两自由度系统的振动
第四章两自由度系统的振动介绍
第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。
在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。
此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。
两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。
这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。
在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。
例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。
两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。
得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。
在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。
另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。
数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。
分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。
通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。
对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。
共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。
当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。
共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。
因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。
此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。
例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。
总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。
通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。
《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的自由振动
两个自由度系统的振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、两个自由度系统的自由振动2、两个自由度系统的受迫振动1、两个自由度系统的自由振动（1）模型的简化同一物体的振动可以简化为不同的振动模型。
C研究上下平移振动研究前后颠簸振动两个自由度系统的自由振动模型112122222122()00mxk k x k x m x k x k x ++-=üý-+=þ&&&&2212121m k d m k c m k k b ==+=，，令方程变为：11221200xbx cx x dx dx +-=-+=&&&&，根据微分方程理论，可设上列方程组的解为：)sin()sin(21q w q w +=+=t B x t A x ，其中：A 、B 是振幅；ω为角频率，θ是初始相位角。
将上式代入微分方程组，得到：)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22=+++++-=+-+++-q w q w q w w q w q w q w w t dB t dA t B t cB t bA t A 整理后得到：0)(0)(22=++-=--B d dA cB A b w w ，系统振动时，方程组具有非零解, 则方程组的系数行列式必须等于零，即：22=----ww d dc b —频率行列式①固有频率1、两个自由度系统的自由振动)()(24=-++-c b d d b w w 行列式展开后得到：—系统的本征方程，又称为频率方程21,22b d w +=m 2b d +=m i ω2的两个根都是实数，而且都是正数。
ii ω2的第一个根较小，称为第一固有频率。
iii ω2的第二个根较大，称为第二固有频率。
结论：两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。
第六节 两个自由度体系的自由振动
4l 3 = , 243EI
δ 12 = δ 21
7l 3 = 486 EI
(2)求自振频率 求自振频率 将柔度系数及m 代入式(11-48)求得 将柔度系数及 1=m2=m代入式 代入式 求得
15ml 3 λ1 = (δ 11 + δ 12 )m = , 486 EI
于是得到两个自振频率
ml 3 λ2 = (δ 11 − δ 12 )m = 486 EI
y1 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 11 − m2 ɺɺ2 (t )δ 12 y y y 2 (t ) = −m1 ɺɺ1 (t )δ 21 − m2 ɺɺ2 (t )δ 22 y y
