第4章 电路的过渡过程

第4章电路的过渡过程及换路定律本书此前所讨论的电路，不论是直流还是交流，电路的联接方式和参数值是不变的，
电源的输出是恒定的或周期性变化的，电路中的各部分电压也是恒定的或周期性变化的。

电路的这种状态称之为稳定状态，简称稳态。

当电路接通、断开或电路各元件的参数变化时，电路中的电压、电流等都在发生改变，从原来的稳定状态变化到另一个新的稳定状态，这个过程称过渡过程。

它不能瞬间完成，需要一定的时间（尽管往往是极短暂的），又称暂态过程。

电路在过渡过程中的工作状态称暂态。

3.1 过渡过程的产生与换路定律
3.1.1．电路中产生过渡过程的原因
电路中之所以出现过渡过程，是因为电路中有电感、电容这类储能元件的存在。

图3-1（a）中，当接通电源的瞬间，电容C两端的电压并不能即刻达到稳定值U，而是有一个从合闸前的u C=0逐渐增大到u C=U（见图3-1（b））的过渡过程。

否则，合闸后的电压将有跃变，电容电流i C=Cdu/dt将为无穷大，这是不可能的。

图3-1 RC串联电路
同样，对于电感电路，图3-2( a)中，当电源接通后，电路的电流也不可能立即跃变到U/R，而是从i L=0逐渐增大到i L=U/R（见图3-2(b)）这样一个过渡过程。

否则，电感内产生的感生电动势e L=-Ldi/dt将为无穷大，也是不可能的。

图3-2 RL串联电路
过渡过程产生的实质是由于电感、电容元件是储能元件，能量的变化是逐渐的，不
能发生突变，需要一个过程。

而电容元件储有的电场能W C =C 2/2
C u ，电感元件储有的磁场能W L =L 2/2L i ，所以电容两端电压u C 和通过电感的电流i L 只能是连续变化的。

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容或电感的电路存在过渡过程。

产生过渡过程的内因：电路中存在储能元件 ,C L u i ；
外因：电路出现换路时，储能元件能量发生变化。

3.1.2．换路定律
电路工作状态的改变如电路的接通、断开、短路、改路及电路元件参数值发生变化等，称换路。

由以上分析可知，换路瞬间，电容两端的电压u C 不能跃变，流过电感的电流i L 不能跃变，这即为换路定律。

用t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间，则换路定律表示为
C C L L (0)(0)(0)0u u i i +-+-=⎫
⎬=⎭
（） (2-86)
注意，换路定律只说明电容上电压和电感中的电流不能发生跃变，而流过电容的电
流、电感上的电压以及电阻元件的电流和电压均可以发生跃变。

换路定律的解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。

所以
电容C 存储的电场能量21
2
Wc Cu =不能突变使得C u 不能突变；同样，电感 L 储
存的磁场能量21
2
L L W Li =不能突变使得L i 不能突变。

从电路关系分析（以图3-1为例）：
C
C C du E iR u RC u dt
=+=+
若c u 发生突变，c
du i dt
=∞⇒=∞，这是不可能的。

根据换路定律可以确定换路后过渡过程的初始值，其步骤如下：
1）分析换路前 (t=0-)电路，求出电容电压、电感电流，即u C （0-）、i L （0-）。

2）由换路定律确定u C （0+）及i L （0+）。

3）进而计算出换路后（t=0+）电路的各参数即过渡过程的初始值。

例 图3-2（a ）中，已知: R =1k Ω, L =1H , E =20 V ，开关闭合前i L =0A ，设t=0时开关闭合，求(0),(0)L L i u ++。

解：根据换路定律 (0)(0)0 A L L i i +-==
换路时电压方程 (0)(0)L E i R u ++=+ 所以 (0)20020V L u +=-= 小结：
1. 换路瞬间，C L u i 、不能突变。

其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；
2. 换路瞬间，0(0)0C u U -=≠，电容相当于恒压源，其值等于0U ；(0)0C u -=，电容相当于短路。

3. 换路瞬间，0(0)0L i I -=≠，电感相当于恒流源，其值等于0I ；(0)0L i -=，电感相当于断路。

3.2．一阶RC 、RL 电路的过渡过程分析
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一个储能元件）。

