相变与临界现象
低 维 材 料 与 相 变 现 象 简 介
低维材料与相变现象简介(一) 低维材料：某些特殊材料的晶体结构含有异向性一维的线性链或二维的平面，这种材料即俗称为低维度材料(low-dimensional materials)。
由于这些材料晶体结构的特异性，故而造成许多低维度材料展现非常奇特的物理现象。
例如，这些材料中的电子被限制在一维的线性链或二维的平面上做传输，故他们的导电性会在某一(或二)晶格方向特别好，而在其它方向导电性明显较差。
那么立刻可能的问题是我们平时常见的铜线或金泊，是不是他们的导电性就只会在铜线线的方向或金泊平面的方向较好呢?答案是否定的。
因为在微小电子的世界，铜线或金泊仍然是三维的，电子的传输方向仍然是遵循古典的统计法则而四面八方都有可能。
除非铜线的直径或金泊的厚度小于电子的平均自由程(mean-free-path)，那么量子的效应才会显现出来。
低维度材料中，一维(或准一维)材料由于其特殊不对称的晶体结构，因而多种此类材料会随着温度的变化展现出各式各样有趣的相变(phasetransition)现象。
(二) 相变与临界现象：相变是有序和无序两种倾向矛盾斗争的表现。
相互作用是有序的起因，热运动是无序的来源，而系统永远趋向于最大乱度与最低能量。
在缓慢降温的过程中，每当一种相互作用的特征能量足以和热运动能量kBT 相比时，物质宏观状态可能发生变化。
换句话说，每当温度低到一种程度，以致热运动不再能破坏某种特定相互作用造成的秩序时，就可能出现一个新的相(phase)。
多种多样的相互作用，导致形形色色的相变现象。
愈是走向低温，更为精细的相互作用就得以表现出来。
而新相总是突然出现的，同时伴随着许多物理性质急剧变化。
譬如说，水(液态)在一大气压下于摄氏零度就会发生一相变现象而变成了冰(固态)，或于摄氏一百度变成了水蒸气(气态)。
对于水来说摄氏零度(或一百度)这一特殊温度我们称为临界温度(critical temperature)，而在临界温度时物质因相变而产生物理状态变化的现象称为临界现象(critical phenomena)。
相变与临界现象
（1）p > p* 部分
ONQ 段之G 较PD 上同压之G 大
——不稳；
（2）p < p* 部分
OMP 段之G 较QE 上同压之G 大
——不稳．
G NRT ln(V b) NRTV 2a C(T ) V b V
统计热力 学电教课
之二
F
D
F p V T
PMONQ 不稳
做F ~ V 图 说明之
P FI
MNIIRTOln(V
b)
a V
C(T )
N
（1）做切线 PQ
等压为p*
（2）PQ 与p ~ V 图
Q
之PQ同F一致
（3）MON 段之F
E
较PQE上同容大
V
——不稳．
结 论: PQ 水平线稳定 ! 范德等温线取一段水平线,与实验一致.
过热液态 过冷(饱和)蒸气
NQ过冷汽（近Q） Supercooled Vapour。 PM过热液（近P） Superheated liquid
pc
v~ 1 v vc
vc
范德瓦耳斯方程为
~p
1
8(~t 3v~
1) 2
(v~
3 1)2
展开保留至三次项 ~p 4~t 6~t v~ 3 v~3
2
统计热力 学电教课
之三
（1）压强与密度的关系 在临界点，取 T Tc 即 ~t 0 由范氏方程得 p pc v vc 3 c 3
消去 a、b
RTc 2.667 pc vc
普适性
统计热力 学电教课
之二
临界系数
范德瓦耳斯方程之结论：
统计热力 学电教课
之三
RTc pcvc 为普适常数 —— 临界系数
统计物理中的相变与临界现象
统计物理中的相变与临界现象相变与临界现象是统计物理中重要的研究领域。
在这个领域中，我们探索了物质在温度、压力等条件不同的情况下，从一个状态转变到另一个状态的现象。
相变包括了固体-液体相变、液体-气体相变等多种形式，而临界现象则指的是在相变温度附近，物质的性质会发生剧烈变化的现象。
在统计物理中，相变被描述为一个系统从一个相到另一个相的突然转变。
这个转变可以是连续的，也可以是不连续的。
对于不同类型的相变，无论它是连续的还是不连续的，都存在一个临界点。
在临界点附近，系统表现出一些特殊的性质，这些性质被称为临界现象。
一个常见的例子是水的相变。
当我们将水加热到100摄氏度时，它会从液体相变为气体相。
这是一个连续的相变，因为水的性质在这个过程中逐渐改变。
然而，当水接近0摄氏度时，它会从液体相变为固体相，这是一个不连续的相变。
