三角函数与三角变形

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三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解

2 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”. 题型归纳及思路提示
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别思路提示
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角；（1）任意角负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义已知角终边上的任一点 P(x, y) （非原点 O ），则 P 到原点 O 的距离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ，如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略（5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角

三角函数及变形公式

三角函数及变形公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。

三角函数的性质与变形公式

三角函数的性质与变形公式三角函数是数学中的一门重要内容，它被广泛应用于物理学、工程学等领域。

三角函数的性质和变形公式是掌握三角函数的重要基础。

在本文中，我将详细介绍三角函数的性质和变形公式。

一、三角函数的性质1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为 $2\pi$，即$sin(x+2k\pi) = sin(x)$，$cos(x+2k\pi) = cos(x)$，其中 $k$ 为任意整数。

2. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，即 $sin(-x) = -sin(x)$，$tan(-x) = -tan(x)$；余弦函数是偶函数，即 $cos(-x) = cos(x)$。

3. 对称性正弦函数是以$y$ 轴为对称轴对称的，即$sin(\pi -x) = sin(x)$；余弦函数是以 $x$ 轴为对称轴对称的，即 $cos(\pi -x) = -cos(x)$。

4. 增减性正弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是增函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是减函数。

余弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是减函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是增函数。

二、三角函数的变形公式1. 正切函数的变形公式$$tan(x \pm \pi) = \pm tan(x)$$根据正切函数的周期性可以得到上述公式。

当 $x$ 落在$[\frac{\pi}{2},\pi]$ 区间内时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相同；当 $x$ 落在 $[\pi,\frac{3\pi}{2}]$ 区间时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相反。

$$tan(\frac{\pi}{2} \pm x) = -\frac{1}{tan(x)}$$当 $x$ 落在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 区间内时，上式成立。

2. 正弦函数和余弦函数的变形公式$$sin(x \pm \pi) = -sin(x),\quad cos(x \pm \pi) = -cos(x)$$由三角函数的周期性可以得到上述公式。

