高等数学二重积分习题课

合集下载

高等数学(下)课件D10_习题课

高等数学(下)课件D10_习题课
1 2 2 x − x2 2− x
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解:根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念,会确定曲面在坐标 平面上的投影区域,会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较,一方面可 以加强理解,另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫

高等数学--二重积分的计算

高等数学--二重积分的计算

D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0

高等数学同济第六版上册课件10-2二重积分的计算

高等数学同济第六版上册课件10-2二重积分的计算

D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
(在积分中注意使用对称性)
1.
计算 I
D
sin y
y
d
,其中区域
D 为曲线 y
x 及直线
y=x 所围成。
x2 y2 2 y, x2 y2 4 y及直线 x 3y 0,
y 3x 0 所围成的平面闭区域.

y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为:a x b, 1( x) y 2( x).
[X-型]
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底,以曲面 z
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,

D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1

高等数学(第三版)课件:二重积分的计算

高等数学(第三版)课件:二重积分的计算
D
式:0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知,如先
对x积分,需用分部积分法. 如先对y积分则不必,
计算会简单些.因此,我们选择先对y积分,即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D

2
2
0
sin( xy 2 )

x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交,沿着y的正方向看,入口曲线为y=0,出口
曲线为y=x,D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时,平行于x轴的直线与区域D相交时,
2 沿x轴正方向看,入口曲线为
x,出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看,入口曲线为x=y,出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形,
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y

高等数学A10-2二重积分的计算(1)

高等数学A10-2二重积分的计算(1)
前赤壁赋
10-2 二重积分的计算
(宋)苏轼
寄蜉蝣于天地,
渺沧海之一粟.
哀吾生之须臾,
羡长江之无穷.
10-2 二重积分的计算
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考
10-2 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 在直角坐标系下用平行于 y
坐标轴的直线网来划分区域 D,
则面积元素为
d dxdy
o
D
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
10-2 二重积分的计算
(2) 如果积分区域 D如图所示,那么可用不等式表示为
a x b, 1( x) y 2( x). [X-型]
其中ri 为 ri与 ri ri 的平均值.由此当 ri , i 充分小 时,极坐标系下的面积元素 d rdrd.
10-2 二重积分的计算
其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系
x r cos

y

r
sin
最后, 两坐标系下积分区域 D 形状不变,因此有
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
D
o
10-2 二重积分的计算
D
D
以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算.
r 1( ) r 2( )
DD
r 1( )
r 2( ) D
r 2( )
D


o


Ao

Ao

A
r 1( ) 0

高等数学习题详解-第8章 二重积分

高等数学习题详解-第8章 二重积分

习题8-11. 设有一平面薄片,在xOy 平面上形成闭区域D ,它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y ),且μ(x ,y )在D 连续,试用二重积分表示该薄片的质量. 解:(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小:(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成;(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰,其中D 是以A (1,0),B (1,1),C (2,0)为顶点的三角形闭区域.解:(1)在D 内,()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+,故,23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内,212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+,故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1) ()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 为矩形闭区域:1,1x y ≤≤;(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域;(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域;(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0;(5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ;(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解:(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数,且D 关于x 轴对称,所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分(两种次序)其中积分区域D 分别如下:(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域;(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解:(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序:(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰; (2)2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰;(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰; (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解:(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解:11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6-z 截得的立体体积.解:3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域,把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是:(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0); (2) x 2+y 2≤2x ;(3) 1≤x 2+y 2≤4; (4) 0≤y ≤1-x ,0≤x ≤1. 解:(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1)22220()aa y dy x y dx -+⎰⎰;(2)21220;xxdx x y dx +⎰⎰解:(1)224422320()248aa y aa a dy x y dx d r dr πππθ-+==⋅=⎰⎰⎰⎰. (2) 22sin 3122244cos 600001sin 3cos x x dx x y dx d r dr d πθπθθθθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰ 532(21)1cos cos 4().3530πθθ--+=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分:(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1;(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;(3)arctanDyd σx⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域;(4)222DR x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解:(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)222DR x y d σ--3cos 2222222022cos 12()230R R d R r rdr R r d ππθππθθθ--=-=--⎰⎰⎰3333221(sin )33R R R d πππθθ-=--=⎰.4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.解:两条曲线的交线为x 2+y 2=1,因此,所围成的立体体积为:21222220[()]().6DV x y x y d d r r rdr ππσθ=++=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰,其中D :x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰,其中D :x 2+y 2≥1. 解:1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰,得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8(A )1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要),其中积分区域D 是:(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解:(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 2424004(,)(,).xyy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序: (1)d d 10(,)yyy f x y x ⎰⎰;(2)d d 2220(,)a ax x x f x y y -⎰⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰.解:(1) 211d (,)d d (,)d y x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰.(2) 222222200d (,)d d (,)d aax x aa a y a a y x f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分:(1) e d x y Dσ+⎰⎰, D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成;(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x3围成;(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰,D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰,D 由22y x π=与y =x 围成; (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰,D 是圆域x 2+y 2≤R 2;解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛,求其值.其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域.解:设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰.解:由第四节例2以及2y =e x -是偶函数,可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积.解:曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此,所围空间立体的体积为:222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ,1)的切线ey x 1=.(1) 求由曲线y =ln x ,直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积;(2) 求以平面图形D 为底,以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积.解:(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.(B )1. 交换积分次序:(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰; (2)0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰;(3) 224(,)x x f x y dy -⎰;(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解:(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 211121(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122x xxdx dy x y +⎰⎰.解:222sin sin 144cos cos 2220000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y r πθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 40sin ln 24(ln cos )cos 2d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解:111114cos 4cos cos 2222000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续,且1()f x dx A =⎰,求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰. 解:设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰,则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2-y 2=1所围成的闭区域.解:11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解:2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b x bn n a a adx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰,其中n 为大于1的正整数. 证:22()()d ()()b x b bn n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1bn b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。