在这个相变过程中，水的性质会在瞬间发生剧烈变化。
相变和临界现象的研究使我们能够更好地理解物质的性质和行为。
研究物质在临界点附近的行为可以揭示出宏观和微观世界之间的关联性。
在统计物理学中，我们使用各种模型和理论来描述相变和临界现象。
其中一个著名的模型是伊辛模型，它可以用来描述磁性材料的相变行为。
相变和临界现象的研究对于许多领域都有着重要的应用价值。
在材料科学中，我们可以通过探索相变来设计新的材料，改善材料的性能。
在工程学中，我们可以利用相变的特性来设计更高效的能源系统。
此外，相变和临界现象的研究还在生物学、化学和天文学等领域中发挥着重要作用。
总之，相变和临界现象是统计物理中令人感兴趣的研究主题。
通过对相变和临界现象的研究，我们能够深入了解物质的性质和行为，并将这些知识应用于各个领域。
相变和临界现象的研究将继续推动科学的发展，带来更多的创新和发现。
重整化群简介
重整化群方法
重整化群方法
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重整化群的含义
重整化群是处理包含多种长度标度问题的一种方法，它一步一步 地处理问题，每一种长度标度作为一步，对所有大小标度的热涨落 做统计平均，用重整化近似依次积分掉涨落，每一种长度的涨落被 积分掉以后便从以前的函数中产生一个新的函数（称为泛函），这 个变换进行到一定程度就能出现这个系统的不变量。因此我们将这 样产生的变换群称作“重整化群”。 “重整化群”变换（简称Rs手续），分两步：第一步进行 kadanoff变换（粗粒平均），第二部将尺寸和自旋重新标度，并使 它达到自相似。Rs手续后的哈氏量的参数变了，但其形式没变，变 换的总体构成一个非线性半群（没有逆变换，即只能粗化，不能细 化）。
相变与临界现象
• 状态突变
• 一级相变或不连续相变: 热力学势连续, 一阶导数不连的 • 二级相变或连续相变: 热力学势和一阶导数连续,二阶导 • 数不连续的状态突变。 • 为什么研究相变？ • 因为它刻划体系的特征。 • 例如，研究材料学的，关心‘相’的性质，研究相变理论的，关 心相变的准确位置尤其是相变点附近的行为特征。
比பைடு நூலகம்系数可以不同！
(2) 用自发磁化M(T,B=0)在临界点附近的温度依赖定 义临界指数
M ( T , B 0 ) ( T T ) c
( T T 0 ) c
相变与临界现象
以二维ISing模型为例
相变与临界现象
Z 是x y 的多项式，非常光滑，对大量微观状态积分只会 使函数更光滑，但是相变的时候，热力学量有跳跃或发 散，与实际不符！
Landau 相变理论
Landau 相变理论
Landau 相变理论
材料物理学第5.3相变与临界现象
强调了对称性的变化在相变中的重要性。将高对称 性中的对称破缺与有序相的出现联系在一起。
序参量就是在这种前提下引进的。高对称性序参量 为零、低对称相则不等于零。
2018/10/24 材料物理学第5章讲稿-4
一级相变：热力学势本身连续，第一阶导数不连 续的状态突变。 二级相变：热力学势和它的第一阶导数连续而第 二阶导数不连续的状态突变。 二级相变没有体积变化与潜热；但比热、压缩率 和磁化率等物理量随温度变化曲线上出现跃变或 无穷的尖峰。
2018/10/24 材料物理学第5章讲稿-4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
厄伦菲斯定理：一个系统在相变点有直到（n1)热力学势的导数连续，但n级导数不连续称n 阶相变。 超流和没有磁场的超导转变、大量的铁磁性和 铁电性相转变为二级相变。 习惯上将二级以上的高阶相变称连续相变或临 界现象。超导和导流是宏观范围表现出的量子 效应。 至今尚未发现三级以上的相变。
2018/10/24
材料物理学第5章讲稿-4
2. 按结构变化
（1）重构型：
物相的结构单元发生化学急需的断裂或重组。 形成的新结构与母相没有明显的位相关系。 固-液相转变、许多晶体的不同晶相的相变 都是重构型相变。
2018/10/24
材料物理学第5章讲稿-4
（2）位移型
不涉及母相晶体结构中的化学键断裂与重组， 价键基本保持不变。 只是个别原子或离子在晶胞中作微小位移（软 模），或离子多面体骨架的转动。 马氏体是钢在高温淬火通过相变得到的一种高 硬产物。
2018/10/24 材料物理学第5章讲稿-4
（
4）有序－无序相变