解三角形与三角函数最全知识总结

解三角形与三角函数最全知识总结三角形与三角函数是数学中非常重要的内容，广泛应用于几何学、物理学、工程学等多个领域。

以下是对三角形与三角函数的最全知识总结。

一、基本概念1.三角形：由三条边和三个内角组成的图形。

根据边的长度和角的大小关系，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等等。

2.内角和：三角形的三个内角的和为180度，或者π弧度。

3.值得注意的几何关系：三角形的内角对应的边对边长相等，相等的两个角对应的边对边长也相等。

4.三角形的面积：可以通过底边和高的乘积的一半来计算，也可以通过三边的长度来计算。

二、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。

即sin(A) = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。

即cos(A) = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值。

即tan(A) = 对边/邻边。

4.三角恒等式：包括平方恒等式、和差恒等式、倍角恒等式等等，可以通过这些恒等式将一个三角函数的式子转化为另外一个三角函数的式子。

5.周期性：三角函数是周期函数，即在每个周期内的函数值是相同的。

三、三角函数的图像与性质1.正弦函数图像：正弦函数的图像是一个连续、周期为2π的曲线，以原点为对称中心。

2.余弦函数图像：余弦函数的图像也是一个连续、周期为2π的曲线，但它的图像是以横坐标π/2为对称轴。

3.正切函数图像：正切函数的图像是一个连续、以π为周期的曲线，有无穷多个渐近线。

四、三角函数的应用1.解三角形：通过已知的边长和角度，可以利用三角函数解出未知的边长和角度。

2.测高度：利用三角形的性质，可以通过测量两个视角和距离，计算出高度的长度。

3.平衡力问题：在物理学中，利用三角函数可以计算出干涉力、斜面上的力等问题。

三角函数与三角恒等变换例题与习题

三角函数与三角恒等变换专题复习高考动态 (3)复习建议 (3)专题一：任意角及其三角函数 (4)考点一：终边相同的角的集合 (4)考点二：弧长及面积公式 (6)考点三：任意角的三角函数的定义 (8)考点四：三角函数值的符号及其取值范围 (9)考点五：同角三角函数的基本关系 (11)考点六：诱导公式及其应用 (13)专题二：三角函数的图象与性质 (14)考点一：三角函数的定义域、值域 (14)考点二：三角函数的单调性、周期性 (17)考点三：三角函数的奇偶性、对称性 (20)考点四：三角函数的最值 (22)考点五：三角函数的图象和性质的综合 (24)附1：高考真题回放与示例 (27)附2：高考经典题组训练 (28)专题三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质 (29)考点一：y＝A sin(ωx＋φ)的图象及平移伸缩变换 (30)考点二：求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式 (32)考点三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 (35)考点四：三角函数模型的应用 (38)考点五：三角函数的综合 (40)附1：高考真题回放与示例 (42)附2：高考经典题组训练 (44)专题四：和差角和二倍角的三角函数 (46)概述： (46)公式汇总 (46)考点一：给角求值 (48)考点二：给值求值 (52)考点三：给值求角 (55)考点四：型 (57)考点五：型 (59)熟悉考查内容与形式，从而有效地复习。

①小题，重在基础：三角函数小题考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．②大题，重在本质：有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法．③应用，融入三角形之中：这种考点既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能．主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换．专题一：任意角及其三角函数任意角的三角函数主要包括，任意角的概念、角度值和弧度制的转换、弧长面积公式、任意角的三角函数的概念、单位圆及其三角函数线、同角三角函数的关系、诱导公式。

三角函数诱导公式变形法则

三角函数诱导公式变形法则三角函数诱导公式变换法是高等数学中一个常用的技巧，用于简化和变换三角函数的复杂表达式。

这种方法基于一些基本的三角函数公式，通过变换和化简的方式，将原始的三角函数表达式转化为更简洁和易于处理的形式。

在本文中，我们将详细介绍一些常用的三角函数诱导公式变换法则。

首先，我们来回顾一下基本的三角函数公式：1.正弦差公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)2.余弦差公式：cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)3.正弦和公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)4.余弦和公式：cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)接下来，我们将介绍一些常用的三角函数诱导公式变换法则。

一、角和、差、倍角公式1.角和公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x)tan(y))2.角差公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x)tan(y))3.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))二、诱导其他三角函数公式1.余切和正切之间的关系：tan(x) = 1 / cot(x)2.正弦、余弦和的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 1cos^2(x) = 1 - sin^2(x)cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))3.正切、余切和的关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)tan(x) = 1 / cot(x)4.余弦和正弦之间的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)以上是一些常用的三角函数诱导公式变换法则，通过灵活运用这些公式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简洁的形式，从而更容易进行计算和处理。

三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。

注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。

)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

三角函数变换口诀

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；
1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值再判角取值范围；
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；
顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，
幂升一次角减半，升幂降次它为范，
三角函数反函数，实质就是求角度，
先求三角函数值，再判角取值范围，
利用直角三角形，形象直观好换名，
简单三角的方程，化为最简求解集，
高次降次不必像，和差于积互化好，
角度函数要统一，出现特角更是妙，
公式选择有依据，式子特征和角度，
类比联想成习惯，观察能力要培养，
若遇三角不等式，单位图像特殊值，
三角形中的问题，正弦余弦不可离，
角度之间有联系，转化互补与互余。
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；
中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，

