2014(模拟赛)全国初中数学竞赛试题(八年级,含详解)
2014年全国初中数学联合竞赛试题及答案
2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案（八年级组）第一试一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5．B （5.由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2014=4×503+2，所以2014x =2） 二、填空题6．20°7．－48．919．5（小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块）10．23（对角四边形的面积之和相等）第二试一、（1）证明：∵2233x x y y =+=+，，∴22x y x y -=-∴ 1 ()x y x y +=≠……………………………………………………6分（2）解：∵2233x x y y =+=+，，∴323233x x x y y y =+=+，， 43243233x x x y y y =+=+，，54354333x x x y y y =+=+，，∴5543433223223339339x y x x y y x x x x y y y y +=+++=++++++3+ 22712712x x y y =+++223()2()1921192119()4261x y x y x y x y =+++=+++=++=.………15分 二、解：方程两边分解因式得 （2x +y ）（x +y ）=2×19×53．………………………………5分不妨先设x ≥y ≥1，则有2x +y ≥x +2y >x +y >1． 由此，只有三种情况： 253,2106,210238,219,2 2.x y x y x y x y x y x y+=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩或或…………………………10分当253,238,x y x y +=⎧⎨+=⎩时，解得15,23,x y =⎧⎨=⎩当2106,21007,219,2 2.x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或时，不符合题意.故原方程的正整数解为15,23.x y =⎧⎨=⎩………………………………………………15分俯视图2 12三、解：设本次比赛钓到的鱼的总数是x 条．则钓到3条或3条以上的人共钓到鱼的条数为：()()14+26=16x x -⨯⨯-，钓到()16x -条的人数为165x -；…………………………………………………………5分 类似地，钓到10条或10条以下的人共钓到鱼的条数为：()()114+12213=81x x -⨯⨯+-，钓到这些鱼的人数为815x -；………………10分 根据题意，可知参加本次比赛的总人数得，()167465x -+++=()814215x -+++，解得x =541．因此，本次比赛共钓到541条鱼．……………………………………………………15分四、证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠．（1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠.∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ．∵F 为EC 的中点，∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ．…………………………………………………………10分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F .∴3C ∠=∠，4F ∠=∠．∵M 为BC 的中点∴BM ＝CM ． 在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C BM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ∴BF ＝CN ． ∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝10－x ，BE ＝AB ＋AE ＝6＋10－x ． ∴6＋10－x ＝x ．解得 x ＝8．∴CN ＝5.5，AN =2． ………………………………………………25分2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案（九年级组）第一试一、选择题A MDCBNE F35 41 21．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 二、填空题7．1792（两边同时乘以a +b +c ）8．-8 9．25-=x （提示：[]x ≤x ＜[]x +1，原方程化为[]x ≤2[]x +27＜[]x +1，解得[]x =－3，代入原方程求出x .）10．（1，21）（1011,51-）（提示：除直角三角形ABC 斜边的中点外，直线AB 上与该中点关于斜边上高的垂足对称的点也满足题意）第二试一、解：设甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为x 台，y 台，()[]y x -12+台，则乙仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为（9-x ）台，（15-y ）台，()[]y -15x -9-20+台， 设总运输费为S 元，则S=10x +5y +6()[]y x -12++4（9-x ）+8（15-y ）+15()[]y -15x -9-20+，得S=15x +6y +48=9x +6(x +y )+48，…………………………………………………………10分 又0≤x ≤9，0≤y ≤15，4≤x +y ≤12，S≥9×0+6×4+48=72，………………………………………………………………………15分 此时，x =0，y =4，又()[]y x -12+=8，故甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为0台，4台，8台.……………………20分二、(1)证明：由AB =AD ，知∠ABD =∠ADB =α,由等弧对等圆周角知，∠ACD =∠ACB =α.令∠DFC =β则∠BAD =∠BFC =2β，故∠ABD +∠ADB +∠BAD =α+α+2β=180°，于是α+β=90°，∠CDF =90°.又∠FBC =180°-α-2β=α=∠FCB ，所以FB =FC …………………………10分 (2)解：设边BC 的中点为M ，连接FM . 易知△FCD ≌△FBM ,BC =2CD 又AC 是∠BCD 的角平分线，由角平分线定理，得2==CDBCDE BE …………………25分三、解：点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 坐标为（0，﹣3）．∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；点E 的坐标为（1，0）．………………………………5分 （1）当点M 在对称轴右侧时．①若点N 在射线CD 上，如图，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°， ∴△MCN ∽△DBE ，∴21==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ． 设CN =a ，则MN =2a ．∵∠CDE =∠DCF =45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF =CN =a ，CF =a ， ∴MF =MN +NF =3a ，∴MG =FG =223a ， ∴CG =FG ﹣FC =22a ，∴M （223a ，﹣3+22a ）．代入抛物线解得a =927，∴M （37，﹣920）； ………………………………………………………………13分②若点N 在射线DC 上，如图，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°， ∴△MCN ∽△DBE ，∴21==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ．设CN =a ，则MN =2a ． ∵∠C DE =45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF =CN =a ，CF =a ， ∴MF =MN ﹣NF =a ，∴MG =FG =22a ， ∴CG =FG +FC =223a ，∴M （22a ，﹣3+223a ）．代入抛物线y =（x ﹣3）（x +1），解得a =5， ∴M （5，12）；………………………………………………………………………………21分 （2）当点M 在对称轴左侧时． ∵∠CMN =∠BDE ＜45°， ∴∠MCN ＞45°，而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在．…………………………24分综上可知，点M 坐标为（37，﹣920）或（5，12）．……………………………………25分2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月7日下午4：00—6：00）班级：: 姓名： 成绩：第2题图DACB第4题图DACB考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。
2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则(详解)
D A C B2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则（3月7日下午4：00—6：00）班级：: 姓名：成绩：考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的。
将你选择的答案的代号填在题后的括号内。
每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是（ B ）A、9504元B、9600元C、9900元D、10000元解析：设该商品的进货价为x元，由题意得xx%108.013200=-⨯解得：9600=x答：该商品的进货价为9600元。
