2.1.4随机过程的微分与积分

RX (t1, t2 )在 1 = t2 = t上 处 续, t 处 连 随 过 X (t)就 处 方 续 机 程 处 均 连 .
4
若随机过程X (t)均方连续, 则它的数学期望也必定连续,即
∆t →0
lim E[ X (t + ∆t)] = E[ X (t)] = E[l.i.m X (t + ∆t)]
2.1.4 随机过程的微分与积分
一、收敛 1、以概率1收敛（准处处收敛或a.e收敛,又称强收敛） 以概率1收敛（准处处收敛或a.e收敛,又称强收敛） a.e收敛
若随机变量序列 X n 满足 lim X n = X 的概率为 1, 则称
n→∞
序列 X n以概率 1收敛于 X , 记为 : lim P ( X n = X ) = 1
2 − 0.5 ( t 2 − t1 ) 2
− 0 .5 ( t 2 − t1 ) 2
= [1 − (t 2 − t1 ) ]e
∂RX (t1, t2 ) −0.5(t2 −t1 )2 RXY (t1, t2 ) = = −(t2 − t1)e ∂t2
13
三、随机过程的积分
设 随 过 X (t),当 区 [a, b]分 n个 区 ∆ti , 有 机 程 把 间 成 小 间 令 t = m ∆ti , 则 lim E[{Y − ∑X (ti )∆ti }2 ] = 0时 ∆ ax 当 ,
2
∆t →0 ∆t →0
lim E[ X 2 (t + ∆t) − X (t + ∆t) X (t) − X (t) X (t + ∆t) + X 2 (t)] =
lim [RX (t + ∆t, t + ∆t) − RX (t + ∆t, t) − RX (t, t + ∆t) + RX (t, t)]
∂RXY (t1, t2 ) ∂2RX (t1, t2 ) RY (t1, t2 ) = = ∂t1 ∂t1∂t2
12
例 : 设Y (t ) = X ' (t ), m X (t ) = 2 sin t , R X (t1 , t 2 ) = e
−0.5 ( t 2 − t1 ) 2
求Y (t )的均值 ,自相关函数及 X (t )与Y (t )的互相关函数 .
如果 自相关函数RX (t1, t2 )在t1 = t2上处处连续, 且存在二阶 偏 ∂2RX (t1, t2 ) 导数,即 , 则随机过程在均方意义下存在导数 . ∂t1∂t2 t =t
1 2
5
随机过程存在均方导数的充分条件 是：自相关函数在它的自变量相等 存在二阶偏导数， 时，存在二阶偏导数，即
k n→∞
k > 0, 那么该序列 k 阶收敛于 X .
2
4、分布收敛（d收敛或弱收敛） 分布收敛（ 收敛或弱收敛）
若 X n的概率分布函数在 x的每一连续点收敛于 X的概率分布函数 , 则称随机变量序列依分 布 收敛于随机变量 X , 记为 : lim Fn ( x ) = F ( x )
n→∞
∂2RX (t1, t2 ) ∂t1∂t2 t =t
1
P 习题2.3 90
2
X (t + ∆t1) − X (t) X (t + ∆t2 ) − X (t) 2 求证: lim E{[ − ] }= 0 ∆t1→0 ∆t1 ∆t2 ∆t →0
2
6
X (t + ∆t1) − X (t) X (t + ∆t2 ) − X (t) 2 Fra Baidu bibliotek证: lim E{[ − ] }= 0 ∆t1→0 ∆t1 ∆t2 ∆t →0
−∞
15
∞
随机过程均方积分的运算法则
1、随机过程均方积分的数学期望等于它的数学期望 的积分，即： 若 Y =
∫
b a
b
a
X (t ) dt , 则 mY =
n n→ ∞
∫
b
a
m X (t ) dt
证明 : mY = E [Y ] = E [ ∫ X (t ) dt ] = E [l .i.m ∑ X (t i ) ∆ t i ]
均方导数的运算和数学期望运算的次序可以交换
10
2、随机过程均方导数的自相关函数等于随机过程 自相关函数的二阶偏导数，即
