北京2013大兴高三数学一模理科试题及答案

北京市大兴区2013年高三统一练习

数学（理科）

一、选择题

1、复数2(1i)-的值是

（A ）2 （B ）2- （C ）2i （D ）2i -

2、若集合{|2}-==x

M y y ，{|==

P y y ，则M P =

(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y (C)}0|{>y y (D)}0|{≥y y

3、执行如图所示的程序框图．若5n =，则输出s 的值是

（A ）-21 （B ） 11 （C ）43 （D ） 86

4、双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （A ）

14 （B ）1

2

（C ）2 （D ）4 5、已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．

正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m

∥n ，α⊥m ，

则⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，

6、函数()cos f x x

=

（A ）在ππ

(,22

-

上递增 （B ）在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减

（C ）在ππ

(,22

-上递减 （D ）在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增

7、若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程2

20x x a b -++=有实数根的概率是

（A ）

14 （B ） 34 （C ）3π24π

+ （D ）π24π- 8、抛物线2

(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体

（A ）1 （B ）8 （C ）（D ）二、填空题

9、函数f x x x

()s i nc o s =的最大值是 。 10、已知直线y kx =与曲线42cos ()2sin x y q q q ì=+ï

ïí

ï=ïî

为参数有且仅有一个公共点，则k = 11、已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，

则()AE AF AC +

等于 ．

12、设5260126(1)(12)-+=+++鬃?x x a a x a x a x ，则2a = 。

13、如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A,O 之间），EF BC ^,垂足为F ．若6AB =，5CF CB ?，

则AE = 。

14、已知函数12,02()122,12x x f x x x ìïïïï=í

ïï-<ïïïî

≤≤≤，定义 1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x -=，(2n ≥,n *

ÎN )．把满足()n f x x =（[]0,1x Î）的x 的个数称为函数()

f x 的“n -周期点”．则()f x 的2-周期点是 ；n -周期点是 ． 三、解答题

15、（本小题满分13分）

在∆A B C 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,3

cos 5

=A ，π4B =，b =

．

(Ⅰ)求a 的值；

(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积． 16、（本小题满分13分）

期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：

（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

（1）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E(X)的值． 17、（本小题满分13分）

如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1B//平面ADC 1；

（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．

18、（本小题满分14分） 已知函数2

()=

(1)

x a

f x x --，(1,)x ? ． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+ 上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 19、（本小题满分14分）

已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为1

4

-，点P 的轨迹为曲线C 。 (Ⅰ)求曲线C 的方程；

(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x=4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。求证，A 、D 、N 三点共线。 20、（本小题满分13分）

已知数列}{n a 的各项均为正整数，且12 n a a a <<<，

设集合1

{|101}1，，或，或（≤≤）n

k i i i

i i i A x x a k n λλ

λλ===

=-==∑。

性质1 若对于k x A ∀∈，存在唯一一组i λ（1,2,，i k =⋅⋅⋅）使1

k

i i i x a λ==∑成立，则称数列}{n a 为完备数列，当k

取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列。

性质2 若记1

（1≤≤）k

k i i m a k n

==∑，且对于任意≤k x m ，x ∈Z ，都有k x A ∈成立，则称数列}{n a 为完整数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列。

性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2，则称此数列}{n a 为完美数列，当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列；

（Ⅰ）若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ，求集合2A ，并指出}{n a 分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为110-=n n a ，求证：数列}{n a 为n 阶完备数列，并求出集合n A 中所有元素的和n S 。

（Ⅲ）若数列}{n a 为n 阶完美数列，求数列}{n a 的通项公式。