【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题

【中考压轴题专题突破】
二次函数中的定值问题
1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t ≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．
①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由；
②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的
变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t 的值．
2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B （3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．
（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值；
（3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．
3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”
（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．
（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
4．已知二次函数y＝kx2+x+（k是常数）．
（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；
（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；
（3）若抛物线y＝kx2+x+与x轴交于A（x A，0）、B（x B，0）两点，且x A＜x B，x A2+x B2＝34，若与y轴不平行的直线y＝ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
5．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
边），与y轴交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝．
（1）直接写出b的值及点A的坐标；
（2）∠BAC的平分线交y轴于点D，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
①直接写出：+＝；
②当直线l绕点D旋转时，+是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理
由．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C 出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A 点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．
【中考压轴题专题突破】
二次函数中的定值问题
参考答案与试题解析
1．解：（1）由题意得，
解得．
故二次函数解析式为y＝﹣x2+1．
（2）①＝，理由如下，
将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：﹣2t═﹣x2+1，x＝，
∴点P坐标（，），
∴OP中点C的坐标（，），
∴CD＝1﹣（）＝，OP＝＝2t+，
∴OP＝2CD
∴＝．
②∵圆心到直线l的距离d＝|﹣（1﹣3t）|＝|2t﹣|，半径r＝OP＝t+，EF＝，
又∵（）2+d2＝r2，
∴+（2t﹣）2＝（t+）2，
解得t＝1或，
∴t＝1或时，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，EF＝．
2．解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当n＝0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F的坐标为（4，﹣5）．
设直线DF的函数表达式为y＝kx+a（k≠0），
将D（0，3），F（4，﹣5）代入y＝kx+a，得：
，解得：，
∴直线DF的函数表达式为y＝﹣2x+3．
过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．
∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），
∴EQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣t2+4t，
∴S＝EQ•（x F﹣x D）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当t＝2时，S取最大值，最大值为8．
（3）当n取不同数值时，S的值不变．
过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．
当t＝2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F 的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），
∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），
∴DM＝8n+8，EN＝4n+8，MN＝2，NF＝2，
∴S＝S梯形DMNE+S△ENF﹣S△DMF，
＝MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，
＝12n+16+4n+8﹣16n﹣16，
＝8．
∴当n取不同数值时，S的值永远为8．
3．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），
当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，
故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；
（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），
将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，
解得：m＝3或﹣1，
当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，
即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，
故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；
同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，
综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；
（3）是定值，理由：
令y＝x2﹣2x﹣4＝0，
则x＝1±，
故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，
即a＝1+2﹣4＝﹣1，
设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），
由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，
整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，
由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），
则PQ＝＝2，为定值．
4．解：（1）∵二次函数y＝kx2+x+与x轴有两个不同的交点，
∴，
解得k＜且k≠0．
（2）设反比例函数解析式为y＝，
∵经过点（1，k），
∴m＝k，
∵反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣，
根据二次函数以及反比例函数的性质可知：当x＜0或0＜x＜﹣时，y随x的增大而增大．
（3）结论：＝1．
理由：令y＝0，则有kx2+x+＝0，
∴x A+x B＝﹣，x A•x B＝，
∵x A2+x B2＝34，
∴（x A+x B）2﹣2x A•x B＝34，
∴（）2﹣﹣34＝0，
解得k＝﹣或
由（1）可知k＜，
∴k＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，
设过点P的直线为y＝kx+b，把P（1，3）代入得3＝k+b，
∴b＝3﹣k，
∴过点P的直线为y＝kx+3﹣k，
∵过点P的直线为y＝kx+3﹣k与物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，∴y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，
由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k＝0，
∴x1+x2＝﹣（4k﹣2），x1x2＝﹣3﹣4k，
∴＝
＝
＝
＝
＝1．
5．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
解得b＝，
将点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得c＝3，
所以，y＝﹣x2+x+3，
令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
整理得，x2﹣2x﹣9＝0，
解得x1＝﹣，x2＝3，
所以，点A的坐标为（﹣，0）；
（2）①∵A的坐标为（﹣，0），
∴AO＝，
∵点C（0，3），
∴OC＝3，
根据勾股定理得，AC＝＝＝2，所以，+＝+＝+＝；
故答案为：．
②+为定值．
理由如下：如图，过点D作DE∥AC交x轴于E，
则∠ADE＝∠CAD，
∵∠BAC的平分线交y轴于点D，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∵DE∥AC，
∴△NED∽△ANM，
∴＝，
由图可知，EN＝AN﹣AE，
∴＝＝＝1﹣，
∴1﹣＝，
整理得，+＝，
∵tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分线与y轴相交于点D，
∴∠DAO＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴DO＝AO•tan∠DAO＝×tan30°＝×＝1，
∵DE∥AC，
∴∠DEO＝∠BAC＝60°，
∴DE＝DO÷sin∠DEO＝1÷sin60°＝1÷，
∴＝，
∴+＝．
6．解：（1）∵y＝ax2+bx+c的顶点是（0，﹣），
∴抛物线的对称轴是y轴，
∴b＝0，故可设抛物线的解析式是：y＝ax2﹣，
又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO＝
∴AO＝1，∴A（﹣1，0）
把点A代入y＝ax2﹣，得a＝
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣．
（2）当0＜t＜1时，OT＝1﹣t，CS＝t；
∴S＝OT•CS＝（1﹣t）t＝﹣t2+t；
当1＜t＜2时，OT＝t﹣1，CS＝t；
∴S＝OT•CS＝（t﹣1）t＝t2﹣t；
综上，S与t的函数关系式为：S＝．
（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB＝TE，又∠B＝60度，∴三角形TBE为等边三角形，
∴BE＝TB＝t，
∵△SDH∽△STO，设DH＝a，
则有，即，
∴a＝，∴DC＝1﹣t，
∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣（1﹣t）＝1．
当1＜t＜2，（如图2）
同理，△SDH∽△STO，即有，a＝，DC＝t﹣1，∴DE＝DC+CE＝t﹣1+（2﹣t）＝1．。