【精品】小学小学奥数全能解法几训练(定义新运算)
小学奥数专题2 新定义运算
小学奥数专题二：定义新运算
一、定义
1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新
定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符
号，如：*Δ、▴、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:
一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
二典题
例1、对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。
求 8 ★ 5 。
例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。
求6◎（9◎2）。
例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
例5 A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B)÷2，
求(1)(3△17) △29； (2)[(1△9) △9] △6。
例6、规定a▲b=5a+0.5ab-3b。
求（8▲5）▲X=264中的未知数。
(小学奥数)定义新运算
定義新運算教學目標定義新運算這類題目是在考驗我們的適應能力，我們大家都習慣四則運算，定義新運算就打破了運算規則，要求我們要嚴格按照題目的規定做題．新定義的運算符號，常見的如△、◎、※等等，這些特殊的運算符號，表示特定的意義，是人為設定的．解答這類題目的關鍵是理解新定義，嚴格按照新定義的式子代入數值，把定義的新運算轉化成我們所熟悉的四則運算。
知識點撥一定義新運算基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然後按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
我們學過的常用運算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，為什麼運算結果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應法則不同.可見一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算.當然，這個對應法則應該是對任意兩個數，通過這個法則都有一個唯一確定的數與它們對應.只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運算不相同.二 定義新運算分類1.直接運算型2.反解未知數型3.觀察規律型4.其他類型綜合模組一、直接運算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【巩固】 定義新運算為a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
6△（3△4）【巩固】 設a △2b a a b =⨯-⨯，那麼，5△6=______，(5△2) △3=_____.例題精講【巩固】 P 、Q 表示數，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8)【巩固】 已知a ,b 是任意自然數,我們規定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ⊗=-,那麼[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=【巩固】 規定運算“☆”為：若a >b ，則a ☆b =a ＋b ；若a =b ，則a ☆b =a －b＋1；若a <b ，則a ☆b =a ×b 。
小学奥数 定义新运算 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
【小学四年级奥数讲义】定义新运算
【小学四年级奥数讲义】定义新运算一、知识重点：运算方式不一样，本质上是对应法例不一样。
一种运算本质就是两个数与一个数的一种对应方法。
经过这个法例都有一个独一确立的数与它们对应。
这一讲，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不同样的。
二、精讲精练例 1：设 a、b 都表示数，规定： a△b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 2 倍，即： a△b = a×3－b×2。
试计算：（1）5△6；（2）6△5。
练习一1、设 a、b 都表示数，规定： a○b=6×a－2×b。
试计算 3○4。
2、设 a、b 都表示数，规定： a*b=3×a＋2×b。
试计算：（1）（ 5*6）*7（2）5*（6*7）例 2：关于两个数 a 与 b，规定 a⊕b=a×b＋a＋b，试计算 6⊕2。
练习二1、关于两个数 a 与 b，规定： a⊕b=a×b－（ a＋b）。
计算 3⊕5。
2、关于两个数 A 与 B，规定： A☆B=A×B÷2。
试算 6☆4。
例 3：假如 2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
练习三1、假如 5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算： 3▽6。
2、假如 2▽4=24÷（ 2＋4），3▽6=36÷（ 3＋6），算 8▽4。
例 4：于两个数 a 与 b，定 a□b=a+ (a+1)+(a+2)+ ⋯(a+b －1) 。
已知 x□6=27，求 x。
四1、假如 2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。
已知 x□3=5973，求 x。
2、于两个数 a 与 b，定 a□b=a+(a+1)+(a+2)+ ⋯+(a+b－1) ，已知 95□x=585，求 x。
三、后作1、有两个整数是A、B，A▽B 表示 A 与 B 的均匀数。
小学数学奥数测试题定义新运算_人教版
第 1 页2019年小学奥数计算专题——定义新运算1．若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