高等数学课件D92二重积分的计算

高等数学课件D92二重积分的计算

电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中,电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元,对每个单元的电荷密度进 行积分,并利用二重积分对整个区域 进行积分,可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算,然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度,提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求,确定需要积分的平面区域,通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性,选择合适的积分次序, 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中,图像处理算法(如直方图均衡化、滤波算法)经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具,在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中,地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数,进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形, 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积,通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上,通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数,从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法,可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小,以便更好地控制计算精度 。

高等数学第十章《二重积分》复习 课件

高等数学第十章《二重积分》复习 课件

y x 2(y) d y
x 1(y)

d
dy
2(y) f (x, y)dx
c o
c
1( y)
x
例2. 计算 x yd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线 D
y x 2 所围成的闭区域.
解: 看成Y型区域,

D
:
1 y y2 x
2 y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 y2
D
x yd
dy 1
y2
xyd
该物体的质量为
b
a
Dz
f
(x,
y, z)d
xd
y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
面密度≈
f (x, y, z)d z
截面法的一般步骤:
(1) 把积分区域 向某轴(例如z 轴)投影,得
投影区间 [a, b] ;
(2) 对 z [a, b]用过z轴且平行 截 ,得截面 Dz;
11
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
y y 2(x)
axb
D : 1( x) y 2( x)
D x

f (x, y)dxdy
b
dx
2( x)
f
( x,
oa y y)dy
1(x)b
x
D
a
1( x)
若D为Y –型区域
c yd
D : 1( y) x 2( y)
xoy平面的平z面去

高教社(亢莹利)高等数学习题集(第三版)教学课件-二重积分的概念

高教社(亢莹利)高等数学习题集(第三版)教学课件-二重积分的概念

D
D
如果把积分区域 D 分成两个闭子域 D1 与 D2 ,即 D D1 D2 ,则
f (x , y)d f (x , y)d f (x , y)d .
D
D1
D2
如果在 D 上, f (x , y) 1, D 的面积为 ,则
f (x , y)d 1d .
D
D
课堂练习
§6.2.1二重积分的概念
1x2 1 y 0
(2) (x2 + y2 2)d ; x2 y2 1
(3) xd .
x1 y1
3. 利用二重积分的几何意义计算二重积分:
(1) d , D : x2 y2 1;
D
(2) R2 x2 y2 d , D : x2 y2 R2 .
D
课堂小结
§6.2.1二重积分的概念
i 1
如果当各小区域的直径中的最大值 趋于零时,此和式的极限存在,且极限值与区域 D 的
分法无关,也与每个小区域 i 中点 (i ,i ) 的取法无关.则称此极限值为函数 f (x , y) 在闭区
域 D 上的二重积分,记作 f (x , y)d ,即
D
n
D
f (x , y)d
lim 0 i1
问题探究
§6.2.1二重积分的概念
关于曲顶柱体,当点 (x , y) 在区域 D 上变动时,高 f (x , y) 是个变量,因此,它的体积不
能直接用平顶柱体体积公式来计算.不难想到,用求曲边梯形面积的方法,即分割、近似代
替、求和、取极限的手段来解这个问题.
(1)分割:我们用一曲线网把区域 D 任意分成 n 个小区域 1 , 2 ,…, n ,
体体积V ,当把区域 D 无限细分时,即当所有小区域的最大直径(区间内,最远

