平行轴及垂直轴定理

平行轴定理转动惯量与转动轴的位置有关。

绕着一个固定轴转动的物体的动能是2z I 21K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来： int 2cm K Mv 21K +=一个刚体上的两个平行轴。

Z 轴是固定的，质心轴绕着z 轴运动。

相对于任意一个轴物体都处于运动状态。

考虑绕不经过质心的固定轴（假设是z 轴）的转动。

质心绕着这个固定轴转动，设它与轴之间的距离为d ：因此 ωd v cm =222cm Md 21Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。

也就是说，绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

绕通过质心的固定轴转动的动能为：2cm int I 21K ω=所以 222cm Md 21I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得：2cm z Md I I +=，这就是平行轴定理。

例：木棒细木棒绕着它长度的中点转动，转动惯量为：2cm ML 121I = ——那么，当木棒绕着它的一端转动时，它的转动惯量是多少？3ML I )2L (M 12ML I 2Ld 222=+== 垂直轴定理一个薄平板，它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。

表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。

考虑一个薄板，它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。

设与之相对应的转动惯量分别为z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上，从z 轴到参考点P 的垂直距离为22y x R +=∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ∫=dV y I 2x ρ∫=dV x I 2y ρ所以 ，这便是垂直轴定理。

y x z I I I +=例：1） 圆盘•处于xy 平面上的一个圆盘，其转动惯量为2z MR 21I = 由对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：x z 2I I =4MR 2I I I 2z y x === 2） 正方形平板•正方形的变长为a通过对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：2z x Ma 61I 2I == 例：当圆柱体转动时，绳子开始释放，物体m 向下落。

一根轻绳绕在质量为M ，半径为R 的实心圆柱体上，一个质量为m 的物体系在绳子的一端，然后从距离地面高度为h 的地方由静止释放。

假定整个过程中所有摩擦都不存在，那么，求当物体m 刚刚落地时，圆柱体的运动速率和角速度。

解答：在初始状态，系统没有动能，但是具有重力势能。

到最终状态两个物体M 和m 都具有动能，而这时候物体m 的势能消失。

mgh 0U K E 111+=+=0I 21mv 21U K E 22222++=+=ω 根据几何关系，ωR v =且实心圆柱的转动惯量为 2MR 21I = 根据机械能守恒定律：21E E =2222v 2M m (21)R v )(MR 21(21mv 21mgh +=+= )2m /M 1/(2gh v +=一个物体的角动量•对于一个物体，如果有外力作用时，它的鲜动量并不守恒：dtP d = （牛顿第二定律） •对于某些特殊种类的力作用在物体上的情况，物体的角动量是守恒的。

这些力被称作中心力。

^r f F =一个质量为m 动量为P 的物体的角动量是一个矢量，它的方向垂直于r 与P 所确定的平面，而且其大小取决于参考系的选择。

考虑一个质量为m 的物体，其位置矢量为r ，运动速度为。

物体相对于原点O 的瞬时角动量被定义为它的瞬时位置矢量与瞬时线动量的叉乘： φrpsin =×=在国际单位制中，角动量的单位是千克米/秒 2•首先运动矢量的叉乘；•角动量L 的大小和方向依赖于坐标系的选择；•角动量L 的方向垂直于位置矢量r 与动量矢量P 所确定的平面，并且满足右手定则的判定； •如果位置矢量与动量的方向平行时，角动量0≡。

从几何上来看：≡⊥r 原点和动量所在直线之间的垂直距离；≡⊥p 动量在位置矢量方向上的分量；×=⊥⊥==rP P r L z1） 沿直线运动的物体原点与运动方向之间的垂直距离为θrsin•假设作用在物体上的外力为零，所以它的运动速度为常数；•角动量的方向是恒定的；•角动量的大小是恒定的rPsin θ= 如果和处于平面上，那么角动量的方向是沿着z 轴方向的。

xy 如果一个物体从原点到某点的位置矢量看上去在绕着这个点转动的话，那么物体绕着原点的角动量不等于零。

如果物体的位置矢量只有大小在增加或者减少，而方向保持不变的话，那么物体是在沿着通过原点的直线运动，因此该物体绕着原点的角动量等于零。

“对于角动量来说，坐标系的选择是很重要的。

在计算角动量之前，必须要先定义原点的位置。

”2） 匀速圆周运动中的物体作匀速圆周运动的物体。

它的角动量方向垂直于运动所在平面。

•在绳的末端系着一个球；•地球和其他行星绕太阳的运动；•选择圆周的中心作为坐标系的原点。

P r L ×=，其中P 不等于常数。

I )mr (mrv rP 2ωω====由于r 与P 总是保持垂直的，因此角动量的大小是不变的。

它的方向是垂直于圆周运动的平面的，而且保持不变——也就是说，角动量的大小和方向都是恒定的。

在这个例子中有外力作用在物体上，rmv F r mv a 2c 2t ==与 作用力的方向是向着圆周运动的中心（原点）处。

如果我们选择了其他的坐标系的话，那么角动量将不再保持为一个常数。

圆锥摆的角动量•假定圆锥摆以角速度ω作圆周运动；a) 选择点A 作为原点：rP L A =×=R 为圆周运动的半径，ωmr mv P ==mr L 2A ω= 角动量A L 的大小和方向都保持不变。

