刚体的定轴转动定律解析
刚体定轴转动转动定律
c
c
c
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4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
1
4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
17
4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
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数理学院
大学物理教学中心
College of Mathematics & Physics
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l/2
y
o
x
dx
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的物理规律的公式。
在刚体绕定轴转动时，其角加速度与作用力矩成正比，与转动惯量成反比。
具体公式为：
M = Iα
其中，M表示作用力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个公式的意义在于，当一个刚体绕定轴转动时，其转动惯量越大，需要的作用力矩也就越大，才能使其达到相同的角加速度。
反之，转动惯量越小，需要的作用力矩也就越小。
这个公式在实际应用中非常重要。
例如，在机械工程中，我们需要设计各种机械零件的转动部件，这时就需要考虑转动惯量的大小，以及所需的作用力矩大小。
只有在合理地设计转动部件的转动惯量和作用力矩，才能保证机械零件的正常运转。
刚体的定轴转动定律公式还可以用来解决一些物理问题。
例如，当我们需要计算一个刚体绕定轴转动的角加速度时，可以通过测量作用力矩和转动惯量，然后代入公式中进行计算。
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的重要公式，它在机械工程和物理学等领域都有着广泛的应用。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体定轴转动概述
m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第 二定律和转动定律建立方程。 对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大 转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI
R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量 也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律公式刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴做转动运动的数学公式。
本文将详细介绍刚体定轴转动定律的公式及相关参考内容。
1.刚体定轴转动定律公式1.1角位移公式刚体绕定轴做转动运动时，它的每一个质点都有一个角位移，角位移是一个标量，用Δθ表示。
角位移与刚体绕定轴转动的弧长有关，它们之间的关系可以用以下公式表示：Δθ = Δl / r其中，Δl表示弧长的长度，r表示刚体绕定轴的半径。
1.2角速度公式角速度是描述刚体绕定轴的旋转速度的物理量，用ω表示，角速度是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角速度与角位移之间的关系可以用以下公式表示：ω = Δθ / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.3角加速度公式角加速度是描述刚体绕定轴转动加速度的物理量，用α表示，角加速度是一个矢量，它的方向也垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角加速度与角速度之间的关系可以用以下公式表示：α = Δω / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.4力矩公式力矩是描述外力对刚体绕定轴转动影响的物理量，用M表示，力矩是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
力矩与角加速度之间的关系可以用以下公式表示：M = I α其中，I表示刚体绕定轴的转动惯量，α表示角加速度。
2.参考内容2.1转动惯量的定义转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，用I表示，它反映了刚体对于绕定轴转动的惯性大小。
转动惯量的计算方法取决于刚体的形状和密度分布。
常见的刚体的转动惯量计算公式：(1)矩形薄板绕转轴的转动惯量Izz = 1/12m(a²+b²)其中，m表示薄板的质量，a和b表示薄板的长和宽。
(2)圆环绕轴的转动惯量Izz = mr²其中，m表示圆环的质量，r表示圆环的半径。
2.2角动量的定义角动量是描述刚体绕定轴转动动量的物理量，用L表示，它反映了刚体绕定轴转动的惯性大小和角速度大小。
刚体定轴转动定律 知乎
刚体定轴转动定律一、内容刚体定轴转动定律，也称为角速度定律或刚体转动定理，是一个描述刚体在转动时角速度和力矩之间关系的物理定律。
该定律表明，作用在刚体上的力矩与刚体的角速度成正比，同时与刚体的转动惯量成反比。
这个定律的数学表达式为：M=Iα，其中M为力矩，I为转动惯量，α为角加速度。
二、详细描述1. 刚体的定轴转动：这是指刚体的运动状态，其中至少有一个物体（称为转轴）的直线在空间固定不变，或者刚体的角速度矢量与通过某固定点O的某一固定轴线的垂直矢量w×r=0（其中w为角速度矢量，r为矢径）保持不变。
这种运动状态是相对稳定的，因为任何微小的扰动都会引起刚体转动状态的改变。
2. 力矩：力矩是一个描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂（即转轴到力的垂直距离）的乘积。
在刚体定轴转动中，力矩的作用是改变刚体的角速度或角动量。
3. 转动惯量：这是描述刚体转动惯性的物理量，取决于刚体的质量分布和转轴的位置。
转动惯量的大小反映了刚体在受到力矩作用时维持自身转动状态的难易程度。
对于同一刚体，不同的转轴位置会导致不同的转动惯量。
4. 角加速度：这是描述刚体角速度变化快慢的物理量。
当作用在刚体上的力矩发生变化时，会引起角加速度的产生，从而改变刚体的角速度。
5. 刚体的转动定律：这个定律说明，当作用在刚体上的力矩发生变化时，会产生一个与力矩成正比、与转动惯量成反比的角加速度，使刚体的角速度发生相应的改变。
这个定律是经典力学中非常重要的基本规律之一，它不仅适用于刚体，也适用于任何具有转动惯量的物理系统。
