2.2.1直接证明教案
直接证明和间接证明课程教案
直接证明和间接证明课程教案第一章：引言1.1 课程目标本课程旨在帮助学生理解直接证明和间接证明的基本概念，掌握它们的应用方法，并能够灵活运用这两种证明方式解决实际问题。
1.2 课程内容本章将介绍直接证明和间接证明的定义、分类和基本方法。
1.3 教学方法采用讲授、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。
第二章：直接证明2.1 定义和分类2.1.1 直接证明的定义直接证明是通过逻辑推理，直接从已知事实或前提出发，推导出要证明的结论。
2.1.2 直接证明的分类（1）直接逻辑推理：根据已知事实或前提，直接推导出结论。
（2）数学归纳法：先证明基本情况，再证明归纳步骤。
2.2 基本方法2.2.1 演绎法从一般到特殊的证明方法，即从一般原理推导出特殊情况下的结论。
2.2.2 归纳法从特殊到一般的证明方法，即先证明特殊情况，再推导出一般结论。
第三章：间接证明3.1 定义和分类3.1.1 间接证明的定义间接证明是通过证明相反命题的假性，从而证明原命题的真性。
3.1.2 间接证明的分类（1）反证法：假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
（2）归谬法：假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
3.2 基本方法3.2.1 反证法假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
3.2.2 归谬法假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
第四章：证明的辅助方法4.1 数学归纳法数学归纳法是一种包含直接证明和间接证明的方法，先证明基本情况，再证明归纳步骤。
4.2 逆否命题法将原命题的逆否命题作为证明对象，先证明逆否命题，再根据逆否命题与原命题的等价性得出原命题的证明。
第五章：练习与案例分析5.1 练习题设计一些有关直接证明和间接证明的练习题，帮助学生巩固所学内容。
5.2 案例分析分析一些实际案例，让学生运用直接证明和间接证明的方法解决问题。
人教版高中数学选修1-2 2.2直接证明与间接证明(教案)(共3课时) .doc
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....na a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,abc R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： ① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B为锐角，且tan tan tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.板书设计课题知识点小结例题 练习教学反思第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.2.1直接证明
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
证法二:∵ SA⊥平面ABC ∴BC⊥SA 又∵AB⊥BC,且AB∩SA=A ∴ BC⊥平面SAB ∴ AE⊥BC 又∵AE⊥SB,且BC∩SB=B ∴ AE⊥平面SBC ∴ AE⊥SC 又∵EF⊥SC,且AE∩EF=E ∴ SC⊥平面AEF ∴ AF⊥SC
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同
都是直接证明 证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论 为止 综合法 证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的 条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知 条件吻合为止 分析法
不同
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β) 点评：在解决问题时，我们经常把综合法和分析
D
C
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4 又AC=CA 所以ABC CDA 故 AB=CD，BC=DA 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证 明方法称为直接证明，其一般形式为： 本题条件 已知定义 … 本题结论 已知公理 已知定理
由因导果，当条件明确，思路清晰时适用；
（2）分析法： 结论
已知条件
执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
(教师用书)高中数学 2.2.1 直接证明同步备课课件 苏教版选修2-2
【自主解答】
△ABC 中，A＋B＋C＝π，
由 A、B、C 成等差数列， 得 2B＝A＋C， π 因此，B＝ ， 3 由 a，b，c 成等比数列，得 b2＝ac， 又 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此 a＝c. 从而△ABC 是等边三角形．
2．2
直接证明与间接证明 2．2.1 直接证明
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方 法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点．
2．过程与方法 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力，以及培 养他们的分析问题和解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣． ●重点难点 重点：了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析 法，了解分析法和综合法的思考过程、特点，会证明一些数 学命题． 难点：根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过 程、特点，选择适当的方法进行数学命题证明．
分析法
【问题导思】 证明不等式： 3＋2 2＜2＋ 7成立，可用下面的方 法进行． 要证明 3＋2 2＜2＋ 7， 由于 3＋2 2＞0，2＋ 7＞0， 只需证明( 3＋2 2)2＜(2＋ 7)2， 展开得 11＋4 6＜11＋4 7，只需证明 6＜7， 显然 6＜7 成立． ∴ 3＋2 2＜2＋ 7成立． 请回答：上述证明过程从哪里开始？证明思路是什么？
●教学流程设计
演示结束
课 标 解 读
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合 法的证明思路与步骤(重点)． 2．会用综合法、分析法证明一些数学问题(重点、难 点)． 3．综合法、分析法的格式区别(易混点).