故选B2、如图，在凸四边形ABCD中，BDBCAB==，︒=∠80ABC，则ADC∠等于（ C ）A、︒80B、︒100C、︒140D、︒160解析：∵BDBCAB==∴BDCC∠=∠，ADBA∠=∠∵︒=∠+∠+∠+∠+∠360ABCAADBBDCC∴()︒=︒-︒=∠+∠280803602BDABDC∴︒=∠+∠140BDCADB，即︒=∠140ADC故选C第2题图3、如果方程()()0422=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ D ）A 、40≤mB 、3≥mC 、4≥mD 、43≤m解析：∵方程()()0422=+--m x x x 的有三根∴21=x ，042=+-m x x 有根，方程042=+-m x x 的0416≥-=∆m ，得4≤m 又∵原方程有三根，且为三角形的三边长∴有2132=+x x x ，2132=-x x x ，由根系关系得2432 =+x x ，m x x =32成立，； 当232 x x -时，两边平方得：()4432232 x x x x -+代入相应数据得4416 m -，解得，3 m ∴43≤m 故选D4、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠60BAD ，︒=∠30ABC ，6=AB 且CD AD =，那么BD 的长度是（ C ）A 、7B 、4C 、72D 、24解析：过点C 作AD CE //交AB 于E ，过点D 作AB DF ⊥于F 则四边形ADCE 是菱形，︒=∠=∠60A CEB ∵︒=∠30ABC ∴BE AE DC EC AD 21==== ∵6=AB∴2====AE DC EC AD ∴1=AF ，3=DF ，5=BF 由勾股定理得：72=BD 故选C5、如果02014 a -，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是（ A ） A 、2014 B 、2014+a C 、4028 D 、4028+a解析：本题分类讨论∵02014 a - ∴a a 20142014-- 当2014-a x 时|2014||2014|||+-+++-a x x a x20142014-+----=a x x x a 20142014340282 a x a ---=当20142014-≤- x a|2014||2014|||+-+++-a x x a xF E 第4题图DACB()()()20142014+-++---=a x x a xx -=当a x ≤-2014时|2014||2014|||+-+++-a x x a x()()()20142014+-+++--=a x x a x 4028+=x当x a ≤时|2014||2014|||+-+++-a x x a x()()()20142014+-+++-=a x x a x 20144028402823 a a x +≥+-=综上|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值为2014 6、方程()y x y xy x +=++322的整数解有（ D ） A 、3组B 、4组C 、5组D 、6组解析：∵()y x y xy x +=++322 ∴()()()1833222=++-+-y x y x则符合条件的整数解为：⎩⎨⎧==03y x ，⎩⎨⎧==30y x ，⎩⎨⎧=-=21y x ，⎩⎨⎧-=-=11y x ，⎩⎨⎧-==12y x ，⎩⎨⎧==00y x二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如图，扇形AOB 的圆心角︒=∠90AOB ，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 ．答案：10解析：过点O 作EF OH ⊥于点H ，交DC 于点K ，连接OF ∵OH 过圆心 ∴FH EH =∵四边形CDEF 是正方形 ∴DC OH ⊥，CK DK =∴OCK ∆是等腰直角三角形，KC OK = 设x CF =，则x KH =，2xCK OK HF === 在OHF Rt ∆中，222OF HF OH =+ 即222522=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x ，解得10=xH G KD FE O AC B即CF 的长为10 故答案为：102、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23，28，33，39，x ，y ，则____=+y x ． 答案：93解析：设四个自然数满足D C B A∴D C D B C B C A B A +++++ 且D C D B D A C A B A +++++ 又∵23=+B A ，28=+C A ∴512=++=+++C B A C A B A ∴33=+C B∴9=A ，14=B ，19=C ，30=D ∴443014=+=x ，493019=+=y ∴93=+y x 故答案为：933、已知6=-y x ，922=-+-y xy xy x ，则22y xy xy x ---的值是 ． 答案：4解析：∵6=-y x ∴()()6=-+y x yx ∴yx y x -=+6∵()9=+-y x yx∴966=-yx ，即966=-y x ∴()4966622=⨯=--=---y x yx y xy xy x 4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 ．答案：125 解析：机会均等的可能共有36种，其中当红色骰子掷出上面的点数为1时，白色骰子掷出上面的点数比它的可能有5种；当红色骰子掷出上面的点数为2时，白色骰子掷出上面的点数比它的可能有4种；当红色骰子掷出上面的点数为3时，白色骰子掷出上面的点数比它的可能有3种；当红色骰子掷出上面的点数为4时，白色骰子掷出上面的点数比它的可能有4种；当红色骰子掷出上面的点数为5时，白色骰子掷出上面的点数比它的可能有1种。
2014年全国初中数学联赛决赛(初二)试题及答案解析
2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若0x >，0y >=的值为（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 42．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误!未找到引用源。
＝（ D ）A ．16B ．15C ．13D ．123．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误!未找到引用源。
则x y +的可能的值有 （ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ）A ．21B ．20C ．31D ．305．已知实数,,x y z 满足1()2x y z =++，则xyz 的值为 （ A ）A ．6B ．4C ．3D ．不确定6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ D ）A ．1813B ．2013C ．2213D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝1-．2．使得不等式981715n n k <<+错误!未找到引用源。
对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ．3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠=48︒．4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ 8 ．第二试一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．解222233(2)2(2)121(21)(1)44M a b a b b b a b b =-+-+++++=-++++，………………5分注意到b 为正整数，所以2319(11)44M ≥++=，所以M 可能取得的最小整数值为5. ……………………10分当5M =时，223(21)(1)54a b b -++++=，故2217(21)(1)4a b b -+++=.…………………15分 因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且21(21)4a b -+=，所以1b =，12a =或32a =. ……………………20分 二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB . 解 延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF .又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . …………5分所以AE BM =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角形，于是有222BM BF MF +=. ……………………10分又在直角△CEF 中，有222CE CF EF +=.又由90EDF ∠=︒和DM ED=可得EF MF =， ……………………15分 于是可得222222CE CF BM BF AE BF +=+=+，所以222212BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分 又32BF CF -=，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此2222268100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac ab a bc b ac c ab++=+++，求a b c ++的值. 解 由2221222bc ac ab a bc b ac c ab ++=+++得2221111222111a b c bc ac ab++=+++. 设22a x bc =，22b y ac =，22c z ab =，则8xyz =，且1111111x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分 即2222226a b c bc ac ab++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分。
2013-2014学年第二学期八年级竞赛数学试卷(含答案)人教新课标
ADCB2013学年第二学期八年级竞赛数学试卷学号___________ 姓名____________ 得分___________一、 细心选一选（每题3分，共36分） 1.下列计算正确的是（ ） A.B.C.D.2.要使二次根式有意义,则x 的取值范围是（ ）A ．x B.x C. D.x3.一位卖运动鞋的经销商到一所学校对200名学生的鞋号进行了抽样调查,经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ）A ．中位数 B.平均数 C.众数 D.方差 4.如果一个多边形的内角和为1800°则这是个（ ）边形A ．9 B.10 C.11 D.125.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ） A ．5 B.4 C.2 D.86.若代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，则x 的值为（ ） **=－1，x2=－5B.x1=－6，x2=1**=－2，x2=－3D.x=－17.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）8.如果等边三角形的边长为6，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（ ） ** B.9 C.12 D.18 9.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）**－2x －99=0化为(x －1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 **－7t －4=0化为 D.3y2－4y －2=0化为10.平行四边形的对角线分别为a和b ,一边长为12，则a和b的值可能是下面各组的数据中的（）A．8和4 B．10和14 C．18和20 D．10和3811. 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70 B. 110 C. 140 D. 15012．设min{,}x y表示x,y两个数中的最小值，例如min{0,2}=0 ，min{12,8}8=，则关于函数min{2,2}y x x=+可表示为（）A．2(2)2(2)x xyx x<⎧=⎨+≥⎩B.2(2)2(2)x xyx x+<⎧=⎨≥⎩C.2y x= D.2y x=+二、填空题（每题3分，共24分）13.在直角坐标系中，点A(2，－3)关于原点对称的点的坐标是__________,关于x轴对称的点的坐标是_____________.14.已知x=－1是关于x的方程的一个根，则a=_____________15. 一组正整数2,3,4,x从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是______________16.