三角函数与三角形的关系与运用

正切函数的应用
工程和城市规划
应用正切函数解决建筑物倾斜度
等问题
电子技术和通信
正切函数在信号处理中的实际应
用
三角形角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 和边长比例
利用正切函数求解实际三角形问
题
正切函数的变换
平移
改变正切函数的水平位置
伸缩
调整正切函数的振幅和周期
反转
对正切函数图像进行上下反转
旋转关系
正切函数与三角形旋转的数学联系
02 增减性和最值
余弦函数在0到π上是递减的，在π到2π上是递增的
03 与三角形内角的关系
余弦函数与三角形内角的关系密切，可以用来求解三角形的内角大小
余弦函数的应用
测量和建模中的应用
余弦函数可以用来测量角度和模拟周期性现象
求解不定形三角形中的边长和角度
通过余弦定理可以求解不定形三角形内部的边长和角度关系
三角函数的基本定义
正弦
定义为对边比斜边
正切
定义为对边比邻边
周期性
周期性为2π
余弦
定义为邻边比斜边
三角形的特性与性质
锐角三角形
三个内角都小于 90°
三角形的周长公式
周长等于三边之和
三角形的面积公式
面积等于底边乘以高再除以2
内角和定理
三角形的内角和为180°
三角函数与三角形的关系
正弦函数的综合应用
正弦函数在数学和实际生活中都有着广泛的应用，从测量角度到分析波动，正弦函数都发挥着重要作用。通过对正弦函数的理解和运用，我们可以更好地解决各种复杂的问题，探索事物背后的规律。
● 03
第三章余弦函数

