北京2013大兴高三数学一模理科试题及答案
北京市大兴区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
大兴区2013年高三统一练习（一模）数学（理科）一、选择题（1）复数2(1i)-的值是（A ）2 （B ）2- （C ）2i （D ）2i - 【答案】D【解析】22(1)122i i i i -=-+=-，选D.（2）若集合{|2}-==xM y y ，{|1}==-P y y x ，则M P =(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y (C)}0|{>y y (D)}0|{≥y y【答案】C【解析】{0}M y y =>，{0}P y y =≥,所以{0}A B y y => ,选C.（3）执行如图所示的程序框图．若5n =，则输出s 的值是（A ）-21 （B ） 11是否 结束开始s =1,i =1(2)i s s =+-1i i =+输入n输出si n ≤?（C ）43 （D ） 86 【答案】A【解析】第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==； 第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，第五次循环，511(2)21,6s i =+-=-=，此时不满足条件，输出21s =-，所以选A.(4)双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 【答案】D【解析】双曲线的标准方程为2211y x m-=，所以0m >，且2211,a b m ==，因为24a b =，所以2a b =，224a b =，即41m=，解得4m =，选D. (5)已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 【答案】C【解析】C 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确。
北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：选修部分(含答案)
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：选修部分一、选择题1 ．（2013届北京海滨一模理科）在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为Ａ.π B ．4 Ｃ.4π Ｄ.162 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）在极坐标系下，圆03sin 4:2=++θρρC 的圆心坐标为 （ ）A ．)0,2(B ．)2,2(πC ．),2(πD ．)2,2(π-3 ．（2013届房山区一模理科数学）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到直线co s 2sin 10ρθρθ-+=的距离为（ ）A5B5C5D54 ．（2013届门头沟区一模理科）下列直线中，平行于极轴且与圆2co s ρθ=相切的是A ．c o s 1ρθ=B ．sin 1ρθ=C ．c o s 2ρθ=D ．sin 2ρθ=5 ．（2013届门头沟区一模理科）如图：圆O 的割线P AB 经过圆心O ，C 是圆上一点，P A ＝AC ＝12AB ，则以下结论不正确．．．的是 A ．CB ＝CP B ．PC ⋅AC ＝P A ⋅BC C ．PC 是圆O 的切线 D ．BC 2＝BA ⋅BP6 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程 （ ）A ．3s in 2=ρθB ．3c o s 2=ρθC ．3s in 2=ρθ D ．3c o s 2=ρθ7 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（ ）A ．22(2)4x y -+=B ．224x y +=PC ．22(2)4x y +-=D ．22(1)(1)4x y -+-=8 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）AB COP 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是 （ ） A．3B ．C．2D9 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是 （ ）A ．sin 1=ρθB ．s in =ρθC ．c o s 1=ρθD ．c o s =ρθ10．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））参数方程⎩⎨⎧--=-=ty t x 21,2(为参数)与极坐标方程θρsin =所表示的图形分别是 （ ）A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线11．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））如图,AC AB ,分别与圆O 相切于点ADEC B ,,是⊙O 的割线,连接CE BEBD CD ,,,.则（ ）A ．DE AD AB ⋅=2B ．CE AC DE CD ⋅=⋅C ．CE BD CD BE ⋅=⋅ D ．CD BD AE AD ⋅=⋅12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=．在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为 （ ）A ．2c o s ρθ=B ．2sin ρθ=C ．2c o s ρθ=-D ．2sin ρθ=-13．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知直线2,:2x t l y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2c o s 1,:2s in x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是（ ）A ．π,(1,0)4B ．π,(1,0)4- C ．3π,(1,0)4 D ．3π,(1,0)4-14．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，P C 与圆O 相切于点C ，直线P O 交圆O 于,A B 两点，弦C D 垂直A B 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.B E C ∆∽D EA∆ B ．A C E A C P ∠=∠C ．2D EO E E P=⋅D ．2P CP A A B=⋅二、填空题15．（2013届北京大兴区一模理科）已知直线y k x =与曲线42c o s ()2sin x y qq q ì=+ïïíï=ïî为参数有且仅有一个公共点，则k=16．（2013届北京大兴区一模理科）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E（E 在A ,O 之间），E FB C^,垂足为F ．若6A B=，5C FC B ?，则A E=。
2013年北京高考理科数学试题及答案(排版紧奏形)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2．在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“ϕπ=”是“曲线sin(2)y x ϕ=+过坐标原点” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23 C ．1321D ．610987 5．函数()f x 的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线xy e =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A ．1x e+ B ．1x e- C ．1x e-+ D ．1x e--6．若双曲线22221x y a b-=）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 7．直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43 B ．2 C ．83D．38．设关于x 、y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩所表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足0022x y -=，则m 的取值范围是（ ）A ．4(,)3-∞B ．1(,)3-∞C ．2(,)3-∞-D ．5(,)3-∞-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin 2ρθ=的距离等于 。