2．定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b，求值：6△（3△4）.3．设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.4．P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) . 5．已知a,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .6．M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=.7．“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a×c＋b×d(其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d。
如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
8．对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。
如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。
9．对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
10． “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知 ()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
11．[A]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:12．x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .13．定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .14．我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996••Θ+∆∆+Θ的结果是多少？15．规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
小学小学奥数全能解法及训练(加法乘法原理和几何计数)
A村
C村
B村
3 × 4 = 12 (种)
答：共有12种不同的走法。
精பைடு நூலகம்3
总数
1+2+3+ …+（点 数一1）
数线 段规律
几何计数
个数
1+2+3+ …+（射线 数一1）
数角 规律
个数
长的线段 数×宽的 线段数
数长方 形规律
例1
典例精析
有5顶不同的帽子,2件不同的上衣,3条不同的裤子。从中
取出1顶帽子、1件上衣、1条裤子配成一套装束。有多
3+ 2 + 1 = 6（种） 答：她有 6 种选择。
精讲2
乘法原理
如果完成一件任务需要分成n个步 骤进行,做第1步有m1种方法,第2步 有m2种方法……第n步有mn种方 法,那么完成这件任务共有： m1×m2....... ×mn种不同的方法。
例如
由 A 村去 B 村的道路有3条,由B村去 C村的道路有4条。从A村经B村去C 村,共有多少种不同的走法？
加法 原理
乘法 原理
几何 计数
规律 总结
练习1
参考答案
第一步：写百位,有5种选法 第二步：写十位,有6种选法 第三步：写个位,有6种选法 可以组成三位数的个数：
5×6×6＝180（个）
练习2
下图中一共有几条线段？
规
参考答案
律
总
从一个点出发,按
（7-1）+5+4+3+2+1=21
结
照一定的规律数线
段,做到不重复,不
遗漏。
加法乘法原理和几何计数
分
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】 （★★）定义运算“⊕”如下：()2a b a b ⊕=+÷（1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008（2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（1）2007⊕2009=(2007+2009)÷2＝2008；2006⊕2008=(2006+2008)÷2＝2007（2）1⊕5⊕9＝（1+5）÷2⊕9＝3⊕9＝（3+9）÷2＝61⊕（5⊕9）＝1⊕（5+9）÷2＝1⊕7＝（1+7）÷2＝4；【例2】 （★★★）n*b 表示n 的3倍减去b 的2倍，例如3*2＝3×3－2×2＝5.根据以上的规定，10*6应等于_____.分析：根据新运算“*”的规定：10*6＝10×3－6×2＝18.[巩固] 设a △b ＝a ×a －2×b ，那么，5△6＝______，5△2＝_____.分析：(1)5△6＝5×5－2×6＝13(2)5△2＝5×5－2×2＝21【例3】 （★★★）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5. 求45 610的值.分析：45 610＝4×10－5×6＝40－30＝10[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）设m 、n 是两个数，规定：m*n ＝4×n－(m ＋n)÷2，这里“×，＋，一，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号. 计算：3*(4*6)＝ _____.分析：4*6＝4×6－（4＋6）÷2＝19，3*19＝4×19－（3＋19）÷2＝65.[巩固] 规定：a ▽b ＝（a ＋b ）÷2+2×a ，则3▽（6▽8）是多少？.分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝(a+b)÷2，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝(a+b-1)÷2.求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析:（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数， 所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝(a+b)÷3，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝(a+b-1)÷3，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝(a+b-2)÷3.求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891【例6】 （★★★北京市第十一届“迎春杯”赛）如果 3*2=3＋33=362*3=2＋22＋222=2461*4=1＋11＋111＋1111=1234那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380[巩固]规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234.