2011D天然肠衣搭配的的优化模型与求解

2011D 天然肠衣搭配问题讲稿提要

题目：天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：

(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

解答：

我们将上种类型的成品分别称作小尺寸、中尺寸、大尺寸。其定义见表3。

由于满足大规格的的原料可以降级作中规格，满足中规格的的原料可以降级作小规格。因此我们先考虑大规格产品的搭配，再考中规格产品的搭配，最后考虑规格小规格产品的搭配。

一、考虑大规格产品的搭配

这里采用两种不同的方法求解。

方法一：直接法

设长度为14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,

20.5,21,21.5,22,22.5,23.5,25.5的20种肠衣分成K 组，设第i 种长度的原料分到第

j 组为ij x 根。

设第i 种长度的原料有i a 根，1,2,...,24i =。

其中a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,,6,1。 第i 种长度的原料分到所有K 组的根数不能超过i a 根。则有：

11,2, (20)

ij

i

j x

a i =≤=∑

每组的根数为5根，由(3)知也可以为4根，因此对每组的根数满足：

20

1

45

1,2,...,ij i x j K =≤≤=∑

设第i 种长度的原料的长度为i l 米。

其中l =14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21,

21.5,22,22.5,23.5,25.5。

每组的长度为89米，由(3) 知可以± 0.5米的误差，因此每组的总长度满足：

20

1

88.589.5

1,2,...,i ij i l x j K =≤≤=∑

为考虑中规格中利用大规格产品中的剩余，我们求出大规格产品中每种长度原料的

剩余。设第i 种长度的原料的剩余根数为,1,2,...,20i r i =。则有：

1

K

i i ij j r a x ==-∑

我们建立目标函数。(1)要求对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好,因此我们的第一目标为：

1max Z K =

(2)要求对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。

我们设法建立第二目标。

令min{|0,1,2,...,20}j ij i x i τ=>=，1,2,...,j K =。该序列表示各列最短长度的序号。

令max j j

u τ=，表示所有组中最短长度的序号最大值。

令{|}j S j u τ==，表示取得最短长度最大值的序号集。 第二目标函为各列最短长度最大的捆数最多，则有：

2max Z S =

其中S 表示集合S 的元素个数

为说明我们的方法，下面采用一个例子说明。如某分配方案如表4，其中i a 为单调增序列。

则有各列最短长度的行序号τ={1,3,3,4,4,2}， 其最大值4u =，τ中取得最大值的序号

{4,5}S =。

则计算出22Z S ==

即该分配方案中最短长度最长为4a ，总共有2捆成品。

因此总的模型为： 1m a x Z K = 2m a x Z S =

1

20120111,2,...,2045

1,2,...,88.589.5

1,2,...,..1,2,...,20min{|0,1,2,...,20}max {|},1,2,...,20;1,2,...,K

ij i

j ij i i ij i K i i ij

j j ij j

j

j ij x a i x j K l x j K s t r a x i i x i u S j u x i j K

τττ====⎧≤=⎪⎪⎪

≤==⎪⎪

⎪

≤≤=⎪⎪⎪⎨=-=⎪⎪

⎪=>======⎩∑∑∑∑取整⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪

其中l =14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21, 21.5,22,22.5,23.5,25.5。

a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,,6,1。

评价：该模型容易想到，也容易建立。但该模型求解困难。在确定第一目标K 最大时，需要尝试不同的K ，而在给定K 进行求解时，利用Lingo12求解极其耗时，通常会1小时以上。而在求解第二目标，由于是非线性，求解就更困难，采用Lingo 几乎没法求解，即使求解成功，也是局部最优解。鉴于此，我们采用另外的方法建模求解。

讲解时进行LINGO 程序展示。

方法二：模式法

我们首先求出20种肠衣根据原料可搭配成捆的所有模式，然后建立线性规划模型求解。 在这种方法里，我们首先利用编制Matlab 程序求出20种肠衣根据原料可搭配成捆的所有模式，然后在模式中选择最佳的搭配。 先对问题进行分析：

2.1 最大捆数分析：