苏教版高二数学选修2-2 2.2.1直接证明 学案
2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：方法一 ∵(a －b )2≥0， ∴(a )2＋(b )2－2ab ≥0， ∴a ＋b ≥2ab ，∴a ＋b2≥ab . 方法二 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，∵(a －b )2≥0显然成立，∴原不等式成立．答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件． 梳理 综合法和分析法定义比较类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论 ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)． 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式． 跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C .类型二 分析法 例3 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．反思与感悟 分析法的应用范围及方法跟踪训练3 求证：a －a －1<a －2－a －3 (a ≥3)． 证明 方法一 要证a －a －1<a －2－a －3， 只需证a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2， 只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2， 只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2， 只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为________． 答案 a >b解析 ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是________．答案 c解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 3．欲证2－3<6－7成立，只需证下列各式中的________．(填序号) ①(2－3)2<(6－7)2； ②(2－6)2<(3－7)2； ③(2＋7)2<(3＋6)2； ④(2－3－6)2<(－7)2. 答案 ③解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 答案 <5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．课时作业一、填空题1．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a >b >0解析 由a a >b b ，得a 3>b 3， 则a ，b 需满足a >b >0.2．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 3解析 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________. 答案 －b解析 函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为________． 答案 P <Q解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，即P <Q .5．若A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.6．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1.(判断大小)答案<解析要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.7．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连结AO，BO.∵SA⊥BC，SO⊥BC，SA∩SO＝S，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．8．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．9．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab >2aba ＋b ，又∵f (x )＝2x 在R 上为增函数， ∴A >B >C .10．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________. 答案 1解析 由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2， ②将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.二、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋ b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1， 即只需证明(a ＋12)(b ＋12)≤1.而(a ＋12)(b ＋12)≤(a ＋12)＋(b ＋12)2＝1＋12＋122＝1成立，所以a ＋12＋ b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， 所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ， ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C . ⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直(答案不惟一) 解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1， 因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1， 故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
22直接证明与间接证明教学设计教案
22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明的概念与方法1.1 直接证明的定义引导学生了解直接证明的概念，理解直接证明是通过逻辑推理直接证明命题的正确性。
举例说明直接证明的过程和方法。
1.2 直接证明的基本方法介绍直接证明的基本方法，包括数学归纳法、反证法、归纳法等。
通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。
第二章：直接证明的运用2.1 运用直接证明解决简单命题让学生练习运用直接证明解决简单的数学命题，巩固对直接证明的理解。
提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。
2.2 运用直接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题分解为简单的子命题，逐个进行直接证明。
提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。
第三章：间接证明的概念与方法3.1 间接证明的定义引导学生了解间接证明的概念，理解间接证明是通过反证法、归纳法等方法间接证明命题的正确性。
举例说明间接证明的过程和方法。
3.2 间接证明的基本方法介绍间接证明的基本方法，包括反证法、归纳法等。
通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。
第四章：间接证明的运用4.1 运用间接证明解决简单命题让学生练习运用间接证明解决简单的数学命题，巩固对间接证明的理解。
提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。
4.2 运用间接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题转化为反证法或归纳法问题，进行间接证明。
提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。
第五章：直接证明与间接证明的综合运用5.1 综合运用直接证明与间接证明解决实际问题引导学生如何根据问题的特点选择直接证明或间接证明的方法。
提供一些实际问题，让学生练习综合运用直接证明与间接证明的方法。
5.2 案例分析与讨论提供一些案例，让学生分析并讨论如何运用直接证明与间接证明的方法解决问题。
引导学生总结经验，提高解题能力和逻辑思维能力。
第六章：证明题的类型与策略6.1 证明题的类型分析常见的证明题类型，如几何证明、代数证明、数列证明等。
人教课标版高中数学选修1-2《直接证明与间接证明(第1课时)》教案-新版
2.2.1直接证明与间接证明（一）一、教学目标1.核心素养培养学生用综合法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力.2.学习目标了解直接证明的基本方法；了解综合法的思维过程、特点；会用综合法证明数学问题.3.学习重点掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题.4.学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1预习教材P36—P38，思考：什么是综合法？综合法的本质是什么？任务2综合法的思考过程、特点分别是什么？任务3综合法证明问题的方法、步骤是怎样的？2.预习自测1.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件（）A.a2<b2＋c2B.a2＝b2＋c2C.a2>b2＋c2D.a2≤b2＋c2解：C若∠A为钝角，由余弦定理知cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴b2＋c2－a2<0.故答案为C.2.设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则（ ）A.S 4<S 5B.S 4＝S 5C.S 6<S 5D.S 6＝S 5解：B ∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.答案为B3.在△ABC 中，“0AB AC >uu u r uuu r g ”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：B 由0AB AC >uu u r uuu r g ⇒∠A 为锐角，而角B ，C 并不能判定，反之若△ABC 为锐角三角形，一定有0AB AC >uu u r uuu r g .答案为B4.已知函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能是（ ）A.π2B.－π4C.π4D.34π解：C 由题意知，sin(π4＋φ)＝±1，所以当φ＝π4时，sin(π4＋π4)＝sin π2＝1.答案为C（二）课堂设计1.