专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式

基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．

三个不等式关系：

（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2

，当且仅当a ＝b 时取等号．

上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．

其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋

，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则

1

12

-+b a 的最小值为 .

练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ．

2.若实数,x y 满足1

33(0)2xy x x +=<<

，则313

x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=

，则

2ac c c b ab +-+

的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y

x ＋y 的最大值为 ．

【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________.

变式：1.若,a b R +∈,且满足22

a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.

2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______

3.设R y x ∈,，142

2

=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________

4.已知正数a ，b

满足

19

5a b

+=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22

x y x y

+-

【题型二】含条件的最值求法

【典例4】已知正数y x ,满足1=+y x ，则1

1

24++

+y x 的最小值为

练习1．已知正数y x ,满足111=+y

x ，则1914-+

-y y

x x 的最小值为 .

2.已知正数满足，则的最小值为 ．

3．已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则41

1a b

+-的最小值为 .

4．己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．

5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a

x ＋2b y ＝1

2.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.

6.已知正实数,a b 满足()()12

122a b b b a a

+=++，则ab 的最大值为 ．

,x y 22x y +=8x y

xy

+60ax by +-=2(3)50x b y +-+=

【题型三】代入消元法

【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14

ab =，,(0,1)a b ∈，则

1211a

b

+

--的

最小值为 ．

练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．

2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ．

3．已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．

4.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得2

1

4-+b a 取得最小值的实数a = 。

5.设实数x 、y 满足x 2

＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是_________

6.已知R z y x ∈,,，且1=++z y x ，32

2

2

=++z y x ，求xyz 的最大值为______

【题型四】换元法

【典例6】已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则1a －1

b 的最大值是 ．

2．已知正数a ，b ，c 满足b+c ≥a ，则+的最小值为 ．

练习1．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则的最大值为 ．

2．设是正实数,且,则的最小值是____.

3..若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y 5x 2

－2xy ＋2y

2的最大值为 ．2

4

4．若实数满足，当取得最大值时，的值为 .

22

2522x y

x xy y --+,x y 1x y +=22

21

x y x y +++

【题型五】判别式法

【典例7】已知正实数x ，y 满足24

310x y x y

+++=，则xy 的取值范围为 ．

练习1.若正实数满足，则的最大值为 ．

2.设R y x ∈,，1322=++xy y x ，则y x +2的最大值为________

变式1．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，

，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu r

≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数

m 的最大值是 ．

【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a 2）0)(

⎩

⎨⎧<∆<⇔a

分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：

1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔

确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

2．设二次函数()c bx ax x f ++=2

（c b a ,,为常数）的导函数为()x f

'

．对任意R x ∈，

不等式()()x f x f '

≥恒成立，则2

22

c

a b +的最大值为 ．