三、论据支持1. 实际应用：刚体定轴转动定律在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在电机和各种旋转机械中，通过改变作用于刚体上的力矩，可以调节设备的转速和角加速度；在航空航天领域，飞行员通过操作杆施加力矩，改变飞机的姿态和角速度；在体育运动中，运动员通过施加力矩来改变旋转物体的转速和方向。
2. 实验验证：通过实验的方法可以验证刚体定轴转动定律的正确性。
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
1刚体定轴转动定律
J z = ∫ r dm
2
z
o
y
r
dm
y
= ∫ ( x + y )dm
2 2
x
2
= ∫ y dm + ∫ x dm = Jx + J y
2
x
的圆盘， 例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 、 转动的转动惯量J 转动的转动惯量 y。 解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为： 动惯量为：
ω
r r
r
r v
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于 刚体定轴转动角加速度的方 向只有两个， 向只有两个，在表示角加速 度时只用角加速度的正负数 值就可表示角加速度的方向， 值就可表示角加速度的方向， 不必用矢量表示。 不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、 说明： 角坐标、角位移、 角速度和角加速度等角量 是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描 的整体运动， 述质点的曲线运动； 述质点的曲线运动；
M dm = 2π rdr 2 πR
M dr r R
J = ∫ r dm
2
=∫
R
0
M r 2π rdr 2 πR
2
1 2 = MR 2
二、平行轴定理
定理表述： 定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， ， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的乘积： 两轴间的距离平方的乘积： J = J C + md 2
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
简述刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 引言刚体是物理学中的重要概念，它是由无穷多个质点组成的一个物体，质点间的距离在运动过程中保持不变。
刚体的运动可以分为平动（刚体作为一个整体的直线运动）和转动两种。
本文将着重讨论刚体的转动运动，特别是定轴转动定律。
2. 定轴转动定轴转动是指刚体绕固定轴线进行转动的现象。
例如，摆锤在一根细线上摆动、地球自转等都是定轴转动的例子。
在定轴转动中，我们需要了解刚体受力及其运动规律。
3. 转动定律的基本概念在讨论转动定律之前，我们先来了解一些基本概念：•角度：表示物体转动的程度，常用弧度制表示，符号为θ。
•角速度：表示物体单位时间内转过的角度，常用弧度/秒表示，符号为ω。
•角加速度：表示物体单位时间内角速度的变化率，常用弧度/秒^2表示，符号为α。
•转动惯量：表示刚体对转动的惯性大小，常用字母I表示。
4. 转动定律的表述转动定律是描述刚体转动运动情况的基本定律，其中最著名的有三个定律，即牛顿定律。
它们分别是：第一定律：角动量守恒定律“在没有外力作用下，刚体的角动量保持不变。
”所谓角动量守恒，就是指一个刚体在没有外力作用下的转动过程中，其角动量保持不变。
即刚体绕某一轴线转动时，如果没有外力矩作用，那么刚体的角动量始终保持恒定。
第二定律：动能定理“刚体的角动能变化等于外力矩做功的大小。
”对于旋转的刚体来说，其具有转动惯量以及角速度，因此可以存在角动能。
根据动能定理，一个刚体的角动能的变化等于作用在刚体上的外力矩所做的功。
第三定律：力矩定律（欧拉定律）“刚体转动的加速度与合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。
”欧拉定律指出了刚体转动的加速度与作用力矩的关系，其数学表达式为：τ = I * α其中，τ表示作用在刚体上的合力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
5. 转动定律的应用转动定律在物理学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：•摆锤运动：根据转动定律，可以推导出摆锤的周期与摆长、重力加速度的关系。
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
刚体定轴转动角动量守恒定律解析
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
第三章 刚体定轴转动基本定律
此时角加速度
θ
A
mg
又由 得
β=
dω dω dθ dω = =ω dt dθ dt dθ
βdθ = ω dω
图例３ －９
两边取积分，并代入始、末条件，得
∫ βdθ = ∫ ω dω
0
π 2 0
ω
3g 1 2 2 [ − cos θ ] 0 = ω −0 2l 2 ω = 3g l
π
解法二：棒由竖直位置运动到地面，重力矩所做的功为
dL = rυdm = m rυdr 2l
2l
Ｏ
．
2L 图例３ －１ ０
整个杆对圆孔的动量矩为
L=
∫ dL = ∫ 2l rυdr
0 0
2l
m
= mυl
设小钉穿入后杆做定轴转动的角速度为ω，在此过程中杆对轴的动量矩守恒，即
mυl = Iω = 1 m(2l ) 2 ω 3 3υ 4l
7
则
ω =
在杆定轴转动时，距轴为 r，长为 dr 的一小段杆受到的向心力为
rF = Iβ rF I= β
Ｏ ． Ｆ
当悬挂 m 时，设下落 2m 时速度为υ，且此时圆盘转动的 角速度为ω，因只有重力做功，系统的机械能守恒。
mgh = υ = rω 1 1 mυ 2 + Iω 2 2 2
Ｏ．
由以上各式可得
υ2 = 2mgh F m+ rβ 2 × 1 × 9 .8 × 2 = 13.5 1+ 0 .3 × 5
小球与细杆系统在碰撞前后动量矩守恒设细杆逆时针转动为动量矩正方向碰撞后细杆获得角速度为则细杆转动中受到平面的摩擦力矩以o为原点沿杆长方向建ox处取长度dx的一小段杆则杆转动时dx受到摩擦力为dxdmgdf方向如图该力的力矩为dmxdf整个杆受到的摩擦力矩为gmlxdx设开始转动后t秒停下则由动量矩定理df图315dx17所以mgmg
3-2 刚体的定轴转动定理
一个质量为M、半径为R的定滑轮 例１、一个质量为 、半径为 的定滑轮 （当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一 当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的 定轴O 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 的 定轴 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 由静 止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度 时的速度和此时滑轮的角速度。 止下落高度 时的速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