知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题.已知实数x ，y 满足x ＋y ＝1，求证：22x y +≥.证明：因为x ＋y ＝1，所以22x y +≥==，故22x y +≥.1.本题的条件和结论是什么？条件：x ＋y ＝1，结论22x y +≥2.本题的证明顺序是什么？从已知条件利用基本不等式到待证结论.2.问题探究问题探究一 综合法的意义●活动一 什么是综合法？一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.上面引例就是从条件出发，利用某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.●活动二 综合法证明问题的模式11223n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒⇒LP 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论.问题探究二 怎样用综合法处理问题综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.●活动一 用综合法证明不等式例1 求证：（1）232x x +>；（2）222(1)a b a b +≥--；（3）若a b c >>，则：222222bc ca ab b c c a a b ++<++.【知识点：不等式的性质，实数的非负性，不等式的证明，实数的大小比较】详解：（1）2232(1)20x x x +-=-+>，∴232x x +>.（2）22222(1)(1)(1)0a b a b a b +---=-++≥，∴222(1)a b a b +≥--.（3）222222()()bc ca ab b c c a a b ++-++222222()()()bc c a ca b c ab a b =-+-+-2()()()()c b a c a b a b ab b a =-++-+-2()()b a c ac bc ab =---+()()()b a c a c b =---∵a b c >>，∴0,0,0b a c a c b -<-<-<.∴()()()0b a c a c b ---<.∴222222bc ca ab b c c a a b ++<++.点拔：综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取.例2已知0,0,0,0a b m n >>>>，求证：m n m n m n n m a b a b a b +++≥⋅+⋅【知识点：不等式的性质，不等式的证明，实数的大小比较】详解：()()m n m n m n n m a b a b a b +++-⋅+⋅()()m n m n n m m n a a b a b b ++=-⋅-⋅-()()m n n m n n a a b b a b =---()()m m n n a b a b =--0,m m n n a b a b a b >>>>当时，，()()0m m n n a b a b ∴-->；0,m m n n b a a b a b >><<当时，，()()0m m n n a b a b ∴-->；0,m m n n a b a b a b =>==当时，，()()0m m n n a b a b ∴--=.综上所述：()()0m m n n a b a b --≥.∴ m n m n m n n m a b a b a b +++≥⋅+⋅.点拔：注意分类讨论判断符号.对m 、n 取特殊值，可得到以下一些大家比较熟悉的题目：（1）已知a >0，b >0，求证：553223a b a b a b +≥+；（2）已知a >0，b >0，求证：3322a b a b ab +≥+；（3）已知a >0，b >0，求证：4433a b a b ab +≥+.●活动二 用综合法几何问题例3 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点.求证：(1)C 1M ⊥平面AA 1B 1B.(2)A 1B ⊥AM .(3)平面AC 1M ∥平面B 1N C.【知识点：线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行，面面平行】详解：(1)∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，M 是A 1B 1的中点，∴C 1M ⊥A 1B 1. 又∵C 1M ⊥A 1A ，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，A 1A ，A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ，∴C 1M ⊥平面AA 1B 1B.(2)∵A 1B ⊂平面AA 1B 1B ，由(1)知C 1M ⊥平面AA 1B 1B ，∴A 1B ⊥C 1M .又A 1B ⊥AC 1，AC 1，C 1M ⊂平面AC 1M ，AC 1∩C 1M ＝C 1，∴A 1B ⊥平面AC 1M .又∵AM ⊂平面AC 1M ，∴A 1B ⊥AM .(3)在矩形AA 1B 1B 中，易知AM ∥B 1N ，AM ⊄平面B 1NC ，B 1N ⊂平面B 1NC ，∴AM ∥平面B 1N C.又C 1M ∥CN ，CN ⊂平面B 1NC ， C 1M ⊄平面B 1NC ，∴C 1M ∥平面B 1N C.又∵C 1M ∩AM ＝M ，C 1M ，AM ⊂平面AC 1M ，∴平面AC 1M ∥平面B 1N C.点拔：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：a b a c b c ⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥，a b a b αα⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥，αβαγβγ⎫⇒⎬⎭∥⊥⊥等.其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1N C.●活动三 用综合法证明数学中的其他问题例4设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列. 【知识点：递推数列，等差数列，等比数列】详解： (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)，∴a n ＋1a n＝2m m ＋3，且a 1＝1，∴{a n }是等比数列. (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13. ∴数列{1b n}为首项为1，公差为13的等差数列. 点拔：（1）综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件.（2）综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”.综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等.●活动四 综合法的简单应用例5 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列.求证：223cos cos 222C A b a c +≥ 【知识点：等比数列，不等式的证明，三角恒等变形】 详解：1cos 1cos 22C A a c ++=⋅+⋅Q 左边 1113()(cos cos )()222222b b b ac a C c A a c =+++=++≥+==右边 ∴223cos cos 222C A b a c ∴+≥. 点拔：（1）综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知.（2）综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等.②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型.3.课堂总结【知识梳理】（1）综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为:11223n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒⇒L【难点突破】综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题.所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果.4.随堂检测1.设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( ) A.0<P <1B.1<P <2C.2<P <3D.3<P <4答案：B【知识点：对数的运算，放缩法证明不等式】1111111111log 2log 3log 4log 5log 120P =+++=，1111111log 11log 120log 1212=<<=即12P <<，故答案为B2.A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C【知识点：充要条件，正弦定理】若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B.故答案为C3.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案：a c b >>【知识点：不等式的性质，实数的大小比较】∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a c >，又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c b >，∴a c b >>，故答案为a c b >>. 4.已知函数()21,(),f x x g x x x R =+=∈，数列{a n }，{}n b 满足条件：a 1＝1，1()(b )n n n a f b g +==，*n N ∈.求证：数列{}1n b +为等比数列.【知识点：函数的概念，数列的函数特性，等比数列】证明：由题意得121n n b b ++=，∴111222()n n n b b b +++=+=， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2， 又∵a 1＝2b 1＋1＝1，∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0.故数列{}1n b +是以1为首项，2为公比的等比数列.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：B【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确.②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确.③a ∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确. ④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确.综上知③，④正确.