或
δ 11m1 ɺɺ1 (t ) + δ 12 m2 ɺɺ2 (t ) + y1 (t ) = 0 y y δ 21m1 ɺɺ1 (t ) + δ 22 m2 ɺɺ2 (t ) + y 2 (t ) = 0 y y
大值)和 小值)如下 由此可解出 λ 的两个正实根 λ 1 (大值 和λ 2 (小值 如下： 大值 小值 如下：
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
1 2
λ1, 2 = [(δ 11 m1 + δ 22 m 2 ) ± (δ 11 m1 − δ 22 m2 ) 2 + 4m1 m2δ 12 2 ]
试求图a所示等截面简支梁的自振频率和主振型 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。 例11-9 试求图 所示等截面简支梁的自振频率和主振型。
解：(1)求柔度系数 求柔度系数 体系有两个自由度。 如图b、 所示 所示。 体系有两个自由度。作 M 1、M图，如图 、c所示。由图乘法求得柔度系数 2
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
第二章 两自由度系统振动
d
2
d1
2
2
2 1 1
2
2
A
(2) 1
1 1 2
d
2
d1
1
2
2 1 2
1
2
两自由度系统振动规律总结
1）两自由度系统有两个固有频率，与之对应有两 个主振型，其形状是确定的，都只与系统物理 参数有关，与初始条件无关 2）两个质点的振动均为两个不同频率的谐振动的 叠加，只有当两个固有频率比之为有理数时， 才是周期振动，振幅和相位与初始条件有关。 3）主振动实现： 1 1 实现第一主振动 d2 d1 , 2 1 实现第二主振动
2.3 动力减振器 一个重要应用，动力减振器的设计。其中， m2 ，
k2 ， c2 以一个动力减振器的形式存在，如何设计它
们使得主质量 m1 在外力 F 作用下产生的振动变小。
F0 st k1 外力幅引起主质量静变形
0
k1 m1
单独主质量固有频率 单独减振器局部固有频率
a
k2 m2
k2 b m1
k2 c m2
由微分方程理论，可设通解为
x1 A1 sin t
x2 A2 sin t
代入运动方程，令两个方程两边 sin t 前系数 相等，得特征方程
( a 2 ) A1 bA2 0 cA1 (c 2 ) A2 0
A1 2 1 2 2 A1 2 A2
2 a 12 1 a c a c 1 bc 0 b b 2 2 2 2 ac a 2 1 a c 2 bc 0 b b 2 2 对应于 1 的解(微分方程第一特征值解)为：
《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的受迫振动
2、两个自由度系统的受迫振动将特解代入简化后的微分方程组，得到关于振幅的方程组：)()(22=-+-=--B d dA h cB A b w w ，解上述代数方程组得到两个振幅为：cd d b d h A ----=))(()(222w w w cdd b hdB ---=))((22w w （1）当激振频率ωà0此时激振周期T à∞，表示激振力变化极其缓慢，实际上相当于静力作用。
01b k H c b h B A ==-==b 0相当于在大小等于力幅H 的常力作用下主物体m1的静位移，这时两个物体具有相同的位移量。
（2）固有频率))((2222=---=----cd d b d d c b w w w w 频率方程：可解得系统的固有频率ω1和ω2。
当激振频率ω=ω1或ω=ω2时，，A 、B à∞，系统发生共振。
22()()0b d cd w w ---=两个自由度的系统具有两个共振频率。
2、两个自由度系统的受迫振动（3）振幅比d d B A 2w -=两物体的振幅比与激振频率有关，不再是自由振动的主振型。
d d B A 21w -=dd 22w -当激振频率ω=ω1或ω=ω2时，或，与自由振动对应的主振型相同。
当系统发生各阶共振时，受迫振动是各阶主振型。
利用实验测固有频率和固有振型。
（4）振幅与激振频率的关系实例：12k k k ==122m m m==20202w w ===c d b ，1222112122k k k kk k k H Hb c d h m m m m m m m m+=======，=，，令0w ==为没有m2时，主质量系统的固有频率222241.3586.0w w w w ==，2、两个自由度系统的受迫振动0H b k =20220011212112A b w w a w w æö-ç÷èø==éùæö--êúç÷êúèøëû2200112112B b b w w ==éùæö--êúç÷êúèøëû引入静变形并代入b 、c 、d 、h ，得到两个物体关于静变形的振幅比：α, β10234-4-3-2-1ω01ω0ωω02振幅比│频率比曲线i 当ω=0时, α=β=1, 即A =B =b 0。
两自由度系统的振动
2 2） ad bc ， 12 和 2 都是正数，两个正实根。 3）方程仅有两个正实根的事实说明，系统可能有的同步 运动不仅是简谐的，且只能以两种频率作简谐运动。
4）ω1和ω2由由系统参数确定，称为系统的自然频率。两
2 (t ) c3 x 2 (t ) c2 [ x 2 (t ) x 1 (t )] k3 x2 (t ) k 2 [ x2 (t ) x1 (t )] F2 (t ) m2 x
整理得到
1 (t ) c1 c2 x 1 (t ) c2 x 2 (t ) k1 k 2 x1 (t ) k 2 x2 (t ) F1 (t ) m1 x m2 x2 (t ) (c2 c3 ) x2 (t ) c2 x1 (t ) (k 2 k 3 ) x2 (t ) k 2 x1 (t ) F2 (t )
由两自由度系统到更多自由度系统，则主要是量的扩充，