用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设__________________________________17.函数与y=x－2图象的交点的横坐标分别为a，b，则的值为______18. 如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为______________第18题图19题图第20题图19. 学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星，若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪即∠ABC的度数为_____________20．如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是________;四边形A 2012B 2012C 2012D 2012的周长是________ 三、 解答题（共60分） 21.（8分）化简计算：(1)1691214⨯⨯ （2）182)12)(12(12⨯+-++22.（8分）解方程（1）x 2＋3x ＋1＝0 （2）（x －2）（x －5）=－223.（8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，AE ⊥BF ，垂足为P ，AE 与CD 交于点E ，•BF •与AD 交于点F ，求证：AE =BF ．24.（8分）某校为了解学生“体育大课间”的锻炼效果，中考体育测试结束后，随机从学校720名考生中抽取部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）共抽取了_____________名学生的体育测试成绩进行统计；（2）随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是______，众数是______，女生体育成绩的中位数是___________（3）若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多少？25.(8分)某百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1050元，那么每件童装应降价多少元？26.（8分） 如图，病人按规定的剂量服用某药物，测得服药后2小时，每毫升血液中含药量达到最大值为4毫克．已知服药后，2小时前每毫升血液中含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例；2小时后y 与x 成反比例．（1）当0≤x ≤2时；x ＞2时，分别求y 与x 的函数关系式？（2）如果每毫升血液中含药量不低于2毫克时治疗有效，则那么服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？27. （12分）将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111D C B A ，如图1所示. （1）当α=45o时(如图2)，若线段OA 与边11D A 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立 ①EOP ∆≌FOP ∆②1PA PA =，试选择一个证明.（2）当o o 900<<α时,第（1）小题中的结论1PA PA =还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.（3）在旋转过程中，记正方形1111D C B A 与AB 边相交于P ,Q 两点，探究POQ ∠的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系;如果不变，请直接写出POQ ∠的度数.答题卷一．选择题 (本大题共12小题, 每小题3分, 共36分）APBQ1B C1C D1DO图1DC1B BPFEOA1C1D图21A 1A二．填空题（本大题有8小题, 每小题3分, 共24分）13. 、 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. . 20. . 三、解答题（共8道小题，共50分） 21、（本题满分6分）化简计算：(1)1691214⨯⨯ （2）182)12)(12(12⨯+-++22、（本题满分6分）解方程（1）x 2＋3x ＋1＝0 （2）（x －2）（x －5）=－2 23.(8分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案24.（8分）（1）共抽取了_____________名学生的体育测试成绩进行统计；（2）随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是______，众数是______；女生体育成绩的中位数是___________（3）若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多少？25.（8分）26.（8分）27.（12分）APBQ1B C1C D1DO图1DC1B BP FEOA 1C1D图21A 1A参考答案一．选择题 (本大题共12小题, 每小题3分, 共36分） 二．填空题（本大题有8小题, 每小题3分, 共24分）13. (－2，3) 、 (2，3) 14. －2或1 . 15. 5 . 16. 三个内角都小于60° . 17. －2 . 18. 3 . 19. 126°. 20. 20 、21.（1）286 （2）7+22.（1） (2)x =3,或x =423.解：在(ASA ) AE =BF24.(1)80 (2) 26.4 27 27 (3)25.解：设每件童装应降价X 元，则26 (1) .(2)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACDCACBBCDA1A B1B C1CD1DOEFPQA 治疗疾病的有效时间是4小时。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）ABCD【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅== 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32- D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =.故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ．A【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠，而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ． 【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试D一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =.若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根；若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====.二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠. 又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， 所以ED CD ABDF AF AF==. 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故 DFE AFB ∠=∠.三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.FBD解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P . 取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P . 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P . 因此，1，5和2014都具有性质P .若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P .。
(必考题)初中数学八年级数学上册第六单元《数据的分析》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：尺码（cm）23.52424.52525.5销售量（双）12341A．25，25 B．24.5，25 C．25，24.5 D．24.5，24.52．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是183、187、190、200、195，现用一名身高为210cm的队员换下场上身高为195cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的（）A．平均数变大，方差变小B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变大D．平均数变小，方差变小3．学校篮球队5名场上队员的身高分别为：170，173，175，177，180（单位：cm）．增加一名身高为175cm的成员后，现篮球队成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A．方差不变B．方差变大C．方差变小D．不能确定4．某校八年级有11名同学参加数学竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．不能确定5．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（）A．30和 20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.56．某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6:4记入总成绩，若小李笔试成绩为80分，面试成绩为90分，则他的总成绩为（）A．84分B．85分C．86分D．87分7．某学校生物兴趣小组11人到校外采集标本，其中3人每人采集4件，4人每人采集3件，4人每人采集5件，则这个兴趣小组平均每人采集标本（）A．3件B．4件C．5件D．6件8．下表记录了甲、乙、丙、丁四名立定跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁V cm166165166165平均数()方差22()s cm 3.5 3.515.516.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：10，6，9，11，8，10，下列关于这组数据描述正确的是（）A．中位数是10 B．众数是10 C．平均数是9.5 D．方差是610．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下图所示：则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）A．9，8 B．9， 9 C．9.5， 9 D．9.5，811．已知数据1x、2x、3x、、100x是龙岩市某企业普通职工的2019年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入101x，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（）A．b一定增大，c可能增大B．b可能不变，c一定增大C．b一定不变，c一定增大D．b可能增大，c可能不变12．