23高数切片讲义第5章课后习题与答案

23高数切片讲义第5章课后习题与答案

第五章 二重积分【基础练习题44】1. 根据二重积分的性质,比较下列积分的大小 (1)2d Dx y 与 3d Dx y ,其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y 所围成; (2)2d Dx y 与 3d Dx y ,其中积分区域D 是由圆周 22212x y 所围成; (3)ln d Dx y 与 2ln d Dx y,其中积分区域D 是三角形闭区域,三个顶点分别为 1,0,1,1,2,0; (4)ln d Dx y 与 2ln d Dx y,其中 ,35,01.D x y x y2.设1D I,222cos()d DI x y ,2223cos()d DI x y, 其中22(,)1D x y x y ,则 ( )(A )123I I I . (B )321I I I . (C )312I I I .(D )213I I I .【基础练习题44解析】1.【解析】(1)在积分区域D 上,01x y ,故有32()()x y x y . 故32d d DDx y x y . (2)由于积分区域D 位于半平面(,)1x y x y 内,故在D 上有23()()x y x y . 从而23d d DDx y x y . (3)由于积分区域D 位于条形区域(,)12x y x y 内,故知区域D 上的点满足0ln()1x y ,从而有2[ln()]ln()x y x y . 因此高等数学切片课后习题23高数切片讲义第3章课后习题与答案2ln d ln d DDx y x y. (4)由于积分区域D 位于半平面(,)e x y x y 内,故在D 上有ln()1x y ,从而2[ln()]ln()x y x y. 因此 2ln d ln d DDx y x y. 2.【答案】A.【解析】当221x y 时,有222220()1x y x y又cos x 在 0,1上为减函数,故有22222cos()cos x y x y且等号仅在部分点成立,由二重积分的比较性质知,321.I I I【基础练习题45】1. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1)D ,其中D 是由两条抛物线y 2y x 所围成的闭区域;(2)2d Dxy,其中D 是由圆周224x y 及y 轴所围成的右半闭区域; (3)e d x y D,其中(,) 1D x y x y ; (4)22()d D xy x ,其中D 是由直线2,y y x 及2y x 所围成的闭区域.2. 改换下列二次积分的积分次序: (1)10d (,)d yy f x y x;(2)2220d (,)d yy y f x y x;(3)10d (,)d y f x y x ; (4)212d (,)d x x f x y y ;(5)11d (,)d xx f x y y;(6)sin 0sin2d (,)d xxx f x y y.【基础练习题45解析】1.【解析】(1)D 可用不等式表示为2x y 01x (如图1).于是,237111424000226d d ()d .3355Dx x x y x y x x x x(2)D 可用不等式表示为0x 22y (如图2).故,22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x x y y y图1 图2 (3)如图3,12D D D ,其中12(,)11,10,(,) 11,01.D x y x y x x D x y x y x x因此,12e d e d e d x y x y x yDD D 0111111e d e d e d e d x x x y x y x x x y x y1211211(ee )d (e e )d x x x x1e e . (4):,022yD x y y (如图4),故 2222202()d d ()d yy Dx y x y x y x x32222d 32yy x x y x y232019313d 2486y y y.图3 图4 2.【解析】(1)所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ,其中 (,)0,01D x y x y y .D 可改写为 (,)1,01x y x y x (如图5),于是 原式110d (,)d xx f x y y.(2)所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ,其中 2(,)2 ,D x y yx y02y .又D可表示为(,)42x x y y x(如图6),因此原式42d (,)d x x f x y y.图5 图6 (3)所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ,其中(,)1D x y x y.又D可表示为(,)011x y y x (如图7), 因此原式11d (,)d x f x y y.(4)所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y,其中(,)2D x y x y12x . 又D可表示为(,)211x y y x y (如图8),故原式1102d (,)d yy f x y x.图7 图8 (5)111101d (,)d d (,)d d (,)d .xyxx f x y y x f x y y y f x y x【注】原二次积分11d (,)d xx f x y y中对y 的积分上限小于下限,不符合累次积分转化规则,需要线添加负号互换上下限. (6)如图9,将积分区域D 表示为12D D ,其中12(,)arcsin arcsin ,01,(,)2arcsin ,10.D x y y x y y D x y y x y于是,原式1arcsin 00arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x.图9【基础练习题46】1. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值: (1)222d )d ax x y y; (2)0d a x y;(3)211222d ()d x xx x y y; (4)220d )d ay x y x .2. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)22d Dx y,其中D 是由直线2,x y x 及曲线1xy 所围成的闭区域; (2)D,其中D 是由圆周221x y 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域; (3)22()d Dx y ,其中D 是由直线,,,3 (0)y x y x a y a y a a 所围成的闭区域.3. 作适当变换,计算下列二重积分: (1)22sin d d Dx y x y x y ,其中D 是平行四边形闭区域,它的四个顶点是π,0,2π,π,π,2π,0,π;(2)22d d Dx y x y ,其中D 是由两条双曲线1xy 和2xy 与两条直线y x 和4y x 所围成的在第一象限内的闭区域.