超导体的相变与临界现象
超导体的相变与临界现象超导体是指在低温下电阻突然消失的物质。
当温度低于某个临界温度时，超导体会发生相变，从正常导体转变为超导体。
而这个相变的过程中，还伴随着一些临界现象的出现。
本文将详细探讨超导体的相变和临界现象。
一、超导体的相变1.相变的定义与分类相变是物质从一种状态转变为另一种状态的过程。
根据超导体的临界温度，可以将其相变分为一级相变和二级相变。
一级相变指的是超导体在临界温度下由正常态直接转变为超导态，其相变过程伴随着热力学性质的突变，如熵、焓和体积等。
二级相变指的是超导体在临界温度下经过一个连续的相变过程，其相变过程中热力学性质的导数存在间断点。
2.超导体相变的机制超导体相变的机制可以通过BCS理论来解释。
BCS理论认为，超导体的相变是由于电子之间的库伦相互作用引起的，主要包括两个过程：库伦相互作用导致电子之间的吸引以及库伦相互作用导致电子成对（库珀对）运动。
当温度降低到临界温度以下时，库珀对会以一种玻色状态的形式出现，形成超导态。
二、超导体的临界现象1.临界温度和临界磁场超导体的临界温度和临界磁场是超导体相变中的两个重要参数。
临界温度是指超导体从正常态转变为超导态的临界点温度，通常用Tc表示。
临界磁场是指在超导态下，超导体所能承受的最大磁场强度，通常用Hc表示。
2.临界态和Meissner效应在超导体临界温度以下，超导体处于临界态，这时超导体内部存在着超流体，超流体能够抵消外部磁场的影响。
这就产生了Meissner效应，即超导体在外加磁场下会排斥磁场的进入，表现为磁场被完全排斥在超导体的表面之外。
3.临界指数和临界准则超导体的临界现象还涉及到临界指数和临界准则。
临界指数描述了超导体相变时物理量的变化规律，如比热容、磁化率等。
临界准则则是指满足超导体临界现象的某些重要关系式，如Ginzburg-Landau方程和Laws-Kittle方程等。
三、应用前景与展望超导体的相变和临界现象不仅在基础物理学研究中具有重要地位，还具有广泛的应用前景。
复杂系统中的相变与临界现象
复杂系统中的相变与临界现象复杂系统是由许多相互关联、相互作用的组成部分构成的系统。
在复杂系统中，相变与临界现象是一种非常重要且普遍存在的现象。
它们不仅存在于物理系统中，还存在于生物学、社会学、经济学等各个领域。
本文将探讨复杂系统中的相变与临界现象，并分析其原因和应用。
相变是指物质的某些性质在一定条件下发生突变的现象。
在物理系统中，最常见的相变是由于温度的变化引起的。
例如，水在0℃以下时是固态，0℃到100℃之间是液态，100℃以上是气态。
这种相变是由于水分子间的相互作用力发生改变导致的。
物质的相变可以分为一级相变和二级相变。
一级相变是指相变过程中物质的某些性质（如体积、熵）发生突变，而二级相变是指物质的某些性质（如磁化强度、电导率）在相变点附近发生连续变化。
在复杂系统中，相变常常伴随着临界现象的发生。
临界现象是指在临界点附近，系统的某些性质呈现出非常特殊的行为。
最常见的临界现象是临界点附近的相变点阻尼、比热等物理量的奇异行为，以及长程相干性等。
临界点的出现是由于系统中的相互作用力的关联效应而产生的。
这种关联效应使得散布在系统中的微观部分在整个系统中作为一个整体而运动。
临界点附近的性质呈现出尺度不变性，即无论是在小尺度还是大尺度上观察，都可以看到相同的行为模式。
相变和临界现象不仅存在于物理系统中，还存在于生物学、社会学、经济学等各个领域。
例如，在生物学中，细胞内的生物大分子的折叠与干扰能校正，以及神经网络中的突触连接和调节等都是相变与临界现象的例子。
在社会学中，人类的群体行为、意识形态的传播等也存在相变与临界现象。
在经济学中，市场的崩溃与复苏、财富分布等现象也具有相变与临界现象的特征。
相变与临界现象的研究具有重要的理论和应用价值。
理论上，相变与临界现象的研究可以揭示物质的基本性质和规律，为我们理解和掌握物质的行为提供基础。
例如，在凝聚态物理学中，热力学相变理论揭示了物质相变的根本原理，而统计物理学中的临界现象理论则揭示了复杂系统中的特殊行为。
物理学中的相变现象与临界现象
物理学中的相变现象与临界现象物理学是研究物质及其相互关系的科学，其中涉及到许多有趣且复杂的现象。
其中，相变现象与临界现象是相当有趣和重要的研究方向。
相变是指物质在特定条件下由一种状态转变为另一种状态的过程，而临界现象则是指物质在临界点附近表现出的一系列特殊性质。