dX (t) ∂2RX (t1, t2 ) 若Y(t) = X ' (t) = , 则: RY (t1, t2 ) = dt ∂t1∂t2
X (t1 + ∆t ) − X (t1 ) 证明 : RY (t1 , t 2 ) = E[Y (t1 )Y (t 2 )] = E[l.i.m ⋅ Y (t 2 )] ∆t → 0 ∆t
2 t2 = t 2 t 2 8= t
=0
2
随机过程存在均方导数的充分条件 是：自相关函数在它的自变量相等 存在二阶偏导数， 时，存在二阶偏导数，即
∂2RX (t1, t2 ) ∂t1∂t2 t =t
1
2
P 习题2.3 90
9
随机过程均方导数的运算法则
1、随机过程均方导数的数学期望等于它的数学期望 的导数， 的导数， 即：
n→∞ i=1 n
称 为 (t)在 间 a, b]上 均 积 , 记 : Y X 区 [ 的 方 分 为 Y = ∫ X (t)dt 或 : Y = l.i.m∑X (ti )∆ti 为
a n→∞ i=1 b n
14
lim E[{Y − ∑X (ti )∆ti }2 ] = 0
n→∞ i =1
n
Y = ∫ X (t)dt 或 : Y = l.i.m∑X (ti )∆ti 为
E[ X (t1 + ∆t )Y (t 2 ) − X (t1 )Y (t 2 )] R XY (t1 + ∆t , t 2 ) − RXY (t1 , t 2 ) = lim = lim ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t
∂ R XY ( t1 , t 2 ) = ∂ t1
∂RXY (t1, t2 ) RY (t1, t2 ) = ∂t1
分布收敛 不收敛 依概率１收敛 依概率１
依概率收敛
均方收敛
3
二、随机过程的微分
若 机 程 (t)满 lim E[ X (t + ∆t) − X (t) ] = 0 随 过 X 足
2 ∆t →0
则 (t)在 时 均 意 下 续 X t 刻 方 义 连
∆t →0
lim E[ X (t + ∆t) − X (t) ] = 0
n→∞
2、依概率收敛（P收敛或随机收敛） 依概率收敛（ 收敛或随机收敛）
如果对于任意给定的正数 ε > 0, 随机变量序列X n满足于 lim P( X n − X < ε ) = 1, 则称随机变量序列X n依概率收敛于X .
n →∞
1
3、均方收敛（m.s收敛或平均意义下收敛） 均方收敛（m.s收敛或平均意义下收敛 收敛或平均意义下收敛）
11
∂RXY (t1, t2 ) RY (t1, t2 ) = ∂t1
X (t 2 + ∆t ) − X (t 2 ) R XY (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 )Y (t 2 )] = E[ X (t1 ) l.i.m ] ∆t → 0 ∆t
E[ X (t1 ) X (t 2 + ∆t ) − X (t1 ) X (t 2 )] = lim ∆t →0 ∆t RX (t1 , t 2 + ∆t ) − RX (t1 , t 2 ) ∂RX (t1 , t 2 ) = lim = ∆t →0 ∆t ∂t 2
dm X (t ) mY (t ) = = 2 cos t dt ∂ 2 R X (t1 , t 2 ) ∂ − 0.5 ( t 2 − t1 ) 2 RY (t1 , t 2 ) = = [( t 2 − t1 ) e ] ∂t1∂t 2 ∂t 2 =e
− 0.5 ( t 2 − t1 ) 2
+ (t 2 − t1 )( − 1)(t 2 − t1 )e
如果对所有的 n, E[ X n ] < ∞, E[ X ] < ∞,
2 2
且 lim E[ X n − X ] = 0, 则称随机变量序列 X n
2 n→∞
均方收敛于 X .
均方收敛也可以表示为 : l.i.m X n = X ,
n →∞
式中 l.i.m表示均方意义下的极限 .
