高中数学立体几何讲义(二)

②若 两两互相垂直，则 是 的垂心
③若 ， 是 的中点，则
④若 ，则 是 的外心
其中正确命题的命题是①②③④
》
例1、已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC。
证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC。
例3如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1＝ ，D是A1B1中点。
（1）求证C1D⊥平面A1B；
（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF并证明你的结论。
（1）证明：如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1。∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
所以，平面 平面 。
[反思归纳]由于平面 与平面 相交于 ，所以如果平面 平面 ，则在平面 中，垂直于 的直线一定垂直于平面 ，这是寻找两个平面的垂线的常用方法。
：
例2（2009江苏卷）如图，在直三棱柱 中
E、 分别是 、 的中点，点 在 上， 。求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面 平面 。
<
而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC。又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE。
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC。
[反思归纳]证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”。
…
例2、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C。
~
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求。事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1 平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF。
补充题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点。（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD1。
（Ⅰ）证明：面 面 ；
（Ⅱ）求 与 所成的角；
证明：以 为坐标原点 长为单位长度，如图建立空间
直角坐标系，则各点坐标为
（Ⅰ）证明：因
|
由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，
由此得 面 又 在面 上，故面 ⊥面
（Ⅱ）解：因
。
例3、如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 底面 ， ， ， ， 为 的中点 求直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅰ）证明 ；
~
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小．
解法一：
（Ⅰ）作 ，垂足为O，连结AO，由侧面 底面ABCD，得 底面ABCD。
因为SA=SB，所以AO=BO，
又 ，故 为等腰直角三角形， ，
由三垂线定理，得 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，依题设 ，
故 ，由 ， ， ，得
\
SO=1， 。
△SAB的面积 。
证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1。∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1。
连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，
∴A1B⊥AD1。取AB的中点D，连结CD、B1D，
则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影。
∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C。
3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）
￥
4. 求法： 几何法 公式法 问量法
（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要求的角，解三角形求出此角。
（2）公式法：
（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）
（3）向量法：设直线 与平面 所成角为 ，直线 的方向向量与面 的法向量分别是 , 则 的余角或其补角的余角即为 与 所成的角 ，
2、两平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式： ， 。
3、两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式：
4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直。
连结DB，得△DAB的面积
设D到平面SAB的距离为h，由于 ，得
，解得 。
设SD与平面SAB所成角为 ，则 。
所以，直线SD与平面SBC所成的我为 。
解法二：
·
（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD。
因为SA=SB，所以AO=BO。
所以，直线AE与D1F所成的角为90°。
（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A， D1F⊥平面AED，
∵D1F 平面A1FD1M 平面AED⊥平面A1FD1。
*
第一节：异面直线所成的角
一、基础知识
1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a΄围：
3.方法： 平移法、问量法、三线角公式
证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，
则A(0,0,0), D(0,2,0),A1(0,0,2) D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)
^
(1)
=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F。
（2） =（2，0，1） =（1，0，-2），| ，|
设AE与D1F的夹角为θ，则cosθ=
<
1. =30˚行吗
2. =75˚时； =。
3.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为 的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角。
|
、
第二节、直线和平面所成的角
一、基础知识
1.定义：
（①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③ ）
2.直线与平面所成角范围是 。
空间中的垂直关系
Ⅰ、直线与平面垂直
1、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α。
2、直线与平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
证明：连结 ，∵ ∴ ，在直三棱柱 中 ，∴ 平面 ，
∵ ， ∴ ，∴ ，
∵ 是侧面 的两条对角线的交点，∴ 是 与 的中点，∴ ，连结 ，取 的中点 ，连结 ，则 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，∴ 是 在
平面 内的射影。在 中，
在 中， ，∴
·
∴ ，∴ ，∴ 平面
平面与平面垂直
1、两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
③其它方法：
（Ⅰ）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（Ⅱ）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。
（Ⅲ）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
]
（Ⅳ）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。
[反思归纳]证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直
另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理。
、
例3．四面体 中， 分别为 的中点，且 ， ，求证： 平面
证明：取 的中点 ，连结 ，∵ 分别为 的中点，
∴
，又 ∴ ，∴在 中，
∴ ，∴ ，又 ，即 ，
∴ 平面
,
例4．如图 是 所在平面外一点， 平面 ， 是 的中点， 是 上的点，
'
%
二、例题讲解
例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求
（1）CD与面ABC1D1所成的角
（2）A1C与平面ABC1D1所成的角
（3）A1C与平面BC1D所成的角
…
例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AC的中点，求DM与平面BCD所成角的余弦值。
%
例3、
（2007高考全国卷1）四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ．已知 ， ， ， ．
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 的坐标为 、
、 、 、
、 ，
从而
设 的夹角为 ，则
;
∴ 与 所成角的余弦值为
|
例4、如图，三棱锥P—ABC中，PC 平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD 平面PAB．(I)求证：AB 平面PCB；(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；（ ）
3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
4、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的投影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
}
5、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的投影垂直。
（1）求证： ；（2）当 ， 时，求 的长。
]Fra Baidu bibliotek
（1）证明：取 的中点 ，连结 ，∵ 是 的中点，
∴ ，∵ 平面 ，∴ 平面
∴ 是 在平面 内的射影 ，取 的中点 ，连结 ，∵ ∴ ，又 ，
∴
∴ ，∴ ，由三垂线定理得
（2）∵ ， ∴ ，∴ ，
∵ 平面
∴ ，且 ，∴
；
例5. 如图，直三棱柱 中， ，侧棱 ，侧面 的两条对角线交于点 ， 的中点为 ，求证： 平面
（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。
（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式 求出来
方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 ， ， 代入上式
方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量
！
（3）三线角公式用于求线面角和线线角
斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦
即：
二、例题讲练
例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
？
。
练习：1．正方体 中， 为 的交点，
则 与 所成的角 （ ）
：
例2、已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， 底面 ，且 ， ， 是 的中点
例1、如图，已知 是圆 的直径， 垂直于 所在的平面， 是圆周上不同于 的任一点，求证：平面 平面 。
~
分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。
解：∵ 是圆 的直径，∴ ，
又∵ 垂直于 所在的平面，∴ ，
∴ 平面 ，又 在平面 中，
/
A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④
2、（2009四川卷）如图，已知六棱锥 的底面是正六边形，
则下列结论正确的是（ ）。
A. B.
C. 直线 ∥ D. 直线 所成的角为45°
【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以 也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线 ∥ 也不成立。在 中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正确。
．
练习：
1．若 表示直线， 表示平面，下列条件中，能使 的是 （ ）
>
2．已知 与 是两条不同的直线，若直线 平面 ，①若直线 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④ ，则 。上述判断正确的是 （ ）
①②③ ②③④ ①③④ ②④
3.设三棱锥 的顶点 在平面 上的射影是 ，给出以下命题：
①若 ， ，则 是 的垂心
;
解法一：(I)∵PC 平面ABC， 平面ABC，
∴PC AB．∵CD 平面PAB， 平面PAB，
∴CD AB．又 ，
∴AB 平面PCB．
(II)过点A作AF 1C 1C 图PD 平面ABCD,四边形ABCD为矩形，
AB=2AD=2DP，E为CD中点。
（1） 与BE所成的角为
（2）若 直线PD，且AF与BE所成角为
]
练习
1、（2009广东卷理）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ） 。 【解析】选D.