强度理论典型习题解析

强度理论典型习题解析1 已知铸铁的拉伸许用应力MPa 30][t =σ，压缩许用应力MPa 90][c =σ，30.0=µ，试对铸铁零件进行强度校核，危险点的主应力为：（1） MPa 301=σ，MPa 202=σ，MPa 153=σ； （2） MPa 201−=σ，MPa 302−=σ，MPa 403−=σ； （3） MPa 101=σ，MPa 202−=σ，MPa 303−=σ。

解题分析：选用强度理论时，不但要考虑材料是脆性或是塑性，还要考虑危险点处的应力状态。

解：（1） MPa 301=σ，MPa 202=σ，MPa 153=σ，危险点处于三向拉应力状态，不论材料本身是塑性材料或是脆性材料，均采用第一强度理论，即：][0MPa 3t 1r1σσσ===，安全（2） MPa 201−=σ，MPa 302−=σ，MPa 403−=σ，危险点处于三向压应力状态，即使是脆性材料，也应采用第三或第四强度理论，即：][MPa 20)MPa 40(MPa 20t 31r3σσσσ<=−−−=−=，安全 ])MPa 20MPa 40()MPa 40MPa 30()MPa 30MPa 20[(21222r4+−++−++−=σ， ][MPa 3.17t σ<=，安全。

（3） MPa 101=σ，MPa 202−=σ，MPa 303−=σ，脆性材料的危险点处于以压应力为主的应力状态，且许用拉应力与许用压应力不等，宜采用莫尔强度理论，即：][MPa 02MPa)30(MPa90MPa30MPa 10][][t 3c t 1rM σσσσσσ<=−−=⋅−=，安全 2 图示实心圆轴受轴向外力F 和外力偶M 作用。

已知圆轴直径d =10 mm ，M =Fd /10。

（1）材料为钢时，许用应力MPa 160][=σ；材料为铸铁时，许用应力MPa 30][t =σ。

试分别计算圆轴的许可载荷；（2）材料为铸铁，且F =2 kN 、E =100 GPa 、][F 25.0=µ，计算圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。

题2图解题分析：本题中，轴为拉伸和扭转组合变形。

轴的各个横截面上的扭矩、轴力均相同，所以可以任取一截面作为危险截面。

在危险截面上，轴力引起的拉伸正应力处处相等，扭矩引起的切应力在靠近轴外表面的各点处最大，所以危险点为靠近轴表面的各点。

危险点处的应力状态如图示。

解：1、计算危险点的主应力轴力引起的正应力 F dFA F 242N m 1027.1π4−×===σ 扭矩引起的切应力 F dFd W MW T 243p p m 10509.010π16−×====τ 危险点处的极值应力为22422424minmax)m 10509.0()2m 1027.1(2m 1027.1F F F −−−×+×±×=σ于是主应力为 ，F 241m 1045.1−×=σ02=σ， F 243m 10179.0−×−=σ2、材料为钢材时，确定轴的许用载荷根据第三强度理论，有MPa 160][m 1063.1m 10179.0m 1045.124242431r3=≤×=×+×=−=−−−σσσσF F F 得 kN 9.82N 9820m 101.63MPa160][24==×=−F该轴用钢材制造时，许可载荷kN 9.82][=F 3、材料为铸铁时，确定轴的许可载荷按第一强度理论，有MPa 30][m 1045.1t 241r1=≤×==−σσσF得许可载荷kN 2][=F 4、计算铸铁轴表面与轴线成30°方位上的正应变根据广义胡克定律公式，要计算与轴线成30°方位上的正应变，必须知道该方向的正应力和与该方向垂直的方向上的正应力。

设要计算的方位为－30°，则与其垂直的方位为60°，首先计算－30°、60°两方位上的正应力。

与轴线平行方向上的正应力、切应力分别为MPa 4.25N 102m 1027.1m 1027.132424=×××=×=−−F σMPa 18.10N 102m 100509.0m 10509.032424=×××=×=−−F τ于是MPa87.27)]30(2sin[18.10)]30(2cos[2MPa 4.252MPa 4.25)]30(2sin[)]30(2cos[2230=−×−−×+=−×−−×+=−D D D D D τσσσMPa47.2)602sin(MPa 18.10)602cos(2MPa 4.252MPa 4.25)602sin()602cos(2260−=×−×+=×−×+=D D D D D τσσσ由广义胡克定律，轴表面与轴线成30°方位上的正应变为6360303010285MPa))47.2(25.0MPa 87.27(MPa101001)(1−−−×=−×−×=−=D D D µσσεE 讨论：该题中正应变的计算也可以用公式αγαεεεεεα2sin 22cos 22xy yx yx −−++=，但和上面方法相比，要麻烦得多。

