微元法及定积分的几何应用教案
定积分的应用元素法教案
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x 因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A( x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V bπ[ f (x)]2 dx a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA (
x x2)dx
0
1 3
在第一象限所围
y
y2 x y x2
O
x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形 的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
A
d
A4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
d
y
O
yx4 x
(2, 2)
18
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
0
0
几个常见极坐曲线
a
ra
0 2
x2 y2 a2
r a sin 0
x2 (y a)2 a2 24
定积分的计算和应用教案
定积分的计算和应用教案一、引言定积分是微积分的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在本教案中，我们将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
二、定积分的计算方法1. Riemann和定积分Riemann和定积分是定积分最基础的计算方法之一。
它通过将区间分成若干小区间，并在每个小区间上取样点来逼近曲线下的面积。
2. 积分基本公式积分基本公式是定积分的重要工具，它包括线性性质、分部积分、换元积分等。
通过运用这些公式，我们可以简化计算过程，提高效率。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是指定积分可以表示曲线下的面积。
我们可以通过划分区间，近似求解曲线与x轴之间的面积，从而得到定积分的几何意义。
4. 定积分的数值计算定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现，其中包括梯形法则、辛普森法则等。
这些方法可以在计算机上进行快速计算，提高计算精度和效率。
三、定积分在实际问题中的应用1. 曲线长度的计算定积分可以用来计算曲线的长度。
通过将曲线分割成小线段，计算每个小线段的长度并求和，即可得到曲线的总长度。
2. 平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积。
通过将图形分成若干小区域，计算每个小区域的面积并求和，即可得到图形的总面积。
3. 物体的质量和质心定积分可以用来计算物体的质量和质心。
通过将物体分成若干小部分，计算每个小部分的质量和质心的位置，并求和，即可得到物体的总质量和质心的位置。
4. 动力学问题定积分在动力学问题中有广泛的应用。
例如，通过计算物体在某段时间内受到的力的积分，可以求解物体的位移、速度、加速度等动力学参数。
四、案例分析以汽车行驶过程中的路程计算为例，通过定积分来计算车辆在不同时间段内的行驶路程。
通过将时间段分割成若干小时间段，计算每个小时间段内的速度，并将速度与时间段长度相乘求和，即可得到总行驶路程。
五、总结本教案介绍了定积分的计算方法和应用，包括Riemann和定积分、积分基本公式、定积分的几何意义和数值计算方法等。
最新微元法及定积分的几何应用教案
教案教学目的与要求：1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想教学内容与教学组织设计（45分钟）：第6.5节：定积分的几何应用1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟定积分的概念⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑.教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()baU f x dx =⎰.这个方法叫做微元法。
微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。
3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解）如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书）(1) 选变量：选x 为积分变量(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()baA f x dx =⎰练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
微元法及其应用说课教案
微元法及其应用课程名称：适应对象：一、教学目标1.1 知识目标①理解微元法的思想、方法；②掌握微元法适应性条件；③掌握微元法在几何和电工学中的应用；④了解微元法思想的形成与发展。
1.2 能力目标①培养学生从具体几何、电工问题中抽象、提炼出数学问题并建立积分模型的能力；②培养学生探究发现的基本能力。
1.3 情感目标①增强学生的应用意识和探究精神；②体验数学与专业学习的密切联系，激发学生的数学学习热情。
二、内容定位2.1 学习任务分析学生已有的相关知识：定积分的概念和性质，Newton-Leibniz公式及定积分的简单计算，定积分的几何意义及求简单平面图形的面积，积累了初步用定积分解决问题的经验。
存在的问题：虽然已初步掌握了定积分的基本思想，但对其理解不深刻，所以，要理解建立在定积分思想基础上的微元法思想会有一定的难度；同时，学生数学应用能力不强，知识迁移能力较弱，所以，如何根据不同问题的特点确定所求“总量”的微元，是学生学习的另一个难点。
课型：建立在学生已经学完定积分基本理论基础上的一次实践课。
2.2 教学重点与难点重点：①理解微元法的思想、方法和应用步骤；②掌握微元法在几何和电工方面的简单应用。
难点：①微元法思想的理解；②合理选择积分变量，求出“总量”的微元。
三、教学进程安排3.1 教学基本流程3.2 教学过程设计1. 教学环节1：情境设疑(幻灯)曲线弧长、旋转体体积、水压力、变力做功和平均功率等问题的图片。
(教师)本次课的任务为定积分的应用。
(幻灯)设疑1，如何描述应用定积分理论解决实际问题的基本过程？(教师)让学生对定积分应用有一个整体认识，形成整体概念。
(幻灯)设疑2，上述过程中最核心的步骤是哪一步？(教师)强调利用积分思想建立实际问题的积分模型的重要性。
(幻灯)设疑3，试通过回顾用定积分定义求曲边梯形面积、变速直线运动物体路程，总结定积分的基本思想和方法？注意：结合曲边梯形面积求解的几何演示（幻灯）。
5.6定积分的几何应用
x
9
例13. 求由y = x2及x = y2所围图形绕y轴旋转一周所 生成立体的体积。
y y2 = x (1,1)
y = x2
O
x
10
A f ( x ) dx
a b
dA f 2 ( x) f1 ( x) dx
曲边梯形的面积
A f 2 ( x ) f 1 ( x ) dx
a
5
b
例1. 计算两条抛物线y = x2，y2 = x所围图形的面积。 解：由 得交点 (0 , 0) , (1 , 1) y
1 y2 = x
A Ai f ( i )x i
n
n
（4）取极限
A lim f ( i )x i
0 i 1
i 1
n i 1
记作
a f ( x )dx
2
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在实际应用时，A f ( x )x dA
称dA为面积元素。
然后把dA在[a, b]上作定积分，
y
dA
y f ( x)