在问题的表述、求解方法及最主要的振动特性上没有本质 的区别。
1
2
1
2
1 1 2
2 3
6.2 两自由度系统的自由振动
一、两自由度振动系统的运动微分方程
1( 1 1
)
1(
)
2 2
2(
)
2
( )
3 3
1
2
(a)
1 1 1( 1 1(
( )
1
( )
2[ 2 (
2
1
上式表明：系统按其任一自然频率作简谐同步运动时，m1 和m2运动的振幅之比由系统本身的物理性质决定，对于特 定系统，是一个确定的量。 由于m1和m2作同步运动，任意时刻的位移之比等于振幅比
第三章 两自由度系统的振动
设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘， 其质量为m2，质量块质量为m1， 弹簧刚度分别为K1和K2，并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（ ），
取静x,平 衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1
0727第三章 两自由度系统振动(讲)
第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。
只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。
这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。
(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]§3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
两个自由度体系的自由振动
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。
两自由度振动系统
2.2 主振型
对应固有频率时的 x1，x2 的振幅之间有两个确定的比值，这个比值称为振幅比。振动 过程中， 系统各点的位移的相对比值都可以由振幅比确定， 振幅比决定了整个系统的振动形 态。 振幅比就称为系统的主振型。 第一主频率对应第一主振型； 第二主频率对应第二主振型。 当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型做振动时，即成为系统的主振动。 主振型和固有频率只取决于系统的固有性质，与初始条件无关。
K1
K1x1
m1 x1
m1
系统的两个分振动的频率不一定是有理数， 合成的振动不一定呈周期性， 一般是非周期的复 杂运动或似周期运动。
2. 固有频率与主振型
2.1 固有频率
两自由度系统的固有频率有两个
2 wn 1,2 =
a+c a−c 2 ∓ （ ） + bc 2 2
将小的那一个固有频率称为第一主频率或第一阶固有频率， 第二个称为第二主频率或第二阶 固有频率。
两自由度系统振动
两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振 动系统。
两自由度系统的自由振动 1. 系统运动微分方程
m1 x1 + k1 x1 − k 2 x2 − x1 = 0 m2 x2 + k 2 x2 − x1 = 0 令 a=(k1+k2)/m1;b=k2/m1;c=k2/m2 简化为， x1 + ax1 − bx2 = 0 x2 − cx1 + cx2 = 0 K2(x2-x1) K2(x2-x1) x2 m2 m2
2.3 振动分析
求出两个质量块的振动后，可知2 小于零， 1 大于零，第一主振动中两个支点的相位 相同，即若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同向运动，同时经过平衡位 置同时达到最大偏离位置。 若系统以第二主振型进行振动， 两个质点就同时向相反的方向运 动，当质量 1 达到最低位置，质量 2 就达到最高位置。所以，他们一会分离一会相向运动， 这样在联系质量 1 和质量 2 之间的弹簧上就会出现一个点， 它在整个第二主振动的任意一瞬 间的位置都不改变，称为节点。由于节点的存在就限制了振幅的增大。
4二自由度系统振动
)
)
0
0
sin( t ) 0
( a 2 )A1 bA2 0
cA1
(
d
2
)A2
0
这是关于 A1 和 A2 的线性齐次代数方程组。显然，A1 A2 0 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 A1 与 A2 具有非零解，此方程组
的系数行列式必须等于零，即：
2
F1(t ) F2 (t )
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
其中定义：
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
M
m1
0
0
m2
,
C
c1 c2
但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加
x1 x2
x1(1) x2(1)
x1(2) x2(2)
x1 r (1) A2(1) sin(1t 1) r (2) A2(2) sin(2t 2 )
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
扭转振动系统
两者坐标形式相同
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：x x1 x2 T x x1 x2 T
x x1 x2 T
F(t) F1(t) F2 (t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程Mx Cx Kx F(t)