10．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。
11．如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = 。
北京市2013各区数学一模试题--数列及解析几何
2013年北京市各区高三一模试题编--数列一填空选择(2013年东城一模文科)（7）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列}{n x 满足21=x ，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400 （2013年东城一模文科理科）（14）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若n n a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）（2013年东城一模理科）（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50(2013西城一模文科理科)4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2- （B ）1(,0)(0,1)2-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）1(,)(1,)2-∞-+∞(2013西城一模文科)14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231,,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______. (2013西城一模理科)10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．(2013海淀一模文科)2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D.2(2013海淀一模理科)10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = (2013丰台一模文科理科)3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5（2013年石景山一模文科理科）11．在等差数列{a n }中，a l =-2013，其前n 项和为S n ，若10121210S S -=2，则2013S 的值等于 。
2013年北京高考理科数学试题及答案
绝密★启封前 机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一测试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，测试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B = A ．{}0 B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，， （2）在复平面内，复数()22i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．1B ．23C ．1321 D ．610987（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --（6）若双曲线22221x y a b-=3A ．2y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．2y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于A ．43B ．2C ．83D 162（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足否是结束输出S i ≥2i =i +1S =S 2+12S +1i =0, S =1开始0022x y -=，求得m 的取值范围是A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ．（11）如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 和圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = ．（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ． （14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ． 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤（15）本小题共（13分）在ABC △中，3a =，26b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值． （16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．BD OabcEP D B 1B 1A 1空气质量指数日期37798615812116021740160220143572586100150200250（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值. （18）（本小题共13分） 设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方． （19）（本小题共14分）已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. （20）（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=），C 1B 1A 1A BC写出1234,,,d d d d 的值;（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d的等差数列;（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线112y x=-上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线112y x=-上方，且(-m，m)在直线112y x=-下方，解不等式组1211212112m mm mm m⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m＜23-。
【解析分类汇编系列二北京2013(一模)数学理】5数列Word版含答案
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】5数列1．（2013届北京丰台区一模理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B在等比数列中，由3420a a +=得432a q a =-=，所以331118311(2)S q a q -+===---，选B.2．（2013届北京西城区一模理科）等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q >，即1q >或1q <-。
3363(1)a a a q -=-，所以当1q >时，3363(1)0a a a q -=-<，得36a a <。
当1q <-时，3363(1)0a a a q -=->，得36a a >。
若36a a <，则2511a q a q <，即31q <，所以1q >，此时2311a a q a =>，所以“13a a <”是“36a a <”的必要而不充分条件，选B.3．（2013届东城区一模理科）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 （ ）A ．130B ．120C ．55D ．50【答案】C由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。
北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：立体几何(含答案)
