几何组成分析

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结构力学典型例题解析
【例题 1-2】 试对下列图示体系进行几何组成分析。
(a )
E
FB
(b) D
E
F
A
C
(c) E F
D G
AB
C
AB CD
例题 1—2 图
【题 a 解】 对图 a 所示体系有： 去掉地基； 刚片 ACDE 与刚片 EFB 用铰 E 和链杆
DF 相连，满足两刚片规则。
整个体系为无多余约束的几何不变体系。
将二元体 ACD 加到新刚片上； 整个体系为无多余约束的几何不变体系。 BD 为基本部分、ACD 为附属部分。
【解法三】 如图 b 所示：
CD 折杆当做刚片 I； BD 杆件当做刚片 II； 地基为刚片 III； 刚片I与刚片II之间用链杆CA、D链杆支座连 接，虚铰为O12 刚片I与刚片III之间用铰D连接，虚铰为O13 刚 片 II 与 刚 片 III 之 间 用 B 处 两 个 平 行 链 杆 连 接，虚铰在无穷远为O23 三个虚铰构成三角形，满足三刚片规则，整个 体系为无多余约束的几何不变体系。
成一个虚铰，虚铰的位置为链杆延长线的交
【思考】
若选 CBE 部分作为刚片 III ，将如何分 析几何组成 ？
点（对于曲折链杆，利用链杆的两个铰连线 的延长线），一对平行链杆的虚铰在沿链杆方 向的无穷远处。 ●是否满足规则：将三刚片的三个虚铰，每
两个连线，分析是否构成三角形，构成三角
形就满足三刚片规则。
变性必须）的联系。
Ⅲ
●瞬变体系
几何特征：几何可变体系经过微小位移 后成为几何不变体系。
静力特征：受很小的力将产生无穷大内
3
二刚片组成
ⅠⅡ
力，因此不能作结构。
1-1-2 分析规则
1 三角形 2
Ⅰ
Ⅱ
在不考虑材料应变所产生变形的条件 下，构成无多余约束几何不变体系（静定结 构）的基本规则如下： ●三刚片规则
本题也可先去掉 BD 杆件；分析剩下部分若 分别与地基构成几何不变部分，则 BD 杆件为多 余联系，结论也是有一个多余联系的几何不变体 系。
【分析】
●二元体：两个链杆铰接在一起，且三个铰 构成三角形，就是二元体。体系如果有二元 体最好先去掉，这样可以使体系得到简化。 图 a 体系有二元体，先去掉。图 b 体系无二 元体。 ●地基情况：图 a 的上部体系与地基之间有 三个联系，地基可以去掉，去掉地基后部分 若构成一个刚片，则整个体系为几何不变体 系。图 b 体系的地基不能去掉。 ●找几何不变部分：图 b 体系二元体、地基 都考虑之后，找与地基能够直接构成几何不 变体系的部分，DE 杆件与地基刚接构成几 何不变部分，CB、AB 两杆件与地基满足二 （或三）刚片规则构成几何不变部分如图 c。 ●多余联系判断：图 b 的上部体系除 DB 杆 件外都与地基直接构成几何不变体系，DB 杆件不考虑也是几何不变，DB 杆件是多余 联系，即图 b 体系为有一个多余联系的几何 不变体系。
将地基当作刚片 I，ACD 当作刚片 II，GE ●地基情况：图 a 的上部体系与地基之间有
当作刚片 III； I、II 刚片之间用链杆支座 A 和链杆 CB 连接，
四个联系，地基不能去掉，将地基当成一个
其虚铰在 A 处。
刚片。
I、III刚片之间用链杆支座G和链杆BE连接， ●利用三刚片规则：上部体系没有与地基直
第 1 章 几何组成分析
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【例题 1-5】 图示体系分析几何组成。
(a )
F G
(b)
H
D
Eபைடு நூலகம்
A
B
C
O23
G
III
D
E
II
A
O12
B C
I
例题 1—5 图
O13
【解】
【分析】
对图 a 所示体系有：
●去二元体：首先将体系的二元体 FDG、HGE
先去二元体 FDG、HGE；
先去掉，这样可以使体系得到简化。
因此整个体系为无多余约束的几何不
变体系。
【分析】
●二元体情况：该体系没有二元体可以先去掉。 ●地基情况：图 a 的上部体系与地基之间有四个联 系，地基不能去掉，首先将地基当成一个刚片。 ●三刚片规则的利用：上部体系没有与地基直接构 成几何不变的部分，要在上部体系再找两个刚片。 按照三刚片规则的要求寻找另外的两个刚片，即保 证每两个刚片之间有两个联系。CA、DB 杆件作刚 片就满足这样的要求。
1-1-3 几何组成分析一般方法（步骤）