答案为B2.a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( )A.a ＋b ＋1ab ≥2 2B.(a ＋b )(1a ＋1b )≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2ab a ＋b≥ab 解：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 项不成立.答案是D3.p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________.答案：p≤q【知识点：不等式的性质，不等式的证明】 p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )(b m ＋d n )＝ab ＋nbc m ＋mad n ＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd∴q 2≥p 2，∴p ≤q .答案为：p≤q4.当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.【知识点：不等式的性质，不等式的证明，函数与不等式】解：(－∞，－5] x 2＋mx ＋4<0⇔m <－x －4x ，∵y ＝－(x ＋4x )在(1，2)上单调递增，∴－(x ＋4x )∈(－5，－4)21 ，∴m ≤－5.答案为(－∞，－5]5.在△ABC 中，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B.【知识点：余弦定理，三角形的边角关系】证明：因为a 2＝b (b ＋c )，所以a 2＝b 2＋bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋bc )2bc＝c －b 2b . 又因为cos2B ＝2cos 2B －1＝2(a 2＋c 2－b 22ac )2－1＝2(b ＋c 2a )2－1＝(b ＋c )2－2a 22a 2＝(b ＋c )2－2b 2－2bc 2b (b ＋c )＝c －b 2b . 所以cos A ＝cos2B.又因为A，B是三角形的内角，所以A＝2B.6.如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC，∵EF⊄平面ABC而BC⊂平面AB C.∴EF∥平面AB C.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，∴A1D⊥CC1，又A1D⊥1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.能力型师生共研1.设,a b R∈，且,2a b a b≠+=，则必有（）A.22 12a bab+≤≤B.2212a b ab+<<C.2212a bab+<<D.221 2a bab+<<解：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵a b ≠，∴222a b ab +>，即222a b ab +>，可排除A 、D. 又2222222222()1244444a b a b a b a b ab a b +++++=+>+==.故B 正确. 2.l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面答案：B【知识点：直线与直线的位置关系】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错.答案为B3.已知0y x >>，且1x y +=，那么（ ） A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 答案：D【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.4.已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线（ ）A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，不一定在平面α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，一定在平面α内解：C【知识点：直线与平面的位置关系】由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内.5.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”)答案：＜【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵13－2＝3＋2(3－2)(3＋2)＝3＋2，12－1＝2＋1(2－1)(2＋1)＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1.6.已知sin x＝55，x∈(π2，3π2)，则tan(x－π4)＝________.解：－3【知识点：同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式】∵sin x＝55，x∈(π2，3π2)，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan(x－π4)＝tan x－11＋tan x＝－3.7.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________.(用序号及“⇒”表示) 答案：①③⇒②【知识点：不等式的性质，不等式的证明，绝对值不等式】∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.8.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.【知识点：正弦定理、余弦定理】证明：由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形.9.设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 在R 上满足f (x )＝f (－x )(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数.【知识点：函数的奇偶性，函数的增减性】解：(1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a e x ＋ae x ，所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立.由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ex 1－ex 2＋1e x 1－1e x 2＝(ex 2－ex 1)(1e x 1＋x 2－1)＝(ex 2－ex 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2. 由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0，ex 2－ex 1>0，1－ex 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.探究型 多维突破1.如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.(1)求证：B 1B ∥平面D 1AC ；(2)求证：平面D 1AC ⊥平面B 1BDD 1.【知识点：直线与平面平行，直线与平面垂直，直线与直线平行，直线与直线垂直，平面与平面垂直】证明：(1)设AC ∩BD ＝E ，连接D 1E ，如图∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥B D.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.2.已知数列{a n}的首项a1＝5，S n＋1＝2S n＋n＋5(n∈N*).(1)证明数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式a n.【知识点：数列的通项公式，等比数列】(1)证明：∵S n＋1＝2S n＋n＋5，∴S n＝2S n－1＋(n－1)＋5(n≥2).∴a n＋1＝S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)＋1＝2a n＋1(n≥2).∴a n＋1＋1a n＋1＝2(a n＋1)a n＋1＝2.又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.又∵a2＋1a1＋1＝11＋15＋1＝2.∴数列{a n＋1}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知，a1＋1＝6，a n＋1＝6×2n－1＝3×2n，∴a n＝3×2n－1.3.设a、b、c∈R＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c). 【知识点：不等式的性质，基本不等式，不等式的证明】证明：∵a2＋b2≥2ab，a、b∈R＋，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b ).同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c )＝2(a ＋b ＋c ).(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号) 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ).（四）自助餐1.设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是（ ）A.aB.bC.cD.不能确定答案：C【知识点：不等式的性质，不等式的证明】∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a ，又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x >1＋x∴c >b >a ，最大的数为c .答案为C2.已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于（ ）A.bB.－bC.1bD.－1b答案：B【知识点：对数函数，对数运算】f (x )定义域为(－1， 1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .3.命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立（）A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关答案：B【知识点：数列的前n和公式，等差数列】当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝4n－5，又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式. ∴a n＝4n－5(n∈N*)，则a n－a n－1＝4(常数)，故数列{a n}是等差数列. 4.