求7*5.分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！；（2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！[拓展] 对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）.例如：24P ＝4×3＝12.34P ＝4×3×2＝24.求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，.分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120.（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720.[总结] 这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例8】 （★★★★奥数网题库）假设A*B 表示A 的3倍减去B 的2倍，即A*B ＝3A －2B.已知w*(4*1)＝7，求w*4的值．分析：4*1＝3×4－2×1＝10，所以w*(4*1)＝w*10＝3×w －10×2＝7，所以w ＝9.那么w*4＝ 9*4＝3×9－4×2＝19.[前铺]对于数 a ， b ， c ， d ，规定〈a ， b ， c ，d 〉=2ab-c ＋d.已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值.分析：＜1，3， 5，x ＞＝2×1×3-5＋x ＝1＋x=7，x=6【例9】（★★★★奥数网题库）对于两个数a、b，a△b表示a＋b－1.计算：（1）（7△8）△6（2）（6△A）△A＝84，求A.分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；（2）6△A＝6＋A－1＝5＋A，（5＋A）△A＝5＋A＋A－1＝2×A＋4＝84，所以A＝40.[拓展]如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5【例10】（★★★★第八届“祖冲之杯”数学邀请赛）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，A＝5[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837.老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同. 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ .分析: 由红毛族算式“8×8＝8 ”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8.由“9×3＝3”知“3”是0.“7”是5.于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”.[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A×B=2008×4=8032[拓展]如果运算器输出的是下面的规律，“？”应填什么呢？分析：通过观察，15÷3=5=4+1，28÷7=4=3+1，60÷15=4=3+1，所以，第四列的？处应填（7+1）×8=64，第五列的？处应填：52÷13-1=4-1=31．（例1）a、b是自然数，规定：a△b＝a×5＋b÷3，求8△9的值.分析：8△9＝8×5＋9÷3＝432．a*b表示a的3倍减去b的一半，例如，1*2=1×3-2÷2=2，根据这个规定，计算：（1）10*6 （2）7*（2*4）.分析：10*6=10×3-6÷2=27，7*（2*4）=7*（2×3-4÷2）=7*4=7×3-4÷2=193．（例5）定：A※B＝B×B＋A，计算（2※3）※（4※1）的值.分析：2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36.4．（例4）如果a◇b＝a×b－（a＋b），已知（3◇4）◇x=19，求x的值.分析：3◇4＝3×4－（3＋4）＝5，5◇x＝19，5×x－（5＋x）＝19，4x-5=19，4x=24，x=6.5．（例12）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A÷B×2=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A÷B=2008÷4×2=1004。
小学奥数：定义新运算.专项练习及答案解析
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
例题精讲知识点拨教学目标定义新运算由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
【精品】微课堂-奥数全能解法及训练(定义新运算)
（5※3）×5
运算符号※，运算法则
a※b
b个a
＝（5＋55＋555）×5
＝3075 规律总结
＝a＋aa＋···＋a ··· a
练习2 有一个数学运算符号∏，使下列算式成立，2 ∏4 ＝8，5 ∏3＝13，3 ∏5＝11，9 ∏7＝25，求7 参考 ∏3的值。 答案 7 ∏3 运算符号∏，运算法则 ＝2×7＋3 a∏b＝2a＋b ＝17
、 。 （6 8）
运算符号
运算法则
例3 对于任意的两个整a、b，定义两种运算“ a b＝ a＋b－2，a b＝ a×b－2，求4 的值。
、 。 （6 8）
6
4 答：4
8＝6＋8－2＝12
12＝4×12－2＝46 （6 8）的值是46。
举一反三
练习1 如果1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222，3※4＝
运算符号
运算法则
[ ]
例2
定义一种运算[ ] 。 [ m,n,p ]＝m×n－p。求 [ 8, [ 7,4,5]， [4,5,6] ]的值。
ห้องสมุดไป่ตู้
[ 7,4,5 ]＝7×4－5＝23
[ 4,5,6 ]＝4×5－6＝14
[ 8,23,14 ]＝8×23－14＝184－14＝170
例3 对于任意的两个整a、b，定义两种运算“ a b＝ a＋b－2，a b＝ a×b－2，求4 的值。
a＝12
典例精析
例1 对于两个数a与b，规定：a*b= （a＋b)＋(a－b)。
求13*（5*4）的值 。 运算符号
运算法则 *