第五章
第六节 定积分的几何应用
一、微元法基本思想 二、平面图形的面积
三、体积
1
一、微元法基本思想
1. 回顾曲边梯形的面积问题
具体步骤 “四步曲”
y
y f ( x)
o a
b x
（1）分割 把原曲边梯形分成 n个窄曲边梯形, 第i个窄曲边梯形面积记为Ai ; （2）代替 Ai f ( i )x i i [ x i 1 , x i ] （3）求和
(1,1)
取y为积分变量, 变化范围为[0,1] 得面积元素
y+dy y
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
定积分的简单应用参考教案
定积分的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
教学重点：几种曲边梯形面积的求法。
教学难点：定积分求体积以及在物理中应用。
教学过程： 一、问题情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 二、数学应用（一）利用定积分求平面图形的面积 例1、求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
答案： 2332320=-=⎰ππo x xdx S |cos sin ＝ 变式引申：1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。
答案：33233323132231=-+=--⎰|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3和N （3，0 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 62+-=x y ，则所求图形的面积为49346234342233232＝＝dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+-+---⎰⎰3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为121.试求：切点A 的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200x x （为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有121220200220200-+=⎰⎰x x dx x S x x x ( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x ba S S dx x f =⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０ π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
微元法及定积分的几何应用教案
教案教学目的与要求：1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想教学内容与教学组织设计（45分钟）： 第6.5节：定积分的几何应用1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟 定积分的概念 ⎰ba dx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑.教学安排课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书 授课题目（章、节）第6.5节：定积分的几何应用通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤:(1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b a U f x dx =⎰.这个方法叫做微元法。
微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。
3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟 类型一：D1型区域（教师主导并详细讲解）如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形面积A.讲解：（板书）(1) 选变量：选x 为积分变量(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1(3) 列积分：()ba A f x dx =⎰练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。
3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。
2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。
4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。
2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。
3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。
2. 第二课时：微积分基本定理的证明。
3. 第三课时：微积分基本定理的应用。
4. 第四课时：定积分的综合练习。
六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。
2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。
3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。
2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。
2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。
数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：1.简单图形：型和型平面图形 .2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.例1求由曲线围成的平面图形的面积.例2求由抛物线与直线所围平面图形的面积.（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .例3求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为 . )例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代方程不变,图形关于轴对称 ; 以代, 方程不变,图形关于轴对称 . 参阅P242 图10-6因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
定积分的几何应用教案
4.3.1 定积分在几何上的应用教材：《高等数学》第一册第四版，四川大学数学学院高等数学教研室，2009第四章第三节 定积分的应用教学目的：1. 理解掌握定积分的微元法；2. 会用微元法计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积。
教学重点：定积分的微元法。
教学难点：计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。
教学时数：3学时教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。
部分例题：(1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。