如果随机变量序列 X n 满足 lim E [ X n − X ] = 0,
∆t →0
X (t + ∆t) − X (t) 如果随机过程X ' (t)满足: lim E{[ − X ' (t)]2} = 0 ∆t →0 ∆t 则称随机过程X (t)在t时刻具有均方导数X ' (t), 表示为: dX (t) X (t + ∆t) − X (t) X ' (t) = = l.i.m ∆t →0 dt ∆t
−
2
2
∂
2
R X ( t1 , t 2 ) ∂ t1∂ t 2
− 2
t1 = t
2
∂
2
= t
R X ( t1 , t 2 ) ∂ t1∂ t 2
t1 = t
2
= t
2 RX Rt + ∆(t1t, t + ∆∆2 )t− , t 2 t )+ ∆t1 , t ) RX R , t +(∆t,2 ) − ) X (t , t ) + t 1 RX ( ∂ ( X ∂ (t X t t 2 R lim [ − ] ∆t1 →0 ∆t ∂ t 2∆t2 ∂ t ∆t 2 1 2 ∆t →0 t = t t =t
a n→∞ i=1
b
n
随 过 X (t)在 间 a, b]上 t的 分 机 程 区 [ 对 积 Y = ∫ X (t)dt 必 是 机 量 然 随 变 .
a b
当 分 限 变 ,即 (t) = ∫ X (τ )dτ 时 Y(t)为 机 程 积 上 为 量 Y , 随 过
0
t
Y(t) = X (t) ∗h(t) = ∫ X (τ )h(t −τ )dτ
对等式两端取极限
7
X (t + ∆t1) − X (t) X (t + ∆t2 ) − X (t) 2 lim E{[ − ] }= ∆t1→0 ∆t1 ∆t2 ∆t →0
2
0
∂ ( X ∂ ( t t t2 R 1 RX Rt + ∆(t1t, t + ∆∆ )t− RX (t ) ∆t1 , t ) RX Rt , X +( ∆t,1 ) − ) X (t , t ) t1 1 , t 2 + lim [ − ] ∆t1 →0 ∆t ∂ t 2 t1 ∂ t 2 t1 ∆ ∆ t2 = t t2 = t 1 ∆t →0
2
X (t + ∆t1 ) − X (t ) X (t + ∆t 2 ) − X (t ) 2 ] }= 证明 : E{[ − ∆t1 ∆t 2 1 E[X (2 (+ + ∆1t, t − 2 X1() − ∆tX )(X + ) +1Xt2)(− R X (t , t + ∆t1 ) + R X (t , t ) X t t ∆t 1 ) + ∆t t + R 1 t (t ∆t , t )] − 2 R ∆t1 2 E[X ((t+ ∆t1 ) t +t∆t∆) 2− − X (t + ∆tt1),X)(t ) − X ((tt,)tX (t∆t 2 )t 2 ) R X (2 (tt)] R X t + ∆ 1 , X ( + 2 t ) RX ∆ 1 t − R X + + ∆ + + X t, ) ∆t1∆t 2 1 RX ( 2 + ∆∆ − ∆t t + R 2 (X ( ) t , ) t R + E[ X t (t + t 2t,2t) + 2 X2() − ∆tX ) t +t∆+2Xt 2 (−)] X (t , t + ∆t 2 ) + RX (t , t ) 2 ∆t 2
dX (t ) dm X (t ) 若Y (t ) = X ' (t ) = , 则 : mY (t ) = dt dt
X (t + ∆ t ) − X (t ) ] 证明 : mY (t ) = E [Y (t )] = E [l .i.m ∆t → 0 ∆t m X (t + ∆ t ) − m X (t ) dm X (t ) = lim = ∆t → 0 ∆t dt
2
+
2
+
∂
2
R X ( t1 , t 2 ) ∂ t1∂ t 2
t1 = t
2
= t
1 RXRt + ∆t 2 , t+ ∆t 2 ) − RX (t + ∆t 2 , t ) RX Rt , t +(∆t,2 t − ) X (t , t ) ∂ ( X (t + ∆ t2 , t2 ) ∂ ( X t )2 R lim [ − ] ∆t1 →0 ∆t 2 ∂ t ∆t 2 ∂ t ∆t 2 ∆t →0