(1)去二元体（二杆结点）。 (2)分析地基情况：上部体系与地基之间
●当有满足二刚片规则的三个联系时，去掉地基，仅分析上部体系； ●当少于三个联系时，必为几何常变体系； ●当多于三个联系时，将地基当作一个刚片进行分析。 (3)利用规则找大刚片(最简单情况为:三个铰接杆件为刚片)。 (4)使用几何组成规则进行分析。
【分析】
●地基：当上部体系与地基之间有满足二 刚片规则的联系时，可以去掉地基联系， 仅分析上部体系即可。图 a 体系去地基后， 分析上部体系。 ●二元体：两个链杆铰接在一起，且三个 铰构成三角形，就是二元体。体系如果有 二元体最好先去掉，这样可以使体系得到 简化。图 b 和图 c 两个体系都有二元体。 ●瞬变情况：当两个铰接链杆的三个铰共 线时，不能构成二元体，是几何瞬变体系。 图 c 体系的其它部分即使是几何不变，整 个体系也是几何瞬变的。 ●基附关系：图 b 体系 AB 与地基直接构成 几何不变,AB 基本部分,DFBC 为附属部分, 图 b 为基附型结构。具有基本和附属部分 的结构在静力计算时可利用基附关系的组 成特点顺利求解。
【题 b 解】 对图 b 所示体系有：
去二元体 DEBF； 去二元体 FBC； 去二元体 CB； AB 杆件与地基刚接构成刚片； 整个体系为无多余约束的几何不变体系。 AB 为基本部分，其它为附属部分。
【题 c 解】 对图 c 所示：
去二元体 GFD; CD 链杆与地基链杆支座的三个铰共线，为瞬 变的； 因此，整个体系为瞬变体系。
第 1 章 几何组成分析
§1 – 1 基本概念
1-1-1 名词解释
●几何不变体系——结构（静定或超静定）
在不考虑材料变形情况下,几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。
●几何可变体系
在不考虑材料变形情况下,形状或位置可变的体系，称为几何可变体系。
●刚片 在平面上的几何不变部分。
●自由度
确定体系位置所需的独立坐标数目。
III II
A
B
A
B
例题 1—1 图
×O 2 3
【解法一】 对图 a 所示体系有：
先去二元体 ACD； BD 杆件与地基之间用既不平行也不交于一点 的三个链杆相连满足二刚片规则； 整个体系为无多余约束的几何不变体系。
【解法二】 对图 a 所示体系有：
BD 杆件与地基之间用既不平行也不交于一点 的三个链杆相连满足二刚片规则，故 BD 与地基构 成一个新刚片；
三个刚片用不在同一条直线上的三个 铰（或虚铰）两两相联。 ●二刚片规则
二元体组成
A Ⅰ
2
结构力学典型例题解析
两个刚片用不交于一点也不全平行的三根链杆相联； 或：两个刚片用一个铰和不通过该铰心的链杆相联。 ●二元体规则 什么是二元体（二杆结点）： 两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置，称为二元体。 在一个体系上增加或减少二元体不影响其几何不变性。
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结构力学典型例题解析
【例题 1-6】 图示体系分析几何组成。
(a )
C
(b)
O13
D
C
D
II
III
O23
A
B
A
B
O12
I
例题 1—6 图
【解】
对图 a 所示体系有： 将地基当作刚片 I；
CA 当作刚片 II， DB 当作刚片 III； I、II刚片之间用链杆支座A、C连接， 其虚铰在A处为 O12。 I、III刚片之间用链杆支座B、D连接， 其虚铰在D处为 O13。 II、III刚片用链杆CD和链杆AB连接， 其虚铰为CD方向无穷远O23 三个铰O12、O13、O23构成三角形，满足 三刚片规则；
第 1 章 几何组成分析
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【例题 1-3】 图示体系分析几何组成。
(a) D
E
FG
A B CH
×O23
(b)
O12 D
II E
FG
I A B III C
×O13
例题 1—3 图
【解】 对图 a 所示体系有：
先去二元体 GFH； 将地基当作刚片 I，DEFG 当作刚片 II，ABC 当作刚片 III； I、II 刚片的虚铰 D I、III刚片的虚铰为沿ABC方向无穷远 O13 II、III刚片的虚铰为EB、FC无穷远 O23 三个铰D、O13、O23构成三角形，满足 三刚片规则； 因此整个体系为无多余约束的几何不 变体系。