由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线2f x =和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。
分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。
所以该曲边梯形的面积为2233222112173333x f x dx ===-=⎰ (2)求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a<b) 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()ba V f x d x π=⎰。
(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c 、y=d(c<d)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()dc V g yd y π=⎰。
(III)由连续曲线y=f(x)( ()0f x ≥)与直线x=a 、x=b(0a ≤ <b)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()ba V xf x d x π=⎰。
例如：求椭圆22221x y a b+=所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
分析：椭圆绕x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆2()y x a x a =-≤≤，与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆22221x y a b +=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2222232214()33a a y a a a a b v dx dx ab a x x ab a ππππ---===-=⎰⎰椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆)x b y b =-≤≤，与y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的，因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2222232214()33b b y b b b b a v dy dy b a b y y a b b ππππ---===-=⎰⎰(3)求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程(){()()x t t y t ϕαβφ=≤≤= 给出其中''(),()t t ϕφ在[,]αβ上连续，则该曲线弧的长度为()s x βα=⎰。
微元法的应用学案
微元法的应用一、学习目标：1．知识与技能：①知道微元法是分析、解决物理问题的常用方法之一；②了解微元法在高中物理教材中的应用实例；③掌握微元法解题的一般思维程序；④运用微元法解决有关连续变化的问题；2．过程与方法：①通过应用微元法解题，体验微元法的特点和应用技巧，能把这种方法和动能定理等其他处理变力问题的方法加以比较；②通过了解教材中一些应用微元法的实例，感悟这种贯穿于整个高中物理知识体系的思维方法的重要地位；3．情感态度价值观：①经历微元法解决非匀变速运动速度和位移的关系，体会化变为恒、化曲为直、使复杂问题简单化的科学思维方法；②体验成功的快乐和方法的意义，增强科学能力的价值观。
二、微元法解题的思维程序三、微元法在高中物理学中的应用（一）微元法在力学中的应用例1：如图1所示，一个质量为m的钢性圆环套在一根固定的足够长的水平直杆上，环的半径略大于杆的半径。
环与杆之间的动摩擦因数为μ。
t=0时刻给环一个向右的初速度v0，同时对环施加一个方向始终竖直向上的力F，已知力F的大小为F=kv，(k为大于0的常数且已知，v为环的运动速度)，且有kv0＞mg，t=t1时刻环开始沿杆做匀速直线运动。
试求：在0～t1时间内，环沿杆运动的距离。
图1例2： 如图2所示，一个由绝缘细线构成的刚性轨道水平放置，轨道OCD 部分光滑，是以B 为中心，l 为半径的半圆，AB ＝2l ，直轨道DE 部分是粗糙的且足够长。
轨道上A 处有电荷量为Q 1的正点电荷，B 处有电荷量为Q 2的负点电荷（|Q 2| ＞Q 1）。
一个质量为m 电荷量为＋q 的小环套在轨道上，环与轨道间的动摩擦因数为μ。
已知点电荷产生电场时，若以无穷远为零势面，其电势可表示为φ=kQ /r ，Q 为场源电荷，r 为与电荷的距离。
（1）若小环初始位置在O 处，受到轻微扰动后沿半圆轨道加速运动，求小环运动至D 处的速度大小v 0。
（2）若小环到达D 点后沿直轨道DE 运动。
第十讲 微元法思想与定积分应用
y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
dx的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作
dU ，即dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b ，
即为所求量U ．
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y f (x)
y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
定积分的应用之微元法沐风教学
R 1 (R2 x2 ) tandx tan
R (R2 x2 )dx
R 2
0
y
x2 y2 R2
x
tan (R2 x x2 ) R 2 R3 tan .
3 3 0 优讲课堂
15
2、 旋转体体积 设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 y f (x) 和 直 线 x a, x b(a b)，及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成（如下图），我们来求它的体积 V .
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 a,b 上无限累加， 即在 a,b上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用
的微元法.
定积分应用的微元法：
(一) 在区间 a,b 上任取一个微小区间 x, x dx ，然后写出
在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF f (x)dx (称为 F 的微元);
2a sin t dt , 2
由于在[0,2π]上，sin t 0 ，故这一拱摆线长为 2
s
2π 0
2a
sin
t 2
dt
4a
cos
t 2
2π
8a.
0
优讲课堂
23
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
优讲课堂
A(x) bx
16
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
微元累积思想,定积分在几何上的应用(面积篇)
A
4
|
3
2x
x2
|dx
1
3 (3 2x x2 )dx 4 ( x2 2x 3)dx 31.
1
3
3
例3 求由曲线 y2 2x 与 y x 4 所围成平面图形的面积.
解 先求两曲线的交点
y2 2x
(2,2)，(8,4).
y x4
y x4
取 y为积分变量， y [2, 4]，
2)确定所求量 U 的微元 dU : 在积分区间 [a,b] 上任取一个代表区间 [x, x dx]，
求出与该区间对应的： U的微元 dU f ( x)dx ;
3)以 dU为被积表达式，在[a, b]上作定积分，得
b
U =a f ( x)dx .