03二自由度系统的振动
[u]T [M ][u]{&y&} + [u]T [K ][u]{y} = {0}
y 0 &&1 k1 + m 2 &&2 0 y 0 y1 0 = k 2 y 2 0
结果有 即是
m1 &&1 + k1 y1 = 0 y m 2 &&2 + k 2 y2 = 0 y
将方程组用矩阵表示如下: 将方程组用矩阵表示如下
m1 0
0 &&1 k1 + k 2 x + m 2 &&2 − k 2 x
− k 2 x1 0 = k 2 + k 3 x 2 0
一般可表示为: 一般可表示为
[M ]{&&} + [K ]{x} = {0} x
11/41
一般可表示为: 一ห้องสมุดไป่ตู้可表示为
m11 m 21
或:
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x
k12 x1 0 = k 22 x 2 0
[u] =
u11 u21
u12 u22
而坐标变换为
12/41
{x} = [u]{y}
{&&} = [u]{&&} x y
一般化分析与推导如下： 一般化分析与推导如下：
m11 m 21
设变换矩阵为
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x
第5讲 两自由度系统的振动
(4)
，式中常数u1和u2起振幅的作用。 请
将方程(4)代入方程(3)，得
m1u1 f(t)+ (k11u1 + k12u2 ) f (t ) = 0 m2u2 f (t)+ (k21u1 + k22u2 ) f (t ) = 0
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动
现在关心的问题是，在初值条件下，如何求解 这个方程。这里，有两个问题需要确定： 1、坐标x1和x2是否有相同的随时间的变化规律 2、x1和x2是否是简谐函数
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
14
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家是
课 件荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 仅 供(Christian Huygens 1629-1695)。根据 学 习伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现 复 习 的钟摆的等时性原理，他于1656年把单 之 用 ，摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。 请
勿标，它们能够完全描述了系统在任何时刻的运动：x1和 它 用x2不仅表示出质量m1和m2的运动，而且也描述了
弹簧
。 曹k 、k 和k 的运动。因此，该系统是一个两自由度系统。 1 2 3
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动 8
两自由度系统的自由振动（微分方程）
f1 f2
课 件 仅 供 x1 x2 学 k2 (x2 − x1 ) 习 k1 x1 m1 m2 k3 x2 复 习 f1 f2 之 用 设运动x1和x2是微幅的，振动系统是线性的。由牛 ，顿定律建立运动微分方程 ：
引言
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
两自由度系统的振动
振动理论与应用
Theory of Vibration with Applications Theory of Vibration with Applications
制作与设计 贾启芬
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第3章 两自由度系统的振动
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3.1 两自由度系统的自由振动 3.2 拍振 3.3 坐标的耦联 3.4 两自由度系统的受迫振动
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3.1 两自由度系统的自由振动
例题
x m 0 &&1 2k 0 2m && + − k x2
m 0 质量矩阵 M = 0 2m
− k x1 0 x = 0 2k 2
自由振动微分方程
Theory of Vibration with Applications
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3.1 两自由度系统的自由振动
3.1.1 运动微分方程
m1 0
&& 0 x1 k 1 + k 2 x + − k m2 &&2 2
k 12 k 22
x1(2 ) = A1(2 ) sin( p2t + α 2 ) (2 ) (2 ) x2 = A2 sin( p2t + α 2 )
( A21) a − p12 c ν1 = (1) = = A1 b d − p12
第二主振动 the ratio of the amplitudes 振幅比
2 p1, 2
a+d a+d = m − (ad − bc) 2 2
2
a+d a−d = m + bc 2 2
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
04-1 两自由度系统的振动解析
运动微分方程简化为标准 形式：
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