本文将深入探讨物理学中的相变现象与临界现象。
首先，我们来了解一下相变现象。
相变可以分为凝固、熔化、汽化、升华、溶解等不同过程。
这些过程都是由于物质的温度、压力和组成等条件的改变而引起的。
举个例子，当我们将温度升高到水的沸点时，水从液态变成气态，这就是汽化这一相变过程。
相变有着独特的性质，比如在凝固过程中，物质会放出结晶热，同时会伴随着体积的变小。
这些性质在科学研究和工程应用中有着重要的意义。
接下来，我们将重点聚焦在临界现象上。
临界现象是指物质在临界点附近表现出的一系列特殊性质，如磁性、光学等。
在临界点附近，物质会显示出各种奇异性质，例如磁滞效应和磁分岔，这些性质是不同于普通物质的。
此外，临界现象还包括临界指数，用来描述物质在临界点附近的行为。
这些临界指数通常由临界点附近的物理性质进行测量，比如比热容和磁化率等。
通过研究临界现象，我们可以更深入地了解物质的性质和相互作用。
临界现象和相变现象之间存在着密切的联系。
当物质接近临界点时，它将表现出一些相变性质，比如比热容的奇异变化、相变潜热的发散和相变点的临界放大。
这些相变性质与临界现象之间的关联被广泛应用于物理学中的各个领域，如凝聚态物理、高能物理和宇宙学等。
除了理论研究，相变现象和临界现象在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，在制造过程中，相变现象可以用来控制物质的性质和形态，比如通过调整温度和压力来控制材料的硬度和强度。
此外，临界现象还可以用于发展新型材料，比如光存储器和超导体等，这些材料具有特殊的性质和应用前景。
对相变现象和临界现象的深入研究将有助于我们更好地理解物质的行为并推动科学技术的进步。
《边缘奇迹：相变和临界现象》随笔
《边缘奇迹：相变和临界现象》读书札记目录一、内容概览 (2)1. 书籍简介 (2)2. 研究背景与意义 (3)二、相变的基本概念 (4)1. 相变的定义 (5)2. 相变类型 (6)3. 相变过程 (7)三、临界现象的原理与应用 (8)1. 临界现象的定义 (10)2. 临界现象的分类 (11)3. 临界现象在自然界和社会科学中的应用 (12)四、边缘奇迹现象的探索 (13)1. 边缘奇迹现象的定义 (15)2. 边缘奇迹现象的研究方法 (16)3. 边缘奇迹现象的应用领域 (17)五、相变和临界现象的关系 (19)1. 相变与临界现象的联系 (20)2. 相变与临界现象的区别 (21)3. 相变与临界现象在某些特定条件下的转化 (22)六、边缘奇迹现象的研究展望 (23)1. 研究现状与不足 (25)2. 研究前景与挑战 (26)3. 对未来研究的建议 (27)七、结论 (28)1. 对本书内容的总结 (29)2. 对未来研究的展望 (31)一、内容概览《边缘奇迹：相变和临界现象》以其深入浅出的方式，引领我们探索物质世界中奇妙的相变与临界现象。
本书不仅涵盖了相变和临界现象的基本概念、原理及应用领域，还提供了丰富的实例和案例分析，使读者能够更好地理解和掌握这一学科的核心知识。
书中首先介绍了相变和临界现象的基础知识，包括相变的基本类型、相变过程中的能量变化、以及临界现象的特点和意义。
作者详细阐述了相变和临界现象在物理学、化学、生物学等领域的具体应用，如物质的状态变化、材料的相图、生物体内的各种调控机制等。
通过深入研究相变和临界现象在现实生活和科技发展中的重要作用，本书引导读者思考如何将这些理论应用于实际问题中，以推动科学技术的进步和社会的发展。
《边缘奇迹：相变和临界现象》是一本兼具理论深度和实践指导意义的优秀著作。
它适合广大读者阅读，无论是对于物理学家、化学家还是生物学爱好者，都能从中获得宝贵的知识和启示。
物理学中的相变与临界现象
物理学中的相变与临界现象物理学的研究范围很广，其中相变与临界现象是极为重要的研究领域之一。
相变可以理解为物质从一种状态到另一种状态的转变，例如水从液态到固态的结冰过程。
而临界现象则是在相变过程的某个点出现的物理现象，这些现象在相变点附近非常特殊而且重要。
在本文中，我们将深入探讨物理学中的相变与临界现象，介绍它们的基本原理、分类以及应用。
一、相变的基本原理相变是物质从一种状态转变为另一种状态的现象。
在相变过程中，物质的物理性质会发生显著的改变，例如密度、热容、热导率和电导率等等。
相变可以分为两类：一类是一种纯粹的物理现象，例如彩虹出现的光的折射和反射现象。
另一类是化学反应过程中发生的相变，例如在化学反应过程中出现的蒸发。
