三角函数与三角变形

三角函数与三角变形

一. 本周教学内容：

专题复习“三角函数与三角变形”

二. 重点与难点：

1. 三角函数的图象与性质；

2. 同角三角函数的差不多关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和积互化公式等三角公式的应用。

三. 要点综述：

1. 三角函数是一类重要的初等函数，因其在复数（如复数的三角形式）解析几何（如直线的倾斜角，参数方程，极坐标），立体几何（如两条异面直线成角，直线与平面的成角，二面角）中有着广泛的应用，因此对三角函数与三角变形要有足够的认识。

2. 三角函数的周期性，以及y=sinx ，y=cosx 的有界性是试题经常考查的重要内容。要把握形如y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的函数的周期的求法；灵活应用y=sinx ，y=cosx 的有界性研究某些类型的三角函数的最值（或值域）问题。

3. 三角恒等式的证明因其技巧性较强，一度成为数学的难点，近些年的高考试题对这类题目的考查在减少，要求有所降低，但我们应该充分重视三角变形，因为其中表达了对三角公式的运用能力，专门表达了事物之间互相联系，互相转化的辩证思想。

4. 基于上述几点理由，建议同学们在复习这部分内容时，做到“立足课本，落实三基；重视基础，抓好常规”即复习时以中低档题目为主，注意求值化简题以及求取值范畴的习题，另外，注意充分利用单位圆，三角函数图象研究问题。

【典型例题分析与解答】

例1. 已知，且，则的值为

sin cos cos sin θθπθπ

θθ⋅=

<<-1842

分析：联想与的关系式：cos sin sin cos (cos sin )sin cos θθθθθθθθ±±=±2

12

可知，欲求的值，不妨先求的值，另外，应注意到，当

cos sin (cos sin )θθθθ--2π

θπ

θθθθ4

2

0<<

>-<时，，故sin cos cos sin

解：(cos sin )sin cos θθθθ-=-=-⨯=2

12121834

而

π

θπ

42

<<

∴-

∴-=-

=-cos sin θθ3432

即的值为cos sin θθ--3

2

例2.已知函数（为常数，且）y x a x a a =+-

1

2

求函数的最小值。

分析：若将sinx 换元，则函数转化为二次函数，从而可把三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题，但要注意到：转化后所得二次函数的定义域。 解：[]

设，由于，故，sin x t x R t =∈∈-11 原函数化为y t at =+-212

[]

=+--∈-()t a a t 24121122，，

[]当，，即时，的最小值为；-∈--≤<--a a y a 211204122

[]当，，注意到，可知，-∉-

a 2110

当，即时，取最小值-><-+a a y a 21212

综上，得，当时，；-≤<=--2041

2

2a y a min

当时，a y a <-=+21

2

min

［注］在求解三角函数的最值时，注意三角函数的有界性。

例3. 函数的最小正周期是。y x x =-+sin(

)cos π

3

22

分析：一样地，要求三角函数的最小正周期，往往要用到如下结论： 形如的最小正周期。为此，需先把给定的函数解析y A x T =+=

sin()||

ωϕπ

ω2式通过三角公式，变形为上述结论中的函数形式，因此： y x x =-+sin()cos π

3

22

=-⋅+sin

cos cos

sin cos π

π

32322x x x

=++-⋅()cos ()sin 32121

2

2x x =

++232sin()x ϕ

其中角满足：，显然ϕϕωtg =--=232 ∴=

=最小正周期T 22π

π||

或按如下方法化简解析式： y x x =-+sin()cos π

3

22

=-+-sin(

)sin(

)π

π

3222x x

=-⋅2512212

sin()cos()ππ

x

=⋅-+

212

2512

cos

sin()π

πx 显然ω=-2

∴=

-=最小正周期T 22π

π||

［注］一样地，假如给定的函数解析式不是形如y=Asin(ωx+ϕ)的形式，在求其最小正周期时，往往先将解析式变形为y=Asin(ωx+ϕ)的形式。

例

4.

为使方程在内有解，则的取值范围是（）cos sin ,2002x x a a -+=⎛⎝ ⎤

⎦

⎥π

A a

B a ..-≤≤-<≤1111

C a

D a ..-≤<≤-105

4

分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t ，则原方

(]程化为，且，，于是问题转化为：若关于的一元二次方程

t +t -a -1=0t 012∈t (]t t a a 21001+--=在区间，上有解，求的取值范围，解法如下：

设由已知条件f t t t a ()=+--2

1

有f f a a a ()()001010

10

11<≥⎧⎨

⎩⇒--<-≥⎧⎨⎩⇒-<≤

∴-<≤a a B 的取值范围为，故选（）11

1

t

分析二：由方程，得，，cos sin cos sin 2

2

002x x a a x x x -+==-+∈⎛⎝

⎤

⎦

⎥π

于是问题转化为：求函数在，上的值域，a x x =-+⎛

⎝

⎤

⎦

⎥cos sin 2

02π

解法如下：

a x x x x x =-+=+-=+-cos sin sin sin (sin )2

2

2

112

54

x ∈⎛⎝

⎤

⎦

⎥02，

π

(]∴∈sin x 01，，从而

当时，无限逼近；sin x a =-01