某校5个环保小队参加植树活动，平均每组植树10棵，已知第一、二、三、五组分别植树9棵、12棵、9棵、8棵，则第四小组植树()A．7棵B．9棵C．10棵D．12棵二、填空题13．若3，2，x，5的平均数是4，则x= _______．14．数据-3、-1、0、4、5的方差是_________．15．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表：完成引体向上的个数78910人数1234 16．已知一组数据的方差S2＝15[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8，则a2+b2的值为_____．17．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：()()()()222222334x x x xSn-+-+-+-=，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是_______（填序号）18．某班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：甲队789710109101010乙队10879810109109已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是__________队．19．我县教师招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%,面试按60%计算加权平均数作为总成绩，周倩笔试成绩为86分，面试成绩为85分，那么周倩的总成绩为____________分．20．一组数据2，4，8，5，4的中位数是a，则a的值是____．三、解答题21．某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的初中学生人数为人，扇形统计图中的m＝，条形统计图中的n＝；（2）求统计调查的初中学生每天睡眠时间的平均数和方差．22．某山区中学280名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．回答下列问题：（1）这次调查一共抽查了______名学生的植树量；请将条形图补充完整；（2）被调查学生每人植树量的众数是______棵、中位数是______棵；（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这280名学生共植树多少棵？23．为了加强安全教育，某校对学生进行“防溺水知识应知应答”测评．该校随机选取了八年级300名学生中的20名学生在10月份测评的成绩，数据如下：收集数据：，=，d=；（2）该校决定授予在10月份测评成绩优秀（96分及以上）的八年级的学生“防溺水小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的人数．（3）若被选取的20名学生在11月份测评的成绩的平均数、众数和中位数如表：10月份到11月份开展的“防溺水知识应知应答”测评活动的效果．24．小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续7个月估计了每个月的煤气使用数据，并记录如表：（2）若煤气每方3元，估计小强家一年的煤气费为多少元．25．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．为了让老师们更好地了解国家的宏观政策及具体措施，某学校领导组织全体教师利用“学习强国APP”对相关知识进行学习并组织定时测试（总分为100分）．现从该校中随机抽取20名教师的测试成绩进行分析，过程如下：收集数据20名教师的测试成绩如下（单位：分）76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86，100，96，100，92，90整理数据 请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整． 成绩（个） 060x ≤< 6070x ≤< 7080x ≤< 8090x ≤< 90100x ≤<等级 ABC D E 人数平均数 中位数 满分率91.9 25%（1）用样本中的统计量估计全校教师的测试成绩等级为 ；（2）若该校共有教师210人，请估计该校教师的测试成绩等级为D ，E 的总人数． 26．2020年11月24日，全国劳动模范和先进工作者表彰大会在北京人民大会堂隆重举行，某县举办了“弘扬工匠精神，争当文明员工”歌唱比赛，某企业要从甲、乙两参赛部门中择优推荐一部门参加县级决赛，他们预赛阶段的各项得分如下表：歌唱内容 歌唱技巧 仪表形象甲 95 90 85 乙 879393被推荐；（2）如果根据歌唱内容、歌唱技巧、仪表形象按5:4:1的比例确定成绩，请通过计算说明甲、乙两部门哪个部门会被推荐，并对另外一部门提出合理的建议．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、24.5、25、25、25、25、25.5，数据25出现了五次最多为众数．24.5处在第6位为中位数．所以众数是25，中位数是24.5．故选：C．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．2．C解析：C【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．【详解】解：原数据的平均数为15×（183+187+190+200+195）=191（cm），方差为15×[（183-191）2+（187-191）2+（190-191）2+（200-191）2+（195-191）2]=35.6（cm2），新数据的平均数为15×（183+187+190+200+210）=194（cm），方差为15×[（183-194）2+（187-194）2+（190-194）2+（200-194）2+（210-194）2]=95.6（cm2），∴平均数变大，方差变大，故选：C．【点睛】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．3．C解析：C【分析】根据平均数和方差公式分别求出原篮球队5名队员的平均身高和方差以及增加一名身高后的平均身高和方差，然后进行比较即可得出答案．【详解】原5名场上队员的平均身高是15(170+173+175+177+180)=175（cm ）， 则方差是(222221[(170175)(173175)(175175)(177175)180175)11.65⎤-+-+-+-+-=⎦， 增加一名身高为175cm 的成员后的平均身高是16(170+173+175+177+180+175)=175（cm ）， 则方差是(222222129[(170175)(173175)(175175)(177175)180175)(175175)63⎤-+-+-+-+-+-=⎦，∵2911.63>， ∴现篮球队成员的身高与原来相比，方差变小； 故选：C ． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，12x x ，，…n x 的平均数为x ，则方差为(222212n 1[()())S x x x x x x n⎤=-+-++-⎦ ]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．A解析：A 【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自己的成绩和中位数． 故选：A ． 【点睛】本题考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5．C解析：C 【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得． 【详解】将这10个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30， 所以该组数据的众数为30、中位数为20252+=22.5， 故选C ． 【点睛】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．A解析：A 【分析】按照笔试与面试所占比例求出总成绩即可. 【详解】根据题意，按照笔试与面试所占比例求出总成绩：648090841010⨯+⨯=（分） 故选A 【点睛】 本题主要考查了加权平均数的计算，解题关键是正确理解题目含义.7．B解析：B 【分析】根据加权平均数的计算公式，先列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：∵3人每人采集4件，4人每人采集3件，4人每人采集5件， ∴则这个兴趣小组平均每人采集标本是（4×3+3×4+5×4）÷11=4（件）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是找出权重，根据公式列出算式．8．A解析：A 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】∵==x x x x 甲乙丁丙＞，∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵22S S 甲丙＜，∴选择甲参赛，故选：A．【点睛】本题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．9．B解析：B【分析】根据中位数，众数，平均数和方差的概念逐一判断即可．【详解】中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．这组数据中按顺序排列之后中间位置的数是9，10，所以中位数是9101922+=，故A选项错误；众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数．这组数据中，10出现2次，次数最多，所以众数是10，故B选项正确；平均数为10691181096x+++++==，故C选项错误；方差为()()()()()()2222222109699911989109863s-+-+-+-+-+-==，故D选项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查中位数，众数，平均数和方差，掌握中位数，众数，平均数和方差的求法是解题的关键．10．A解析：A【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．【详解】解：由表格可得，读书时间为8小时最多，故一周读书时间的众数为8，该班学生一周读书时间的第20个数9和第21个数是9，故该班学生一周读书时间的中位数为9+9=92，故选：A．【点睛】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．11．B解析：B【分析】我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入x201后，数据的变化特征，易得到答案．【详解】解：∵数据x1，x2，x3，…，x200是龙岩市某企业普通职工的2019年的年收入，而x201为中国首富马云的年收入，则x201会远大于x1，x2，x3， (x200)故这201个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度也受到x201比较大的影响，而更加离散，则方差变大故选：B．【点睛】本题考查的知识点是方差，平均数，中位数，正确理解平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，是解答本题的关键，另外，根据实际情况，分析出x201为中国首富马云的年收入，则x201会远大于x1，x2，x3，…，x200也是解答本题的关键．12．D解析：D【分析】根据平均数乘以5得到总数，减去其他四组的数量即可得到答案.【详解】5109129812⨯----=（棵）故选：D.【点睛】此题考查利用平均数求总数，理解平均数的意义，正确计算是解题的关键.二、填空题13．6【分析】利用平均数乘以数据的个数得到的和减去已知的几个数即可得到x的值【详解】∵32x5的平均数是4∴故答案为：6【点睛】此题考查利用平均数求未知的数据正确掌握平均数的计算方法正确计算是解题的关键解析：6【分析】利用平均数乘以数据的个数得到的和减去已知的几个数即可得到x的值.【详解】∵3，2，x，5的平均数是4，x=⨯---=，∴443256故答案为：6.【点睛】此题考查利用平均数求未知的数据，正确掌握平均数的计算方法，正确计算是解题的关键.14．2【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差【详解】这组数据的平均数是：方差是故答案为：92【点睛】本题考查了求数据的平均数与方差的问题解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可解析：2．【分析】根据公式求出这组数据的平均数与方差．【详解】这组数据的平均数是：(3)(1)04515x -+-+++== 方差是2222221[(31)(11)(01)(41)(51)]9.25s =--+--+-+-+-=．故答案为：9.2．【点睛】本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时利用平均数与方差的公式进行计算即可． 15．9【分析】将数据由小排到大再找到中间的数值即可求得中位数奇数个数中位数是中间一个数偶数个数中位数是中间两个数的平均数【详解】解：将10个数据由小到大排序：78899910101010处于这组数据中间解析：9【分析】将数据由小排到大，再找到中间的数值，即可求得中位数，奇数个数中位数是中间一个数，偶数个数中位数是中间两个数的平均数。