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线nm,，下列命题中不．正确的是（）A．若α⊥m，β⊥m，则α∥βB．若m∥n，α⊥m，则α⊥nC．若m∥α，n=βα ，则m∥nD．若α⊥m，β⊂m，则βα⊥．2 ．（2013届北京海滨一模理科）设123,,l l l为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是直角三角形；②i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)iA i=，使得四面体1234A A A A为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2B．22C．3D．324 ．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．6B．12（7题图）轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分6 ．（2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A．B．8C．D．837 ．（2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A．21B．13C．65D．18 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A．B．C．D．9 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）平面α∥平面β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a aααβ，∥，∥B．存在一条直线a a aαβ⊂，，∥C．存在两条平行直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥D．存在两条异面直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥10．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1（）A．43πB．2πC．83πD．103π正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图主视图左视图俯视图11．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A．B．C．D．12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（ ）A．16+B．12+C．8+D．4+13．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，正（主）视图 侧（左）视图俯视图直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A B．C．1 D．214．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+B．10+．14+D．14+15．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A B C．34D．116．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 （ ）A ．124 B ．112C ．16D ．1217．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ18．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 （ ）A ．38B ．4C ．2D ．3419．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）A．C．6+二、填空题20．（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.21．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．22．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.23．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<），记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）. 三、解答题24．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．25．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值..26．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB 上，且PN =（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．ABCD P -的底面27．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CPCM的值.28．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．29．（2013届东城区一模理科）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，AB AC AE ==2=，12ED AB =， P 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．30．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC,的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．31．（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠= ，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''（如图）．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '； （Ⅱ）求证：//C N '平面AD D '； （Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．DFECBAPADD 'C '32．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．33．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图F G P D CB A34．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E 是AB的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM中，2AD =，7AM =． （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； （Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.学）如35．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。
2013年北京市大兴区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)
2013年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1. 复数(1−i)2的值是（）A.2B.−2C.2iD.−2i2. 若集合M={y|y=2−x}，P={y|y=√x−1}，则M∩P=()A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}3. 执行如图所示的程序框图．若n=5，则输出s的值是（）A.−21B.11C.43D.864. 双曲线x2−my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A.1 4B.12C.2D.45. 已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是（）A.若m⊥α，m⊥β则α // βB.若m // n，m⊥α，则n⊥αC.若m // α，α∩β=n，则m // nD.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β6. 函数f(x)=√1−cos2xcos x()A.在(−π2, π2)上递增B.在(−π2, 0)上递增，在(0, π2)上递减C.在(−π2, π2)上递减D.在(−π2, 0)上递减，在(π2, 0)上递增7. 若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2−2x+a+b=0有实数根的概率是（）A.14B.34C.3π+24πD.π−24π8. 抛物线y=x2((−2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是（）A.1B.8C.8√2D.16√2二、填空题函数f(x)=cos x sin x的最大值是________．