方程的特点： 二阶常系数齐次线 1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。 x (1)第1个方程既含有 (2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。 显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。 与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动 微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
2
2
固有频率
2 1,2
燕山大学
Yanshan University
ad 2
ad ad ( ad bc ) 2 2
2
ad bc 2
2
2
2 (1)a、b、c、d是由弹簧刚度和质量所决定的正数，所以 1 与 2
均为实根。 (2)因为 ad bc ， 正实根。
燕山大学
Yanshan University
1 K 2 ( x2 x1 ) K1 x1 m1 x 2 K 2 ( x2 x1 ) K 3 x2 m2 x
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
整理得：
燕山大学
Yanshan University
(a 2 ) A1 bA2 sin(t ) 0 2 cA ( d ) A2 sin(t ) 0 1 为使xl、x2是方程组的解，方程成立的条件为：
2 ( a ) A1 bA2 0 2 cA ( d ) A2 0 1
第5章 两自由度系统的振动
由式(5-7)可得
u2 = − m1 p 2 + k11 = −
k 21
u1
k12
m2 p 2 + k22
(5-10)
式(5-7)是右边均为零的齐次方程式，所以不能求出u1和u2值本身的大小，但可以如上式那样定出它们
的比值。现将式(C)代入式(5-10)中的 p 2 ，就可求出对应于 p(1) 和 p(2) 的振幅比ν (1) 和ν (2) 分别为
u1(1)
u
(1) 2
cos( p(1)t cos( p(1)t
+ +
α α
(1) (1)
)⎫ )⎭⎬
x1( 2 )
x
(2) 2
= u1(2)
=
u
(2) 2
cos( p(2)t cos( p(2)t
+ +
α α
( (
2) 2)
)⎫ )⎭⎬
它们分别称为一阶和二阶主振动。通解则由两个主振动 Nhomakorabea和表示，即
x1 (t) x2 (t)
x
=
⎩⎨⎧xx12
⎫ ⎬, ⎭
&x&
=
⎩⎨⎧&x&x&&12
⎫ ⎬ ⎭
(5-4)
分 别 是 系 统 的 坐 标 列 阵 和 加 速 度 列 阵 。 如 果 令 m11 = m1 , m22 = m2 , m12 = m21 = 0, k11 = k1
+k 2 , k 22 = k 2 , k12 = k21 = −k2 ，式(5-3)就是式(5-2)。 采用这种写法时，系数k ij (i, j = 1，2)的力学意义将在后面章节中说明。这些系数还有如下关系
25 两个自由度体系的自由振动计算(柔度法)
和 m2 y2 (t)共同作用下所产生的静力位移。应用叠加原理，
可列出方程如下：
y1(t) = −m1 y1(t)11 − m2 y2 (t)12 y2 (t) = −m1 y1(t)21 − m2 y2 (t)22
y1(t) + m1 y1(t)11 + m2 y2 (t)12 = 0 y2 (t) + m1 y1(t)21 + m2 y2 (t)22 = 0
25两个自由度体系的自由振动柔度法251运动方程的建立t它们都是从静平衡位置量取并以向下为正
25 、两个自由度体系的自由振动（柔度法）
25.1、运动方程的建立 图1a所示为两个自由度体系(梁的质量略去不计)，质点m1 和m2的位移分别为y1(t)和y2(t)，它们都是从静平衡位置量 取并以向下为正。可以认为在自由振动过程中的任一瞬
式中，A1 、A2分别是质点m1 、m2 的位移幅值，ω为体系的自振频率。
y1(t) = A1 sin(t + ) y2 (t) = A2 sin(t + )
y1(t) = −m1 y1(t)11 − m2 y2 (t)12 y2 (t) = −m1 y1(t)21 − m2 y2 (t)22
(m111 −1 m121 A1 +
式中，δ11、δ22、δ12 、δ21称为结构的柔度系数，其物理 意义如图1c、d所示。
m1
m2
y1(t) -m1y1(t)
y2(t) (a)
-m2y2(t)
(b) 1
δ11
δ21
(c)
Байду номын сангаас
1
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A22 A12
a p22 b
d
c p22
k11 p22m11 k12
Mechanical and Structural Vibration
1 两自由度系统的自由振动
主振型
根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通 解，是它的两个主振动的线性组合，即
x1 (t) x1(1) x1(2) A1(1) sin( p1t 1 ) A1(2) sin( p2t 2 )
k11
p2 k21
m11
k22
k12 p2m22
A1 A2
0 0
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
k11
p2 k21
m11
k22
k12 p2m22
ห้องสมุดไป่ตู้
A1 A2
0 0
系数行列式等于零
K p2M 0
k11 p2m11 k21
k12
0
k22 p2m22
这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
k11 p2m11
k12
0
k21
k22 p2m22