能用定积分计算的量U需符合下列条件： (1) U是与某变量（如 x)的变化区间[a, b]有关的量；
a
利用对称性 , 得 A 4 y d x 0
利用椭圆的参数方程
y b
o xxdxa x
x y
a cos t bsin t
(0 t 2 )
应用定积分换元法得
a
b(2t
sin
2t
)
2
0
ab
4ab 2 sin2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
例5 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
A 1 （2 )d .
2
类似地，由射线 、 及
曲线 1( )、 2( )，
其中 ，1( ) 2( )， 1()
所围平面图形的面积为：
A 1 2
[
2 2
(
)
12
(
)]
《高职应用数学》教案 第27课 定积分的应用
第27课定积分的应用匀量”等方法．微元法是一种实用性很强的数学方法和变量分析方法，在工程实践、经济管理和科学技术中有着广泛的应用．【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求平面图形的面积的方法设平面图形是由区间[]a b ，上的连续曲线()y f x =，()y g x =(()())g x f x 及直线x a x b ==，围成的，如图5-15所示．取x 为积分变量，在变化区间[]a b ，上任取一小区间[d ]x x x +，，其所对应的面积微元为d [()()]d S f x g x x =-．由微元法可知，该平面图形的面积为[()()]d baS f x g x x =-⎰．若平面图形是由区间[]c d ，上的连续曲线()()(()())x y x y y y ϕψψϕ==，及直线y c y d ==，围成的，如图5-16所示，那么该平面图形的面积为[()()]d dc S y y y ϕψ=-⎰．图5-15 图5-16计算由两条抛物线22y x y x ==，所围成图形的面积．解 （1）先解方程组22y x y x ⎧=⎨=⎩，，确定图形所在的范围，得交点坐标为(00)，及(11)，，如图5-17所示．取x 为积分变量，从而图形在直线01x x ==，之间，即积分区间为[01]，．（2）在区间[01]，上任取一小区间[d ]x x x +，，对应的窄条面积近似于以2x x -为高，d x 为底的小矩形的面积，从而例1图5-17得面积微元2d ()d S x x x =-． （3）所求面积为13123200211()d 333S x x x x x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰．（例2、例3详见教材）【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求空间立体的体积的方法1）旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而成的立体，这条直线称为旋转体的轴．球体、圆柱体、圆台、圆锥、椭球体等都是旋转体．类型1 若一旋转体是由连续曲线()y f x =、直线x a x b ==，及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的，如图5-21所示，求它的体积．取横坐标x 为积分变量，积分区间为[]a b ，，用过点x ([]x a b ∈，)且垂直于x 轴的平面截旋转体，得到截面半径为|()|f x 的圆盘，其面积为2()π[()]S x f x =，于是体积微元为2d π[()]d V f x x =．从而所求体积为2π()d bx a V f x x =⎰．类型2 若旋转体是由连续曲线()x y ϕ=、直线y c y d ==，及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的，如图5-22所示．同理可求得其体积，即2π()d dy c V y y ϕ=⎰．图5-21 图5-22求由21010y x y x x =+===，，，所围平面例4图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解 如图5-23所示，所求旋转体的体积为1122420π(1)d π(21)d V x x x x x=+=++⎰⎰1530228ππ5315x x x ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦．（例5详见教材）2）平行截面面积为已知的立体体积设一立体位于平面x a =与()x b a b =<之间，如图5-25所示，用任意一个垂直于x 轴的平面截此物体所得的截面面积()S x 是[]a b ，上的连续函数，在[]a b ，上取一小区间[d ]x x x +，，其相应薄片体积的近似值是底面积为()S x 、高为d x 的柱体体积．于是该立体的体积微元为d ()d V S x x =．将其在[]a b ，上积分，即得该立体的体积为()d ba V S x x =⎰．在实际应用时，()S x 通常情况下需要通过求解得到． 为了修建水库，需要拦河修筑土坝，若某段河床的横向坡度（坡面的垂直高度和水平距离的比）为1∶100，土坝的顶宽为4 m ，横断面为等腰梯形，边坡为1∶2，一端的坝高为10 m ，求修筑100 m 长的土坝所需的土方量． 解 建立直角坐标系（见图5-26），则过(010)C ，和(10011)D ，两点的直线方程为 110100y x =+， 从而垂直于x 轴的横截面面积为21()[4(422)]422S x y y y y =++⨯⨯=+211410210100100x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2111240500025x x =++． 例6图5-25所需的土方量为1002111240d 500025V x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰100323011124026267(m )1500050x x x ⎡⎤=++≈⎢⎥⎣⎦．图5-26【教师】借助直观的几何图形，讲解利用定积分求平面曲线的弧长的方法现在来计算曲线()y f x =上x 从a 到b 的一段弧的长度，如图5-27所示． 取横坐标x 为积分变量，其变化区间为[]a b ，．若函数()y f x =具有一阶连续导数，则曲线()y f x =上任意一小区间[d ]x x x +，上一段弧的长度微元可用该曲线在点(())x f x ，处切线上相应的长度近似代替，而切线上这一小段的长度为222d (d )(d )1d s x y y x '=+=+，从而曲线的弧长为21[()]d b as f x x '=+⎰．