已知直线y=kx与曲线{x=4+2cosθy=2sinθ（θ为参数）有且仅有一个公共点，则k=________．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别是BC、CD的中点，则(AE→+AF→)⋅AC→等于________．设(1−x)(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+...+a6x6，则a2=________．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A，O之间），EF⊥BC，垂足为F．若，则AB=6，CF ⋅CB =5，则AE =________．已知函数f(x)={2x,0≤x ≤122−2x,12≤x ≤1，定义f 1(x)=f(x)，f n (x)=f （f n−1(x)）(n ≥2, x ∈N ∗)．把满足f n (x)=x(x ∈[0, 1]的x 的个数称为函数f(x)的“n −周期点”．则f(x)的2−周期点是________；n −周期点是________． 三、解答题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A =35，B =π4，b =√2 （1）求a 的值；（2）求sin C 及△ABC 的面积．期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：(2)从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E(X)的值．如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．（1）求证：A 1B // 平面ADC 1；（2）若AB =BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．已知函数f(x)=x−a (x−1)2，x ∈(1, +∞)．（I ）求函数f(x)的单调区间；（II ）函数f(x)在区间[2, +∞)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．已知动点P 到点A(−2, 0)与点B(2, 0)的斜率之积为−14，点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D ．求证：A 、D 、N 三点共线．已知数列{a n }的各项均为正整数，且a 1<a 2<...<a n ，设集合A k ={x|x =∑λi n i=1a i , λi =−1或λi =0, 或λi =1}(1≤k ≤n)．性质1：若对于∀x ∈A k ，存在唯一一组λi ，(i =1, 2,…,k)使x =∑λi n i=1a i 成立，则称数列{a n }为完备数列，当k 取最大值时称数列{a n }为k 阶完备数列． 性质2：若记m k =∑a i n i=1(1≤k ≤n)，且对于任意|x|≤m k ，k ∈Z ，都有x ∈A K 成立，则称数列P{a n }为完整数列，当k 取最大值时称数列{a n }为k 阶完整数列．性质3：若数列{a n }同时具有性质1及性质2，则称此数列{a n }为完美数列，当K 取最大值时{a n }称为K 阶完美数列；（1）若数列{a n }的通项公式为a n =2n −1，求集合A 2，并指出{a n }分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（2）若数列{a n }的通项公式为a n =10n−1，求证：数列{a n }为n 阶完备数列，并求出集合A n 中所有元素的和S n ．（3）若数列{a n }为n 阶完美数列，试写出集合A n ，并求数列{a n }通项公式．参考答案与试题解析2013年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接把给出的式子展开两数差的平方公式即可．【解答】解：(1−i)2=12−2i+i2=−2i．故选D．2.【答案】C【考点】交集及其运算函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．【解答】解：∵M={y|y=2−x}={y|y>0}，P={y|y=√x−1}={y|y≥0}，∴M∩P={y|y>0}，故选C．3.【答案】A【考点】程序框图【解析】框图首先先输入n，给s赋值1，给i赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s+(−2)i，i=i+1，不满足则跳出循环输出s的值．【解答】解：框图首先输入n=5，给s赋值1，给i赋值1．判断1≤5成立，执行s=1+(−2)1=−1，i=1+1=2；判断2≤5成立，执行s=−1+(−2)2=3，i=2+1=3；判断3≤5成立，执行s=3+(−2)3=−5，i=3+1=4；判断4≤5成立，执行s=−5+(−2)4=11，i=4+1=5；判断5≤5成立，执行s=11+(−2)5=−21，i=5+1=6；判断6≤5不成立，跳出循环，输出s的值为−21．故答案为：A．4.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值．【解答】解：双曲线x2−my2=1化为x2−y21m=1，∴a2=1，b2=1m，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，1=4m，解得m=4．故选D．5.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用线面垂直的性质可判断A，B的正误，利用线面平行的性质可判断C的正误，利用面面垂直的判断定理可判断D的正误．【解答】A、∵m⊥α，m⊥β，∴α // β，故A正确；B、∵m // n，m⊥α，∴n⊥α，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知，B正确；C、m // α，α∩β=n，则m与n可能平行，可能垂直，也可能异面，故C错误；D、m⊥α，m⊂β，由面面垂直的判断定理可知α⊥β，故D正确．6.【答案】D【考点】复合三角函数的单调性【解析】利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，可得函数为偶函数，当0<x<π2时，函数f(x)=tan x，是增函数，故函数在(−π2, 0)上递减，从而得出结论．【解答】解：∵函数f(x)=√1−cos2xcos x=|sin x|cos x，f(−x)=f(x)，故此函数为偶函数．由于当0<x<π2时，函数f(x)=tan x单调递增，故函数在(−π2, 0)上递减，故选D．7.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得满足a2+b2≤1的点(a, b)在单位圆及其内部，如图所示．若关于x的方程x2−2x+a+b=0有实数根，则点(a, b)满足a+b≤1，即在单位圆内且直线a+ b=1的下方．由此结合几何概型计算公式，用图中黄色阴影部分的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率．【解答】解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点(a, b)在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，如图所示若关于x的方程x2−2x+a+b=0有实数根，则满足△=4−4(a+b)≥0，解之得a+b≤1符合上式的点(a, b)在圆内且在直线a+b=1的下方，其面积为S1=34π×12+12×1×1=3π4+12，又∵单位圆的面积为S=π×12=π∴关于x的方程x2−2x+a+b=0无实数根的概率为P=S1S =3π4+12π=3π+24π故选：C8.【答案】B【考点】抛物线的标准方程旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据题意过正方体的一个对角面作一截面，得到抛物线的一个截面图，如图．阴影部分就是正方体的对角面，AC是正方体的对角线，设正方体的棱长为a，得出A的坐标，代入抛物线，能求出a的值，即可求出答案．【解答】解：根据题意，过正方体的一个对角面作一截面，得到抛物线的一个截面图，如图．阴影部分就是正方体的对角面，AC是正方体的对角线，设正方体的棱长为a，则AB=√2a，AD=a，∴点A的坐标为(√22a, 4−a)，将点A的坐标代入抛物线方程，得4−a=(√2a2)2，解得a=2，即正方体的棱长为2，故体积为8．故选B．二、填空题【答案】12【考点】求二倍角的正弦复合三角函数的单调性【解析】根据二倍角的正弦公式，可得f(x)=cos x sin x=12sin2x，结合正弦函数当x=π2+2kπ(k∈Z)时取到最大值1，即可得到当x=π4+kπ(k∈Z)时f(x)的最大值为12，得到本题答案．