b) 选择位于圆锥顶部的B 点作为原点：|||r ||r ||L |B =×=ωMrL MvL |L |B ==L |'|=是绳子的长度；:L B 角动量的大小不是恒定的，它依赖于点B 的位置；同样，它的方向也不是恒定的。

•对于固定的点B ，角动量的大小是恒定的。

•每转过一圈，角动量的方向矢量都将扫过一个圆周；•角动量在z 轴方向上的分量是守恒的。

•角动量的水平分量以角速度ω作圆周运动；•这些都是动力学结论！！角动量与力“当作用在物体上的力是中心力的时候，物体的角动量守恒。

中心力即力的方向指向或者背离圆周的中心点处。

”•一个球拴在一根绳子上；•太阳作用在行星上的万有引力。

如果某个物理量是守恒的，那么应该怎么样去证明这个结论呢？将该物理量对时间求微分。

如果时间微分为零，那么这个物理量便不随时间发生改变，即它是守恒量。

dt d r )v m (v dtd r P dt d )P r (dt d dt d ×+×=×+×=×=所以 dtd ×= 如果0dt d =，即可以得到 0F r ≡× •力F 的方向一定与位置矢量r 的方向平行；也就是说，力F 是指向或者背离原点方向的（注意：力是中心力！）如果力是中心力（自然界中的很多力都是中心力），那么0dtd = 或者是 常数= 这就是角动量守恒定律。

如果力F 不是中心力，那么角动量就不是守恒的。

dtd ×= 物理量×叫做力矩：=×所以 ℑ=dtd 在刚体动力学中，力矩和角动量都必须是相对于相同的惯性坐标系的原点所求得的。

物体角动量的变化率等于作用在它上面的力矩。

角动量L 与中心力×=dtP d = （牛顿第二定律）t mrv =如果力F 是中心力，那么将随时间改变，而不随时间变化。

c v t v 所以角动量对于中心力是守恒的。

例：彗星轨道近日点：与太阳距离最小的点；远日点：与太阳距离最大的点。

在近日点和远日点处位置矢量r 与速度矢量是互相垂直的。

彗星绕太阳（中心）运动的角动量的大小是： 111v mr L = （近日点）222v m L = （远日点）×= （方向垂直纸面向外）如果作用力是中心力（引力是很好的中心力） 1212221121v r r v v mr v mr L L ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===哈雷彗星：近日点处：s /m 1046.5v ,m 1075.8r 41101×=×= 远日点处： m 105.26r 121×=因此远日点速度 24121021008.91046.51026.51075.8v ×=××××=米/秒 例：旋转平台圆盘状平台无摩擦地绕着一个垂直固定轴转动。

一个学生慢慢地从圆盘边缘向中心运动。

当学生在边缘处时，他的初角速度为ω。

圆盘的半径R=2.0米，圆盘质量为M=100千克，学生质量m=60千克，初角速度为2秒。

1−a)当学生距离圆盘中心0.5米时，他的角速度ω是多少？初始状态时的转动惯量是平台与处于平台边缘的学生的转动惯量之和：22i mR MR 21I += 当学生处于r<R 的位置时，转动惯量变为 22f mr MR 21I +=没有外力矩作用在绕着固定轴旋转的系统上（平台+学生），因此由于角动量是守恒的，所以角速度必须不断地增加。

f i L L =f f i i I I ωω=f 22i 22)mr MR 21()mR MR 21(ωω+=+ i 2222f )mR MR 21()mR MR 21(ωω++= 1.4)215200240200(f =++=ω弧度/秒 b)求系统的初动能与末动能8802)440(21I 21K 22i i i ===ω焦 18001.4)215(21I 21K 22f f f ===ω焦 动能增加了！当学生向圆盘中心走动时，他将对圆盘做功——因此系统的动能增加了。

系统的内力做了功。

学生在旋转中，因此他所处的不是一个惯性参考系。

同时他将感觉到一个随r变化的向外的“离心力”的作用。

因此为了平衡自身他将产生一个中心力并且做功——从而生成能量。