相变可以通过改变物质的温度、压力、外加场等来实现。
其中，温度是最常用的调节手段。
举个例子，水从液态转变为固态的冰需要将温度降至0℃。
而由于水的密度在这个温度附近具有特殊的性质，当温度降低到0℃时，冰开始形成。
相变的基本原理可以由Gibbs自由能描述。
对于一个孤立系统，其Gibbs自由能定义为：G = U - TS + PV其中，U表示系统的内能，T表示温度，S表示熵，P表示压强，V表示体积。
当我们将一个温度为T，压强为P，体积为V的系统从状态X转变为状态Y时，其引起的Gibbs自由能变化为：ΔG = G(Y) - G(X) = [U(Y) - U(X)] - T[S(Y) - S(X)] + P[V(Y) -V(X)]当ΔG<0时，状态X会稳定存在；当ΔG>0时，状态Y会稳定存在；而当ΔG=0时，状态X和Y处于平衡状态。
这种平衡状态被称为“热力学平衡态”，并且物理上具有很多特殊性质，例如物质的热容和热导率都会发生急剧变化。
二、相变的分类相变可以根据物质的性质以及相变过程中的连续性等特征进行分类。
下面分别介绍几种经典的相变。
1. 一阶相变一阶相变是最常见的相变之一，其特点是相变点附近的物理量具有不连续性。
相变现象与临界点理论
相变现象与临界点理论相变现象是自然界中一种有趣而神奇的现象，它指物质在一定条件下从一个态转变为另一个态的过程。
我们常见的相变过程包括固体与液体之间的熔化、液体与气体之间的汽化以及固体与气体之间的升华。
而相变的背后则隐藏着深奥的临界点理论。
临界点理论是关于相变的一种理论模型，它描述了物质在临界点附近时呈现出的特殊性质。
所谓临界点，指的是物质在特定的温度和压力下，将会经历从一种相到另一种相的转变点。
在这个点上，物质的性质会发生剧变，而如果离开临界点较远，我们所观察到的现象将无法解释。
临界点的特殊性质表现在许多方面。
首先，物质的相变将不再呈现明确的界面。
在临界点附近，固液、液气界面会逐渐模糊，直到最后消失。
其次，物质的密度和黏度也会发生剧变，从而导致独特的流动性质。
在临界点下方，物质呈现出较高的密度和粘度，而在上方则相反。
此外，物质的热容量也将在临界点附近出现非常大的变化，导致热量无法被简单地传递。
临界点理论不仅可以应用于物质的相变现象，还可以推广到各种自然现象中。
具体而言，临界点理论被广泛应用于统计力学、高能物理、凝聚态物理等领域。
在统计力学中，临界点理论被用于研究固体的晶格变形、聚合物的溶解行为以及气体的相互作用等。
而在高能物理中，临界点理论则可以帮助解释宇宙的起源和演化。
此外，临界点理论在凝聚态物理中也有广泛的应用，例如用于研究超导体的电子输运、磁性材料的相变等。
除了在自然科学中的应用外，临界点理论也可以为我们理解人类社会、经济系统的演化提供有益的启示。
例如，在经济学中，临界点理论可用于研究市场的崩溃和危机，通过观察市场的特定指标是否趋近于临界点，我们可以预测市场是否即将经历剧烈变化。
类似地，临界点理论也可以应用于社会学领域，帮助我们理解社会变革和大规模运动的发生。
综上所述，相变现象与临界点理论表现了自然界中一种独特而复杂的物质演化过程。
临界点理论的应用范围广泛，不仅能帮助我们深入理解物质的相变行为，还可以为我们解释宇宙的起源、经济的崩溃等问题提供有益的见解。
生物大分子的临界现象和相变研究
生物大分子的临界现象和相变研究人体内有很多具有生命活动的大分子，比如蛋白质、核酸等。
它们在生命体内承担着不同的功能，掌握它们的性质和行为对于我们了解生命体系的本质具有重要意义。
随着科学技术的不断发展，人类对这些大分子的认识越来越深入。
其中一个研究重点就是它们在临界条件下的相变行为。
本文将介绍生物大分子的临界现象和相变研究。
一、影响生物大分子临界点的因素生物大分子的临界点指阶段性过渡的临界温度或溶剂浓度。
当超过阈值时，分子间将会发生相变，形成不同形状。
在生物体系中，大分子的相变极具影响，因为生命系统的正常功能需要维持在一定的温度和溶剂浓度范围内。
而生物大分子的临界点受到多种因素的影响，这些因素包括分子的结构、序列、溶剂环境、离子强度、温度和压力等。
在不同的温度、离子强度和pH值下，生物大分子结构的稳定性不同。
因此，在研究生物大分子结构和功能的时候，需要综合考虑这些因素的综合影响，以便更好地理解它们的生命功能。
二、生物大分子的相变研究生物大分子的相变研究可以用来解决诸如蛋白质和核酸自组装等问题。