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。
所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）A．2BCD【答】 B .因为A D B C ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B C B D =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =. 由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB .设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0.A2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠，而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=.注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试D一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠,AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠. ……………………5分又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， ……………………15分 所以ED CD ABDF AF AF==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB ∠=∠. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性FBD质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .…………………5分 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………10分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分 若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………25分。
2014年全国中学生数学能力竞赛八年级(初赛)试题
2014年全国中学生数学能力竞赛八年级（初赛）试题试题总分：120分 时间：120分钟一 画龙点睛（本题共8小题，每题3分，共计24分）1.数学家发明了一个魔术盒,当任意数对(a,b)放入其中是,会得到一个新的数:a 2+b+1,例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）+1=8，现将数对（-2,3）放入其中得到数m ，再将数对（m ，1）放入其中后，得到的数是______。
2.在古代的算书中，经常以诗歌的形式来把一些实际生活背景的题目写出来．下面就有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”那么这个客栈有______间房，一共来了______名客人。
3如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为4. 若n 满足（n-2014)2+（2015-n)2=1，则（2015-n ）（n-2014）= 。
5. 观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，…… 根据此规律可知第10个数应是 。
6. 如图，在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B ，∠C 越来越大．若∠A 减小x °，∠B 增加y °，∠C 增加z °，则x ，y ，z 之间的关系是 。
第6题 第7题7. 如图，在三角形ABC 中，点D,E,F 分别是线段BC,AD 、CE 的中点是 且△ABC 的面积为4cm 2，则△BEF 的面积= 。
8.某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市元。
二一锤定音（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）9.根据图中箭头的指向规律，从2014到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）。
2014年全国初中数学联合竞赛(初二组)初赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、B3、B4、D5、D6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、41n -2、43、14、3三、（本大题满分20分）解不等式13|2|-<-x x解：（1）当2<x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得43>x 故此时243<<x ；（10分） （2）当2≥x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得21->x 故此时2≥x ． （15分） 综上所述，不等式的解为：34x >．（20分）四、（本大题满分25分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥于E .若3,5DE BD ==， 求梯形ABCD 的面积．解：在直角△BDE 中，由勾股定理有：422=-=DE BD BE ；（5分）过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于F ，连接DF 、CF ，则ACFD 是平行四边形，故CF =AD ，DF AC BD ==，所以DE 是等腰△DBF 底边上的高，故28BF BE ==（15分） 所以1221)(21=⋅=+=DE BF DE AD BC S ABCD （25分）．五、（本大题满分25分）已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值．解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分）则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分）因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ，（1）当a=b 时，1)1()1(22=-=-b a ，即a =b=2；（15分）（2）当a b ≠时，2()1a b -=，从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=； 所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分）综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准
初三数学竞赛试题 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准A．B． C． D．2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2．【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.4．【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.6．【答】 A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.1．【答】 0.由题意知，所以2．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.4．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.解由已知条件可得，.设，，则有，，……………………5分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. ……………………20分解取，，可得，所以1具有性质.取，，可得，所以5具有性质.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则＝.即……………………10分如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准，易知：当，时，取得最大值.【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.A．B． C． D．【答】 A.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.。
2014年全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不．一定．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设33a =，b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．444444222222121231991001121231991001++++++++++-+-+-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC ∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC＝·AD AB 不一定是有理数． 4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25． 因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ① 即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。
2014八年级第一学期学科竞赛数学试卷附答案