三角函数与三角恒等变换判断三角形形状

三角函数与三角恒等变换判断三角形的形状一、选择题（共2小题，每小题5分，满分10分）1．（5分）已知tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）化简整理．解：∵tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角故应选A．考查两角和的正切公式以及三角函数的符号，训练运用公式熟练变形的能力．2．（5分）在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状．解答：解：由正弦定理可得=∵=∴=，求得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90°∴三角形为等腰或直角三角形．故选C点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决．二、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）4．（4分）在△ABC中，a4+b4+c4﹣a2b2﹣b2c2﹣a2c2=0，则△ABC是等边三角形．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：利用配方法对a4+b4+c4﹣a2b2﹣b2c2﹣a2c2=0，化简整理得∴（a2﹣b2）2+（a2﹣c2）2+（b2﹣c2）2=0，进而推断a2=b2，a2=c2，b2=c2，判断三角形三边相等．解答：解：∵a4+b4+c4﹣a2b2﹣b2c2﹣a2c2=0∴a4+b4+c4=a2b2﹣b2c2﹣a2c2∴2（a4+b4+c4）=2（a2b2﹣b2c2﹣a2c2）∴a4+b4﹣2a22b2+a4+c4﹣2a2c2+b4+c4﹣2b2c2=0∴（a2﹣b2）2+（a2﹣c2）2+（b2﹣c2）2=0∴a2=b2，a2=c2，b2=c2∴a=b=c故答案为等边三角形．点评：本题主要考查了解三角形问题．解题的关键是利用配方法对题设进行化简整理．5．（4分）在△ABC中，cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC是等边三角形．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由三角函数的有界性知正弦与余弦的取值范围都是[﹣1，1]而此三式的乘积等于1，只能是三式的值都为1，由此可解出结论．解答：解：由已知△ABC中，cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，cos（A﹣B）=cos（B﹣C）=cos（C﹣A）=1，∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0∴A=B=C故△ABC是等边三角形，应填等边三角形．点评：本题考查三角函数的定义，有界性，解决本题易犯错误是不加判断直接化简，则难矣．6．（4分）在△ABC中，tanAtanB＞1，则△ABC是锐角三角形．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．解答：解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故答案为：锐角三角形点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题．本题的关键是得到tanA和tanB 都大于0，进而得到A和B都为锐角．7．（4分）在△ABC中，sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC是直角三角形．考点：正弦定理．专题：转化思想．分析：利用正弦定理化角为边可得a2+b2=c2，从而判定三角形的形状．解答：解：∵sinA=，sinB=，sinC=，∴+=，即a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故答案为直角三角形．点评：本题考查了正弦定理的变形sinA=，sinB=，sinC=，比较简单，8．（4分）在△ABC中，已知，则△ABC的形状是钝角三角形．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：对题设两边平方，求得sin2A的值．根据sin2A小于零，求出A的范围得到答案．解答：解：∵（sinA+cosA）2=sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+sin2A=∴sin2A=﹣＜0∴π≤2A≤2π，即≤A≤π∴△ABC的形状是钝角三角形．故答案为：钝角三角形点评：本题主要考查了二倍角公式的运用．属基础题．9．（4分）在△ABC中，已知cosBcosC=，则△ABC的形状是等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用积化和差公式和两角和公式对原式进行化简整理求得cos（C﹣B）=0，进而判断出C=B，三角形形状可知．解答：解：∵cosBcosC=，∴2cosBcosC=1﹣cosA，∴cos（C﹣B）+cos（C+B）=1﹣cosA∴cos（C﹣B）﹣cosA=1﹣cosA∴cos（C﹣B）=1∴C﹣B=0∴C=B故三角形的形状为等腰三角形故答案为等腰三角形．点评：本题主要考查了三角形的形状判断．解题的关键化简原式得到cos（C﹣B）的值．10．（4分）在△ABC中，已知a cosA=b cosB，则△ABC的形状是△ABC为等腰或直角三角形．考点：正弦定理的应用；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．解答：解：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，所以△ABC为等腰或直角三角形故答案为△ABC为等腰或直角三角形．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属基础题．11．（4分）在△ABC中，已知sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2，则△ABC的形状是等腰直角三角形．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．分析：先通过合并同类项和辅角公式确定角A、B的值，从而确定三角形的形状．解答：解：∵sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinA（sinB+cosB）+cosA（sinB+cosB）=（sinB+cosB）（sinA+cosA）=sin（A+）sin（B+）=2sin（A+）sin（B+）=2∴sin（A+）sin（B+）=1∴sin（A+）=1，sin（B+）=1∴A+=B+=∴A=B=∴C=∴△ABC是等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形点评：本题主要考查通过确定角的值判断三角形的形状，属基础题．12．（4分）在△ABC中，已知，则△ABC的形状是等边三角形．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；转化思想．分析：根据正弦定理表示出a，b和c，分别代入已知的中，利用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等，得到三角形为等边三角形．