2011D天然肠衣搭配的的优化模型与求解

2011D 天然肠衣搭配问题讲稿提要题目：天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。

表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

解答：我们将上种类型的成品分别称作小尺寸、中尺寸、大尺寸。

其定义见表3。

由于满足大规格的的原料可以降级作中规格，满足中规格的的原料可以降级作小规格。

因此我们先考虑大规格产品的搭配，再考中规格产品的搭配，最后考虑规格小规格产品的搭配。

一、考虑大规格产品的搭配这里采用两种不同的方法求解。

方法一：直接法设长度为14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21,21.5,22,22.5,23.5,25.5的20种肠衣分成K 组，设第i 种长度的原料分到第j 组为ij x 根。

设第i 种长度的原料有i a 根，1,2,...,24i =。

其中a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,,6,1。

第i 种长度的原料分到所有K 组的根数不能超过i a 根。

则有：11,2, (20)ijij xa i =≤=∑每组的根数为5根，由(3)知也可以为4根，因此对每组的根数满足：201451,2,...,ij i x j K =≤≤=∑设第i 种长度的原料的长度为i l 米。

其中l =14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21,21.5,22,22.5,23.5,25.5。

每组的长度为89米，由(3) 知可以± 0.5米的误差，因此每组的总长度满足：20188.589.51,2,...,i ij i l x j K =≤≤=∑为考虑中规格中利用大规格产品中的剩余，我们求出大规格产品中每种长度原料的剩余。

设第i 种长度的原料的剩余根数为,1,2,...,20i r i =。

则有：1Ki i ij j r a x ==-∑我们建立目标函数。

(1)要求对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好,因此我们的第一目标为：1max Z K =(2)要求对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。

我们设法建立第二目标。

令min{|0,1,2,...,20}j ij i x i τ=>=，1,2,...,j K =。

该序列表示各列最短长度的序号。

令max j ju τ=，表示所有组中最短长度的序号最大值。

令{|}j S j u τ==，表示取得最短长度最大值的序号集。

第二目标函为各列最短长度最大的捆数最多，则有：2max Z S =其中S 表示集合S 的元素个数为说明我们的方法，下面采用一个例子说明。

如某分配方案如表4，其中i a 为单调增序列。

则有各列最短长度的行序号τ={1,3,3,4,4,2}， 其最大值4u =，τ中取得最大值的序号{4,5}S =。

则计算出22Z S ==即该分配方案中最短长度最长为4a ，总共有2捆成品。

因此总的模型为： 1m a x Z K = 2m a x Z S =120120111,2,...,20451,2,...,88.589.51,2,...,..1,2,...,20min{|0,1,2,...,20}max {|},1,2,...,20;1,2,...,Kij ij ij i i ij i K i i ijj j ij jjj ij x a i x j K l x j K s t r a x i i x i u S j u x i j Kτττ====⎧≤=⎪⎪⎪≤==⎪⎪⎪≤≤=⎪⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎪=>======⎩∑∑∑∑取整⎪⎪⎪⎪⎪⎪其中l =14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21, 21.5,22,22.5,23.5,25.5。

a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,,6,1。

评价：该模型容易想到，也容易建立。

但该模型求解困难。

在确定第一目标K 最大时，需要尝试不同的K ，而在给定K 进行求解时，利用Lingo12求解极其耗时，通常会1小时以上。

而在求解第二目标，由于是非线性，求解就更困难，采用Lingo 几乎没法求解，即使求解成功，也是局部最优解。

鉴于此，我们采用另外的方法建模求解。

讲解时进行LINGO 程序展示。

方法二：模式法我们首先求出20种肠衣根据原料可搭配成捆的所有模式，然后建立线性规划模型求解。

在这种方法里，我们首先利用编制Matlab 程序求出20种肠衣根据原料可搭配成捆的所有模式，然后在模式中选择最佳的搭配。

先对问题进行分析：2.1 最大捆数分析：20种原材料中长度为201.i ii L a l==∑=12159.5米每捆长度最少为88.5米，因此捆数最多为：[][]12195.5/88.5137.4137K ≤== 其中[.]表示取整。