【解答】解：∵sin2x=2cos x sin x，∴f(x)=cos x sin x=12sin2x又∵当且仅当x=π4+kπ(k∈Z)时，sin2x的最大值为1∴f(x)=cos x sin x的最大值为f(π4+kπ)=12，(k∈Z)故答案为：12【答案】±√33【考点】圆的参数方程【解析】先把圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d ，只要比较d 与r 的大小即可求得k 值． 【解答】解：∵ 圆C 的参数方程为 {x =4+2sin θy =2sin θ，消去参数θ得(x −4)2+y 2=4，∴ 圆心C(4, 0)，半径r =2；∴ 圆心C(4, 0)到直线y =kx 的距离d =√k 2+1=2，∴ k =±√33． 故答案为：±√33． 【答案】152【考点】平面向量数量积的运算 【解析】利用向量的运算法则和数量积的定义即可得出． 【解答】解：如图所示，∵ 矩形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴ BE →=12BC →=12AD →，DF →=12DC →=12AB →．∴ (AE →+AF →)⋅AC →=(AB →+BE →+AD →+DF →)⋅(AD →+DC →)=(AB →+12AD →+AD →+12AB →)⋅(AD →+AB →)=32(AD →+AB →)2=32(AD →2+AB →2+2AD →⋅AB →)=32(22+12)=152．故答案为152．【答案】30【考点】二项式定理的应用 【解析】要求a 2，只要求解展开式中的含x 2项的系数，根据题意只要先求出(1+2x)5的通项，即可求解 【解答】解∵ (1−x)(1+2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 6x 6，而(1+2x)5展开式的通项为T r+1=2r C 5r x r∴ (1−x)(1+2x)5=展开式中含x 2的项为22C 52x 2−x ⋅2C 51x =30x 2∴ a 2=30故答案为：30 【答案】 1【考点】与圆有关的比例线段 【解析】在Rt △BEC 中，由射影定理可得EC 2=CF ⋅CB ，由垂径定理可得CE =ED ，再利用相交弦定理即可求出AE ． 【解答】解：在Rt △BCE 中，EC 2=CF ⋅CB =5，∴ EC 2=5． ∵ AB ⊥CD ，∴ CE =ED ．由相交弦定理可得AE ⋅EB =CE ⋅ED =CE 2=5．∴ (3−OE)⋅(3+OE)=5，解得OE =2，∴ AE =3−OE =1． 故答案为1． 【答案】 4,2n【考点】 函数的周期性进行简单的合情推理【解析】依题意，可求得f(x)的1−周期点的个数，继而可求得f(x)的2−周期点的个数，从而可类比推理得到f(x)的n −周期点的个数． 【解答】解：当x ∈[0, 12]时，f 1(x)=2x =x ，解得x =0；当x ∈(12, 1]时，f 1(x)=2−2x =x ，解得x =23；∴ f(x)的1−周期点的个数是2；当x ∈[0, 14]时，f 1(x)=2x ，f 2(x)=4x =x ，解得x =0；当x ∈(14, 12]时，f 1(x)=2x ，f 2(x)=2−4x =x ，解得x =25； 当x ∈(12, 34]时，f 1(x)=2−2x ，f 2(x)=−2+4x =x ，解得x =23；当x ∈(34, 1]时，f 1(x)=2−2x ，f 2(x)=4−4x =x ，解得x =45； ∴ f(x)的2−周期点的个数是4； 依此类推，f(x)的n −周期点的个数是2n ． 故答案为：4，2n ． 三、解答题 【答案】解：（1）因为cos A =35，A 是△ABC 内角，所以sin A =45，由正弦定理：a sin A =b sin B 知 a45=√2sinπ4，解得a =85．（2）在△ABC 中，sin C =sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =45×√22+35×√22=7√210， △ABC 的面积为：s =12ab sin C =12×85×√2×7√210=2825．【考点】 正弦定理 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，再由正弦定理求得a 的值．（2）在△ABC 中，根据sin C =sin (A +B)，利用两角和的正弦公式运算求得sin C 的值．再根据△ABC 的面积为s =12ab sin C ，运算求得结果．【解答】解：（1）因为cos A =35，A 是△ABC 内角，所以sin A =45， 由正弦定理：a sin A =b sin B 知 a45=√2sinπ4，解得a =85．（2）在△ABC 中，sin C =sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =45×√22+35×√22=7√210， △ABC 的面积为：s =12ab sin C =12×85×√2×7√210=2825．【答案】解：(I)5名学生数学成绩的平均分为：15(89+91+93+95+97)=935名学生数学成绩的方差为：15[(89−93)2+(91−93)2+(93−93)2+(95−93)2+(97−93)2]=8 5名学生物理成绩的平均分为：15(87+89+89+92+93)=905名学生物理成绩的方差为：15[(87−90)2+(89−90)2+(89−90)2+(92−90)2+(93−90)2]=245因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定． (II)由题意可知，X =0，1，2P(X =0)=C 42˙=16P(X =1)=C 42˙=23P(X =2)=C 42˙=16随机变量X 的分布列是E(X)=0×16+1×23+2×16=1． 【考点】离散型随机变量的期望与方差极差、方差与标准差 等可能事件的概率【解析】(I)利用平均数、方差的计算公式及其意义即可得出；(II)利用超几何分布的计算公式即可得到分布列和数学期望． 【解答】解：(I)5名学生数学成绩的平均分为：15(89+91+93+95+97)=935名学生数学成绩的方差为：15[(89−93)2+(91−93)2+(93−93)2+(95−93)2+(97−93)2]=8 5名学生物理成绩的平均分为：15(87+89+89+92+93)=905名学生物理成绩的方差为：15[(87−90)2+(89−90)2+(89−90)2+(92−90)2+(93−90)2]=245因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定．(II)由题意可知，X =0，1，2P(X =0)=C 42˙=16P(X =1)=C 42˙=23P(X =2)=C 42˙=16随机变量X 的分布列是E(X)=0×16+1×23+2×16=1．【答案】证明：（1）∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴ 四边形A 1ACC 1是矩形．连接A 1C 交AC 1于E ，则E 是A 1C 的中点，又D 是BC 的中点，在△A 1BC 中，ED // A 1B ．∵ A 1B ⊄平面ADC 1，ED ⊂平面ADC 1，∴ A 1B // 平面ADC 1． （2）∵ △ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ． 以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D −xyz ．由已知AB =BB 1=2，得：D(0, 0, 0)，A(√3，0，0)，A 1(√3,0,2)，C 1(0, −1, 2)．则DA →=(√3,0,0)，DC 1→=(0,−1,2)， 设平面ADC 1的法向量为n →=(x,y,z)．由{n →⋅DC 1→=0˙，得到{√3x =0−y +2z =0，令z =1，则x =0，y =2，∴ n →=(0,2,1)．又DA 1→=(√3,0,2)，得n →⋅DA 1→=0×√3+2×0+1×2=2． ∴ cos <DA 1→，n →>=√5×√7=2√3535设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ， 则sin θ=|cos <DA 1→，n →>|=2√3535．所以A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为2√3535． 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定【解析】（1）连接A 1C 交AC 1于E ，利用直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质定理即可得到ED // A 1B ，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立如图所示空间坐标系D −xyz ．利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出线面角． 【解答】证明：（1）∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴ 四边形A 1ACC 1是矩形．