3 图示钢轴有两个皮带轮A 和B ，两轮的直径D =1m ，轮的自重Q =5kN ，轴的许用应力MPa 80][=σ。

试确定轴的直径d 。

解题分析：本题轮轴为弯扭组合变形。

首先要将所有外力向轴线上简化，并绘制内力图，以便寻找危险截面。

找到危险截面和危险点后，即可按强度条件设计轴直径。

解： 1、计算轴上的载荷取如图示坐标系，则外力偶矩mkN 1.521mkN 2)-(52kN2)-(5e e ⋅=×===DM M B Axy 平面支反力 F Cy =12.5 kN ， F Dy =4.5 kN xz 平面支反力 F Cz =9.1 kN ，F Dz =2.1 kN 2、画内力图，确定危险截面轴AB 段的扭矩为（图c ），弯矩和如图d 、e 所示。

从内力图看出，危险截面是C 或B 截面。

分别计算C 、B 两截面的总弯矩：m kN 1.5⋅=T y M z M mkN 58.2m N 1058.2m)N 105.1(m)N 101.2(32323⋅=⋅×=⋅×+⋅×=C M mkN 49.2m N 1049.2m)N 1025.2(m)N 1005.1(32323⋅=⋅×=⋅×+⋅×=B M 比较两者大小，可知危险截面为C 截面。

3、确定轴的直径按第三强度理论设计轴的直径。

直接采用圆轴弯扭组合情况下的强度条件，得][22r3σσ≤+=WT Mmm4.72m 104.72Pa1080πm)N 105.1(m)N 1058.2(32][π323623233223=×=××⋅×+⋅×=+≥−σT M d 如果按第四强度理论设计轴的直径，则][75.022r4σσ≤+=WT Mmm6.71m 106.71Pa1080πm)N 105.1(75.0m)N 1058.2(32][π75.0323623233223=×=××⋅××+⋅×=+≥−σT M d比较可得按第三强度理论设计的轴径比按第四强度理论设计的轴径略大。

4 一端固定的轴线为半圆形的正方形截面杆，受力情况如图，F =1000N ，试求B 和C 截面上危险点处的相当应力r3σ。

解题分析：本题为非圆截面弯扭组合变形问题。

首先应找出B 和C 截面的危险点，并确定危险点处的应力状态，然后计算相当应力。

解： 1、计算截面有关的几何性质杆的横截面面积262m 10900mm 900mm 30mm 30−×==×==bh A 1.5 kN·m题3图Mz 2.25kN·m1.05 kN·m(c)My2.1 kN·m(b)(a)(d)(e)抗弯截面系数 39322m 104500mm 45006mm)30(mm 306−×==×==bh W1mm 30mm/30/==b h ，查表 208.0=β抗扭截面系数 p m 105620mm 5620mm 30(8−×==×=W 2内力 39333)20.0=b β、计算B 截面的剪力 1000N S ==F F弯矩 m 200N 0.2m 1000N ⋅=×==FR M 扭矩 m 200N 0.2m 1000N ⋅=×==FR TB 截面的危险点及危险点处的应力状态（图b ）cd 各点，顶边受拉应力，底3、确定截面上弯矩引起的最大正应力发生在截面顶边ab 和底边边受压应力，大小为MPa .444Pa 104.44m 104500m N 200==M σ639=×=×⋅−W 最大弯曲切应力发生在截面中性轴h f 线上各点，方向向下，大小为1.67MPa Pa 101.67N100033626S 1=×=×==−F τ m1090022×A 扭转引起的最大切应力发生在截面四边中点e 、f 、g 、h 处，方向平行于所在边，且e 点处方向向右、f 点处向下、g 点处向左、h 点处向上。

扭转切应力大小均为35.6MPa Pa 106.53m N 2006392=×=⋅==−T τ m105620p ×W 考虑弯曲切应力、弯曲正应力和扭转切应力共同作用，e 点处为单向拉伸应力状态如图c 所示，MPa .444=σ，MPa 35.62==ττ。

g 点处应力状态与e 点处类似，只是正应力为压应力纯剪应力大小为MPa 3.73MPa 6.35MPa 67.121。

f 点处为切应力状态，切=+=+=τττ题4图)(c) e 点应力状态 (a)(d) C 截面(y －y 方向视图)h 点处应力状态也为纯剪切，切应力大小为MPa 93.33MPa 67.1-MPa 6.3512==−=τττ。

比较四点处的应力状态，可知e 点为B 截面的危险点。

按第三强度理论计算其相当应力为MPa 9.83MPa)6.35(4MPa)4.44(42222r3=×+=+=τσσ4、计算C 截面上内力和应力 剪力 ==F F =0扭矩1000N S 弯矩 M 2m 400N 0.2m 1000N 2⋅=××=FR 5、计算截面危险点的应力（图d ）C 截面轴内侧中点，即图d 中值为=T C C 截面各点处均为纯剪切应力状态，最大切应力发生在f 点处，其MPa9.72Pa 109.72)m1030208.0m 10200223(m)1030(N1000223(22323S max =F τ6332322p =×=××××+×=+=+=+−−−bR b F b FR A F W TA ββ按第三强度理论计算相当应力145.8MPa MPa 9.7222442max 22r3=+=ττσσmax =×==τ5 图示薄壁容器承受内压p 。