八年级数学上册实数,实数知识点总结,典型题型归纳,同步练习题

第三课时：实数

1．无理数

1.1.无限不循环小数叫做无理数．如：2，π，0.1225486…等．

1.2.判断方法：

①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；

②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．

1.3.常见的无理数：

①含有开不尽方的数的方根的一类数，如3，35，1+2等；

②含有π一类数，如5π，3+π等；

③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．

2．实数的概念和分类

2.1.概念：有理数与无理数统称为实数．

2.2.实数按定义分类：

2.3.按正负分类：

3．实数与数轴

3.1.实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．

3.2.在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．

4．相反数与绝对值

4.1.相反数：数a 的相反数是-a ．

4.2.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即

0||=000，，，a a a a a a ⎧>⎪

=⎨⎪-<⎩

．

5．实数的运算

实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．

❖ 典型题型：无理数的判断

1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】

0；3π

22

7

；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【答案】C

【解析】因为0

；

22

7

3π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．

❖ 典型题型：实数的概念和分类

1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．

2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类． 【例2】在5π

15

2123140412316，，，，，.，，，-

---中，

其中 是整数， 是无理数， 是有理数.

【答案】0，

41-；

π55

1

21231404132216

，，，；，，.，，---

-

【例3】将这些数按要求填入下列集合中：

0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，π

2

-．

负数集合｛

…｝；分数集合｛

…｝； 非负整数集合｛

…｝；无理数集合｛

…｝．

【解析】负数集合｛12

2-，-1，-|-5|，π

2-…｝； 分数集合｛1

22

-，3.2…｝；

非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝； 无理数集合｛0.01001001…，π

2

-

…｝．

❖ 典型题型：实数与数轴 两个实数比较大小：

1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；

2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小． 【例4】如图，数轴上点P 表示的数可能是

A 7

B ．7

C ．–3.2

D ．10【答案】B

【解析】7 2.6510 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3

∴符合题意的数为7B ．

【例5】和数轴上的点成一一对应关系的数是

A．自然数B．有理数C．无理数D．实数

【答案】D

【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．【例6】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是

A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n

【答案】D

【解析】由数轴上的点，得m<0

【例7】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为__________．

【答案】5+3

【解析】A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为5–（–3）=5+3，故答案为：5+3．

【例8】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5．

（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；

（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．

【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x，∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；

（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，由题意得，6y=2y+4，解得：y=1，∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2，∴AB=8．

❖ 典型题型：相反数与绝对值

求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

【例9】

2

的相反数是

A ．-

2

B ．

2

C ．

D

【答案】A

【解析】根据相反数的定义可知：

2的相反数是2

-，故选A ．

【例10】3-π的绝对值是

A ．3-π

B ．π-3

C ．3

D ．π

【答案】B

【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．

【例11】

A ．相反数

B ．倒数

C ．绝对值

D ．算术平方根

【答案】A

【解析】A ．

❖ 典型题型：实数的运算

1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．

2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．