例1 对于两个数a与b，规定：a*b= （a＋b)＋(a－b)。 求13*（5*4）的值 。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4[前铺]定义运算“⊙”如下：2a ba b +⊕=． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝200720092+＝2008；2006⊕2008＝200620082+＝2007（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝392+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕592+＝1⊕7＝172+＝4；【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律． 【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：a cb d ＝ad+bc ，求2516 4021的值． 分析：2516 4021＝25×21+40×16＝525+640＝1165[巩固]我们规定：a cb d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求45610的值．分析：45610＝4×10－5×6＝40－30＝10【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[巩固] 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：123456666666,,,,,C C C C C C分析：16C=（16P）÷（11P）=6÷1=6；26C=(6×5)÷（2×1）=15；36C=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；46C=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；56C=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66C=（66P）÷（66P）=1[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二） 反求未知数【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例8】（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=ymx yx 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？分析：C·D·A·B（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：，即R 变为L ； ，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；16217233++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；1863=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．（2）因为B ※A ＝A ×A ＋B ≠ B ×B ＋A ，所以 这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！； （2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！ 分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！） ＝7×（6！） ＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n ⊙8＝68，那么n 的值是多少？分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以n＝5．4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝55．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．。
小学六年级奥数——新定义运算
小学六年级奥数——新定义运算第一周定义新运算【名言警句】天才由于积累，聪明在于勤奋。
——华罗庚【知识点精讲】一、什么是定义新运算？定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
二、怎么解答定义新运算？解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。
新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
例1、假设a*b=(a＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。
【举一反三】1、设a*b=(a+b)×(a-b)，求27*9。
2、设a *b=a 2+2b ,求10*6和5*(2*8)。
3、设a *b=3a －b ×21，求（25*12）*（10*5）。
例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。
求3△（4△6）【举一反三】1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。
求5△（6△4）。
2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。
求30△（5△3）。
3、设M 、N 是两个数，规定：*M N M N N M =+，求110*204－。
例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++，3*3333333=++，4*2444=+，那么7*4= ；210*2= 。
【举一反三】1、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++，3*3333333=++，…那么4*4= 。
2、规定*a b a aa aaa aa a =+++，那么8*5= 。
小学奥数题及答案：定义新运算
小学奥数题及答案：定义新运算小学奥数题及答案:定义新运算定义新运算：(高等难度)规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数.若(A○5+B△3)×(B○5+A△3)=96，且A、B均为大于0的自然数A×B的所有取值有()个。
定义新运算答案：共5种;分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。