解答：解：根据正弦定理得到：===2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入中得：==，即tanA=tanB=tanC，得到A=B=C，所以△ABC的形状是等边三角形．故答案为：等边三角形点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．13．（4分）在△ABC中，已知，则△ABC的形状是直角三角形．考点：三角函数恒等式的证明．分析：利用三角恒等变换公式将公式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确定△ABC 的形状．解答：证明：∵在△ABC中，∴sin（A+B）=∴2sin cos=∴2cos2﹣1=0∴cos（A+B）=0∴A+B=，即C=，∴△ABC是直角三角形．故应填直角三角形．点评：考查利用三角恒等变换的公式进行灵活变形的能力，用来训练答题者掌握相关公式的熟练程度及选择变形方向的能力．三、解答题（共5小题，满分0分）14．在△ABC中，分别根据下列条件，判断三角形的形状．（1）（B为锐角）；（2）sinA=2cosCsinB；（3）A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列（4）acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC；（5）；（6）（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B）．三角形的形状判断．考点：计算题；综合题．专题：分（1）先由对数的运算性质化简，可得，从而可求B，再利用正弦定理代入可求A，C析：（2）利用正弦、余弦定理化简可得（3））∵A、B、C成等差数列，∴A+C=2B，从而可得A+C=，B=，由a、b、c成等比数列可得b2=ac，结合已知及正弦定理可求（4）利用余弦定理可得由余弦定理可得=整理可得，从而可得a=b=c（5）先把已知整理可得，a 2+b 2﹣c 2=ab ，利用余弦定理可求C ，及A+B ，再由代入可求（6））由（a 2+b 2）sin （A ﹣B ）=（a 2﹣b 2）sin （A+B ）可得a 2[sin （A ﹣B ）﹣sin （A+B ）]+b 2[sin （A ﹣B ）+sin （A+B ）]=0整理可得sin2A=sin2B ，从而可得解答：解：（1）∵lga ﹣lgc=lgsinB=﹣lg ∴∴∵B 为锐角，∴，由正弦定理可得，，整理可得cosC=0∴∴△ABC 为等腰直角三角形（2）∵sinA=2cosCsinB由正弦定理及余弦定理可得，a=b ×化简可得，b=c所以△ABC 为等腰三角形（3）∵A 、B 、C 成等差数列，∴A+C=2B ，从而可得A+C=，B=∵a 、b 、c 成等比数列∴b 2=ac 由正弦定理可得∴∴sinA ，整理可得，则B=C=，∴三角形△ABC 为等边三角形（4）∵acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC 由余弦定理可得=整理可得∴整理可得∴a=b=c三角形△ABC 为等边三角形（5）由已知可得，a 3+b 3﹣c 3=ac 2+bc 2﹣c 3 ∴（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）=（a+b ）c 2 ∴a 2+b 2﹣c 2=ab 由余弦定理可得，∴，∵∴sinA ，整理可得，则B=C=，三角形△ABC 为等边三角形（6）（a 2+b 2）sin （A ﹣B ）=（a 2﹣b 2）sin （A+B ）可得a 2[sin （A ﹣B ）﹣sin （A+B ）]+b 2[sin （A ﹣B ）+sin （A+B ）]=0 a 2sinBcosA=b 2sinAcosB由正弦定理sin 2AsinBcosA=sin 2BsinAcosB整理可得sin2A=sin2B ，从而可得2A=2B 或2A+2B=π∴三角形△ABC 为等腰三角形或直角三角形点评：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理综合解三角形，判断三角形的形状，还考查了三角函数的公式，属于对基本知识的求解，但要体会在化简中的技巧．15．在△ABC 中，满足试判断△ABC 的形状．考点：三角函数中的恒等变换应用；弦切互化．专题：计算题．分析：先对上式进行降幂化简解出有一角为直角，将这个结论代入下式，进行恒等变形可求一角为45°，进而可得答案．解答：解：∵sin 2A+sin 2B+sin 2C=2∴=2﹣sin 2C ，∴﹣（cos2A+cos2B ）=cos 2C ， ∴﹣cos （A+B ）cos （A ﹣B ）=cos 2C ∵△ABC ，∴cos （A+B ）=﹣cosC ∴cos （A ﹣B ）=cosC=﹣cos （A+B ） ∴cos （A ﹣B ）=﹣cos （A+B ） ∴cos （A ﹣B ）+cos （A+B ）=0∴2cosAcosB=0∴cosA=0或者cosB=0，二者必有一为直角，不妨令A为直角则有cot2B+cot2C=2，∴=2∴+=2∴=4∵B+C=90°∴sin2B+sin2C=1∴4sin2Bsin2C=1∴（2sinBcosB）2=1∴sin2B=1∴2B=90°，B=C=45°故△ABC是等腰直角三角形点评：考查用三角恒等变换公式进行变形证明的能力，要求有较强的观察总结能力及高超的组织材料的能力．16．在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．解答：解：由已知得：，∴sinAsinB+sinBsin（C﹣B）=cosBcos（C﹣B），移项，逆用两角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，∵在△ABC中，cosC=﹣cos（A+B），∴sinAsinB=﹣cos（A+B），∴cosAcosB=0，γ∴cosA=0或cosB=0，∴△ABC是直角三角形．点评：和三角形有关的三角恒等变形，要求能用所有的公式特别是余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明17．在锐角△ABC中，已知，求证：A、B、C成等差数列．考点：余弦定理的应用；弦切互化．专题：证明题．分析：先根据正切函数的二倍角公式得到B与的关系，再由两角和与差的正切公式化简再将代入可得证．解答：解：∵tanC=2tanB，所以tanB=而tan====所以tan=tanB因为A，B，C 是锐角，所以B，是锐角，所以由tan=tanB得知B=，即A，B，C成等差数列．点评：本题主要考查正切函数的二倍角公式和两角和与差公式的应用．属基础题．18．在△ABC中，满足．（1）试判断△ABC的形状；（2）当a=10，c=10时，求的值．考点：三角形的形状判断；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）根据题设，可推断当a=b和a≠b两种情况．当a=b可推断△ABC为等腰三角形；当a≠b时通过正弦定理及题设，求得cot的值，进而求出A+B进而推断△ABC的形状．（2）根据a=c排除△ABC为直角三角形的情况，根据（1）可知a=b，进而推断△ABC为等边三角形，进而求出∠A和的值．解答：解：（1）∵当a=b时，△ABC为等腰三角形当a≠b时，根据正弦定理===tan∴cot=1，即=，A+B=∴△ABC为以C为直角的直角三角形．∴△ABC为直角三角形或等腰三角形（2）a=c=10，排除△ABC为直角三角形，则△ABC为等腰三角形，即a=b，又a=c=10，所以a=c=b∠A=60°故=tan30°=点评：本题主要考查和差化积和同角三角函数的基本关系的应用．属基础题．。