【基础练习题46解析】1.【解析】(1)积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中,(,)02cos ,02D a,于是,2cos 42cos 2220444420d d d 43134cos d 4.4224a a aa a原式(2)如图2,在极坐标系中,(,) 0sec ,04D a.图1 图2 于是,原式3sec 3440d d sec d 3a a340sec tan ln(sec tan )6a31)]6a . (3)积分区域D 如图3所示. 在极坐标系中,抛物线2y x 的方程是22sin cos ,即tan sec ;射线 (0)y x x 的方程是4,故 (,)0tan sec , 04D.图3于是tan sec44401d d tan sec d sec 1.原式(4)积分区域(,)0(,)0, 02D x y x y a a,故42420d d 248aa a原式.2.【解析】(1)D 如图4所示,根据D 的形状,选用直角坐标较宜,1(,) ,12D x y y x x x,故22223122119d d d ()d 4x x Dx x x y x x x y y.图4(2)根据积分区域D 的形状和被积函数的特点,选用极坐标为宜,(,)01,02D,故200d d d d D原式23111000d 221124011)2241201arcsin 22(2)8. (3)D 如图5所示. 选用直角坐标为宜. 又根据D 的边界曲线的情况,宜采用先对x 、后对y 的积分次序. 于是3332222224()d d ()d 2d 14.3a yaa y aaDa xy y x y x ay a y y a图53.【解析】(1)令,u x y v x y ,则,22u v v ux y. 在这变换下,D 的边界x y ,x y ,x y ,3x y 依次与u ,v ,u ,3v对应. 后者构成uOv 平面上D 对应的闭区域D 的边界,于是(,),3D u v u v (如图6).图6又 11(,)12211(,)222x y J u v , 因此2222223341()sin ()d d sin d d 21d sin d 21sin 2.23243D D x y x y x y u v u v u u v v u v v(2)令,yu xy v x,则x y . 在这变换下,D 的边界1xy ,y x , 2,4xy y x 依次与1,1,2,4u v u v 对应,后者构成uOv 平面上与D对应的闭区域D 的边界. 于是(,),4D u v u v (如图7).图7又(,)1111(,)42x y J u v v v v. 因此242222111117d d d d d d ln 2.223DD x y x y u u v u u v v v【基础练习题47】1.设222222322111d ,cos sin d ,e 1d ,xy x y x y x y M x y N x y P则必有( ) (A ) M N P . (B ) N M P . (C ) M N P . (D ) N P M .2. 设区域D 为222x y R ,则22d d Dx x y a .3. 设22(,)1D x y x y ,则2()d d Dx y x y . 4. 已知22,2D x y xy y ,计算二重积分32d d Dx y x y .5. 已知 ,,,1D x y y x y x x,计算二重积分esin d d xDy x y .6. 已知区域D 为圆224x y 在第一象限所围的部分,计算二重积分d d Dxx y x y .7. 求二重积分 22121e d d x y Dy x x y的值,其中D 是由直线,1y x y ,1x 围成的平面区域.8. 设区域22(,)1,0D x y x y x ,计算二重积分221d d 1Dxyx y x y . 【基础练习题47解析】1.【答案】(B ).【解析】因为 3322333x y x x y xy y ,函数3223,3,3,x x y xy y 分别是关于,,,x y x y 的奇函数,又积分区域1x y 关于x 轴、y 轴对称,故31d 0.x y M x y又22cos sin x y 在积分区域221x y 上大于0,且不恒为0;22e1x y 在积分区域221x y 上小于0,由二重积分的比较性质知2222222211cos sin d 0,e1d 0.x y x y x y N x y P故 N M P ,(B )正确.2.【答案】42π4R a .【解析】 【法1】直接利用极坐标计算2422322201d d cos d d 4RDx R x y r r a a a.【法2】由于积分区域D 关于y x 对称知222222222π222220044221d d d d d d 211d d d d 221π2π.244D DD R D x y x y x y x y x y a a a a x y x y r r r a a R R a a3.【答案】π4. 【解析】22()d d d d d d DDDx y x y x x y y x y ,因为积分区域D 关于x 轴对称,被积函数y 为关于y 的奇函数,故d d 0.Dy x y又积分区域D 关于y x 对称,故由轮换对称性知,222222π12001()d d d d d d d d 21πd d .24DDDDx y x y x x y y x y x y x y r r r4.【解析】因为积分区域D 关于y 轴对称,被积函数32x y 为关于x 的奇函数,故32d d 0.Dx y x y 5.【解析】因为积分区域D 关于x 轴对称,被积函数e sin xy 为关于y 的奇函数,故e sin d d 0.x Dy x y 6.【解析】因为积分区域D 关于y x 对称,故由轮换对称性知,21d d d d d d 2111ππd d 2.22242D DD D Dx y x y x y x y x y x y x y x y x y x y S7.【解析】如图,积分区域D 可拆分为12,D D ,其中1D 关于y 轴对称,2D 关于x 轴对称.又2121222211221e d d d d e d d ,x y x D D y D D D y x x y y x y xy x y 积分函数y 为关于y 的奇函数,关于x 的偶函数,而积分函数2212ex y xy 为关于,x y 的奇函数,由对称性知,12210210211e d d d d d d 22d .3y x y y D D y x x y y x y y y x y y8.【解析】因为22222211d d d d d d ,111D D Dxy xyx y x y x y x y x y x y 又积分区域D 关于x 轴对称,由对称性知,22d d 0,1Dxyx y x y 故 π12π202211220022221d d 11d 1πln22πln 1π.12211d d d d 11D Dr r xy x y x y x r y x y r r r。

