相变与临界现象

相变：宏观尺度系统由一种“相”向另一种“相”
的转变，相变前后系统有定性差别 （密度、宏观磁强度等）
气体→等离子体（高温、高压）没有经历相变
普通液体相图
相图
Critical point
Water: Tc = 374.15 0c , Pc = 221.2 bar carbon dioxide:
等系统的微观性质，只依赖宏观性质：d和n
系数比值的普适性
系数比值的普适性
普适类
只依赖系统的宏观性质 • 坐标空间维数 d • 序参量空间维数 n
临界现象按(d,n)被划分成不同的普适类 • Ising普适类： n = 1, 气-液，铁磁 • XY普适类： n = 2, 普通液体-超流液体 • Heisenberg普适类： n = 3
临界非渐近行为
当|t|<<10-3时 我们可以采用前面的渐近表达式 当|t| > 10-3时, 需采用下面的表达式：
θ> 0, ai/a’i 和ai/aj 普适
有限系统的临界现象
对于一个有限系统，当满足下面条件： 1）系统尺度 L 微观尺度； 2）温度和外场在临界点附近。 系统的热力学性质满足有限尺度标度规律
关联函数： G(x2-x1) =<δm(x1)δm(x2)>
实验上G(x)可以通过中子或光散射来测量
关联函数的长程行为
|x|››微观尺度时
G(x) ≈ |x|-(d-2+η) e-|x|/ξ
关联长度临界行为
t<0
t>0
t = 0, H ≠ 0
序参量
临界温度以上： t=(T – Tc )/ Tc > 0 磁化强度： m = 0
临界点： t = 0 , U = U(0) 不同L的U在临界点相交 → 由此确定临界温度
三维Ising模型的U
三维Ising模型U的有限尺度标度函数
临界现象的Monte Carlo 模拟
利用各热力学量的有限尺度标度性，可确立 临界点及其普适类
1）U的不动点 临界点 2）在临界点 ln(m) = -/ ln(L) + ln PM (0) ln() = / ln(L) + ln P (0) 由曲线的斜率 /， / 等
磁化率有限尺度标度函数
比热
= bc ξα/ν + cB
有限系统： 关联长度 < 系统长度L C(t,L) = Lα/νgc(L/ξ) + CB = Lα/ν Pc(tL1/ν) + CB
有限系统比热
比热有限尺度标度函数
Binder cumulant ratio (1981)
U = 1 - <M4>/3<M2>2 = U(tL1/ν)
K. G. Wilson重正化群理论 (1971)
临界现象的基本规律
临界点：
铁磁系统：温度 T =பைடு நூலகம்Tc 外场 H = 0
在临界点附近：系统具有长程关联
关联长度 从而导致热力学性质具有： 奇异性、标度性、普适性
长程关联为临界现象的物理根源
关联函数
序参量： 涨落： M = <m(x)> δm(x) = m(x)-M
-d
1/
/
)
磁化强度
M = B (-t)β = b ξ-β /ν 有限系统： 关联长度 < 系统长度L M(t,L) = L-β/νgM(L/ξ) = L-β/νPM(tL1/ν)
三维Ising模型
有限尺度标度函数
磁化率
= bχ ξγ/ν
有限系统： 关联长度 < 系统长度L χ(t,L) = Lγ/νgχ(L/ξ) = Lγ/ν Pχ(tL1/ν)
Tc = 31.04 0c ,
Pc = 73 bar
铁磁系统相图
相图
He4液体相图
He4实验
相变分类
相变可分为：不连续相变（一级相变） 连续相变（临界现象） 这里，我们只讨论连续相变（临界现象）
临界现象研究的里程碑
Andrews 发现CO2 的临界点（1869） Van der Waals 理论（1873） Onsager 二维Ising 模型精确解（1944）
/
磁化率随关联长度而趋于无穷大
热响应函数
比热：
高于临界温度：
低于临界温度：
比热奇异部分与关联长度的联系
Cs /
随关联长度趋于无穷大或零
在T = Tc , H ≠ 0
超标度关系
超标度关系（仅二个临界指数是独立的）
临界指数ν，η与关联函数有关
临界现象的普适性
临界指数 α，β，γ，δ，ν，η等不依赖 • （短程）相互作用 • 晶格结构 • 序参量的类型（密度还是磁化强度）
相变与临界现象
目录
I. 相变与临界现象简介
• 无限大系统临界现象 • 有限系统临界现象 • 标度性与普适性
II. Landau-Ginzburg-Wilson (LGW)模型
III.平均场、Gaussian近似
1.临界现象基本特性
相：处于热平衡的宏观尺度物质均匀态，如：
气体，液体，固体，超流体，等等
有限尺度标度性
有限尺度的标度变量
1）Kt tL1/ 与比值 L/ 相对应
1）Kh HL/ 与比值 L/h 相对应
有限尺度标度的普适性
Privman+Fisher (1984):
fs(t,H; L) = L Y(Kt tL , KhHL
L: 系统尺度 函数 Y: 普适, 除依赖 d 和n， 还依赖系统几何形状和边界条件 存在两个非普适参数 Kt and Kh
临界温度以下： t < 0
磁化强度：
m = B(-t)β
序参量与关联长度的关系
临界温度以下： t < 0
磁化强度： m = B(-t)β 可表示为
m
- /
而 -/ 可理解为 df – d， df 为分形维数
外场响应函数
磁化率：
高于临界温度:
低于临界温度:
磁化率与关联长度的联系
自由能密度的标度性和普适性
临界点附近：
f(t,h;∞) = fs(t,h;∞) + fns(t)
∆=β*δ
Q+ : 对应 t > 0, 普适 Q- : 对应 t < 0, 普适
自由能奇异部分与关联长度的关系
利用临界指数超标度关系 2 - = d
我们可以得到
fs(t, H=0;) -d
普适常数
标度变量的物理意义
标度变量 H t- 这里 =
利用超标度关系：
标度变量 (t / h)- 1/c
Two-scale factor 普适性
1) 同一普适类的不同系统：
临界指数、标度函数完全相同 仅两个参数 Kt 和 Kh 不同
2）不同普适类的系统：
临界指数和标度函数不相同