一个解析式。
2
Y
0
6
2
3
X
-2
2.书P58 A5
练习
1、 当函数 y = －5sin (－2x +π/4) 表示一个振动量时其振幅为 π 周期为 ______ 5
1/ π 频率为 π/ 4 为 ；
相位为
－2x +π/4
初相
2、将函数 y= sin2x 的图象向左平移 π/ 6 得到的曲线对应的 解析式为（ C ）
A. y=sin(2x+π/6) B. y=sin(2x－π/6)
T/℃
30 20 10
o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14]. 8 4
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
作业：1.已知函数y Asin(x ) ( A 0, 0) 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
函数 y=Asin(x+) 的图象 ——求解析式
y A sin( x )
振幅
周期 : T 2
相位
初相（x=0时的相位）
1 频率 : f T 2
方法1:先平移后伸缩一般规律
函数 y=Sinx
（1）向左( >0)或向右( <0) 平移| |个单位
复习：
把每个点的横坐标扩大到原来３倍（纵坐标不
变），然后再把每个点的纵坐标扩大到原来的4
倍（横坐标不变），所得到的图像的函数是：
1 y 4sin x __________________. 7 3
思考：
能否用变换的方法由函数y=sinx的图象得到 函数 y cos 2 x 的图象。
思考1：这一天6～14时的 最大温差是多少？ 30°-10°=20° 思考2：函数式中A、b的值 分别是多少？ A=10,b=20
T/℃ 30 20 10 o 6 10 14 t/h
思考3：如何确定函数式中 和 的值?
3 , 8 4
y A sin( x ) b
y=Sin(x+ ) 的图象
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
y=Sin( x+ ) 的图象
原来的
1
倍，（纵坐标不变）
（3）纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
y=ASin(x+ )的图象
到原来的A倍（横坐标不变）
方法2:先伸缩后平移一般规律
(1)横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到 原来的
y
3
O
3
5 6
x
3
例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开 平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化 曲线是一个三角函数的图象，如图. s/cm （1）求这条曲线对 4 应的函数解析式； 7p （2）小球在开始振 12 动时，离开平衡位 O p t/s 置的位移是多少？ 12
-4
如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似 满足函数: y A sin( x ) b
（２）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函 数表达式.
y/cm
2 A 0.4 0.8 B D E 1.2 F
o
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为2cm;周期
为8s;频率为1.25 (2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一 次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示 完成了一次往复运动
C. y=sin(2x+π/3)
D. y=sin(2x－π/3)
3、要得到函数 y = cos3x 的图象，只需将函数 y = cos (3x－π/ 6) 的图象（ D ）
A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位
C. 向左平移π/18个单位
D. 向右平移π/18个单位
4、要得到函数 y = cos ( 2x －π/4) 的图象，只需将函数 y = sin 2 x 的图象（ D ）
1
函数 y=Sinx
y=Sin x 的图象
倍，纵坐标不变
（2）向左( >0)或向右( <0)
平移| |个单位
（3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍
y=Sin( x+ ) 的图象
y=ASin(x+ )的图象
.把正弦曲线向左平移 个单位长度，然后 7
A. 向左平移π/4个单位
C. 向左平移π/ 8个单位
B. 向右平移π /ห้องสมุดไป่ตู้4 个单位
D. 向右平移π/ 8个单位
把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上 几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸 展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪 形的曲线。
这条曲线就是正弦曲线！
思考：
怎样求三角函数曲线的解析式？
例、某简谐运动图象如图.试根据图象 回答下列问题 : (1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是 多少;
(3)设这个简谐振动的函数表达式为
y A sin( x ), x [0, )
2 5 那么,A=2;由于 0.8得 ； 2 由图象知初相为0,于是所求函数表达式是
5 y 2 si n x , x [0, ). 2
方法：
（1）求A 最大值f1、最小值f2，A=(f1-f2)/2; （2）求ω先周期T 相邻两个最高点与最低点的横坐标间 的距离即为T/2，由周期公式求出ω （3）求φ 代值，代特殊点的坐标