对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的`组合，我们分别讨论。
1)当A<3，B<3，则(5+B)×(5+A)=96=6×16=8×12，无解;2)当3≤A<5，B<3时，则有(5+B)×(5+3)=96，显然无解;3)当A≥5，B<3时，则有(A+B)×(5+3)=96，则A+B=12.所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4)当A<3，3≤B<5，有(5+3)×(5+A)=96，无解;5)当3≤A<5，3≤B<5，有(5+3)×(5+3)=96，无解;6)当A≥5，3≤B<5，有(A+3)×(5+3)=27，则A=9.此时B=3后者B=4。
则他们的乘积有27与36两种;7)当A<3，B≥5时，有(5+3)×(B+A)=96。
此时A+B=12。
A与B的乘积有11与20两种;8)当3≤A<5，B≥5，有(5+3)×(B+3)=96。
此时有B=9.不符;9)当A≥5，B≥5，有(A+3)×(B+3)=96=8×12。
则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种。
【小学奥数题及答案:定义新运算】。
小学四年级奥数题：新定义运算习题及答案
一、新定义运算(A 卷)1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a 43+=∆.求6)78(∆∆.2. 定义运算⊖为a ⊖b =5×)(b a b a +-⨯.求11⊖12.3. b a ,表示两个数,记为:a ※b =2×b b a 41-⨯.求8※(4※16).4. 设y x ,为两个不同的数,规定x □y 4)(÷+=y x .求a □16=10中a 的值.5. 规定a b a b a b +⨯=.求2 10 10的值.6. Q P ,表示两个数,P ※Q =2Q P +,如3※4=243+=3.5.求 4※(6※8); 如果x ※(6※8)=6,那么=x ?7. 定义新运算x ⊕y x y 1+=.求3⊕(2⊕4)的值.8. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22，18⊗14=50.求7⊗3=?9. “▽”表示一种新运算,它表示:)8)(1(11+++=∇y x xy y x .求3▽5的值. 10. ba b a b a ÷+=∆,在6)15(=∆∆x 中.求x 的值.11. 规定xy y x xA y x ++=∆,而且1∆2=2∆3.求3∆4的值.12. 规定a ⊕)1()2()1(-+++++++=b a a a a b ,(b a ,均为自然数,a b >).如果x ⊕10=65,那么=x ?13. 对于数b a ,规定运算“▽”为)5()3(-⨯+=∇b a b a .求)76(5∇∇的值.14. y x ,表示两个数,规定新运算“ ”及“△”如下:x y x y 56+=,x △xy y 3=.求(2 3)△4的值.———————————————答 案——————————————————————1. 180.)78(∆=3×8+4×7=24+28=52652∆=3×52+4×6=156+24=1802. 637. ×11×12-(11+12)=660-23=6373. 1953.4※16=2×4×16-41×16 =128-4=1248※124=2×8×124-41×124 =1984-31=19534. 24.因为a □16=10即(a +16)÷4=10a +16=40a =40-16a =245. 731.从左到右依次计算.2 10 10 =102102+⨯ 10 =321 10 =1032110321+⨯ =7316. 5.5.5. 4※(6※8)因为x ※(6※8)=x ※(286+) =4※(286+) =x ※7 =4※7 =27+x =274+所以,27+x =6 =5.5 x +7=12 x =5 7. 316.3⊕(2⊕4)=3⊕412+=3⊕43=4313+ =434=3168. 17.因为,4⊗8=4×2+8=1610⊗6=10×2+6=266⊗10=6×2+10=2218⊗14=18×2+14=50所以,a ⊗b =a ×2+b7⊗3=7×2+3=14+3=179. 78067. 3▽5=)85()13(1531+⨯++⨯ =521151+ =7806710. 0.3.)15(∆∆x =)1515(÷+∆x =56∆x =2.12.1÷+x x ()2.156= 所以,2.12.1÷+x x =6,解得3.0=x . 11. 1272. 232121121+=⨯++⨯=∆A A 6523232232+=⨯++⨯=∆A A 因为,3221∆=∆,所以,65223+=+A A . 解得,32=A .所以,4343343⨯++=∆A =127323+⨯ =1272+ =127212. 2.根据运算:)110()3()2()1(10-+++++++++=∆x x x x x x )9321(10+++++= x4510+=x因此有: 654510=+x2010=x2=x13. 104.)76(5∇∇=)]57()36[(5-⨯+∇=185∇=(5+3)×(18-5)=8×13=10414. 324.(2 3)△4=(6×2+3×5)△4=(12+15)△4=27△4=3×27×4=324。
小学奥数全能解法及训练(数列求和)
＝（124＋276）×39÷2 ＝7800
7800－7800＝0
先运用等差公式 求出和，再用7800相减。
规 律 总 结
小学奥数全能解法及训练
数列求和
精讲1
解法精讲
（1）1、2、3、4、5、6
（2）2、4、6、8、10、12
数列
（3）5、10、15、20、25、30
首项
项数
末项
a1
n
an
精讲2
（1）1、2、3、4、5、6
1
2 （2）2、4、6、8、10、12
（3）5、10、15、20、25、30
5
等差数列
公差
d
精讲3 数列：1、3、5、7、9、11……
答：这个数列共有9项。
例2 求数列2+4+6+······+2000的和。
S=（a1+an）n÷2 n＝(an－a1)÷d＋1
等差数列
例2 求数列2+4+6+······+2000的和。
n＝(2000－2)÷2＋1 ＝1998÷2＋1 ＝999＋1 ＝1000
S=（2000+2）×1000÷2 =2002×1000÷2 =2002000÷2 =1001000
第2项： 3=1+2 第3项： 5=1+2 ×2 第4项： 7=1+2 ×3
首项+公差×（2-1） 首项+公差×（3-1） 首项+公差×（4-1）
an=a1+(n-1)×d
精讲4 数列：6 、10 、14 、18 、22 、26 30 、34 、38
数列的和