在机体内，蛋白质和核酸通常会自组装成更大的结构，如细胞核、核仁、核周边等生命系统。
随着基因工程等新技术的出现，人们更加重视这些现象的研究，以期能够进一步了解生命体系的本质。
例如，RNA分子的自组装与疾病等问题有关。
实验表明，在特定条件下，RNA分子可以自组装成高度有序的结构，称为超分子。
一些RNA超分子已经被证实可以调节细胞的基因表达，而RNA超分子的表达异常就与某些疾病的发生有关。
除了RNA分子，一些互补的DNA序列也可以在高盐浓度下形成稳定的“一维”螺旋结构。
这种结构被称为“DNA杆”，DNA杆是DNA超分子的重要组成部分。
它们在前生物动物中发挥着重要的作用，例如在染色体、免疫系统和RNA合成中起到重要的作用。
通过研究生物大分子在不同溶液中的行为，科学家可以破解生命系统的内部组织和运作机制，从而有望探索新药物、捕获化学重要实现过程，并在细胞分子生物学和生物体系物理学的研究中发现新的机制。
高等统计物理7相变与临界现象
Nb
NkBT
(7.23)
是 Lennard-Jones 流体的平均场结果。对于给定的T ，依照方程可以描绘出范德华等温线（见
下图）。在临界点之下的共存区，该线在低密度时很好地描述了气态行为，高密度时很好地 描述了液态行为，但是由于方程保持系统的均匀性，出现过冷和过热区。但是方程在描述过 冷过热区的连接处会出现压强随体积增大而增大的非物理现象。
U r f r /
(7.34)
其中泛函 f 对所有物质相同，只有 和 两个量表示不同的物质，这与实际物质有差异。
另外实验测得的 PcVc 0.292 0.002 ，与 0.375 有较大偏差。 NkBTc
从上图还可以看到 3He，4He 和 Ne 在低温高密度处与其它物质的行为有较大偏差，这
c (r ) n1
的方
n1
程，其中 ci j 是第 i 个组分在第 j 个相中归一化的相对浓度，cn j 1 ci j 不是独立变量。 i 1
因此系统的独立强度变量个数为
这就是吉布斯相律。
f 2 n 1 r nr 1 2 n r
(7.17)
3
dP0 QL
(7.6)
dT T V
7.3.2. 吉布斯—杜厄姆关系（Gibbs—Duhem Relation）
由
dU TdS PdV dN
(7.7)
得到
因此有
dS 1 dU P dV dN
(7.8)
T TT
S
1 S
P S
,
,
(7.9)
U N ,V T V N ,U T N U ,V
顺磁性（paramagnetism）是指材料对磁场响应很弱的磁性。如用磁化率 M 来表 H
相变与临界现象
平均场
: 忽略其他可能的位形, 只看最可几位形 F = −kB T ln Z ∝ a/2φ2 + bφ4 /4 + · · · Landau假设：a = a0 (T − Tc ), b > 0, 求使F 极小的φ. 1. T ≤ Tc , √ φ = 0 2. T < Tc , φ = −a0 (T − Tc )/b
连续相变(continuous phase transition), 或二级相变(Second order phase transition)： 内能连续（没有潜热），两相（或两相以上的相）区别消失成为 新的相。 比热，磁化率等自由能二级导数发散。
二级相变点称为临界点(Critical Point)。在这点附近系统表现出 非常特殊的性质称为临界现象(Critical Phenomena)。
i,j
Si 为n维矢量, 相互作用满足 O(n) 对称性，故称 O(n) 模型 n = 1, n = 2, n = 3, Ising模型 经典XY模型 经典Heisenberg模型
O(n) 模型的圈表示
配分函数(自旋形式) Zspin = 1. 展开成多项式 ∫ ∏
<i,j>
w (Si · Sj )
c ∝ kB ln |(T − Tc )/Tc |
杨振宁的磁化强度
1.2
1
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0 1.2 1.4 1.6 1.8 T 2 2.2 2.4
m ∝ (|(T − Tc )/Tc |)1/8 ,
三维Ising模型解？2046？
为描述丰富多彩的相变与临界现象，我们有丰富多彩的模型: 1.Potts, 2.O(n), 3.vertex models: 4.AT model, .... 我们还有伟大的求解家：Onsager, 杨振宁, Lieb, Baxter, 伍法 岳，...