高等数学 二重积分习题课

高等数学 二重积分习题课
所以
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x

1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 () 令 y 2 u )
D
D1
D2

0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x

y
dy
1
1 x
0
x 1

0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e

e 2 x1 )dx

e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2

y2

重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示,再 利用极坐标计算即可。
解:令
Байду номын сангаас
2
x2

y2

x2

y2,
求得曲线
z

2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2.几何意义:表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D

高等数学《二重积分的计算》

高等数学《二重积分的计算》

D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ,0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ,其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8

高等数学 重积分 (9.2.1)--二重积分的计算

高等数学 重积分  (9.2.1)--二重积分的计算

导出
V

b A(x)dx
a
b a

2 ( x) 1 ( x)
f (x, y)dy dx
D
f (x, y)dxdy
ab
2 (x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy dx
写成
f (x, y)dxdy bdx 2 (x) f (x, y)dy
x2 y 2 Rx 所割下部分的体积 V
z
y
r=Rcos
D
O
x
xR
y
例 求双纽线 (x2 y2 )2 2a2 (x2 y2 ) 所围 区域的面积

例 求二次积分
2
2 dy
1y2 arctan ydx
0
y
x
例 求积分 I ex2 dx 0

9.2.3 二重积分的变量代换
设变换
x x(u, v)

y

y(u, v)
有连续偏导数,且
满足
J

(x, y) (u, v)

xu xv
yu yv
0
而 f (x, y) C(D) ,那么
f (x, y)dxdy f (x(u, v), y(u, v)) J dudv
D
D

uv 平面小矩形AᄁBᄁCᄁDᄁᄁ ᄁᄁ xy 平面曲边四边形 ABCD
D
a 1 ( x)

若积分区域
D {(x, y)1( y) x 2 ( y), c y d}
y 型正 则区域
则有
f (x, y)dxdy d dy 2 ( y) f (x, y)dx

第十章二重积分练习题

第十章二重积分练习题

D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ,则 f (x) ( )
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为( )
2
(A) 1 x2 y2 dxdy; x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ; x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ; x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ,则将该二次积分化为直角坐标形式为(
0

4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ,其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy , D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。

高等数学第九章习题课二重积分的计算

高等数学第九章习题课二重积分的计算

习题课二重积分的计算一、主要内容二重积分的计算方法是累次积分法,化二重积分为累次积分的步骤是:①作出积分区域的草图②选择适当的坐标系③选定积分次序,定出积分限1。