三角函数变换公式

三角函数变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscα cscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)ta n(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：s in3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2)tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：s inα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。

高三一轮复习-三角函数、三角恒等变换、解三角形讲义(带答案)

个性化辅导授课教案【重点知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】考点一三角函数式的化简与给角求值【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α2）2＋2cos α＝________．(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝______．【答案】(1)cos α (2) 6 【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________．【解析】(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝14＋14＝12.【答案】(1)C (2)12考点二三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.【规律方法】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【变式探究】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.【解析】(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.考点三三角变换的简单应用【例3】 (2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.【规律方法】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【变式探究】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .【随堂练习】考点一已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求22cos 3sin 122sin()4AA A π--+ 的值．【解析】 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15.∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴22cos 3sin 122sin()4AA A π--+＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A＝3134314⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝13. 【方法技巧】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．【变式探究】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．考点二已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【方法技巧】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤：①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的．【变式探究】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．三、三角函数的图像与性质【考情解读】1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．【重点知识梳理】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]无对称中心 (k π，0)⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无【高频考点突破】考点一三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为____________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3【答案】(1){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z } (2)A【规律方法】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【变式探究】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【解析】(1)法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .【答案】(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 考点二三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π4(2)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【答案】(1)A (2)A 【规律方法】(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．【变式探究】 (1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 (2)若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3【答案】(1)A (2)C 考点三三角函数的单调性【例3】 (1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]【答案】(1)⎣⎡⎦⎤0，π4 (2)A 【规律方法】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．【变式探究】 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32C ．2D ．3 (2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．【答案】(1)B (2)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )四、函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像【考情解读】1. 了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【重点知识梳理】1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.X－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象．2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．【高频考点突破】考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(3)法一把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．法二将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【变式探究】设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【解析】(1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表： 2x －π3－π30 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图．考点二利用三角函数图象求其解析式【例2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．【解析】(1)由三角函数图象得T 2＝11π12－7π12＝π3，即T ＝2π3，所以ω＝2πT＝3.又x ＝7π12是函数单调增区间中的一个零点，所以3×7π12＋φ＝3π2＋2k π，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以f (0)＝223·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝23.【答案】(1)C (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 【规律方法】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32 B ．－62C. 3 D ．－ 3 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为______．(2)由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0＜φ＜π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.【答案】(1)D (2)1考点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 【规律方法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【变式探究】已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．五、解三角形（正弦定理和余弦定理）【考情解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；【重点知识梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c22bc cos__A；b2＝c2＋a22ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin_C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .【高频考点突破】考点一利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】(1)由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ，所以sin A ＝BC ·sin BAC ＝3×225＝31010.【答案】 (1)C (2) 3【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．【变式探究】在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝c . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围．考点二三角形形状的判断例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2，故选B.【答案】B 【提分秘籍】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【变式探究】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．考点三三角形的面积问题例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【解析】(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a ＝ 21.又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.【方法技巧】三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．考点四解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【解析】(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，2分即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.4分则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.6分【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．【随堂练习】考点三正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.【方法技巧】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【变式探究】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【解析】(1)由3a ＝2c sin A ，根据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3. (2)由已知条件⎩⎨⎧ 12ab sin C ＝332a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6a 2＋b 2－7＝ab ， (a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝3ab ＋7＝25，∴a ＋b ＝5.。