2014八年级第一学期学科竞赛数学试卷附答案八年级第一学期学科竞赛数学试卷请同学们注意:1、本试卷分试题卷和答题卷两部分,满分为120分,考试时间为100分钟。
2、所有答案都必须写在答题卷标定的位置上,务必注意试题序号和答题序号相对应。
3、考试结束后,只需上交答题卷,试卷请同学们妥然保管。
一、选择题(每小题3分,共3 6分)1.在平面直角坐标系中,点P(-1,2)的位置在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列语句是命题的是( ) A.作直线AB的平行线 B.在线段AB上取一点CC.同角的余角相等D.垂线段最短是吗?3.满足不等式的最小整数是( ) A.-1 B.1C.2 D.34.如图所示,在Rt△ABC中,∠A90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB4,BD5,则点D到BC的距离是 A.3 B.4 C.5 D.65.下列判断正确的是( )A 、顶角相等的两个等腰三角形全等; B、有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等;C、腰相等的两个等腰三角形全等;D、顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等。
6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( )A. 20°B. 120°C. 20°或120°D. 36°7..根据下列条件判断,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是A.a3,b4,c5B.a30, b60, c90C.a1, b, cD.a:b:c5:12:138. 已知点P1(a-1,4)和P2(2,b)关于x轴对称,则(a+b)2013 的值为( )A.72013B. -1C.1D.(-3)20139.下列判断正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则一定不等于D.若,且,则10..已知点E,F,A,B在直线上,正方形EFGH从如图所示的位置出发,沿直线向右匀速运动,直到EH与BC重合.运动过程中正方形EFGH与正方形ABCD重合部分的面积随时间变化的图像大致是() A B C D11.一次函数y1kx+b与y2x+a的图象如图,则下列结论:①k<0;②a>0;③当x<3时,y1<y2中,正确的个数是A.0 B.1C.2D.3如图,将一个等腰直角三角形ABC按图示方式依次翻折,若DE=,第11题则下列结论正确的有( )个。
(典型题)初中数学八年级数学上册第三单元《位置与坐标》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知点(,2)A m 和(3,)B n 关于y 轴对称，则2021()m n +的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2020(5)-2．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ） A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)--3．已知点Q 与点(3,)P a 关于x 轴对称点是(,2)Q b -，那么点(,)a b 为（ ） A ．(2,3)-B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(3,2)-4．若点P （x, y ）在第二象限，且2,3x y ==，则x + y =（ ） A ．－1 B ．1C ．5D ．－5 5．点A （3，4）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A ．（3，﹣4）B ．（﹣3，﹣4）C ．（﹣3，4）D ．（﹣4，3）6．象棋在中国有三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知棋子“马”和“车”表示的点的坐标分别为(4,1)，(2,1)--，则在第三象限的棋子有（ ）A ．1颗B ．2颗C ．3颗D ．4颗7．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ） A ．m ＝3，n ＝2 B ．m ＝﹣3，n ＝2 C ．m ＝2，n ＝3 D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 8．在平面直角坐标系中，若0a <，则点（﹣2，﹣a ）的位置在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．如图，若象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点(1，－2)，“象”位于点(3，－2)，则“炮”位于点（ ）A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－1，2)D ．(1，－2) 10．点()4,0P -位于平面直角坐标系的（ ） A ．第二象限 B ．第三象限C ．x 轴上D ．y 轴上11．点M 在x 轴上方，y 轴左侧，距离x 轴1个单位长度，距离y 轴4个单位长度，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，4）B ．（﹣1，﹣4）C ．（4，﹣1）D ．（﹣4，1）12．一个点在第一象限及x 轴正半轴、y 轴正半轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动：（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，且每秒移动一个单位，那么第47秒时，这个点所在位置的坐标是（ ）A ．（1，7）B ．（7，1）C ．（6，1）D ．（1，6）二、填空题13．平面直角坐标系中，点()()4,2,2,4A B -，点(),0P x 在x 轴上运动，则AP BP +的最小值是_________．14．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．那么点A 2020的坐标是________．15．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，3）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，则△ABC 周长的最小值是_____．16．在平面直角坐标系中，(0,1)A 、(0,2)B 、(2,3)C ，则ABC ∆的面积为______． 17．已知点A 在x 轴上方，y 轴左侧，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，那么点A 的坐标是______________．18．在第二象限，到x 轴距离为4，到y 轴距离为3的点P 的坐标是 ． 19．点A 的坐标为()5,3-，点A 关于x 轴的对称点为点B ，则点B 的坐标是______．20．平面直角坐标系上有点A （﹣3，4），则它到坐标原点的距离为_____．三、解答题21．已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）在x 轴上画出一点D ，使DA ＋DB 最小，保留作图痕迹．22．在平面直角坐标系中，点P(2﹣m ，3m +6)． （1）若点P 与x 轴的距离为9，求m 的值；（2）若点P 在过点A(2，﹣3)且与y 轴平行的直线上，求点P 的坐标． 23．阅读以下材料，并解决问题：小明遇到一个问题：在平面直角坐标系xOy 中，点()1,4A ，()5,2B ，求OAB 的面积．小明用割补法解决了此问题，如图，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点B 作BN x ⊥轴于点N ，则OAB OAM OBN AMNB S S S S =+-△△△梯形 ()()111142451529222=⨯⨯+⨯+--⨯⨯= 解决问题后小明又思考，如果将问题一般化，是否会有好的结论，于是它首先研究了点A ，B 在第一象限内的一种情形：如图，点()11,A x y ，()22,B x y ，其中12x x <，12y y >（1）请你帮助小明求出这种情形下OAB 的面积．（用含1x ，2x ，1y ，2y 的式子表示）（2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点A ，B （点O ，A ，B 不共线）与坐标原点O 构成的三角形OAB 的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点(),2A a a +，(),B b b 在第一象限内，探究是否存在点B ，使得对于任意的0a >，都有3OABS=？若存在，求出点B 的坐标；若不存在说明理由．24．在如图所示的平面直角坐标系中，完成下列任务．（1）描出点(1,1)A ，(3,1)B ，(3,2)C -，(1,2)D -，并依次连接A ，B ，C ，D ； （2）画出四边形ABCD 关于y 轴对称的四边形1111D C B A ，并写出顶点1A ，1C 的坐标． 25．在平面直角坐标系中，点A 从原点O 出发，沿x 轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点1234,,,A A A A 的坐标分别为()()()()12340,0,1,12,03,1A A A A -，按照这个规律解决下列问题：()1写出点5678,,,,A A A A 的坐标；()2点2018A 的位置在_____________(填“x 轴上方”“x 轴下方”或“x 轴上”)； ()3试写出点n A 的坐标(n 是正整数)．26．如图，在平面直角坐标系中，A （－2，4），B （－3，1），C （1，－2）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A′B′C′； （2）写出点A′、B′、C′的坐标；（3）连接OB 、OB′，请直接回答： ①△OAB 的面积是多少？②△OBC 与△OB′C′这两个图形是否成轴对称．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称的知识点可得到m 、n 的值，代入求值即可． 【详解】∵点(,2)A m 与点(3,)B n 关于y 轴对称， ∴32m n =-⎧⎨=⎩， ∴()()202120213+21m n +=-=-，故选择：C ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系点的对称，代数式求值，掌握平面直角坐标系点的对称，代数式求值方法，根据对称性构造方程组是解题的关键．2．C解析：C 【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标． 【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1） 故选：C ．本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．3．B解析：B 【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变，可得a=2，b=3，进而可得答案． 【详解】解：∵点P （3，a ）关于x 轴的对称点为Q （b ，-2）， ∴a=2，b=3，∴点(a ，b)的坐标为（2，3）， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．4．B解析：B 【分析】先根据第二象限点坐标符号特点可得0,0x y <>，再化简绝对值可得x 、y 的值，然后代入即可得． 【详解】点(,)P x y 在第二象限，0,0x y ∴<>，又2,3x y ==，2,3x y ∴=-=， 231x y ∴+=-+=，故选：B ． 