关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑看图定限 —穿越法定限 和不等式定限先选序,后定限①直角坐标系ⅰ。

先 y 后 x ,过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线穿过D 的内部从D 的下边界曲线)(1x y ϕ=穿入—内层积分的下限从上边界曲线)(2x y ϕ=穿出—内层积分的上限ⅱ。

先 x 后 yy 过任一 yy ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线定限左边界)(1y x ψ=——内层积分的下限右边界)(2y x ψ=——内层积分的上限则将D 分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算,结果相加②极坐标系积分次序一般是θ后先r 过极点O 作任一极角 为 θ]),[(βαθ∈的射线从D 的边界曲线 )(1θr 穿入从 )(2θr 穿出ⅲ。

如D 须分片)(1θr ——内下限)(2θr —内上限具体可分为三种情况)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤⑵极点在D 的边界上)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤是边界在极点处的切线的极角βα,)(1θr 绝大多数情况下为0⑶极点在D 的内部)(0,20θπθr r ≤≤≤≤化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r⑴极点在D 的外部∫∫∫∫=D Ddxdy x y f dxdy y x f ),(),(——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0,偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍,完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称,我奇偶”①、②、③简单地说就是④若 DD 关于直线 y = x 对称。

3东南大学高等数学习题课-数量值函数积分(二重,三重,第一型曲线,曲面)

3东南大学高等数学习题课-数量值函数积分(二重,三重,第一型曲线,曲面)

所围成的区域。 z = 8 所围成的区域。
z
8
336π .
O
D(z )
2
x
y
东南大学
贺传富
5.
z=
计算 ∫∫∫

x 2 + y 2 + z 2 − 1dv , 其中 Ω 由圆锥面
x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围成 .
z
1
z
1
Ω1
Ω2
O
O
y
y
x
x
π
6
( 2 − 1).
东南大学
贺传富
6. 计算 ∫∫∫
6-2. 设f ( x )连续 , : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 Ω 证明: f ( z )dV =π ∫ f ( x )(1 − x )dx , ∫∫∫
2 Ω −1 1
东南大学
贺传富
2 2 2
6-3. 设立体Ω由 z = a + a − x − y z=

x 2 +y 2围成,求Ω 的质量。Ω内任意点
2
∫∫
Σ2
1+ 4z dA = ∫∫ 1+ 4 dA = 5 ∫∫1 dA
Σ2 Σ2
东南大学
贺传富
3 . ∫∫ ( x + y + z ) dA ,
Σ
Σ : y + z = 5 , x + y ≤ 25
2 2
解:
dA =
Σ
2 dx dy , 2 dx dy
x 2 + y 2 ≤ 25
∫∫ ( x + y + z ) dA = ∫∫ ( x + 5)