R
角加速度为常量，且与 的方向相反， 角加速度为常量，且与ω0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动
ω = ω 0 + αt
当圆盘停止转动时， 当圆盘停止转动时，ω=0，则得 ，
t=
− ω0
α
3 Rω 0 = 4 µg
二、刚体定轴转动的转动定律的应用 题目类型 1.已知转动惯量和力矩，求角加速度； 已知转动惯量和力矩， 已知转动惯量和力矩 求角加速度； 2.已知转动惯量和角加速度，求力矩； 已知转动惯量和角加速度， 已知转动惯量和角加速度 求力矩； 3.已知力矩和角加速度，求转动惯量。 已知力矩和角加速度， 已知力矩和角加速度 求转动惯量。 解题步骤 1.确定研究对象； 确定研究对象； 确定研究对象 2.受力分析； 受力分析； 受力分析 3.选择参考系与坐标系； 选择参考系与坐标系； 选择参考系与坐标系 4.列运动方程； 列运动方程； 列运动方程 5.解方程； 解方程； 解方程 6.必要时进行讨论。 必要时进行讨论。 必要时进行讨论
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
四、角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an
r
a
v
a r an r 2
a
r
r
2
n
r
v
v
r
a
r
五、力矩
z
M Or
d
F
P
M Fd Frsin d: 力臂
FM对 转r轴
z F
的力矩
讨论
若力
F
不在转动平面内，把力分解为
平行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示，一个质量为M， 半径为R的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体m下落的加速度。直棒，其一端固定在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
➢ 刚体的平面平行运动 .
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
+ ➢ 刚体平面平行运动 质心的平动 绕质心的转动
二、 刚体定轴转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
r约沿定逆时针方向转动 > 0 r 沿逆时针方向转动 < 0
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
1 l cos
2
mg
例题、一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两
端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图
所示。设滑轮的质量为m ，半径为r。绳与滑轮之间无 相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。
一、刚体的运动：
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体 . 刚体可视为特殊的质点系，即任意两质点间距 离始终保持不变的特殊质点系。
刚体的基本运动形式：平动、转动 、平面平行运动.
平动：若刚体中所有的 点的运动情况都完全相同， 或者说刚体内任意两点间 的连线在运动过程中总是 保持方向不变 .
Rd
m d
R
例 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dI r 2dm 2 πr3dr
I R 2 πr3dr π R4
相距为 的转d 轴的
转动惯量
IO IC md 2
注意
d
C
O
m
z
y
I
Iy
x
ry
Ix x
I r2dm (x2 y2 )dm Ix I y
V
V
y
l sin
m l0
dl
l
x
y
m l0
l0 / 3
l0 / 3
l0 / 3
x
例、求通过圆环中心并与圆环所在平面垂直的 转轴的转动惯量。设圆环的半径为R，质量m均 匀分布在圆环上。
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示. 角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每任一 一质 质点 点均 运作动圆周,运动, ，均圆相面同为，转但动v平, 面a 不；同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
2
2
2
例题 求质量为m、长为Ｌ的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。
Ｘ x
dx
Ｘ x
dx
hC
Ｘ
x dx
平行轴定理
质量为 m 的刚
体，如果对其质心轴
的转动惯量为 IC ，
则对任一与该轴平行，
0
2
而 m π R2
所以 I 1 mR2 2
例题、均匀分布的质量为m、半径为R的球体绕其直径做定
轴转动的转动惯量。
Z
R2 z2
dz
z
R
x
例 有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B， A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
z
M
O
r
d
F
P
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
z
Fi
r5
mi m5
➢ 质量离散分布系统的转动惯量
I miri2 m1r12 m2r22
i
r dm
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
I r2dm
dm ：质量元
计算转动惯量: am
mm
m
m
m
a m
m a
y 2 3a 2
2 2a 2
a
2a 2
a
a
x
I m( 2 a)2 m( 2 2a)2 m( 2 3a)2
三、 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2 02 2 ( 0 )
O ri
mi
M I
M I
M I
对比
F ma
I miri2
i
转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动 惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小， 则刚体的转动惯性小。
转动惯量一般与两个因素有关：
（1）转动轴的位置；
（2）转动刚体的质量；
m3 r3 m4 r4
r2
m2
r1 m1 ri