【点睛】本题考查了第二象限点坐标符号特点、化简绝对值，熟练掌握第二象限点坐标符号特点是解题关键．5．A解析：A 【分析】利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，-y ），得出即可． 【详解】点A （3，4）关于x 轴对称点的坐标为：（3，-4）． 故选：A ．此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6．A解析：A 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得，建立的平面直角坐标系如图所示，则在第三象限的棋子有“车”(21)--，一个棋子， 故选：A ． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．注意：第三象限点的坐标特征()--， ． 7．B解析：B 【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称， ∴m=-3，n=2． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．8．B解析：B 【分析】根据各象限的点的坐标特征解答． 【详解】 解：∵a ＜0， ∴-a ＞0，∴点（-2，-a ）在第二象限． 故选：B ．本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．9．B解析：B 【解析】试题分析：先利用“象”所在点的坐标画出直角坐标系，然后写出“炮”所在点的坐标即可． 解：如图，“炮”位于点（﹣1，1）． 故选B ．考点：坐标确定位置．10．C解析：C 【分析】根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是:第一象限(+，+) ；第二象限(-,+) ；第三象限(-,-)；第四象限(+,-) ；x 轴纵坐标为0；y 轴横坐标为0． 【详解】解：点()4,0P -的纵坐标为0，∴点()4,0P -位于平面直角坐标系的x 轴上． 故选：C ． 【点睛】本题考查了各象限内、坐标轴上点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．11．D解析：D 【分析】由点M 在x 轴的上方，在y 轴左侧，判断点M 在第二象限，符号为（-，+），再根据点M 到x 轴的距离决定纵坐标，到y 轴的距离决定横坐标，求M 点的坐标． 【详解】解：∵点M 在x 轴上方，y 轴左侧，∴点M 的纵坐标大于0，横坐标小于0，点M 在第二象限；∵点M距离x轴1个单位长度，距离y轴4个单位长度，∴点的横坐标是-4，纵坐标是1，故点M的坐标为（-4，1）．故选：D【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．12．D解析：D【分析】先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3秒，5秒，7秒，9秒…此时点在坐标轴上，进而得到规律，问题得解．【详解】解：这个点3秒时到了（1，0）；8秒时到了（0，2）；15秒时到了（3，0）；24秒到了（0，4）；35秒到了（5，0）；48秒到了（0，6）；∵（0，6）之前经过的点的坐标为（1，6），∴第47秒后点所在位置的坐标是（1，6）．故选：D．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内规律型点的坐标，数形结合并发现点运动的坐标规律是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据题意先做点A关于x轴的对称点求出坐标连结A′B交x轴于C用勾股定理求出A′B即可【详解】解：如图根据题意做A点关于x轴的对称点A＇连结A′B交x轴于C=A′P+BP≥A′B得到A＇(-4解析：【分析】根据题意先做点A关于x轴的对称点'A，求出'A坐标，连结A′B，交x轴于C，用勾股定理求出A′B即可．【详解】解：如图根据题意做A 点关于x 轴的对称点A ＇,连结A′B ，交x 轴于C ，AP BP +=A′P+BP≥A′B ， 得到A ＇(-4，-2)，当点P 与C 点重合时，PA+PB 最短，点B （2，4） 由勾股定理()()222+4+4+2=62AP BP +的最小值为：62故答案为： 2 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称，两点之间线段最短，勾股定理的应用，正确转化AP BP +的值最小是解题的关键．14．（10100）【分析】这是一个关于坐标点的周期问题先找到蚂蚁运动的周期蚂蚁每运动4次为一个周期题目问点的坐标即相当于蚂蚁运动了505个周期再从前4个点中找到与之对应的点即可求出点的坐标【详解】通过观解析：（1010,0） 【分析】这是一个关于坐标点的周期问题，先找到蚂蚁运动的周期，蚂蚁每运动4次为一个周期，题目问点2020A 的坐标，即20204=505÷，相当于蚂蚁运动了505个周期，再从前4个点中找到与之对应的点即可求出点2020A 的坐标. 【详解】通过观察蚂蚁运动的轨迹可以发现蚂蚁的运动是有周期性的， 蚂蚁每运动4次为一个周期， 可得：20204=505÷，即点2020A 是蚂蚁运动了505个周期，A，此时与之对应的点是4A的坐标为（2，0），点4A的坐标为（1010，0）则点2020【点睛】本题是一道关于坐标点的规律题型，解题的关键是通过观察得到其中的周期，再结合所求点与第一个周期中与之对应点，即可得到答案.15．【分析】作AD⊥OB于D则∠ADB＝90°OD＝1AD＝3OB＝3得出BD＝2由勾股定理求出AB即可；由题意得出AC+BC最小作A关于y轴的对称点连接交y 轴于点C点C即为使AC+BC最小的点作轴于E解析：513+【分析】作AD⊥OB于D，则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝3，OB＝3，得出BD＝2，由勾股定理求出AB即可；由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A'，连接A B'交y轴于点C，'⊥轴于E，由勾股定理求出A B'，即可得出结果．点C即为使AC+BC最小的点，作A E x【详解】解：作AD⊥OB于D，如图所示：则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝3，OB＝3，∴BD＝3﹣1＝2，∴AB222+3=13要使△ABC的周长最小，AB一定，则AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A'，连接A B'交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，'⊥轴于E，作A E x由对称的性质得：AC＝A C'，则AC+BC＝A B'，A E'＝3，OE＝1，∴BE＝4，由勾股定理得：A B'22+=，345∴△ABC13+5．13+5．【点睛】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．16．【分析】在坐标系内描出各点再顺次连接即可计算出△ABC的面积【详解】解：在平面直角坐标系中画出ABC三点的坐标如下图所示：则故答案为1【点睛】本题考查了三角形的面积坐标和图形的性质正确描出各点坐标画解析：1【分析】在坐标系内描出各点，再顺次连接，即可计算出△ABC的面积．【详解】解：在平面直角坐标系中画出A、B、C三点的坐标，如下图所示：则11==12=122∆⨯⨯⨯⨯ABCS AB CH，故答案为1．【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标和图形的性质，正确描出各点坐标画出图形是解题的关键．17．(－43)【分析】到x轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y轴的距离表示点的横坐标的绝对值【详解】解：根据题意可得点在第二象限第二象限中的点横坐标为负数纵坐标为正数所以点A的坐标为(－43)故答案为：解析：(－4，3) ．【分析】到x轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y轴的距离表示点的横坐标的绝对值．【详解】解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数．所以点A的坐标为(－4，3)故答案为：(－4，3) ．【点睛】本题考查点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．18．（﹣34）【解析】试题分析：应先判断出点P的横纵坐标的符号进而根据到坐标轴的距离判断点P的具体坐标解：∵P在第二象限∴点P的横坐标小于0纵坐标大于0；又∵点P到x轴的距离是4即点P的纵坐标为4；点P解析：（﹣3，4）【解析】试题分析：应先判断出点P的横、纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点P的具体坐标．解：∵P在第二象限，∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0；又∵点P到x轴的距离是4，即点P的纵坐标为4；点P到y轴的距离为3，即点P的横坐标为﹣3，∴点P的坐标是（﹣3，4）；故答案是：（﹣3，4）．点评：本题考查的是点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y 轴的距离为点的横坐标的绝对值．19．【分析】根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标互为相反数即可得解；【详解】∵点的坐标为∴关于轴的对称点为点；故答案是【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标准确计算是解题的关键5,3解析：()【分析】根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标互为相反数即可得解；【详解】5,3-，∵点A的坐标为()∴关于x轴的对称点为点B()5,3；5,3．故答案是()【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标，准确计算是解题的关键．20．5【分析】根据勾股定理即可得到结论【详解】解：∵点A（﹣34）∴它到坐标原点的距离＝＝5故答案为：5【点睛】本题考查了勾股定理熟练掌握勾股定理是解题的关键解析：5【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵点A（﹣3，4），∴它到坐标原点的距离＝22-+＝5，(3)4故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1，顺次连接即可；（2）作出点B关于x轴的对称点B2，连接AB2交x轴于点D，则点D即为所求．【详解】解：（1）如图所示；（2）如图所示．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（1）1或﹣5；（2）(2，6)【分析】m+，解出m的值即可；（1）由点P与x轴的距离为9可得36=9（2）由点P在过点A(2，－3)且与y轴平行的直线上可得2－m=2，解出m的值即可．【详解】（1）点P（2－m，3m+6），点P在x轴的距离为9，∴|3m+6|=9，解得：m=1或－5．答：m的值为1或－5；（2）点P在过点A（2，－3）且与y轴平行的直线上，∴2－m=2，解得：m=0，∴3m+6=6，∴点P 的坐标为（2，6）．【点睛】本题主要考查点到坐标轴的距离以及在与坐标轴平行的直线上点的坐标的特点，熟练掌握点到坐标轴的距离的意义以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特点是解题关键． 23．（1）()211212AOB S x y x y =-△；（2）存在，()3,3B . 【分析】(1)把点的坐标转化成对应线段的长，按照图形面积的分割方式，代入化简即可；(2)把坐标代入（1）中的结论中，计算，是否存在b 值，存在，说明有这样的点B ，反之，没有.