高等数学 重积分 (9.2.2)--二重积分的计算

高等数学 重积分  (9.2.2)--二重积分的计算

习题 9.21. 将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化为两种不同次序的二次积分, 其中D 是:(1) 由曲线ln y x =,直线2x =及x 轴所围成的闭区域;(2) 由抛物线2y x =与直线23x y +=所围成的闭区域;(3) 由曲线sin y x =(0πx ≤≤)与x 轴所围成的闭区域;(4) 由曲线3y x =与直线1x =-及1y =所围成的闭区域.2. 计算下列二重积分.(1) 22()d d D x y x y +⎰⎰,其中(){},||1,||1D x y x y =≤≤;(2) 22(e )d d x y Dxy x y ++⎰⎰,其中(){},|11,01D x y x y =-≤≤≤≤;(3) 2e d d xy Dxy x y ⎰⎰,其中(){},|01,01D x y x y =≤≤≤≤; (4) 22sin()d d D x y xy x y ⎰⎰,其中()π,0,022D x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭; (5) 22d d D x x y y ⎰⎰,D 是由曲线2x =,y x =,1xy =所围成的闭区域; (6) cos()d d Dx x y x y +⎰⎰,D 是顶点为(0,0),(π,0),(π,π)的三角形闭区域;(7) d d Dxy x y ⎰⎰,D 是由抛物线2y x =与直线2y x =-所围成的闭区域;(8) sin d D x xdy y ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰,D 是由直线y x =,2y =与曲线3x y =所围成的闭区域; 3. 设[,][,]D a b c d =⨯,证明:()()()()d d ()d ()d b d a c D f x g y x y f x x g y y =⎰⎰⎰⎰. 4. 交换下列二次积分的次序(假定(,)f x y 为连续函数).(1)1 0 d (,)d yy f x y x ⎰⎰; (2) 2 1 2 2 0 0 1 0d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰; (3) 21 22 d (,)d y y y f x y x --⎰⎰; (4)2 0d (,)d x f x y y ⎰.5. 通过交换积分次序计算下列二次积分.(1)1/3 1 10 d y y x ⎰⎰;(2) π π 0 sin d d xy x y y ⎰⎰; (3) 2 1 3 0 3d e d x y y x ⎰⎰;(4) 2 22 0 d 2sin()d x x y xy y ⎰⎰;(5)π 1 2 0 arcsin d cos y y x ⎰⎰; (6)π0d x y ⎰⎰. 6. 利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性, 计算下列二重积分.(1) ||d d D xy x y ⎰⎰,其中{}222(,)D x y x y R =+≤;(2) 23(tan 4)d d D x x y x y ++⎰⎰,其中{}22(,)4D x y x y =+≤;(3) 2(1)arcsind d D y x x x y R ++⎰⎰,其中{}222(,)()D x y x R y R =-+≤; (4) (||||)d d Dx y x y +⎰⎰,其中{}(,)||||1D x y x y =+≤.7. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标形式下的二次积分,其中积分区域D 为:(1) 22x y ax +≤ (0a >);(2) 2214x y ≤+≤;(3) 01x ≤≤,01y x ≤≤-;(4) 222()x y x y +≤+;(5) 2224x x y ≤+≤.8. 利用极坐标计算下列二重积分.(1)d Dx y ,其中22{(,)}D x y x y Rx =+≤;(2) arctan d d Dy x y x ⎰⎰,其中22{(,)|14D x y x y =≤+≤, 0,}y y x ≥≤; (3) 22()d d D x y x y +⎰⎰,其中{}222222(,)()()D x y x y a x y =+≤-;(4)d D x y ,其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥; (5) d d Dxy x y ⎰⎰,其中D 是第一象限中由圆周221x y +=与222x y x +=所围成的闭区域;(6) 22()d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是第一象限中由圆周222x y y +=,224x y y +=及直线x,y 所围成的闭区域.9. 设,r θ为极坐标,交换下列二次积分的次序: (1)π2cos 2π 02d (,)d a f r r θθθ-⎰⎰(0a >);(2)π20 0d (,)d f r r θθ⎰⎰(0a >); (3)00d (,)d a f r r θθθ⎰⎰(02πa <<).10. 将下列二次积分化为极坐标形式的二次积分, 并计算积分值.(1)22 1 0 0d d x y x y +⎰⎰; (2)2 0 d d y y y x x⎰⎰; (3)222 0d d y y x ⎰⎰; (4)2 0d x y ⎰⎰; (5)1 22 1 0 0d d d d x x y x xy y x y ++⎰⎰⎰; (6)2210d d xyx y y x +⎰.11. 作适当的变量变换,计算下列二重积分.(1) 22sin(94)d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分;(2) 22d d Dx y x y ⎰⎰, 其中D 是由双曲线1xy =,2xy =与直线x y =,4x y =所围成的位于第一象限的闭区域;(3) 2222d d D x y x y ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中D 是椭圆形闭区域22221y x a b +≤; (4) e d d x y Dx y +⎰⎰,其中D 是闭区域||||1x y +≤.(5) 32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰,其中D 是以(π,0),(3π,2π),(2π,3π),(0,π)为顶点的平行四边形闭区域.12. 利用两种给定的变换(1) ,u x y v x y =+=-; (2) 22,u x y v xy =+=,计算二重积分222()()e d d x y D x y x y +-⎰⎰,其中(,)D x y y x y ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
D
二、二重积分的性质(三重类似)
1.线性性质:
[ f ( x, y) g( x, y)]d f (x, y)d g( x, y)d
D
D
D
2. 可加性: D D1 D2
f (x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D
D1
D2
3. 区域 D的面积: d
f ( x, y)d f ( , ) .
D
7.奇偶对称性:
f ( x, y)d
0
D
2 f (x, y)d
D1
D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数 D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数
三、二重积分的计算方法
1.利用直角坐标计算
f (x, y)d f (x, y)dxdy.
1 ( )
四. 典型例题
【例1】利用二重积分的性质,估计积分I ( x 2 4 y2 9)d
D
的值;其中 D {( x, y) | x 2 y 2 4}.
由于在 D 上
9 x 2 4 y 2 9 4( x 2 y 2 ) 9 25
故由二重积分的性质可知
9d I ( x2 4 y2 9)d 25d ,
y d x 1( y) D
c
f ( x, y)dxdy
d
dy
2( y) f ( x,
y)dx.
o
D
c
1( y)
x 2( y)
x2.利用极坐标计算D : 1( ) 2( ),
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin ) dd
D
D
d
2( ) f ( cos , sin ) d
.
D1
因为 D D1 D2 , 其中
0
1
x
D1 : 0 y x2 , 0 x 1; D2 : x2 y 2, 0 x 1.
则 | y x 2 | dxdy | y x 2 | dxdy | y x 2 | dxdy
D
D1
D2
x 2 y dxdy y x 2 dxdy
D
D
D .
R Rx
2
R cos
2
d
0
2
R2 2 d
R3
2
2
3
1 | sin |3
d
2R3
2 (1
sin3
)d
1
R3 (
4 ).
30
3
3
【例5】计算二重积分 | y x2 | dxdy,
y
2
D
其中D {( x, y) | 0 x 1, 0 y 2}.
D2
解: 积分区域如图。为去掉绝对值:
D1
D2
1
x2
dx
x2 y dy
1
2
dx
y x2 dy
0
0
0
x2
12x3 dx
03
12
(2
3
x2)2
dx
03
5 64
【例6】设区域 D {( x, y) | x2 y2 1, x 0}, 计算二重积分
1 xy
I D 1 x2 y2 dxdy.
分析 由于积分区域 D关于 x轴对称,故先利用二重积分的
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2
y2
1,
x2 y2 4 及直线 y 0 , y x所围成的第一象限内的闭区域.
解: 积分区域如图所示.
y
在极坐标系下,由于
D : 1 2, 0 4
.D 01 2 x
将二重积分转化为极坐标系下先对 后对 的二次积分,