展式为 p2 m11m22 p4 m11k22 m22k11 p2 k11k22 k12k21 0
引入记号
a k11 , b k12 , c k21 , d k22
m11
m11
m22
分别以两物体的平衡位 置 为 坐 标 原 点 ， 取 x1 、 x2 为广义坐标，
由牛顿第二定律得
k3 x2
m1x1 k1x1 k2 (x2 x1) m2 x2 k2 (x2 x1) k3x2
自由振动微分方程
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0 m2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2 0
m车
建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼
k2
c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合
缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
模型
简化成二个自由度
1 两自由度系统的自由振动
运动微分方程
两自由度的弹簧质量系统。 k1
k2
k3
两物体均作直线平移，略去
摩擦力及其它阻尼。
x2
(t)
x
(1) 2
x
(2) 2
A2(1) sin( p1t
1)
A2(2) sin( p2t
2)
写成矩阵形式
x1
A1(1)
x2 A2(1)
A1(2)
sin(
p1t
1
)
A2(2) sin( p2t 2 )
x1
A1(1)
sin(
p1t
1
)
A1(2)
sin(
p2t
1 两自由度系统的自由振动
运动微分方程
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
0 0
刚度矩阵
K
k 11
k
21
k12
k
22
质量矩阵
M
m11 m21
m12
m22
坐标列阵
x
x1 x2
加速度列阵
x
x1 x2
Mx Kx 0
m22
特征方程可写为
p 4 (a d ) p 2 ad bc 0
1 两自由度系统的自由振动
p 4 (a d ) p 2 ad bc 0 特征方程的两组特征根
频率方程
p12,2
a
2
d
a
d 2
2
(ad
bc)
a
d 2
a d 2 bc 2
小于 a d
2
正值
特征根 p12 p22是两个大于零的不相等的正实根
模型
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动 m
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之
间的相互影响
模型
m人
k1
c1
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
a k11 , b k12 , c k 21 , d k 22
m11
m11
m22
m22
p12,2
ad 2
a d 2
2
(ad
bc)
a
d 2
a d 2 bc 2
p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低 的频率p1称为第一阶固有频率；较高的频率p2称为第二 阶固有频率。
由式看出，固有频率p1、p2与运动的初始条件无关， 仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、 弹性元件的刚度有关。
1 两自由度系统的自由振动
主振型
将第一固有频率p1代入
x1 A1 sin( pt )
x2 A2 sin( pt )
第一主振动
x11 x21
A11 A21
sin( p1t sin( p1t
x10 x20 0（2） t＝0，x10＝1cm， x20＝-1cm, x10 x20 0
第三章 两自由度系统的振动
第三章 两自由度系统的振动
目录
0 模型 1 两自由度系统的自由振动 2 坐标的耦联 3 拍振 4 两自由度系统的受迫振动
模型
工程中有很多实际问题必须简化成两个以上自由 度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主 要特征。
一个振动系统究竟简化成几个自由度系统的振 动模型，要根据系统的结构特点和所研究的问题 来决定。
2
)
x2 A2(1)
A2(2)
A1(1) , A1(2) , 1 , 2 由运动的初始条件确定。 1A11 A21 2 A12 A22
Mechanical and Structural Vibration
1 两自由度系统的自由振动
例题
例试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。 已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，再求该系统对以下两组初 始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， x20＝0,
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0
m2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2 0
1 两自由度系统的自由振动
频率方程
Mx Kx 0
根据微分方程的理 论，设方程的解为
x1 A1 sin( pt )
x2 A2 sin( pt )
K p2 M A 0
1 1
) )
第二主振动 振幅比
第一主振型
第二主振型
x12 x22
A12 A22
sin( sin(
p2t p2t
2 2
) )
k11
p2m11 k21
k22
k12 p2m22
A1 A2
0 0
1
A21 A11
a p12 b
c d p12
k11 p12m11 k12
2