20种原材料的总根数为201ii T a==∑=677根每捆最少为4根，因此捆数最多为[][]677/4169.25169K ≤==根。

二者取最小值，因此137K ≤。

2.2 每捆成品的组成模式分析每捆成品可以有不同的构成模式，每种模式由一个向量1220(,,...,)x x x 构成。

i x 代表第i 种材料的根数。

则各i x 取值的最大整数值为：89.5min ,,5i i i M a l ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭1,2,...,20i =计算得到各i x (1,2,...,20i =)的最大取值i M 为： 5,5, 5,5,5,5,5,5,4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2,3,1。

如果直接对各i x 从0到i M 进行完全枚举所有符合条件的模式，计算量为：20891(1)(51)(41)(21)(31)(11)i i T M ==+=+++++≈7.871310⨯如此巨大的计算量很难进行枚举。

我们通过剪枝计算，可大大减少计算量，采用Matlab 编程，可在不到1秒钟内计算出所有模式，其总数为2783种。

2.3 模型建立设共有n 种模式(这里2783n =)，每种模式为一个20维的列向量，代表一种符合条件的模式。

即根数满足4或5根，长度为88.5米、或89米、或89.5米的一捆。

所有些模式用矩阵207320B ⨯表示。

ij b 表示第i 种模式中第j 种长度的肠衣的根数。

1,2,...,2783;i = 1,2,...,20j =。

所有模式向量由前面计算得到。

决策变量为第i 种模式i x 捆，则成品捆数最多的目标函数为：278311max i i Z x ==∑现设法找到所有模式中最短长度最长的模式。

在Matlab 中通过编程，进行剪枝计算，得到在所有的2783种模式中，每捆最短长度最长的有3种模式，第一种是模式1，为2根22米和2根22.5米构成；第二种是模式2，为3根22米和1根22.5米构成；第三种是模式3，为3根22米和1根23.5米构成。

则第二目标要求最短长度最长的捆数最大，有：2123max Z x x x =++满足的约束为各种长度的原料的数量，则有：278311,2,...,20i ijji x ba j =≤=∑j a 第j 种长度的原料的根数。

更进一步，从实际问题出发，当模式数比较多时，会增加搭配操作的复杂性，导致花费更多的搭配组装时间，因此我们尽量使搭配的模式尽量少。

因此我们在前面两个目标情况下，考虑使搭配模式最少的方案。

建立决策变量10i i y i ⎧=⎨⎩第种模式选中第种模式未选中(1,2,...,2783)i =我们建立的第三目标为总模式数最小，即278331min i i Z y ==∑需要满足的约束有：当第i 种模式未被选中时，则不能选取该种模式作成品，且选中时不影响i x 的取值，则有：.i i x M y ≤ (1,2,...,278i = 其中M 为一个足够大整数，如可取200M =当第i 种模式被选中时，则该种模式下一定有成品，因此有： i i x y ≥ (1,2,...,278i = 则总的模型为：278311max i i Z x ==∑2123max Z x x x =++278331min i i Z y ==∑278311,2,...,20.1,2,...,2783..1,2,...,2783,011,2,...,2783i ij ji i i i i i i x b a j x M y i s t x y i x y i =⎧≤=⎪⎪⎪≤=⎨⎪≥=⎪==⎪⎩∑为整数或； 其中a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,6,1.令第一目标1Z 最大化，利用LINGO12在7秒种内得到1Z =137 ，最短长度为22米的有2捆，其模式为3根22米和1根23.5米构成。

该结果还不是最优解。

将1137Z =变为约束，令2Z 最大，利用LINGO12求解。

在2秒内得到23Z =的最优解。

该解情况下材料无剩余，但使用模式有32种。

再将12137,3Z Z ==作为约束，对目标3Z 最小，利用Lingo12得到总模式为16种的搭配方案。

具体搭配方案见下表5。

最短长度为22米的有3捆.分别为：2捆模式为3根22米和1根22.5米的原材料。