D
ydxdy x
两个X 型区域或两个Y 型区域的和的形式。 不妨把 D分成
X 型区域的和 D D1 D2来计算.
y
1
解: 积分区域如图所示.
D1 .
1
0 D2 1 x
1
因 D D1 D2 ,其中
D1 : 1 x y 1 x, 1 x 0, D2 : x 1 y 1 x, 0 x 1;
D
D
D
即 36 I ( x 2 4 y2 9)d 100 .
D
【例2】计算二重积分 e x yd . 其中D {(x, y) | | x | | y | 1}.
D
分析 首先应画出区域 D的图形.本题可采用直角坐标计算。
注意到 D 既是 X 型区域, 又是Y 型区域,而无论X 型区域 或 Y 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把D 分割成
D
tan
d
d
4 tan d
0
2
d
1
ln | cos
|4 0
1 2
2
2 1
3 ln 2 4
【例4】 计算二重积分 R2 x2 y2 dxdy . 其中D是圆周
D
x 2 y2 Rx 所围成的闭区域。
解:在极坐标系下,由于
y
D : 0 R cos ,
2
2
0
R2 x 2 y 2 dxdy R2 2 dd
D
4. 单调性: 若在D 上, f (x, y) (x, y) ,则
f (x, y)d (x, y)d
D
D
5.估值性质: 设 m f (x, y) M, (x, y) D,是 D的面积
则 m f ( x, y)d M .
D
6.中值定理: 设函数 f ( x, y) 在闭区域 D上连续, 是D的面积,则在 D上至少存在一点( , ), 使得
对称性简化所求的积分.因
1
1 x2
y2 是关于变量
y为偶函数,
1
xy x2
y2关于 y 为奇函数,故
将二重积分转化为先对 y 后对x 的二次积分,得
e x ydxdy e x ydxdy e x ydxdy
D
D1
D2
0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x
y
dy
1
1 x
0
x 1
0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e
e 2 x1 )dx
e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
D
关键:选择积分次序
.
(1)X-型区域:
y
y 2(x)
D
D : 1 ( x) y 2 ( x), a x b
y 1( x)
oa
f ( x, y)dxdy
b
dx
2(x) f (x,
y)dy
D
a
1 ( x)
b
x
(2)Y-型区域:
D : 1 ( y) x 2 ( y), c y d ,
第九章 重积分习题课(一)
二重积分
一、二重积分的概念
1.定义 :
n
D
f (x,
y)d lim 0 i1
f (i ,
i ) i
2.几何意义:表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D
3.物理意义: M ( x, y)d —— D的质量.
相关文档
最新文档