六大定理互相证明总结讲课讲稿

六大定理互相证明总

结

六大定理的相互证明总结

XXX 学号

数学科学学院 数学与应用数学专业 班级

指导老师 XXX

摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.

关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理

1 确界定理

1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]

n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在

前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )

n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞

→n n n a b .

显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又Θ()0lim =-∞

→n n n a b ∴βα=

即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]

证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界

{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .

由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞

N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理

2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理

在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列.

证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；

⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.

于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.

下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列.

2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]

由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞

→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞

→lim 也存

在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有

n n k n n k b b a a ∞

→∞

→≥≤lim ,lim （*）

由定理的另一条件： ()0lim =-∞

→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存

在，则有()0lim lim lim =-=-∞

→∞

→∞

→n n n n n n n a b a b .

从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）

也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有

ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …） 由数列极限的性质知道：

()ξξ-≥-∞

→'lim n n n a b

由于()0lim =-∞

→n n n a b ，故有

0'≤-ξξ

从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理

3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一

个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）

当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )

n a }所成的数列收敛于零，即

()0lim =-∞

→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列{}n x 递增有上界.

取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列

{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.

以此方法，得区间列{[,n a ]

n b }.

由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.

显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞

→n n x lim 定理得证.

3.3 区间套定理证明致密性定理[1]

证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：

（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=

-n

n n a

b a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.

每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.

在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则