一类偏积分微分方程的数值解法

( 2. 7)
1 0
f ( x , t) ∃ k ( x ) dx =
2 1/ 2 (2+ 3 x - 3 x ) t ∃ k( x ) dx . 2 2
2. 2
t 方向: 取拉氏变换 记 an ( t ) 的拉氏变换为 (n ( s ) , 即 (n ( s) =
+ % 0
an ( t ) e
- st
∃ u n ( h)
j
%
j
,
( 3. 1) ( 3. 2)
u n ( h) =
w n ( h) , h
j j
u n ( jh ) = u n ( tj ) + u n = u n ( h) , 由式 ( 1. 4) 可得
j 1 w n ( h) = 2!& i
( 3. 3)
∋
∀
(n (
#
( 1. 5) ( 1. 6a) ( 1. 6b) ( 1. 6c)
1 的某个邻域内解析且没有零点 , 除在 < 1, &> ∃,
1 -h p ( e ) 1 + o ( h ) , 当 p # 1. h
i= 1
当 &= 90), 90), 88 ), 73), 51), 18) 时, 相应的 p = 1, 2, ∀, 6 , 这时 ( ) 由 ( ) = 我们定义 f j ( h) , 由 F( ( )/ h) = h 得 f j ( h ) = w j ( h ) / h. w j ( h ) 由式( 1. 4) 给出, 可以证明 f j ( h) 逼近 F ( s) 的拉普拉斯逆变换 f ( t ) . 定理 1 假定式( 1. 5) , ( 1. 6) 成立 , 且设 f ( t ) 是 F ( s) 的拉普拉斯逆变换. 则 f j ( h) - f ( j h) 定理的证明见文献[ 1] . C& t
1 0
1 0
( ∃∋( x ) ) ∗ ∃ ∗ k( x ) d x =
n
s
- 3/ 2
(2+
3 3 2 xx )∃ k( x ) dx , 2 2 !Ls
k+ 1 L k L - 1/ 2
2s - 1/ 2 s + 2 !Ls = a, 3L 6L gk = s
- 3/ 2 2 ( Lx - k + 1) ( 2 + 3 x - 3 x ) d x + k- 1 2 2 L k L k L
黎丽梅
( 湖南理工学院 数学系, 湖南 岳阳
t
414006 )
摘要 : 给出一种求一类线性偏积分微分 方程 u t ( x , t ) -
0
( t - s) u xx ( x , s) d s = f ( x , t ) 数值解的方法 , 空间 x
方向 采用线性有限元离散 , 时间 t 方向采用 Lubich 的拉普拉斯变换数值逆 , 得出数值解 的精度较高 , 计算也比较 简便 . 关键词 : 偏微分方程 ; 有限元 ; 拉普拉斯变换 ; 数 中图分类号 : O241. 8 文献标识码 : A
其中
a∗ n( t ) ∃ ∋( x ) ∃ k( x ) dx +
1 0
n
t 0
[ ( t - s)
- 1/ 2
1 L- 1
n= 1
k( x ) d x ] d s = ∃ a n ( x ) ( ∃∋( x ) ) ∗ ∃∗ 0 n
n= 1
f (x, t) ∃ k( x ) dx ,
1 0
( k = 1, 2, ∀, L - 1 ) ,
的计算结果
在 t ( [ 0, 1 ] 上引进等距节点 0 = t 0 < t 1 < ∀ < t j- 1 < t j < ∀ < t N = 1 , h = 1 / N , tj = j h, 取 ( ) = 1 - , 由式( 1. 7) ~ ( 1. 9) 可得 (n (
j
1h
) = h
j
j= 0
t - 1/ 2
ut ( x , t ) v ( x ) 两边取积分并整理得
1 0
0
( t - s)
uxx ( x , s ) v ( x ) ds = f ( x , t ) v ( x ) ,
( 2. 1)
1 t
ut ( x , t ) v ( x ) dx +
0 0
( t - s)
- 1/ 2
第8卷 第3期 2007 年 6 月
北华大学学报 ( 自然科学版 ) JOU RN AL O F BEIHU A U N IVERSIT Y ( N atural Science)