若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.a d> bcB.a d< bcC.a c> b dD.a c< b d答案：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明】法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C，D；又ad＝－32，bc＝－23，所以ad<bc，所以选项A错误，选项B正确.法二：因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以1－d>1－c>0.又a>b>0，所以a－d>b－c，所以ad<bc.5.在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B，则该三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：D【知识点：正弦定理，三角形形状的判定】由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案：A【知识点：函数的奇偶性，函数单调性】由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案为A7.命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法.答案：综合法【知识点：分段函数，函数的增减性，函数与导数】本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法.8.角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”).答案：充要【知识点：充要条件，正弦定理】在△ABC 中，A >B ⇔a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，从而sin A >sin B.因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sinB ，为充要条件.9.设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________.答案：4【知识点：等比中项，基本不等式】3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.10.已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .【知识点：不等式的性质，不等式的证明】证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以(b 2＋c 2) a ≥2abc又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac ，所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .11.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数. 【知识点：函数的奇偶性，函数的图象，函数的对称性】证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称.∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数.12.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点.(1)证明：CD ⊥AE .(2)证明：PD ⊥平面ABE .【知识点：线线垂直，线面垂直】证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥C D.因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P A C.又因为AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A.因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥P C.由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PC D.又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥P D.因为P A ⊥底面ABCD ，所以平面P AD⊥平面ABC D.又AB⊥AD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥P D. 又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.。
第2章 2.2.1 直接证明
2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理直接证明阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)…⇒…2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)…⇐…1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.()(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.()【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√2.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝1＋cos 2θ2－1－cos 2θ2＝cos 2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】 综合法3.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件为________.【导学号：01580044】【解析】 要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0即可，也就是b 2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：____________________________________________[小组合作型](1)在△ABC 中， 已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 的形状一定是__________.(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________.【自主解答】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形.(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4. 设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32. (3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立). ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立.④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】 (1)钝角三角形 (2)32 (3)①②④ 1.综合法处理问题的三个步骤 2.用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0). [再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法 B.由因导果的顺推证法 C.因果分别互推的两头凑法 D.原命题的证明方法 【答案】 B设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ).【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 【导学号：01580045】【证明】 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证.[探究共研型]探究1【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【精彩点拨】先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立.∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立. 法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2ac cos 60°.所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b＋ab ＋c ＝1， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3.设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .【证明】 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ， 只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1).因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而可得不等式x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy成立.1.已知x>0，y>0，且x3＋y4＝1，则xy的最大值为______________.【解析】∵1＝x3＋y4≥2xy12＝xy3.∴xy≤3，当且仅当x＝32，y＝2时等号成立.【答案】 32.如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是__________. 【解析】要使a a>b b，只需使a>0，b>0，(a a)2>(b b)2，即a>b>0.【答案】a>b>03.将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.【解析】用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立.【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04.设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.【导学号：01580046】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立. 【答案】95.已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式ab＋ba≥a＋b.【证明】要证原不等式成立只需证：a a＋b b≥ab(a＋b)，即只需证(a)3＋(b)3≥ab(a＋b)，只需证(a＋b)(a－ab＋b)≥ab(a＋b)，只需证a－ab＋b≥ab，即(a－b)2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