三角函数公式变形及其应用

三角函数公式变形及其应用邓星月数学学院数学与应用数学2010级1班学号 20100513104摘要三角函数具有公式多,变形多,应用广的特点,本文将对三角函数诱导公式,和差化积,积化和差,倍角公式,半角公式,万能公式及其应用做简单的整理及梳理,其中包括自制口诀,希望能够加强记忆.关键词: 三角函数诱导公式倍角公式万能公式正文一,三角函数的定义1,定义域:正忌纵,余忌横,但要除开正余弦. 2,符号法则(函数值变化情况)正弦函数在一二象限为正,三四象限为负; 余弦函数在一四象限为正,二三象限为负; 正切函数在一三象限为正,二四象限为负. 3,正弦线,余弦线,正切线.当角在第一象限:①tanx﹥sinx②sinx﹤tanx4,sinx ﹥cosx: x∈[2k+,2k]例1:已知x∈(0,)且sinx+cosx=1/2求:⑴sinx²cosx⑵sinx-cosx⑶tanx解:由sinx+cosx=1/2 ①得1+2sinxcosx=1/4Sinxcosx=-3/8﹤0X∈(/2)Sinx-cosx﹥0又∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+3/4=7/4 Sinx-cosx=√7/2 ②由①②得:sinx=(1+√7)/4,cosx=(1-√7)/4 ∴tanx=sinx/cosx=(1+√7)/(1-√7)例2:y=asinx+bcosx=√(a2+b2)((a/√(a2+b2))siax+(b/√(a2+b2))cosx=√(a2+b2)²sin(x+)二,诱导公式.1,口诀:负角函数正角算 {sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx;tan(-x)=-tanx} 终边相同函数等:sin(2k+x)=sinx纵轴要变横不变:把x看成锐角,看原函数符号函数符号看象限:sin((3/2)k+x)=-cosx例3:f(x)= sin（x-）cos2-x三、α、α/2、α/3、2α之间的关系1、α→α/2（2k，2k+）例4、θ为二象限角，且cosθ/2-sinθ/2=√（1-sinθ），求θ/2所在象限。

第四章三角函数与三角形4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式

1 解析：由已知得 tanα＝， 2 1 sinα－3cosα tanα－3 2－3 5 ∴(1) ＝＝＝－； 3 sinα＋cosα tanα＋1 1 ＋1 2 sin2α＋sinαcosα (2)sin2α＋sinαcosα＝ sin2α＋cos2α
1 2 1 tan2α＋tanα 2 ＋2 3 ＝＝＝ . 2 5 12 tan α＋1 2 ＋1
2sinα 2cosα ＝ · |cosα| |sinα|
4 ＝－4
α在第一、三象限时， α在第二、四象限时.
点评：注意变形的技巧，对于
1＋sinα .我们可以 1－sinα
分子、分母同乘以 1＋sinα，也可以分子、分母同乘以 1－sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以 1＋sinα.
重点难点重点：①掌握同角三角函数的关系公式． π ②掌握－α，π±α，2π－α， ± 的诱导公式． α 2 难点：诱导公式的规律性及综合运用．

知识归纳 1．同角三角函数的基本关系

2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容
(2)诱导公式的规律 kπ 诱导公式概括为：“ ± α，(k∈Z)的正弦、余弦 2 值，当 k 为偶数时，得角 α 的同名三角函数值；当 k 为奇数时，得角 α 相应的余函数值．然后放上把角 α 看成锐角时原函数所在象限的符号．可概括为“奇变偶不变，符号看象限．”
α α sin2＋cos2 ＝－sinα－cosα 2 2 ∴原式＝±
α 为第二象限角 2 α 为第四象限角 2
α π 2sin2＋4.
答案：±
α π 2sin2＋4