电子电路中广泛应用由电阻R 、电容C 构成的电路，掌握RC 电路过渡过程的规律，
对分析这些电子电路很有帮助。

3.2.1．RC 电路的过渡过程分析
1．RC 电路的零输入响应
零输入是指无电源激励，输入信号为零。

在零输入时，由电容的初始状态C (0)u +所产生的电路响应，称为零输入响应。

分析RC 电路的零输入响应实际上就是分析它的放电过程。

以图3-3为例，换路前开关K 在位置1，电源对电容充电。

在t =0时将
开关转到位置2，使电容脱离电源，电容器 图3-3 RC 放电电路 通过R 放电。

由于电容电压不能跃变，
u C (0+)=u C (0-)=E ，此时充电电流i C (0+)=E/R 。

随着放电过程的进行，电容储存的电荷越来越少，电容两R 端的电压u C 越来越小，电路电流i=u C /R 越来越小。

电容两端的电压u C 随时间的变化见图3-4。

2．RC 电路的零状态响应
零状态是指换路前电容元件没有储能，(0)0C u -=。

在此条件下，由电源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。

RC 电路的零状态响应实际上就是它的充电过
程。

图3-5为RC 充电电路。

设开关K 合上前，电路处于稳态，电容两端电压u C (0-)=0，电容元件的两极板上无电荷。

在t =0时刻合上开关K ，电源经电阻R 对电容充电，由于电容两端电压不能突变，u C (0+)=0，此时电路中的充电电流i C (0+)=E/R 。

随着电容积累的电荷逐渐增多，电容两端的电
压u C 也随之升高。

电阻分压u R 减少，电路充电电 图3-5 RC 充电电路 流i C =u R /R =(E-u C )/R 也不断下降，充电速度越来
越慢。

经过一段时间后，电容两端电压u C =E ，电路中电流i C =0，充电的过渡过程结束,电路处于新的稳态。

电容两端的电压u C 随时间的变化见图3-6。

3．RC 电路的全响应
图3-7 RC 电路的全响应 图3-8 RC 电路的全响应曲线 RC 电路的全响应是指电源激励E 、电容元件的初始状态C (0)u +均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。

图3-7所示电路中，在t =0时刻，开关K 由位置1扳向位置2。

此过渡过程中，电容初始电压u C (0+)不为0，输入信号也不为0，此时的电路响应，称全响应。

在t ≥0时，电路方程为：2C C C du
E Ri u RC u dt =+=+
它的解为：12()(1)t t C u t E e E e τ
τ
--=+-
我们可以看出：全响应=零输入响应+零状态响应，这也是叠加定理在电路过渡过程中的体现和运用。

RC 电路的全响应过程，电容两端的电压u C 随时间的变化见图3-8。

3.2.1．RL 串联电路的过渡过程
对于RL 串联电路，其过渡过程分析与RC 串联电路类似，只不过电感元件中电流
不能跃变，一阶电路的分析方法同样适用于RL 串联电路。

1．RL 零状态响应
图3-9中，换路前，电感中无电流通过，(0)0L i -=，没有储能，为零状态;换路后，
(0)(0)0l L i i +-==，但此时，电流相对时
间变化率最大，电感中产生感生电动势
最大。

随时间的推移，电流越来越大，电感储存的磁场能越来越大，但电流变化越来越慢，电感分压逐渐减小。

L 越大，电感储有磁场能越多，产生阻碍电流变化的感生电动势越来越大，阻碍作用越强；R 越小，在同样电压下电感所得电流U/R 越大，储能越多，所以过渡过程时间越长.变化越缓慢。

2．RL 零输入响应
图3-10中，换路前，电感中有电流通过，
0(0)L i I E R
-==;换路后，
0(0)(0)l L i i I +-==，此时，电流相对时间变化率最大，电感中产生感生电动势最大。

随时间的推移，电流越来越小，电
感储存的磁场能越来越少。

根据基尔霍夫定律，列出t ≥0时的电路方程 图3-10 RL 零输入响应电路
3．RL 电路的全响应
与电容电路相似，电感电路的全响应为零输入响应和零状态响应的叠加：
0()(1)t t
E i t e I e R
ττ--=
-+
图3-10 RL 全响应电路。