2.一阶导数 1

n n 1
n(n 1) (n k 1) n k k a b k!
bn
称为牛顿二项式展开式
例
求
2x 2 u e , v x ,则 解:设 u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2 x , v 2 ,
2 x
ax
a a x
a a a 1
yx x
x
xx
y x (ln x 1) x ( x x (ln x 1)ln x x x1 )
x xx
2 2 f [( x 2 x 1 )] arctan 例 设 , 求 f ( 2) x 25
3
例
设y x(sin x )cos x , 求 y.
一元函数的导数及其应用
1、导数的定义 2、导数与连续的关系 3、导数的几何意义 4、基本函数的导数公式 5、求导方法 6、微分定义 、公式及其微分的应用 7、中值定理、洛必达法则、泰勒公式 8、函数的单调性与极值、曲线的凹向与拐点 9、最大值与最小值 10、曲率 11、证明题
导数的定义
, 当自 定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内有定义 变量 x在 x0处取得增量x ( 点x0 x 仍在该邻域内 ) 时, 相 应地函数 y取得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与x 之比当x 0时的极限存在 , 则称函数y f ( x )在点 x0处 可导, 并称这个极限为函数y f ( x )在点 x0处的导数, 记 为
2 x y
2 x y e cos( xy ) e 1 所确定，求曲 例 设f(x) 由方程 线f(x)在点（0，1）处的法线方程。 x 2 y 2 0
dy 设y y ( x)是由x y 1 e 所确定的隐函数，则 __ dx （ 12年数2第9题，分） 4

④ (coskx)( n )
2 n k cos(kx n ) 2
)
⑤ [( x 1) ]( n) ( 1)( n 1)( x 1) n
1 x )]( n ) ( 1)n1 ⑥ [ln( ( n 1)! (1 x )n
1 ( n) n! n ⑦ ( ) ( 1) xa ( x a ) n1
3. 反函数的求导法则
(C u ) C u (C为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
4. 复合函数求导法则
dy 1 设 y f ( x) 为 x ( y ) 的反函数 , 则 dx dx dy
dy dy d u f (u ) ( x) 设 y f (u ) , u ( x) 则 dx d u dx
例 设方程
xy 2 e y cos(x y 2 )确定 y y( x )
并满足
y ( 0) 0
求
y(0)
1
y 2 y y ( x ) e 6 xy x 1 0 确定， 例 已知函数 由方程
求：y'' (0)
2
x f (t ) 例 设 y tf (t ) f (t )
2 y
曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点（0,1）处的切线方程是 __ （08年数1第10题， 4分）
常用高阶导数公式
①
② (a )
x ( n)
a ln a (a 0)
x n
(e x ) ( n ) e x
( n) n kx n ③ (sinkx) k sin (
dy cos x cos x 1 x(sin x) ( sin x ln sin x ) dx x sin x
2
例设
1 x 3 cos , x 0 ( x) x x0 0,
且f(x) 可导，令
F ( x) f [ ( x)]
，求 F ( x)
2.右导数:
f ( x0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) lim ; x 0 x x0 x
函数 f ( x )在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和 右导数 f ( x 0 )都存在且相等.
例设
1 x 3 cos , x 0 ( x) x x0 0,
且f(x) 可导，令
F ( x) f [ ( x)]
，求 F ( x)
1 1 F ( x) 百度文库f ( ( x))(3x cos x sin ) x x
2
dy x arctan t 例 设 y y ( x) 由 2 y ty2 et 5 所确定，求 dx
即
d y A x
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是
在点
处可导, 且
即
d y f ( x0 )x
例
求下列函数的导数
2 10
y ( x 1)
y 20 x( x2 1)9 .