高中数学 2.2.1 直接证明导学案(无答案)苏教版选修2-2(2021年整理)
江苏省镇江市丹徒镇高中数学 2.2.1 直接证明导学案（无答案）苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中直接证明课时安排1课时2。
2.1直接证明（一） 问题引入1.问题1：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求证：AB=CD ，BC=DA ．证明：连结AC,∵四边形A BCD是平行四边形∴AB ∥CD ，BC ∥CD故∠1=∠2, ∠3=∠4又∵AC=CA ∴⊿ABC ≌⊿CDA ∴AB=CD ，BC=DA思考1：以上证明方法有什么特点?2。
问题2：设b a ,是两个正实数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+．证明：要证 2233ab b a b a +>+成立，2-2的全部内容。
使用人使用日期或周次本课时学习目标或学习任务1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法;了解综合法的思考过程、特点；2.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．本课时重点难点或学习建议综合法和分析法的证明过程和应用．本课时教学资源的使用导学案学 习 过 程只需证)())((22b a ab b ab a b a +>+-+成立， 即需证ab b ab a >+-22成立。
(∵0>+b a ） 只需证0222>+-b ab a 成立, 即需证0)(2>-b a 成立.而由已知条件可知，b a ≠,有0≠-b a ，所以0)(2>-b a 显然成立， 由此命题得证.思考2：以上证明方法有什么特点？（二） 学生活动1．问题1的证明方法的特点是___________________________________________________． 2．问题2的证明方法的特点是___________________________________________________．（三） 知识建构1.直接证明直接从_________________逐步推得 成立的，这种证明通常称为直接证明．直接证明的一般形式为：.____________________________________⇒⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ C B A 2．常用的直接证明方法有_________与__________：(1)从_________出发，以__________________为依据，_________，直到推出_____________为止，这种证明方法常称为_________．（2）从_________出发,追溯__________________，_________,直到使__________________ 为止,这种证明方法常称为_________．注：(1）综合法与分析法的推证过程如下： 综合法—________;________⇒⇒⇒ 分析法—.________________⇐⇐⇐ （2）对分析法证题的说明：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是____________条件；②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件 中,与__________较为接近的条件，才是我们所需要的;③“只需证明”、“为了证明”、“∵A成立，∴B成立"类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来．（四）学习交流、问题探讨例1．如图,已知AB，CD相交于点O，△ACO≌△BDO，AE=BF,求证：CE=DF．(尝试用两种方法证明）变式1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点，求证:(1）MN∥平面PAD；（2)MN⊥CD．例2．已知a〉0,b〉0，求证：a(b2+c2）+b(c2+a2）≥4abc．变式2：已知,a b 是正数，且1a b +=,求证：114a b+≥，分别用分析法，综合法证明．小结：________解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；________条理清晰，宜于表述．因此,在实际解题时，通常以_______为主寻求解题思路，再用_______有条理地表述过程． (五) 课后作业 1．在ABCD 中，,AE BD ⊥垂足为E ；,CF BD ⊥垂足为F ．求证:AE CF =．2．设2x ≥112x x x x +<--3.1,1a b <<若,求证：11a bab+<+．章节与课题。
2.2.1 直接证明
2.2.1直接证明班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】了解直接证明两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法思考过程与特点． 【教学重点】会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程．【教学难点】结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法． 【教学过程】 一、引入：已知：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，求证：,AB CD BC DA ==． 证：二、新授内容：探究一：上述证明是直接从__________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． 注：直接证明的一般形式：________________________A B C ⎫⎪⎪⇒⇒⇒⇒⇒⎬⎪⎪⎭本题条件本题结论．情境：在《数学5(0,0)2a bab a b +≤>>的： 证法一：对于正数,a b ，有2(0,0,a b a b ab ≥⇒+-≥2,2a ba b ab ab +⇒+≥⇒≥ 证法二2a bab +≤，只要证2ab a b ≤+，只要证02a ab b ≤-， 只要证20()a b ≤2a b ab +≤．这两种证明方法有什么不同之处，各有什么特点？ 探究二： 1．综合法：（1）定义：从__________出发，以已知的_________、__________、__________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止。
这种证明方法称为综合法． （2）综合法的推导过程： 已知条件⇒⇒⇒结论．2．分析法：（1）定义：从问题的__________出发，追溯导致__________成立的条件，逐步上溯，直到_________________为止，这种证明方法称为分析法． （2）分析法的推理过程：结论⇒⇒⇒已知条件．4123例1．如图，已知,AB CD 相交于点O ，ACO ∆≌BDO ∆，AE BF =求证：CE DF =．例2．设,a b 为两个不相等的正数，且1a b +=，分别用分析法与综合法证明：114a b+>．例3．三、课堂反馈：1．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．2．3+,,><=填空）．反思：3．已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc ．4．用向量方法证明：设O 为ABC ∆中的一点，若AO BC ⊥，BO AC ⊥，则CO AB ⊥．5．分别用分析法与综合法证明：当1a >时，<四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．分别用分析法与综合法证明：设,,a b c 为不全相等的正数， 求证：3b c a c a b a b ca b c+-+-+-++>．2．设,a b 是两个相异的正数，求证：关于x 的一元二次方程222()420a b x abx ab +++=没有实数根．3．分别用分析法与综合法证明：已知ABC ∆的3个顶点的坐标分别为(5,2)A -，(1,2)B ，(10,3)C ，求证：ABC ∆为直角三角形．分析法： 综合法：4．已知,a b c >> 求证：114a b b c a c+≥---．5．设ABC ∆中，3个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC ∆为等边三角形．6．用向量方法证明：已知四面体ABCD ，若AB CD ⊥，AD BC ⊥，则AC BD ⊥．小结反思：。
2.2.1 直接证明
2.2.1 直接证明明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．3．分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.小结从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，其推理过程为条件1→结论1(条件2)→结论2(条件3)→结论3(条件4)→结论．因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由于A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ，① 由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3，③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟 综合法的证明步骤如下：条件1→结论1(条件2)→结论2(条件3)→结论3(条件4)→结论，其关键是做好两个方面． (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C .证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知条件得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0，因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 探究点二 分析法思考1 回顾一下：基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 思考2 上述证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使结论成立所需条件，最终把结论成立所需条件变成一个显然成立的条件，即：结论←条件1←条件2←条件3←已知条件(显而成立)．小结 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法． 思考3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件． 例2 求证：3＋7<2 5.