6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 38+ 34 + 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6
小学奥数专题26-定义新运算
定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。
表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
一、例题与方法指导例1. 设ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=26△5=6×4-5×3=24-15=9说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。
思路导航：先做括号内的运算。
解（5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=955☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79说明本题定义的运算不满足结合律。
这是与常规的运算有区别的。
例3. 已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.计算（6△3）-（5△2）。
思路导航：原式=6×7--5×6=336-30规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。
小学数学奥数测试题定义新运算_人教版
第1页/共21页2019年小学奥数计算专题——定义新运算1．若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
2．定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求值：6△（3△4）.3．设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 4．P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q +，求3*(6*8) .5．已知a,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2a b ab ⊗=-,那么[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗= .6．M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=.7．“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a×c ＋b×d(其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。
如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
8．对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a ba b⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。
如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。
9．对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
10． “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
11．[A]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:12．x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.13．定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .14．我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996••Θ+∆∆+Θ的结果是多少？15．规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
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例2 定义一种运算[ ] 。 [ m,n,p ]＝m×n－p。求 [ 8, [ 7,4,5]， [4,5,6] ]的值。
运算符号 [ ] 运算法则
例2 定义一种运算[ ] 。 [ m,n,p ]＝m×n－p。求 [ 8, [ 7,4,5]， [4,5,6] ]的值。 [ 7,4,5 ]＝7×4－5＝23 [ 4,5,6 ]＝4×5－6＝14
[ 8,23,14 ]＝8×23－14＝184－14＝170
例3 对于任意的两个整a、b，定义两种运算“ a b＝ a＋b－2，a b＝ a×b－2，求4 的值。
、。 （6 8）
运算符号 运算法则
例3 对于任意的两个整a、b，定义两种运算“ a b＝ a＋b－2，a b＝ a×b－2，求4 的值。
小学奥数全能解法及训练
定义新运算
精讲1
解法精讲
已经学过＋、－、×、÷运算
新运算的运算 法则是解决问
题的关键
22＝2×2 53＝5×5×5 74＝7×7×7×7
an＝a×a×a×a×···×a
n个a连乘
精讲2 对于任意数，定义新运算“*”，a*b＝a×b－a－b。
运算符号 运算法则
* 弄清基本概念
精讲3 对于任意数，定义新运算“*”，a*b＝a×b－a－b。
12*4＝ 12×4－12－4 ＝32
b＝4
a＝12
典例精析
例1 对于两个数a与b，规定：a*b= （a＋b)＋(a－b)。 求13*（5*4）的值 。
运算符号 *
运算法则
例1 对于两个数a与b，规定：a*b= （a＋b)＋(a－b)。 求13*（5*4）的值 。规律Fra bibliotek结a※b
b个a
＝a＋aa＋···＋a ··· a
练习2 有一个数学运算符号∏，使下列算式成立，2 ∏4
＝8，5 ∏3＝13，3 ∏5＝11，9 ∏7＝25，求7
参考 ∏3的值。 答案
7 ∏3
运算符号∏，运算法则
＝2×7＋3
a∏b＝2a＋b
＝17
答：7 ∏3的值是17。
、。 （6 8）
6 8＝6＋8－2＝12
4 12＝4×12－2＝46
答：4 （6 8）的值是46。
举一反三
练习1 如果1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222，3※4＝
参考 3＋33＋333＋3333。求（5※3）×5的值。
答案 （5※3）×5
运算符号※，运算法则
＝（5＋55＋555）×5
＝3075