2 2x
y tan( 3x a )
2x 2 2 2x y (6x 2a ln a) sec (3x a )
d2y 1 f (t ) 不为0，求 2 dx f (t )
x 2t t 2 例 设函数 y f ( x) 由参数方程 y (t ) ,(t 1)
2 d y 所确定，其中 有二阶导数，求 dx2 d 2 y (t 1) (t ) (t ) 2 dx 4(t 1)3
5.初等函数在定义区间内可导, 导数仍为初等函数
f ( x) (e 1)(e 2)
x 2x
(e n), 则f (0) ___
nx '
(12年数一第2题）
记注：y 是 x 的函数
6. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
7. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 8. 参数方程求导法
y
(n)
3 1 1 n ( 1) n![ ]. n 1 n 1 2 ( x 1) ( x 1)
n(n 1) 2! n(n 1) (n k 1) k!
称为莱布尼兹公式.
n
n(n 1) n 2 2 (a b) a na b a b 2!
1. 常数和基本初等函数的导数
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x (a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a 1
1 ( x ) x (cos x) sin x (cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x ( e x ) e x
dy ( y 2 et )(1 t 2 ) ( y 2 et )sec 2 x dx 2 2ty 2 2ty
例 求曲线y = lnx上与直线 x y 1垂直的切线方程 y x 1
cos( xy ) e 1 所确定，求曲 例 设f(x) 由方程 e 线f(x)在点（0，1）处的法线方程。 x 2 y 2 0
导数的几何意义
1 cos x , x0 其中g(x) 是有界函数， x 例 设 f ( x) x 2 g ( x) x 0
则 f (x)在 x = 0 处 （A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导.
【 D 】
例 已知函数 f (x) 在(0,+∞)内可导，f (x)0，
x x y e tan(e )
y x[cos(ln x) sin(ln x)]
y 2 cos(ln x)
y sin (2 sin 2 x )
2 2 2
2 2 2 y 8 x sin( 4 sin 2 x ) sin( 4 x )
y
2 x 2 a x 2 y a x arcsin 2 2 a
转化
极坐标方程求导
参数方程求高阶导数时,从低到高每次都要用参数方程求导 公式
9. 高阶导数 10. 乘积的高阶导数（莱布尼兹公式）
定义：若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f ( x) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
x f (t ) 例 设 y tf (t ) f (t )
d2y 1 f (t ) 不为0，求 2 dx f (t )
t xe , 设函数y y ( x)由参数方程 所 t 2 y ln(1 u )du 0 2 d y 确定，求 2 t 0 ___ .(10年第9题） dx
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
(arccos x)
1
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (u v) uv u v
1 x2 1
y a 2 x 2
1 x x2 1
a 1 xa
ye
sin x 2
arctan x 1
2
2 2
xa aa
y (2 x cos x arctan x 1
y a a x
ax
)e
sin x 2
y (ln a) a a a ln a x
1 f ( x hx) x e lim f ( x) 1 ，且满足 lim f ( x) h0 x 求 f (x). 1 h
(13年数I第9题)设函数f ( x)由方程y x e x (1 y )确定， 1 则 lim n( f ( ) 1) _____ n n
y
即
x x0
dy 或 f ( x0 ) 或 dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
,
y f ( x0 x ) f ( x0 ) y x x0 lim lim x 0 x x 0 x
单侧导数
1.左导数:
f ( x0 )
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) lim ; lim x 0 x x0 0 x x x0
例 设y 4 x 1 , 求 y ( n ) . 2 x 1
2
解 y
4x 1 4x 4 3 3 1 1 4 ( ) 2 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1
2 2
1 (n) ( 1) n n! 1 (n) ( 1) n n! ( ) , ( ) , n 1 n 1 x 1 ( x 1) x 1 ( x 1)
v ( k ) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 ,得
y
( 20)
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
20 2 x 2 19 2 x
n(n 1) 2! n(n 1) (n k 1) k!
2
1 1 F ( x) f ( ( x))(3x cos x sin ) x x
2 2 f [( x 2 x 1 )] arctan 例 设 , 求 f ( 2) x 25
3
例
设y x(sin x )
cos x
, 求 y .
2 dy 1 cos x cos x x(sin x) ( sin x ln sin x ) dx x sin x