Vol. 8 No. 3 Jun. 2007
文章编号 : 1009 4822( 2007) 03 0201 05
一类偏积分微分方程的数值解法
1 Lubich 的拉普拉斯变换数值逆
给出网格 t = 0, h, 2 h, ∀, Nh, 卷积
t
f* g= 可以离散为
0
0
f ( s ) g( t - s) d s ,
( t # 0) ,
( 1. 1)
∃
jh
w j ( h) g ( t - jh ) ,
t %
( 1. 2)
其中 w j ( h) 由幂级数 F( ( ) / h) = 给出 , 这里 F 是 f 的拉普拉斯变换 , ( ) = 由罗朗定理 [ 4] 有 w j ( h) = 其中 ∀#: = # , #> 0 为常数. 1 2!& i
n n+ 1 x < , L L n+ 1 x 1, L
[ 5]
则 U∋ 中的任意函数都可以表示为基函数的线性组合 u( x , s) + U∋( x , s) = a 1 ( s )
wk.baidu.com1 ∃∋( 1
.设
2 2 L- 1 L- 1
x ) + a 2 ( s ) ∃∋( x ) + ∀ + aL- 1 ( s ) ∃∋ ( x ) ,
∀ 0 d ! d 0
0 ∀ 0 ! a d
0 0 ) d a
(1 ( s) (2 ( s) (3 ( s) ) (L- 2 (L- 1 =
g1 g2 g3 ) g L- 2 g L- 1
成立 , 从而可以解出 (1 ( s) , (2 ( s ) , ∀, (L- 1 ( s) .
3 取 ( ) = 1-
ux ( x , s) v∗( x ) d s d x =
1 0
f ( x , t ) v ( x ) dx .
( 2. 2)
2. 1
x 方向 : 线性有限元离散 在[ 0, 1] 上引进等距节点 0 = x 0 < x 1 < ∀ < x L = 1, 记步长 ∋=
1 , x n = n∋ , 0 < n < L - 1, [ 0, L 1] 上的分段线性函数 ∃ ( 0) = ∃ ( 1) = 0, 且在每个[ x n- 1 , x n ] 上是线性函数( n = ∋ 在 [ 0, 1] 上连续且 ∃ ∋ ∋
0
( t - s)
- 1/ 2
u xx ( x , s ) d s = f ( x , t ) , 0 t < 1, 0 x 1.
( I∗)
u( 0 , t ) = u ( 1, t ) = 0,
u ( x , 0) = w ( x ) , 为了获得精确解
u ( x , t) = x ( 1 - x ) ( t 我们取
( 2. 3) ( 2. 4)
u ( x , t ) + U ∋( x , t ) = a 1 ( t ) ∃∋( x ) + a 2 ( t ) ∃∋( x ) + ∀ + aL- 1 ( t ) ∃∋ ( x ) , 于是 ux ( x , s) = a 1 ( s ) ( ∃∋( x ) )∗ + a 2 ( s ) ( ∃∋( x ) ) ∗ + ∀ + aL- 1 ( s ) ( ∃∋ ( x ) ) ∗, ut ( x , t ) = a∗ ( t) 1
1 ∃∋( 1 2 L- 1
( 2. 5) ( 2. 6)
x ) + a∗ 2( t )
2 ∃∋(
x ) + ∀ + a∗ L- 1 ( t )
L- 1 ∃∋ (
x ),
将式 ( 2. 3) ~ ( 2. 6) 代入式 ( 2. 2) 并取 v ( x ) = ∃ k ( x ) 可得
1 L- 1
∃ 0
j= 0
∃ wj( h)
j
( 1. 3)
j= 0
∃
%
j j
是生成线性多步法多项式的商数 [ 1 3] .
∋
∀#
F( ( ) / h)
- j- 1
d ,
( 1. 4)
收稿日期 : 2007 01 15 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10271046) 作者简介 : 黎丽梅 ( 1974- ) , 女 , 讲师 , 硕士 , 主要从事计算数学研究 .