证明 因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2， 展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25， 因为21<25成立，所以3＋7<25成立．反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法． 跟踪训练2 求证：6＋7>22＋ 5. 证明 要证6＋7>22＋5， 只需证(6＋7)2>(22＋5)2， 即证13＋42>13＋40， 只需证42>40， 只需证42>40， 显然成立，所以6＋7>22＋ 5.探究点三 综合法和分析法的综合应用思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证．一般分两步进行分析，即： (1)结论←条件1←条件2，锁定目标为证明条件2成立．(分析法) (2)条件→结论1(条件1)→结论2(条件2)，完成条件2的证明．(综合法) 在证明过程中，可以根据情况改变这两步的顺序． 例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ① sin θcos θ＝sin 2β. ②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2 1＋tan 2β. 证明 因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin 2α－2sin 2β＝1. ③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2 1＋tan 2β ， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2 1＋sin 2βcos 2β ， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．反思与感悟 用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：P ⇒P 1→P 1⇒P 2→…→P n ⇒P ′⇓Q ′⇒Q m ←…←Q 2⇒Q 1←Q 1⇒Q跟踪训练3 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .证明 方法一 (分析法)要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)； ∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．方法二 (综合法)∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线，∴a ∥b .1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有________个． 答案 4解析 ①②③⑤正确．2．设a ，b 是两个正实数，且a <b ，则下列式子一定成立的是________． ①a >a ＋b2>ab >b ；②b >ab >a ＋b2>a ；③b >a ＋b 2>ab >a ；④b >a >a ＋b2>ab .答案 ③3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)， 只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．[呈重点、现规律]1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础过关1．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________． ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a c >b c，则a >b ； ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b ；④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析 对于①：若c ＝0，则①不成立，故①错；对于②：若c <0，则②不成立，故②错；对于③：若a 3>b3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，所以1a >1b ，故③对；对于④：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0b <0，则④不成立．3．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件． 答案 充要解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sinB ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .4．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是________． 答案 2解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．5．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是________．(填序号) ①1≤ab ≤a 2＋b 22； ②ab <1<a 2＋b 22；③ab <a 2＋b 22<1; ④a 2＋b 22<ab <1.答案 ②解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝a ＋b 2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .6．已知a ，b 为非零实数，则下列四个条件中使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是________． ①ab >0 ②ab <0 ③a >0，b <0 ④a >0，b >0 答案 ③解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，b a<0， 即ab <0.又若ab <0，则a b <0，b a<0. ∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab <0是a b ＋b a ≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件． 7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 证明 方法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.方法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， 所以上式成立． 二、能力提升8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b .9.已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________． 答案 p >q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2· a －2 ·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .10.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．11．若－1<x <1，－1<y <1，求证：(x －y 1－xy)2<1.证明 要证明(x －y 1－xy)2<1，只需证明(x －y )2<(1－xy )2，即x 2＋y 2－2xy <1－2xy ＋x 2y 2，只需证明x 2＋y 2－1－x 2y 2<0，只需证明(y 2－1)(1－x 2)<0，即(1－y 2)(1－x 2)>0.(*) 因为－1<x <1，－1<y <1，所以x 2<1，y 2<1.从而(*)式显然成立，所以(x －y 1－xy)2<1.12．求证：抛物线y 2＝2px (p >0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明(如图)作AA ′、BB ′垂直于准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直于准线． 只需证MM ′＝12AB .由抛物线的定义：AA ′＝AF ，BB ′＝BF ，所以AB ＝AA ′＋BB ′.因此只需证MM ′＝12(AA ′＋BB ′)，根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与拓展13.已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)<log x (abc )．由已知0<x <1，得只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。
2.2.1直接证明
二.新课导学
ab 引例：证明基本不等式 ：ab (a 0, b 0) 2
ห้องสมุดไป่ตู้
法一:
因为;( a b ) 0
2
a+b ab 法二:要证 2 只要证 a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0
A B S
F
E
C
小结回顾
这节课我的收获是什么？
二.新课导学
例1.分别用综合法和分析法求证： 3 - 2 6 5
分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路。综合法条 理清晰，宜于表述。因此，在实际解题时，我们通常以分析法为 主寻找解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程
【练习】 如图： SA 平面 ABC , AB BC 过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC 的垂线，垂足为F。 求证： AF SC
普通高中课程标准实验教科书 普通高中数学选修2-2 第三章——数系的扩充与复数的引入 （江苏教育出版社)
2.2.1直接证明
授课教师：张祖辉
一.情境引入
在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边 分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c 成等比数列，求证：△ＡＢＣ为等边三角形．
我们将直接从原命题的条件逐步推得命题成 立的证明称为直接证明，它的一般形式为：
只要证 a + b 2 ab 0
2 ( a b ) 0 只要证;
所以 a + b 2 ab
a+b 所以 ab 成立 2
因为 ( a b )2 0 成立 a + b 所以
2
ab
《2.2.1 直接证明》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
资 源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
图 2－2－1
前
自 主
如图 2－2－1 所示，已知 BE，CF 分别为△ABC 的
课 时
导 学
边 AC，AB 上的高，G 为 EF 的中点，H 为 BC 的中点，求
作 业
课 证：HG⊥EF.