连接A 1C 交AC 1于E ，则E 是A 1C 的中点，又D 是BC 的中点，在△A 1BC 中，ED // A 1B ．∵ A 1B ⊄平面ADC 1，ED ⊂平面ADC 1，∴ A 1B // 平面ADC 1． （2）∵ △ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ． 以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D −xyz ．由已知AB =BB 1=2，得：D(0, 0, 0)，A(√3，0，0)，A 1(√3,0,2)，C 1(0, −1, 2)． 则DA →=(√3,0,0)，DC 1→=(0,−1,2)， 设平面ADC 1的法向量为n →=(x,y,z)．由{n →⋅DC 1→=0˙，得到{√3x =0−y +2z =0，令z =1，则x =0，y =2，∴ n →=(0,2,1)．又DA 1→=(√3,0,2)，得n →⋅DA 1→=0×√3+2×0+1×2=2． ∴ cos <DA 1→，n →>=5×7=2√3535设A 1D 与平面ADC 1所成角为θ， 则sin θ=|cos <DA 1→，n →>|=2√3535．所以A 1D 与平面ADC 1所成角的正弦值为2√3535． 【答案】 解：(I)f′(x)=(x−1)(−x+2a−1)(x−1)4，x ∈(1, +∞)．由f ′(x)=0，得x 1=1，或x 2=2a −1．①当2a −1≤1，即a ≤1时，在(1, +∞)上，f ′(x)<0，f(x)单调递减；②当2a −1>1，即a >1时，在(1, 2a −1)上，f ′(x)>0，f(x)单调递增，在(2a −1, +∞)上，f ′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述：a ≤1时，f(x)的减区间为(1, +∞)； a >1时，f(x)的增区间为(1, 2a −1)，f(x)的减区间为(2a −1, +∞)． (II)(1)当a ≤1时，由(I)知f(x)在[2, +∞)上单调递减，不存在最小值； （2）当a >1时，若2a −1≤2，即a ≤32时，f(x)在[2, +∞)上单调递减，不存在最小值；若2a −1>2，即a >32时，f(x)在[2, 2a −1)上单调递增，在(2a −1, +∞)上单调递减，因为f(2a −1)=a−1(2a−2)2>0，且当x >2a −1时，x −a >a −1>0，所以x ≥2a −1时，f(x)>0． 又因为f(2)=2−a ，所以当2−a ≤0，即a ≥2时，f(x)有最小值2−a ；2−a >0，即32<a <2时，f(x)没有最小值．综上所述：当a ≥2时，f(x)有最小值2−a ；当a <2时，f(x)没有最小值． 【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（I ）求导数f′(x)，令f ′(x)=0，得x 1=1，或x 2=2a −1．由x >1，分2a −1≤1，2a −1>1两种情况解不等式f′(x)>0，f′(x)<0即得函数的单调区间；（II ）分情况进行讨论：a ≤1时，由(I)知f(x)在[2, +∞)上单调递减，无最小值；当a >1时，再按2a −1≤2，2a −1>2讨论，结合其图象及函数单调性可得函数最小值情况； 【解答】 解：(I)f′(x)=(x−1)(−x+2a−1)(x−1)4，x ∈(1, +∞)．由f ′(x)=0，得x 1=1，或x 2=2a −1．①当2a −1≤1，即a ≤1时，在(1, +∞)上，f ′(x)<0，f(x)单调递减；②当2a −1>1，即a >1时，在(1, 2a −1)上，f ′(x)>0，f(x)单调递增，在(2a −1, +∞)上，f ′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述：a ≤1时，f(x)的减区间为(1, +∞)； a >1时，f(x)的增区间为(1, 2a −1)，f(x)的减区间为(2a −1, +∞)． (II)(1)当a ≤1时，由(I)知f(x)在[2, +∞)上单调递减，不存在最小值； （2）当a >1时，若2a −1≤2，即a ≤32时，f(x)在[2, +∞)上单调递减，不存在最小值；若2a −1>2，即a >32时，f(x)在[2, 2a −1)上单调递增，在(2a −1, +∞)上单调递减， 因为f(2a −1)=a−1(2a−2)2>0，且当x >2a −1时，x −a >a −1>0，所以x ≥2a −1时，f(x)>0．又因为f(2)=2−a ，所以当2−a ≤0，即a ≥2时，f(x)有最小值2−a ；2−a >0，即32<a <2时，f(x)没有最小值．综上所述：当a ≥2时，f(x)有最小值2−a ；当a <2时，f(x)没有最小值． 【答案】解：（1）设P 点坐标(x, y)，则k AP =y x+2(x ≠−2)，k BP =y x−2(x ≠2)，由已知yx+2⋅yx−2=−14，化简得：x 24+y 2=1．所求曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2)． （2）由已知直线AQ 的斜率存在且不等于0， 设方程为y =k(x +2)，由{x 2+4y 2=4y =k(x +2)，消去y 得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0…①． 因为−2，x Q 是方程①的两个根， 所以−2×x Q =16k 2−41+4k 2，得x Q =2−8k 21+4k 2，又y Q =k(x Q +2)=k(2−8k 21+4k 2+2)=4k1+4k 2，所以Q(2−8k 21+4k 2，4k1+4k 2)． 当x =4，得y M =6k ，即M(4, 6k)．又直线BQ 的斜率为−14k，方程为y =−14k(x −2)，当x =4时，得y N =−12k，即N(4,−12k)．直线BM 的斜率为3k ，方程为y =3k(x −2)．由{x 2+4y 2=4y =3k(x −2)，消去y 得：(1+36k 2)x 2−144k 2x +144k 2−4=0…②． 因为2，x D 是方程②的两个根，所以2⋅x D =144k 2−41+36k 2，得x D =72k 2−21+36k2，又y D =3k(x D −2)=−12k 1+36k 2，即D(72k 2−21+36k 2，−12k1+36k 2)． 由上述计算：A(−2, 0)，D(72k 2−21+36k 2，−12k1+36k 2)，N(4,−12k )． 因为k AD =−112k ，k AN =−112k ，所以k AD =k AN ． 所以A 、D 、N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）设P 点坐标(x, y)，利用斜率计算公式即可得到yx+2⋅yx−2=−14，化简即可得到曲线C 的方程；（2）由已知直线AQ 的斜率存在且不等于0，设方程为y =k(x +2)，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到D ，N 的坐标，证明k AD =k AN ．即可得到A 、D 、N 三点共线． 【解答】解：（1）设P 点坐标(x, y)，则k AP =y x+2(x ≠−2)，k BP =y x−2(x ≠2)，由已知yx+2⋅yx−2=−14，化简得：x 24+y 2=1．所求曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2)．（2）由已知直线AQ 的斜率存在且不等于0，设方程为y =k(x +2)，由{x 2+4y 2=4y =k(x +2)，消去y 得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0…①． 因为−2，x Q 是方程①的两个根， 所以−2×x Q =16k 2−41+4k2，得x Q =2−8k 21+4k 2，又y Q =k(x Q +2)=k(2−8k 21+4k 2+2)=4k1+4k 2，所以Q(2−8k 21+4k 2，4k1+4k 2)． 当x =4，得y M =6k ，即M(4, 6k)．又直线BQ 的斜率为−14k ，方程为y =−14k (x −2)，当x =4时，得y N =−12k ，即N(4,−12k )．直线BM 的斜率为3k ，方程为y =3k(x −2)．由{x 2+4y 2=4y =3k(x −2)，消去y 得：(1+36k 2)x 2−144k 2x +144k 2−4=0…②．因为2，x D 是方程②的两个根，所以2⋅x D =144k 2−41+36k 2，得x D =72k 2−21+36k 2，又y D =3k(x D −2)=−12k 1+36k 2，即D(72k 2−21+36k 2，−12k1+36k 2)．由上述计算：A(−2, 0)，D(72k 2−21+36k 2，−12k1+36k 2)，N(4,−12k )．因为k AD =−112k，k AN =−112k，所以k AD =k AN ．所以A 、D 、N 三点共线．