相变和临界现象
相变和临界现象相变和临界现象是物理学中研究物质性质变化的重要课题。
相变是指物质由一种状态转变为另一种状态的过程，而临界现象则是在相变过程中出现的一系列非常特殊的物理现象。
这两个概念的研究对于我们理解物质性质的变化规律以及应用于各个领域都具有重要意义。
一、相变的基本概念和分类相变是物质从一个宏观状态转变为另一个宏观状态的过程。
常见的相变包括固体-液体相变（熔化）、液体-气体相变（汽化）和固体-气体相变（升华）等。
相变的发生与物质的温度、压力以及物质本身的性质有关。
例如，当温度升高达到某一临界点时，液体会发生汽化相变，从而转变为气体状态。
不同的相变过程具有独特的特性。
例如，在固体-液体相变中，物质的排列结构发生改变，晶体的有序性降低，密度增加；而在液体-气体相变中，分子之间的距离增加，自由度增大，形成气体。
二、临界现象及其特征临界现象是指在相变过程中，物质的性质发生突变，出现一系列特殊的物理现象。
临界现象的特征主要包括以下几个方面：1. 临界点：临界点即相变发生的临界温度和临界压力。
在临界点附近，物质的密度、粘度等性质会发生突变，呈现出非常特殊的状态。
2. 临界指数：临界指数是描述临界现象的重要参数。
它与物质的性质有关，可以用来描述物质在临界点附近的行为。
常见的临界指数包括热容指数、磁化率指数等。
3. 临界常数：临界常数是描述物质在临界点附近行为的重要参数。
它与物质的性质密切相关，可以用来表示物质在临界点处的状态。
4. 临界涨落：临界涨落是指在临界点附近，物质的性质会发生大幅度的波动。
这些波动可以影响物质的宏观性质，导致一系列特殊现象的出现。
三、应用领域及意义相变和临界现象的研究对于各个领域都具有重要意义。
以下列举几个典型的应用领域：1. 凝聚态物理学：相变和临界现象是凝聚态物理学的重要研究课题。
通过深入理解物质的相变规律，可以揭示物质的基本性质和行为，为新材料的设计与合成提供理论依据。
2. 材料科学与工程：相变和临界现象对材料的制备、加工以及性能具有重要影响。
量子相变和量子临界现象
量子相变和量子临界现象量子相变和量子临界现象是现代物理学领域中引人注目的研究课题。
它们揭示了在极低温度下，物质从一个相向另一个相的突变，以及在临界点附近出现的许多奇特行为。
这些现象不仅对理论物理学有重要意义，而且对现代技术的发展也具有潜在的应用价值。
量子相变是指在零绝对温度下，由于量子涨落的作用导致的物质的相变。
相比于经典相变，量子相变在低温下仍然存在，并且在一些特定条件下会表现出非常奇特的行为。
量子相变的研究揭示了量子力学在宏观尺度上的重要性，以及量子涨落对物质性质的影响。
量子临界现象是指在临界点附近，物质表现出非常奇特的行为。
在临界点，物质的性质不再受到温度的限制，而是受到量子涨落的影响。
这导致了一些非常奇特的现象，例如临界慢化、临界放大和临界波动等。
量子临界现象的研究有助于我们深入理解物质的性质，并有潜在的应用于量子计算和量子通信等领域。
量子相变和量子临界现象在理论物理学和实验物理学中都受到了广泛的关注。
理论物理学家通过建立模型和计算方法，对这些现象进行了深入研究。
实验物理学家通过设计和制备新型材料，以及利用先进的实验技术，来观察和验证这些现象。
通过理论和实验的相互印证，我们可以更好地理解和揭示量子相变和量子临界现象的本质。
量子相变和量子临界现象的研究对于理论物理学的发展和应用具有重要意义。
首先，它们揭示了物质在极端条件下的行为，帮助我们更好地理解自然界的规律。
其次，它们为新型材料的设计和制备提供了理论指导和实验基础。
例如，在量子计算和量子通信领域，我们可以通过量子相变和量子临界现象来设计和制备具有特殊性质的材料，以实现更高效和安全的量子信息处理。
量子相变和量子临界现象是现代物理学领域中引人注目的研究课题。
它们揭示了物质在极低温度下的相变行为和临界点附近的奇特现象。
通过理论和实验的相互印证，我们可以更好地理解和揭示这些现象的本质，并为新型材料的设计和制备提供理论指导和实验基础。
量子相变和量子临界现象的研究不仅对理论物理学有重要意义，而且对现代技术的发展也具有潜在的应用价值。
简介一本有趣的新书——《相变和临界现象》
简介一本有趣的新书——《相变和临界现象》
李大勇
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1985(000)008
【摘要】于渌和郝柏林同志编写的《相变和临界现象》一书由科学出版社出版发行了．这是一本介于科普读物与科学专着之间，
【总页数】1页(P14-14)
【作者】李大勇
【作者单位】北京化工学院
【正文语种】中文
【中图分类】P315.7
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/
磁化率随关联长度而趋于无穷大
热响应函数
比热：
高于临界温度：
低于临界温度：
比热奇异部分与关联长度的联系
Cs /
随关联长度趋于无穷大或零
在T = Tc , H ≠ 0
超标度关系
超标度关系（仅二个临界指数是独立的）
临界指数ν，η与关联函数有关
临界现象的普适性
临界指数 α，β，γ，δ，ν，η等不依赖 • （短程）相互作用 • 晶格结构 • 序参量的类型（密度还是磁化强度）
磁化率有限尺度标度函数
比热
= bc ξα/ν + cB
有限系统： 关联长度 < 系统长度L C(t,L) = Lα/νgc(L/ξ) + CB = Lα/ν Pc(tL1/ν) + CB