【详解】（1）如图，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点B 作BN x ⊥轴于点N ，则OAB OAM OBN AMNB S S S S =+-△△△梯形()()11122122111222x y y y x x x y =+⨯+-- 111211221222111111222222x y y x x y x y x y x y =+-+-- 12121122y x x y =-.（2）根据（1）的结论，得()1232b a ab +-=， 即3b =，点B 在第一象限， 3b ∴=，故存在这样的点B ，且为()3,3B .【点睛】本题考查了坐标系中图形面积的计算，通过分解坐标，把点的坐标转化为对应线段的长，适当分割图形是计算面积的关键.24．（1）见解析；（2）见解析，1(1,1)A -，1(3,2)C --【分析】（1）直接利用已知点坐标在坐标系中描出各点得出答案；（2）画出四边形ABCD 关于y 轴对称的对称点，顺次连接对称点即可得到四边形1111D C B A ，再写出顶点1A ，1C 的坐标即可．【详解】解：（1）四边形ABCD 即为所求作的图形．（2）四边形1111D C B A 即为所求作的图形．此时1(1,1)A -，1(3,2)C --【点睛】本题考查了作图中的轴对称变换，熟练掌握对称的作图方法是解题的关键．25．()()514,0A ，()65,1A ，()76,0A ，()87,1A -；()2x 轴上方；()3 A （n-1,0）或()1,1A n -或()1,0A n -或()1,1A n --【分析】()1可根据点在图形中的位置及前4点坐标直接求解；()2根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，进而判断2018A 与2A 的纵坐标相同在x 轴上方，即可求解；()3根据点的坐标规律可分4种情况分别写出坐标即可求解．【详解】解：（1）由数轴可得：()54,0A ，()65,1A ，()76,0A ，()87,1A -；（2）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，2018A ∴与2A 的纵坐标相同，在x 轴上方，故答案为：x 轴上方；（3）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，每个点的横坐标为序数减1，纵坐标为0、1、0、-1循环，∴点n A 的坐标(n 是正整数)为A （n-1,0）或()1,1A n -或()1,0A n -或()1,1A n --．【点睛】本题主要考查找点的坐标规律，点的坐标的确定，方法，根据已知点的坐标及图形总结点坐标的变化规律，并运用规律解决问题是解题的关键．26．（1）见解析；（2）A′（2，4），B′（3，1），C′（－1，－2）；（3）①5；②是；△OBC与△OB′C′这两个图形关于y轴成轴对称．【分析】（1）先确定A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′，然后再顺次连接即可；（2）直接根据图形读出A′、B′、C′的坐标即可；（3）①运用△OAB所在的矩形面积减去三个三角形的面积即可；②根据图形看△OBC与△OB′C′是否有对称轴即可解答．【详解】解：（1）如图；△A′B′C′即为所求；（2）如图可得：A′（2，4）．B′（3，1）．C′（－1，－2）；（3）①△OAB的面积为：4×3-12×3×1-12×4×2-12×3×1=5；②∵△OBC与△OB′C′这两个图形关于y轴成轴对称∴△OBC与△OB′C′这两个图形关于y轴成轴对称．【点睛】本题主要考查了轴对称变换和不规则三角形面积的求法，作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′以及运用拼凑法求不规则三角形的面积成为解答本题的关键．。
2014年全国初中数学联合竞赛试卷有答案
yz
2x( y
z)
1 (y
z) 2
4
2x(1 x)
1 (1
x)2
4
7 x2
3 x
1
4 24
7 (x
3)2
4
，
4 77
易知：当 x
3，y
z
2 时， t
2 xy
yz
2zx 取得最大值
4
.
7
7
7
12
D．
25
（）
3．在△ ABC 中， AB AC ，D 为 BC 的中点， BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP 3，PE 1 ，
2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第一试
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分）
11 1 1
21 1
1． 已知 x, y 为整数，且满足
( x
+
)( y
x2
+
y2 )
=
-
3 ( x4 -
y 4 ) ， 错误！未找到引用源。
则 x+y的
可能的值有（
）
A. 1 个 【答】 C.来自故21
2
x
[
2(1
2
x)] ，即
2
x
4x 1
0.又 0
x 1，故可得 x
2
3.
A
F
B E
故 BE 2x 4 2 3 .
2
则
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
＝
（）
6
A．
2
【答】 B .
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全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c a（B）2a2b（C）a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .（第10（甲）题）10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC ∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值. 13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值参考答案一、选择题1（甲）． C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：． 2（甲）． D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）． B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）． D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，[来源:学。
科。
网]于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE， BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）． D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得 (2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）． C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）． D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）． C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，[来源:Z|xx|]解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得 27x－26≤487，81x－80＞487.解得 7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得，所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.[来源:Z&xx&]当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．,,,,（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．,,,,（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．,,,,（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得 BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO =BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△CO E = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，－4）.,,,,（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =. [来源:学科网ZXXK]故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.,,,,（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）,,,,（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．,,,,（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．,,,,（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理， CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.,,,,（10分）[来源:学科网ZXXK]（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．,,,,（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.,,,,（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n 1.解得a，.于是= a－m. [来源:],,,,（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.,,,,（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；,,,,（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．,,,,（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．,,,,（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；[来源:学科网]当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．,,,,（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，,，≥2012．于是≤．,,,,（10分）当时，令，则.,,,,（15分）当时，其中≤≤，令，则．[来源:学&科&网][来源:]综上，满足条件的所有正整数n为．,,,,（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．[来源:]在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．,,,,（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．,,,,（20分）。