第38届全俄数学奥林匹克竞赛

第38届全俄数学奥林匹克竞赛

九年级

9.1 a1,a2,⋯,a11是不小于2的互异正整数，满足：a1+a2+⋯+ a11=407。是否存在正整数n，使得当n分别除以a1,a2,⋯,a11,4a1,4a2,⋯,4a11这22个数时所得到的余数的和等于2012？

9.2 已知：在正2012边形的顶点中，存在k个顶点，使得以这k个顶点为顶点的凸k多边形的任意两条边不平行。求k的最大值。

9.3 ABCD是一个平行四边形，∠A为钝角。H是点A向直线BC的垂直投影。△ABC过顶点C的中线的延长线交其外接圆于K。求证：K,H,C,D四点共圆。

9.4 正实数a1,a2,⋯,a n,k满足：a1+a2+⋯+a11=3k,a12+a22+⋯+a n2=3k2,a13+a23+⋯+a n3>3k3+k。求证：在a1,a2,⋯,a n中存在两个数使得它们的差的绝对值大于1。

9.5 101个智者围坐一圈开圆桌会议讨论地球和木星谁绕谁转的问题。开始及随后的每个时刻每个智者持有地球绕木星转或木星绕地球转这两种观点之一。各智者按一下规则每分钟一次同时宣布自己的观点：除了第一次以外，如果在上一分钟时一个智者的相邻两人（左右各一人）与其观点都不相同，则智者改变自己的观点，否则不改变自己的观点。求证：若干分钟后，所有的人都不再改变自己的观点。

9.6 A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，满足AA1−AA1=AA1−AA1=AA1−AA1。I A,I B和I C分别是△AB1C1，

A1BC1和A1B1C的内心。求证△I A I B I C的外心和△ABC的内心重合。9.7 开始时黑板上写着10个连续正整数。对黑板上的数进行如下操作：任取黑板上的两个数a和b，将他们用数a2−2011b2和ab替换。经过若干次上述操作后，黑板上开始时的10个数已全部被替换掉，问此时在黑板上是否可能还是10个连续的正整数？

9.8 城市里有若干路公共汽车线。已知任两路公共汽车线恰有一个公共的车站；任一路公共汽车线至少有4站。求证：可以将所有的车站分成不交的两组，使得任意一路公共汽车线含每组中至少一站。

十年级

10.1 a1,a2,⋯,a10是不小于3的互异正整数，满足：a1+a2+⋯+ a10=678。是否存在正整数n，使得当n分别除以a1,a2,⋯,a10,2a1,2a2,⋯,2a10这20个数时所得到的余数的和等于2012？

10.2 非等腰锐角△ABC的内切圆ω切边BC于D。I和O分别是△ABC 的内心和外心。△AID的外接圆交直线AO于A和E。求证：线段AE 的长等于圆ω的半径。

10.3实数a1,a2,a3,a4,a5中任意两个的差的绝对值不小于1。已知存在实数k满足：a1+a2+a3+a4+a5=2k,a12+a22+a32+a42+a52= 2k2。求证：k2≥253。

10.4 初始时黑板上写着n+1个多项式：1,x,x2,⋯,x n。k个男孩开始玩如下游戏：每过一分钟，每个男孩同时将黑板上已有的两个多项式的和各自写到黑板上。已知经过m分钟后，多项式S1=1+x,S2=1+ x+x2,S3=1+x+x2+x3,⋯,S n=1+x+x2+⋯+x n全都在黑板上出现了。求证：m≥2n k+1。

10.5 101个智者围坐一圈开圆桌会议讨论地球和木星谁绕谁转的问题。开始及随后的每个时刻每个智者持有地球绕木星转或木星绕地球转这两种观点之一。各智者按一下规则每分钟一次同时宣布自己的观点：除了第一次以外，如果在上一分钟时一个智者的相邻两人（左右各一人）与其观点都不相同，则智者改变自己的观点，否则不改变自己的观点。求证：若干分钟后，所有的人都不再改变自己的观点。

10.6 是否存在大于的三个正整数a,b,c满足abc是a+2012，b+2012和c+2012的公倍数。

10.7 在坐标平面上，画有n个两两不相切的二次函数的图像。P表示位于所有n个图像上侧的点组成的集合。求证：P的边界上至多有2(n-1)个角（两个二次函数图像的交点称为角）。

10.8 H是一个非等腰的锐角△ABC的垂心。E是AH的中点。△ABC 的内切圆与边AB和AC分别切于C’和B’。F是E关于直线B’C’的对称点。求证：F与△ABC的内心和外心共线。

十一年级

11.1 开始时桌子上有111块等重的橡皮泥：对桌子上的橡皮泥进行如下操作：先将橡皮泥的一部分或全体分成若干组，每组由相同块数的橡皮泥，然后将每组中的橡皮泥捏成一块。已知可以经过m次上述操作使得桌子上恰有11块亮亮重量不同的橡皮泥。求m的最小值。

11.2实数a1,a2,a3,a4,a5中任意两个的差的绝对值不小于1。已知存在实数k满足：a1+a2+a3+a4+a5=2k,a12+a22+a32+a42+a52= 2k2。求证：k2≥253。

11.3 整个平面如国际象棋一样用黑色和白色小方格铺满。现在用红色和蓝色将所有白格染色，使得原来有公共顶点的白格不同色。对于平面上任意线段I，我们用δ(I)表示I上面的红色线段长度和与蓝色线段长度和的差。I是平面上一条与小方格的边不平行的直线。证明：存在一个只与l有关的常数C，使得对任意与l平行的线段I，都有δ(I)≤A。

11.4 SA1A2⋯A n是一个以凸多边形A1A2⋯A n为底的n棱锥。对每个i=1,2,⋯,n, X i是底所在平面上的一点满足：△X i A i A i+1≅△SA i A i+1，且Xi与多边形A1A2⋯A n位于直线A i A i+1的同一侧。求证：△X i A i A i+1(=1,2,⋯,n)的并覆盖多边形A1A2⋯A n（这里A n+1=A1）。

11.5 P(x)是一个实系数多项式。实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1a2a3≠0，P(a1x+b1)+P(a2x+b2)=P(a3x+b3),∀x∈R。求证：P(x)至少有一个实根。

11.6 A1，B2，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，满足