有限系统比热
比热有限尺度标度函数
Binder cumulant ratio (1981)
U = 1 - <M4>/3<M2>2 = U(tL1/ν)
相变与临界现象
目录
I. 相变与临界现象简介
• 无限大系统临界现象 • 有限系统临界现象 • 标度性与普适性
II. Landau-Ginzburg-Wilson (LGW)模型
III.平均场、Gaussian近似
1.临界现象基本特性
相：处于热平衡的宏观尺度物质均匀态，如：
气体，液体，固体，超流体，等等
-d
1/
/
)
磁化强度
M = B (-t)β = b ξ-β /ν 有限系统： 关联长度 < 系统长度L M(t,L) = L-β/νgM(L/ξ) = L-β/νPM(tL1/ν)
三维Ising模型
有限尺度标度函数
磁化率
= bχ ξγ/ν
有限系统： 关联长度 < 系统长度L χ(t,L) = Lγ/νgχ(L/ξ) = Lγ/ν Pχ(tL1/ν)
有限尺度标度性
有限尺度的标度变量
1）Kt tL1/ 与比值 L/ 相对应
1）Kh HL/ 与比值 L/h 相对应
有限尺度标度的普适性
Privman+Fisher (1984):
fs(t,H; L) = L Y(Kt tL , KhHL
L: 系统尺度 函数 Y: 普适, 除依赖 d 和n， 还依赖系统几何形状和边界条件 存在两个非普适参数 Kt and Kh
自由能密度的标度性和普适性
临界点附近：
f(t,h;∞) = fs(t,h;∞) + fns(t)
∆=β*δ
Q+ : 对应 t > 0, 普适 Q- : 对应 t < 0, 普适
自由能奇异部分与关联长度的关系
利用临界指数超标度关系 2 - = d
我们可以得到
fs(t, H=0;) -d
关联函数： G(x2-x1) =<δm(x1)δm(x2)>
实验上G(x)可以通过中子或光散射来测量
关联函数的长程行为
|x|››微观尺度时
G(x) ≈ |x|-(d-2+η) e-|x|/ξ
关联长度临界行为
t<0
t>0
t = 0, H ≠ 0
序参量
临界温度以上： t=(T – Tc )/ Tc > 0 磁化强度： m = 0
K. G. Wilson重正化群理论 (1971)
临界现象的基本规律
临界点：
铁磁系统：温度 T = Tc 外场 H = 0
在临界点附近：系统具有长程关联
关联长度 从而导致热力学性质具有： 奇异性、标度性、普适性
长程关联为临界现象的物理根源
关联函数
序参量： 涨落： M = <m(x)> δm(x) = m(x)-M
相变：宏观尺度系统由一种“相”向另一种“相”
的转变，相变前后系统有定性差别 （密度、宏观磁强度等）
气体→等离子体（高温、高压）没有经历相变
普通液体相图
相图
Critical point
Water: Tc = 374.15 0c , Pc = 221.2 bar carbon dioxide:
临界温度以下： t < 0
磁化强度：
m = B(-t)β
序参量与关联长度的关系
临界温度以下： t < 0
磁化强度： m = B(-t)β 可表示为
m
- /
而 -/ 可理解为 df – d， df 为分形维数
外场响应函数
磁化率：
高于临界温度:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
低于临界温度:
磁化率与关联长度的联系
临界点： t = 0 , U = U(0) 不同L的U在临界点相交 → 由此确定临界温度
三维Ising模型的U
三维Ising模型U的有限尺度标度函数
临界现象的Monte Carlo 模拟
利用各热力学量的有限尺度标度性，可确立 临界点及其普适类
1）U的不动点 临界点 2）在临界点 ln(m) = -/ ln(L) + ln PM (0) ln() = / ln(L) + ln P (0) 由曲线的斜率 /， / 等
临界非渐近行为
当|t|<<10-3时 我们可以采用前面的渐近表达式 当|t| > 10-3时, 需采用下面的表达式：
θ> 0, ai/a’i 和ai/aj 普适
有限系统的临界现象
对于一个有限系统，当满足下面条件： 1）系统尺度 L 微观尺度； 2）温度和外场在临界点附近。 系统的热力学性质满足有限尺度标度规律
普适常数
标度变量的物理意义
标度变量 H t- 这里 =
利用超标度关系：
标度变量 (t / h)- 1/c
Two-scale factor 普适性
1) 同一普适类的不同系统：
临界指数、标度函数完全相同 仅两个参数 Kt 和 Kh 不同
2）不同普适类的系统：
临界指数和标度函数不相同
等系统的微观性质，只依赖宏观性质：d和n
系数比值的普适性
系数比值的普适性
普适类
只依赖系统的宏观性质 • 坐标空间维数 d • 序参量空间维数 n
临界现象按(d,n)被划分成不同的普适类 • Ising普适类： n = 1, 气-液，铁磁 • XY普适类： n = 2, 普通液体-超流液体 • Heisenberg普适类： n = 3
Tc = 31.04 0c ,
Pc = 73 bar
铁磁系统相图
相图
He4液体相图
He4实验
相变分类
相变可分为：不连续相变（一级相变） 连续相变（临界现象） 这里，我们只讨论连续相变（临界现象）
临界现象研究的里程碑
Andrews 发现CO2 的临界点（1869） Van der Waals 理论（1873） Onsager 二维Ising 模型精确解（1944）