202
北华大学学报 ( 自然科学版 )
第8卷
设 F ( s) 在区域 arg ( s - c) < !- ∃, ∃ < F ( s) ( ) 满足条件: ( 1) ( 2) ( 3) ( ) 在闭单位圆 arg ( ) !- & ,
! , c ( R 内解析, 并且满足 2 - % M& s , M < % , % > 0, = 1 的一个零点外 ,
3/ 2
+ 1) ,
w ( x ) = x (1- x) , 和 f ( x , t) = ( 2 +
1
3 3 2 1/ 2 xx )t , 2 2
2
确定试探函数空间 H 0 ( 0, 1 ) = { v ( x ) v ( x ) , v∗( x ) ( L ( 0, 1) , v ( 0 ) = v ( 1) = 0} . 将式 ( I∗) 的第一个方程两边乘以一个试探函数 v ( x ) , 可得
d t , 且 an ( 0) = w ( x n ) = x n ( 1 - x n ) , 将方
L- 1
程( 2 . 7) 对 t 取拉氏变换, 得
1 L- 1
n= 1
∃ [ s (n ( s ) 0
k = 1, 2 , ∀, L - 1. 令
a n( 0 ) ]
n ∃ ∋(
1 - 1/ 2 x ) ∃k ( x ) d x + ∀ ( ) s ∃ (n ( s) 2 n= 1
Lx - k + 1) d x +
2
( k + 1 - L x ) d x + x k+ 1 ( 1 + x k+ 1 )
( k + 1 - Lx ) ( Lx - k ) d x ,
则有方程组
204
北华大学学报 ( 自然科学版 )
第8卷
a d 0 ) 0 0
b a d ∀ 0
0 d a ! 0 ∀
此问题常出现在带有粘弹性流体模型及带有记忆功能的热传导物质 , 因此讨论这类偏积分微分方程的求 解具有非常重要的意义. 但这类方程中的大部分方程的数学精确解不易求出, 所以有必要研究它们的数值 解. 研究数值解的传统方法有差分法、 有限元法、 谱方法等 , 本文将在时间 t 方向采用一种新的方法 ! ! ! Lubich 的拉普拉斯变换数值逆 .
本文研究一类线性偏积分微分方程 :
t
ut ( x , t ) -
0
( t - s)
- 1/ 2
u xx ( x , s ) d s = f ( x , t ) , 0 x t 1. T, ( I)
u( 0 , t ) = u ( 1, t ) = 0, u( x , 0 ) = v ( x ) , 0
第3期
黎丽梅 : 一类偏积分微分方程的数值解法
203
1, 2, ∀, L - 1) , 所有满足这些条件的函数构成集合 U ∋, 即 U∋ = { ∃ ∋ ( C [ 0, 1] , 且在每个[ x n- 1 , x n ] ∋ ∃ 上是线性函数, ∃∋( 0) = ∃ ( 1) = 0} , 容易验证 U∋ 是实数域上的一个 L - 1 维的线性空间, U∋ 的基函数为 ∋ n- 1 0, 0 x < , L Lx - n + 1, ∃ n( x ) = n + 1 - Lx , 0, n- 1 L x < n, L ( n = 1, 2 , ∀, L - 1)
= d,
2 ( k + 1 - L x ) ( 2 + 3 x - 3 x ) dx + 2 2 k L
x k- 1 ( 1 - x k- 1 )
k+ 1 L k L
k- 1 ( L 2
k - L x ) ( Lx - k + 1) d x + x k ( 1 - x k )
k+ 1 L k L
k- 1 ( L
% -1 - p
j= 0 %
∃ ( 1-
p
) 给出 [ 1] .
i
∃ f j ( h)
j
,
( 1. 7)
( 1. 8)
&h ,
p
( t = j h) ,
( 1. 9)
其中常数 C 与 h ( ( 0, h] 和 t ( [ h , t ] 无关, 且 t < + % .
2 数值例子
t
例 1 解方程
ut ( x , t ) -