【答案】解：（1）A 2={−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}；∴ {a n }为2阶完备数列，2阶完整数列，2阶完美数列；（2）若对于∀x ∈A n ，假设存在2组λi 及μi (i =1, 2…,n)使x =∑λi n i=1a i 成立，则有λ1100+λ2102+⋯+λn 10n−1=μ1100+μ2102+⋯+μn 10n−1，即(λ1−μ1)100+(λ2−μ2)101+⋯+(λn −μn )10n−1=0， 其中λi ，μi ∈{−1, 0, 1}，必有λ1=μ1，λ2=μ2...λn =μn ， 所以仅存在唯一一组λi (i =1, 2…,n)使x =∑λi n i=1a i 成立，即数列{a n }为n 阶完备数列；S n =0，对∀x ∈A n ，x =∑λi n i=1a i ，则−x =−∑λi n i=1a i =∑(ni=1−λi )a i ，因为λi ∈{−1, 0, 1}，则−λi ∈{−1, 0, 1}，所以−x ∈A n ，即S n =0（3）若存在n 阶完美数列，则由性质1易知A n 中必有3n 个元素， 由（2）知A n 中元素成对出现（互为相反数），且0∈A n ，又{a n }具有性质2， 则A n 中3n 个元素必为A n ={−3n −12，−3n −32，…−1，0，1，…3n −32，3n −12}．∴ a n =3n−1．【考点】一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式 【解析】（1）先根据题中的新定义定出集合A 2={−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}，再根据几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列的定义得出结论；（2）对于∀x ∈A n ，先假设存在2组λi 及μi (i =1, 2…,n)使x =∑λi n i=1a i 成立，则有(λ1−μ1)100+(λ2−μ2)101+⋯+(λn −μn )10n−1=0，从而必有λ1=μ1，λ2=μ2...λn =μn ，从而得出数列{a n }为n 阶完备数列；再利用对∀x ∈A n ，x =∑λi n i=1a i ，则−x =−∑λi n i=1a i =∑(ni=1−λi )a i ，得到−x ∈A n ，从而求出S n 的值； （3）若存在n 阶完美数列，则由性质1易知A n 中必有3n 个元素，由（2）知A n 中元素成对出现（互为相反数），且0∈A n ，又{a n }具有性质2，从而得出数列{a n }通项公式．【解答】 解：（1）A 2={−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}；∴ {a n }为2阶完备数列，2阶完整数列，2阶完美数列；（2）若对于∀x ∈A n ，假设存在2组λi 及μi (i =1, 2…,n)使x =∑λi n i=1a i 成立，则有λ1100+λ2102+⋯+λn 10n−1=μ1100+μ2102+⋯+μn 10n−1，即(λ1−μ1)100+(λ2−μ2)101+⋯+(λn −μn )10n−1=0， 其中λi ，μi ∈{−1, 0, 1}，必有λ1=μ1，λ2=μ2...λn =μn ， 所以仅存在唯一一组λi (i =1, 2…,n)使x =∑λi n i=1a i 成立，即数列{a n }为n 阶完备数列；S n =0，对∀x ∈A n ，x =∑λi n i=1a i ，则−x =−∑λi n i=1a i =∑(ni=1−λi )a i ，因为λi ∈{−1, 0, 1}，则−λi ∈{−1, 0, 1}，所以−x ∈A n ，即S n =0 （3）若存在n 阶完美数列，则由性质1易知A n 中必有3n 个元素，由（2）知A n 中元素成对出现（互为相反数），且0∈A n ，又{a n }具有性质2，则A n 中3n 个元素必为A n ={−3n −12，−3n −32，…−1，0，1，…3n −32，3n −12}．∴ a n =3n−1．。
2013年北京高三(一模)数学(理)分类汇编系列二解析版2函数
【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】2函数1.（2013届北京石景山区一模理科）8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数221(0)()4(0)og x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对．A ． 0B ． 1C ．2D ． 3【答案】C根据题意：当0x >时，0x -<，则2()4f x x x -=-+，若函数为奇函数，可有2()4f x x x =-。
则函数24(0)y x x x =--≤的图象关于原点对称的函数是2()4f x x x =-。
由题意知，作出函数2()4f x x x =-（x ＞0）的图象，看它与函数2()1(0)f x og x x =>交点个数即可得到友好点对的个数，如图观察图象可得：它们的交点个数是2．即()f x 的“友好点对”有2个．选C.2.（2013届北京朝阳区一模理科）（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】B由题意知0000212(1)12()1(1)(21)63x x x n n x n ++++++++=+++=，因为0,x n N ∈，所以12n +≥，021+1x n n ++>。
因为79=321=63⨯⨯，所以当13n +=时，00212321x n x ++=+=，此时解得02,9n x ==，生成点为(9,2)。
2013年北京市高考理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学〔理〕〔北京卷〕本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =〔A 〕{}0〔B 〕{}1,0-〔C 〕{}0,1 〔D 〕{}1,0,1-〔2〕在复平面内，复数()22i -对应的点位于〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限〔3〕“ϕπ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔4〕执行如下图的程序框图，输出的S 值为 〔A 〕1 〔B 〕23〔C 〕1321〔D 〕610987〔5〕函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲 线x y e =关于y 轴对称，则()f x = 〔A 〕1x e +〔B 〕1x e -〔C 〕1x e -+〔D 〕1x e -- 〔6〕假设双曲线22221x y a b -=则其渐近线方程为〔A 〕2y x =±〔B〕y = 〔C 〕12y x =±〔D〕y =〔7〕直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于〔A 〕43〔B 〕2〔C 〕83〔D〔8〕设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是〔A 〕4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔B 〕1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔C 〕2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 〔D 〕5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
2013年全国高考理科数学试题及答案-北京卷
A.1
B. 3
C. 21
D. 987
5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)=
A. ex 1
B. ex 1
C. e x 1
e x1
D.
x2 6.若双曲线 a2
y2 b2
1的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
A. y=±2x B. y= 2x
C. y
1 2
x
D. y
22 x
7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于
4
8
16 2
A. 3
B.2
C. 3
D. 3
2x y 1 8.设关于 x,y 的不等式组 x m 0,
ym 0
0,
表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x0－2y0=2，求得
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC；
（Ⅱ）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段
BC1 存在点
D，使得
AD⊥A1B，并求
BD BC1
的值.
18. (本小题共 13 分)
设 l 为曲线 C： y
(I)求 l 的方程；
ln x x 在点(1，0)处的切线.