堂
教
互
师
动
备
探
课
究
资
源
菜单
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教 学
1．从本例可看出，已知条件简单而证明的结论比较复 当
方
堂
案 设
杂，这时我们一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只
双 基
计
达
需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
标
课
前 自
2．用分析法证明时：(1)要保证证明过程中的每一步都 课
主
时
导 学
是可逆的；(2)适当将条件加以转化，正确把握转化方向．
时 作 业
课 堂 互
(L4 )2.
教 师
动
备
探
课
究
资
源
菜单
SJ·数学 选修 2-2
教
学
易
教
错
法 分 析
为了证明上式成立，只需证明π4πL22＞L162，
《2.2.1 直接证明》教学案
《2.2.1直接证明》教学案教学目标1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．教学重点、难点⑴综合法的证明过程和应用．⑵分析法的证明过程和应用．教学过程一、自学导航1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA证明：:连结AC，∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，BC∥CD故∠1=∠2，∠3=∠4又∵AC=CA ∴⊿ABC≌⊿CDA∴AB=CD，BC=DA思考：以上证明方法有什么特点？2、观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立．(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立．而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证．思考：以上证明方法有什么特点？__________________________．二、探究新知1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．(1)综合法与分析法要点解析表(2)对分析法证题的说明“若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明(或为了证明)Ｂ成立，只需证明1A 成立(1A 是Ｂ成立的充分条件)，要证1A 成立，只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件)，…，要证明k A 成立，只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件)，∵A 成立，∴B 成立．注：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件； ②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件中，与本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的；③“只需证明”、“为了证明”、“∵A 成立，∴B 成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来．(3)综合法和分析法的优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证．三、例题精讲：例1、已知a >0，b >0，求证a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)≥4abc证明:因为b 2+c 2 ≥2bc ，a >0，所以a (b 2+c 2)≥2abc .又因为c 2+b 2 ≥2bc ，b >0 所以b (c 2+a 2)≥ 2abc .因此a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)≥4abc .例3、已知a b c >>，求证： 1140a b b c c a++---≥． 分析：本题用综合法不容易找到证题思路，因此用分析法探路．要证原不等式成立，由a b c >>，得0a b ->，0b c ->，0c a -<，因此移项，只需证114a b b c a c+---≥． 通分，得()()4()()b c a b a b b c a c-+----≥， 即证4()()a c a b b c a c----≥． 只需证2()4()()a c a b b c ---≥成立．思路找到．证明：∵a b c >>， ∴0a b ->，0b c ->，0a c ->． ∴224()()[()()]()a b b c a b b c a c ---+-=-≤． ∴4()()a c a b b c a c ----≥， 即()()40()()b c a b a b b c a c -+-----≥，∴1140a b b c c a++---≥． 点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地 表述过程例4、若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． 证明：要证lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++， 只需证lg lg()222a b b c c a a b c +++⎛⎫>⎪⎝⎭g g g g ， 只需证222a b b c c a abc +++>g g ．又02a b +>，02b c +>，02c a +>． 且上述三式中的等号不全成立，所以222a b b c c a abc +++>g g c ． 因此lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．四、课堂精练练习： 1．0,0a b >>若，求证：a b++≥2．1,1a b <<若，求证：1.1a b ab +<+ 分析： 要证11a b ab+<+ 只需证明211a b ab +⎛⎫< ⎪+⎝⎭只需证明()22(1)a b ab +<+只需证明22(1)(1)0a b -->证明： 11a b <<Q2211a b ∴<<()()2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b -->因此所以原命题成立。
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课题 2.2.1 直接证明
1．结合已经学过的数学实例，理解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2．感受和体会直接证明的思维方法——分析法和综合法；
(一)自学质疑：A 类问题：
仔细阅读课本79-81页的内容，完成下列问题
问题1、直接证明的一般形式
问题2、分析法的概念及推理过程
问题3、综合法的概念及推理过程
B 级问题）
例1、已知0,0a b >>，求证：22
b a a b a b
+≥+
例2、已知1,1a b <<，证明：
11a b ab
+<+
※ 当堂检测 （40分）
1、（A ）下列条件：(1)0,(2)0,(3)0,0,(4)0,0ab ab a b a b ><>><<，其中能使2b a a b
+≥成立的条件有 个
2、（B ）设222,,(1)lg(1)0,(2)2(1)a b R a a b a b ∈+>+≥--22,(3)32a ab b +>1,(4)1
a a
b b +<+以上4个不等式中，恒成立的序号是
3、（B ）设,a b 都是正实数，且满足191a b
+=，若a b m +≥恒成立，则m 的取值范围为 4、（B ）设0,0,,111x y x y x y A B x y x y
+>>==+++++，则A 与B 的大小关系为 5、（B ）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 对应边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列 求证：ABC ∆是正三角形
6、（B 级）已知：(),()f x x R ∈满足121212()()2()()22
x x x x f x f x f f +-+=，且()0f x ≠ 求证：()f x 是偶函数
※学生完成本节导学案的情况统计.。