若曲线的方程为参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，，其中αtβ，取参数t 为积分变量，其变化区间为[]αβ，，则任意一小区间[d ]t t t +，上一段弧的长度近似为2222d (d )(d )[()][()]d s x y t t t ϕψ''=+=+．于是，所求曲线长为22[()][()]d βαs t t t ϕψ''=+⎰．计算曲线3223y x =上x 从0到2的一段弧长．例7图5-27解 因为y x '=，所以所求曲线长为 322222221d 1d (1)2333s x x x x x =+=+=+=-⎰⎰．【学生】理解定积分的微元法，了解定积分在几何上的应用第二节课讲授新课（20 min ）【教师】借助实际案例，讲解定积分在物理上的应用1．变力做功如果一个物体在恒力F 的作用下，沿力F 的方向移动距离s ，则力F 对物体所做的功是W Fs =．如果一个物体在变力()F x 的作用下做直线运动，不妨设其沿Ox 轴运动，那么当物体由Ox 轴上的点a 移动到点b 时，变力()F x 对物体所做的功是多少呢？我们仍然采用微元法，所求功W 对区间[]a b ，具有可加性．设变力()F x 是连续变化的，分割区间[]a b ，，任取一个小区间[d ]x x x +，，由()F x 的连续性可知，物体在d x 这一小段路径上移动时，()F x 的变化很小，于是可以得到功的微元d ()d W F x x =．将微元从a 到b 积分，得到整个区间上力所做的功为()d ba W F x x =⎰．如图5-28所示，某空气压缩机的活塞面积为S ，在等温压缩过程中，活塞由1x 处压缩到2x 处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功．解 建立数轴Ox ，一定量的气体在等温条件下，压强p 与体积V 的乘积为常数k ，即pV k =． 由题意可知，体积V 是活塞面积S 与任意一点位置x 的乘积，即V Sx =，因此k k p V Sx ==．于是气体作用于活塞上的力为k k F pS S Sx x===． 学习定积分在物理和经济上的应用。
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教案
教学目的与要求：
1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；
2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；
3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念
重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想
教学内容与教学组织设计（45分钟）：
第6.5节：定积分的几何应用
1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟
定积分的概念
⎰
b
a
dx x f )(0
1
lim ()n
i i i f x λξ→==∆∑. 教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源
多媒体、板书
授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用
2 介绍微元法 …………………………………..5分钟
通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；
(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：
()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )
则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；
(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b
a
U f x dx =⎰
.
这个方法叫做微元法。
微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。
3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟
类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解）
如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴 所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书）
(1) 选变量：选x 为积分变量
(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()b
a
A f x dx =
⎰
练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）
如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且
()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
利用微元法可得：
(1) 选变量：选x 为积分变量
(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，
则 [()()]dA f x g x dx =- (3) 列积分：[()()]b
a
A f x g x dx =
-⎰
图2
归纳（D1型区域区域，根据微元法可得面积的计算式子）：
取x 为积分变量，积分区间为[,]a b ，被积函数为区域上方边界曲线函数减去下方边界曲线函数：()()f x g x -；
3 例题讲解 …………………………………………………10分钟
例1求由抛物线2
y x =与2
x y =所围成的面积. 解 题设曲线所围面积如图3所示,
由方程组
2
2
y x x y
⎧=⎨=⎩ 得二曲线的交点为(0,0),(1,1).
(1)选x 为积分变量，积分区间为[0,1]，上方边界曲线函数是y x =，下方边界曲线函数
是2
y x = 图3
故所求面积1
20()A x x dx =-⎰32
1
3023
3x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦1.3=
思考题：利用微元法，例题1是否有其他的解法？
4本节内容小结 …………………………………………………3分钟
（1）、微元法的基本思想；
（2）微元法的3个步骤；
（3）对D1型区域，如何计算区域面积。
作业：
1、预习并思考：如何对D2型区域求面积？如何用微元法求旋转体体积？
2、P206 EX-1,2
课后反思。