工程应用数学(研究生,2013)
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工程应用数学（土木研究生，开卷，2014）
1. （10 分）混凝土浇灌后逐渐放出“水化热” ，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密 度Q，即 dt = −βQ。试推导浇灌后的混凝土
dQ
2（10 分）利用分离变量法求解
2 u ( x, y ) 1, (0 x a,0 y b), u x | x 0 Q, u x | x a 0, u y | y 0 Q, u y | y b 0,
10. 用 SOR( 1.2 )迭代法解方程组
4 x1 3x2
24,
3x1 4 x2 x3 30, x2 4 x3 24,
估计达到精度达到 103 需要的迭代次数，并实际计算之。并就该具体问题估计计 算过程中总的乘除法计算量。
其中 a, b, Q 都是常数。
3.（10 分）用 Laplace 变换法求解定解问题
u t a 2 u xx ( x 0) u x | x 0 0 u | cos x t 0
4.（10 分）设在某公路上，汽车运输流构成一泊松流，其强度等于每分钟 30 辆，试求 n 辆 汽车通过观察站的时间多于 x 秒的概率。
7. (10) 应用牛顿法解非线性方程组
2 3 3 x1 x 2 0 3 3 3 x1 x 2 x1 1 0
取 [1,1]T 作为初始值，终止容限 102 。
8. （10 分）给出 f ( x) ln x cos x, (1 x 2) 的等距节点函数表，如用线性插值计
1 算 f ( x) 的近似值，使其截断误差不超过 10 5 ，则函数表的步长应取多大？ 2
2 1 0 9. 分别用乘幂法和反幂法计算矩阵 A 1 2 1 的最大、最小特征值，以 0 1 3
及相应的特征向量（要求结果有三位有效数字） 。同时计算该矩阵的谱条件数。
5. （10 分）给定数据
x y 求形如 y
2.0 0.931
2.4 0.473
2.8 0.297
3.2 0.224
3.6 0.168
1 的拟合函数。 a bx
Fra Baidu bibliotek
6. （10 分）用复合 Simpson 公式计算积分
I ( f ) x ln xdx
0
1
讨论在误差要求不超过 102 的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。
1. （10 分）混凝土浇灌后逐渐放出“水化热” ，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密 度Q，即 dt = −βQ。试推导浇灌后的混凝土
dQ
2（10 分）利用分离变量法求解
2 u ( x, y ) 1, (0 x a,0 y b), u x | x 0 Q, u x | x a 0, u y | y 0 Q, u y | y b 0,
10. 用 SOR( 1.2 )迭代法解方程组
4 x1 3x2
24,
3x1 4 x2 x3 30, x2 4 x3 24,
估计达到精度达到 103 需要的迭代次数，并实际计算之。并就该具体问题估计计 算过程中总的乘除法计算量。
其中 a, b, Q 都是常数。
3.（10 分）用 Laplace 变换法求解定解问题
u t a 2 u xx ( x 0) u x | x 0 0 u | cos x t 0
4.（10 分）设在某公路上，汽车运输流构成一泊松流，其强度等于每分钟 30 辆，试求 n 辆 汽车通过观察站的时间多于 x 秒的概率。
7. (10) 应用牛顿法解非线性方程组
2 3 3 x1 x 2 0 3 3 3 x1 x 2 x1 1 0
取 [1,1]T 作为初始值，终止容限 102 。
8. （10 分）给出 f ( x) ln x cos x, (1 x 2) 的等距节点函数表，如用线性插值计
1 算 f ( x) 的近似值，使其截断误差不超过 10 5 ，则函数表的步长应取多大？ 2
2 1 0 9. 分别用乘幂法和反幂法计算矩阵 A 1 2 1 的最大、最小特征值，以 0 1 3
及相应的特征向量（要求结果有三位有效数字） 。同时计算该矩阵的谱条件数。
5. （10 分）给定数据
x y 求形如 y
2.0 0.931
2.4 0.473
2.8 0.297
3.2 0.224
3.6 0.168
1 的拟合函数。 a bx
Fra Baidu bibliotek
6. （10 分）用复合 Simpson 公式计算积分
I ( f ) x ln xdx
0
1
讨论在误差要求不超过 102 的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。