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方
14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到
直线 CC1 的距离的最小值为
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演 2013 年普通高等学校招生统一考试 算步骤或证明过程 15. (本小题共 13 分)
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北京市大兴区2013年高三统一练习数学（理科）一、选择题1、复数2(1i)-的值是（A ）2 （B ）2- （C ）2i （D ）2i -2、若集合{|2}-==xM y y ，{|==P y y ，则M P =(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y (C)}0|{>y y (D)}0|{≥y y3、执行如图所示的程序框图．若5n =，则输出s 的值是（A ）-21 （B ） 11 （C ）43 （D ） 864、双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 5、已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m∥n ，α⊥m ，则⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，6、函数()cos f x x=（A ）在ππ(,22-上递增 （B ）在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减（C ）在ππ(,22-上递减 （D ）在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增7、若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（A ）14 （B ） 34 （C ）3π24π+ （D ）π24π- 8、抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体（A ）1 （B ）8 （C ）（D ）二、填空题9、函数f x x x()s i nc o s =的最大值是 。
10、已知直线y kx =与曲线42cos ()2sin x y q q q ì=+ïïíï=ïî为参数有且仅有一个公共点，则k = 11、已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC +等于 ．12、设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = 。
13、如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A,O 之间），EF BC ^,垂足为F ．若6AB =，5CF CB ?，则AE = 。
14、已知函数12,02()122,12x x f x x x ìïïïï=íïï-<ïïïî≤≤≤，定义 1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x -=，(2n ≥,n *ÎN )．把满足()n f x x =（[]0,1x Î）的x 的个数称为函数()f x 的“n -周期点”．则()f x 的2-周期点是 ；n -周期点是 ． 三、解答题15、（本小题满分13分）在∆A B C 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,3cos 5=A ，π4B =，b =．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积． 16、（本小题满分13分）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。
（1）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E(X)的值． 17、（本小题满分13分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1B//平面ADC 1；（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．18、（本小题满分14分） 已知函数2()=(1)x af x x --，(1,)x ? ． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+ 上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 19、（本小题满分14分）已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C 。
(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x=4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。
求证，A 、D 、N 三点共线。
20、（本小题满分13分）已知数列}{n a 的各项均为正整数，且12 n a a a <<<，设集合1{|101}1，，或，或（≤≤）nk i i ii i i A x x a k n λλλλ====-==∑。
性质1 若对于k x A ∀∈，存在唯一一组i λ（1,2,，i k =⋅⋅⋅）使1ki i i x a λ==∑成立，则称数列}{n a 为完备数列，当k取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列。
性质2 若记1（1≤≤）kk i i m a k n==∑，且对于任意≤k x m ，x ∈Z ，都有k x A ∈成立，则称数列}{n a 为完整数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列。
性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2，则称此数列}{n a 为完美数列，当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列；（Ⅰ）若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ，求集合2A ，并指出}{n a 分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为110-=n n a ，求证：数列}{n a 为n 阶完备数列，并求出集合n A 中所有元素的和n S 。
（Ⅲ）若数列}{n a 为n 阶完美数列，求数列}{n a 的通项公式。
参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1、D2、C3、A4、D5、C6、D7、C8、B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9、 12 ； 10、11、 152；12、30； 13、1； 14、4，2n ； 三、解答题（共6小题，共80分）15、（本小题共13分）解:（Ⅰ）因为3cos , 5是内角A A ABC =∆,所以,54sin =A 由正弦定理:Bb A a sin sin = 知4sin 25π=a 得: 58=a（Ⅱ）在 AB C ∆中, sin sin[π()]sin()C A B A B =-+=+102722532254sin cos cos sin =⨯+⨯=+=B A B A AB C ∆的面积为:2528102725821sin 21=⨯⨯⨯==C ab s 16、（本小题共13分）解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:93)9795939189(51=++++ 5名学生数学成绩的方差为:8])9397()9395()9393()9391()9389[(5122222=-+-+-+-+- 5名学生物理成绩的平均分为:90)9392898987(51=++++ 5名学生物理成绩的方差为:524])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+- 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. （Ⅱ）由题意可知，0X =，1，2022221(0)6C C P X C ⋅===；112222(1)3C C P X C ⋅===；202221(2)6C C P X C ⋅===随机变量X 的分布列是121()0121636E X =⨯+⨯+⨯=17、（本题满分13分）证明：（I ）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11A ACC 是矩形。
连结1A C 交1AC 于O ，则O 是1A C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在1ADC ∆中，1//ODA B 。
因为1A B ⊄平面1ADC ，OD ⊂平面1ADC，所以1//A B 平面1ADC 。
（II ）因为ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥。
以D 为原点，建立如图所示空间坐标系D xyz -。
由已知12AB BB ==，得：(0,0,0)D ，A ，1A ，1(0,1,2)C -.则DA = ，1(0,1,2)DC =- ，设平面1ADC 的法向量为(,,)n x y z =。
由100n DAn DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020y z =-+=⎪⎩，令1z =，则0x =，2y=，所以(0,2,1)n = .又1DA = ，得1020122n DA ⋅=⨯+⨯=。
所以1cos,DA n <>==设1A D 与平面1ADC 所成角为θ，则1sin |cos |DA n θ=<>=所以1A D 与平面1ADC 。
由()0f x '=，得11x =，或221x a =-.①当211a -≤，即1a ≤时，在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减；②当211a ->，即1a >时，在(1,21)a -上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(21,)a -+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减。
综上所述：1a ≤时，()f x 的减区间为(1,)+∞； 1a >时，()f x 的增区间为(1,21)a -，()f x 的减区间为(21,)a -+∞。
（II ）（1）当1a ≤时，由（I ）()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； （2）当1a >时， 若212a -≤，即32a ≤时，()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； 若212a ->，即32a >时，()f x 在[2,21)a -上单调递增，在(21,)a -+∞上单调递减， 因为21(21)0(22)a f a a --=>-，且当21x a >-时，10x a a ->->，所以21x a ≥-时，()0f x >。
又因为(2)2f a =-，所以当20a -≤，即2a ≥时，()f x 有最小值2a -；20a ->，即322a <<时， ()f x 没有最小值。
综上所述：当2a ≥时，()f x 有最小值2a -；当2a <时，()f x 没有最小值。
19、（本题满分14分）解：（I ）设P 点坐标(,)x y ，则2AP y k x =+（2x ≠-），2BP yk x =-（2x ≠）， 由已知1224y y x x ⋅=-+-，化简得：2214x y +=.所求曲线C 的方程为2214x y +=（2x ≠±）。