先去二元体 ECD； AB 折杆件与地基之间满足二刚片规则； 整个体系为无多余约束的几何不变体系。 AB 为基本部分，CED 为附属部分。
本题亦可先去地基，将 CE、ED、CABD 作三个 刚片，用 C、D、E 三个铰相连接满足三刚片规则。 【题 b 解】
对图 a 所示体系有：
DE 杆件与地基构成几何不变体系； CB 刚片与地基之间用 AB 链杆和 C 处两个 平行链杆相连接，三个链杆不平行也不交与一点 满足二刚片规则，故 CB 与地基构成几何不变体 系； BD 链杆为多余联系； 故整个体系为有一个多余约束的几何不变 体系。
●约束（联系） 能够减少自由度的装置。减少自由度的个数为约束个数。
①链杆 —— 相当 1 个约束
②铰 —— 相当 2 个约束
③虚铰 —— 相当 2 个约束
④复铰 —— 相当 n-1 个单铰的作用
●多余联系 不能减少自由度的联系，称
为多余联系。 ●必要联系
ⅠⅡ
去掉时能够增加自由度（或维持体系不
三刚片组成
其虚铰为沿BE方向无穷远O13
接构成几何不变的部分，要在上部体系再找
II、III刚片用链杆DG和链杆CE连接，其虚铰 两个刚片。按照三刚片规则的要求寻找另外
为DG方向无穷远O23 三个铰A、O13、O23构成三角形，满足三刚片
规则；
因此整个体系为无多余约束的几何不变体
系。
的两个刚片，即保证每两个刚片之间有两个 联系。GE 杆件作刚片、ACD 作刚片就满足 这样的要求。 ●确定虚铰：两刚片之间的两个链杆联系构
GH 为附属部分，ACDG 为三刚片组 成的基本部分。
【问题？】
用二刚片规则如何分析该体系的 几何组成？
【分析】
●二元体：图 a 体系 GH 和 H 链杆构成二元体，先 去掉二元体，体系简化如图 b 所示。 ●地基情况：图 b 的上部体系与地基之间有四个联 系，地基不能去掉，首先将地基当成一个刚片。 ●利用三刚片规则：上部体系没有与地基直接构成 几何不变的部分，要在上部体系再找两个刚片。按 照三刚片规则的要求寻找另外的两个刚片，即保证 每两个刚片之间有两个联系。DG、AC 杆件作刚片 就满足这样的要求。 ●确定虚铰：两刚片之间的两个链杆联系构成一个 虚铰，虚铰的位置为链杆延长线的交点，平行链杆 的虚铰在无穷远处，I与III为O13，II与III为O23，I与 II为D。 ●是否满足规则：将三刚片的三个虚铰，每两个连 线，分析是否构成三角形，构成三角形就满足三刚 片规则。 ●三角形与直线区别：
直线上的三个点，任意两点连线，连线之间的 夹角是 0 度或是 180 度。如果有一个角度不是 0 也 不是 180 度，那么一定构成三角形。
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结构力学典型例题解析
【例题 1-4】 分别分析图示两个体系的几何组成。
(a )
E
(b)
DE
C
D
C
B
A
B
A
(c)
几何不变
DE
C
B
几何不变
A
例题 1—4 图
【题 a 解】对图 a 所示体系有：
【分析】
●注意二元体：二元体是一个由两个链杆 铰接在一起且三个铰不共线的装置,每个 链杆可以是直杆也可以是曲杆(包括折 杆)。当二元体 ACD 去掉时，铰 A 和铰 D 不能同时去掉，因铰 A 和铰 D 其它杆件还 需要。由于 B 端不是实铰（虚铰在无穷远 处），一般情况 DB 杆件不能当作链杆看 待。 ●基附型结构：对于具有基本部分和附属 部分的结构，找出基附关系对于确定静力 计算方法是很重要的。 ●三刚片规则应注意：首先应确定三个刚 片，每两个刚片之间必须有两个联系（一 个铰或虚铰），这样只是满足了三刚片规 则的必要条件（前提条件），是否满足三 刚片规则，还须三个铰（或虚铰）构成三 角形。另外在确定两个刚片之间的铰（或 虚铰）时，每个联系（链杆）只能使用一 次，绝不能重复使用。 ●分析结论：当是几何不变体系时，还要 说明是否有多余联系（约束），若有多余 联系，必须指明有几个多余联系。
利用三刚片规则分析时：首先找出三个刚片，（满足三刚片规则的连接条件，即每两个 刚片间有一个铰（或虚铰），然后再标出虚铰位置，最后看三个铰是否构成三角形。
§1 – 2 典型例题解析
第 1 章 几何组成分析
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【例题 1-1】 试对图示体系进行几何组成分析。
(a )
D
× × (b) O12
I
O13
D
C
C