三角函数代数公式及变形总结

三角函数代数公式及变形总结三角函数的代数公式及变形是数学中一个重要的部分，它们在解决各种数学问题中都有广泛的应用。

以下是一些常见的三角函数公式及变形：1. 三角函数的基本关系：勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$三角形的面积公式：$S = \frac{1}{2}ab\sin C$2. 三角函数的和差公式：$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$3. 三角函数的和差化积公式：$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$4. 三角函数的倍角公式：$\sin 2A = 2\sin A \cos A$$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$$\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$5. 三角函数的半角公式：$\sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$$\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$$\tan\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}$6. 三角函数的辅助角公式：$\sin x = \sqrt{\frac{2\sin x\cos x}{\sin^2 x + \cos^2 x}} =\sqrt{\frac{2\tan x}{\tan^2 x + 1}}$$\cos x = \sqrt{\frac{2\cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x}} =\sqrt{\frac{2}{\tan^2 x + 1}}$$\tan x = \sqrt{\frac{\tan^2 x - 1}{\tan^2 x + 1}}$7. 其他有用的公式：Pythagorean identity: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$Arithmetic-geometric mean inequality: $\sin A + \cos A > 1$$\sin A < a < \cos A$ 当 $0 < A < \frac{\pi}{4}$ 或 $\frac{3\pi}{4} < A < \pi$$\tan A > a > 0$ 当 $A > 0$ 且 $A \neq \frac{\pi}{2}$以上是一些常见的三角函数公式及变形，它们在解决各种数学问题中都有广泛的应用。

三角函数与三角变换三角函数的像与性质及其变换

三角函数与三角变换三角函数的像与性质及其变换三角函数与三角变换的像与性质及其变换三角函数是数学中重要的概念，与三角变换有着密切的关联。

在本文中，我们将讨论三角函数的像与性质以及与三角变换的关系。

一、正弦函数的像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，表示一个角的正弦值与其对边与斜边的比值。

正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，其特点如下：1. 值域：正弦函数的值域为[-1, 1]，即它的取值范围在-1到1之间。

2. 正负性：当角度处于180度的整数倍时，正弦函数的值为0；当角度为90度的整数倍时，正弦函数的值为1或-1。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。

4. 对称性：正弦函数是以原点为中心的对称函数，即f(-x) = -f(x)。

二、余弦函数的像与性质余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，表示一个角的余弦值与其邻边与斜边的比值。

余弦函数的图像也是一个周期为2π的曲线，其性质如下：1. 值域：余弦函数的值域也为[-1, 1]，即它的取值范围在-1到1之间。

2. 正负性：当角度为0度或360度时，余弦函数的值为1；当角度为180度时，余弦函数的值为-1。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(-x)。

4. 对称性：余弦函数也是以y轴为中心的对称函数，即f(-x) = f(x)。

三、正切函数的像与性质正切函数是三角函数中另一个重要的函数，表示一个角的正切值与其对边与邻边的比值。

正切函数的图像是一个以间隔为π的直线序列，其性质如下：1. 无定义点：当角度为90度或270度时，正切函数无定义，即不存在正切值。

2. 周期性：正切函数是一个周期为π的函数，即f(x + π) = f(x)。

3. 奇偶性：正切函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。

4. 正负性：当角度为0度或180度时，正切函数的值为0；当角度为0度到90度之间时，正切函数的值为正数；当角度为90度到180度之间时，正切函数的值为负数。

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinBsinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinBcosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanBtanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB倍角公式tan2A=2tanA/1-tanA^2cos2a=cosa^2-sina^2=2cosa^2 -1=1-2sina^2sin2A=2sinAcosA半角公式sin^2α/2=1-cosα/2cos^2α/2=1+cosα/2tan^2α/2=1-cosα/1+cosα万能公式sina= 2tana/2/1+tan^2a/2cosa= 1-tan^2a/2/1+tan^2a/2tana= 2tana/2/1-tan^2a/2一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中,表达式往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解;常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等;例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ⎛⎫⎛⎫=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 的最小值等于． A 3- B 2-C 1-D 解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故()f x 的最小值为1-．故选C ．评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-,2()()ααβαβ=++-,2()αβααβ-=+-,22αβαββ+-=-,3πππ()442βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,ππ44αβαβ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察,往往会发现角之间的关系．例2、已知 βαβαα,,1411)cos(,71cos -=+=均是锐角,求βcos ; 解：。