2021年高中数学1.5.1曲边梯形的面积教学案新人教A版选修

2021年高中数学1.5.1曲边梯形的面积教学案新人教A版选修2-2

【预习目标】

预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.

【预习内容】

1、曲边梯形的概念。

2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？

3、如何实施曲边梯形的面积的求解？

【提出疑惑】

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

【学习目标】

1、理解“以直代曲”的意义；

2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；

3、了解“近似代替”时取点的任意性。

学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。以及一般曲边梯形的面积的求法。

【学习过程】

（一）情景问题：

我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。而现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？

（二）合作探究、精讲点拨

例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）

探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？

探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？

探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？

变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

特别帮助：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)

变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。

（三）反思总结

1、对于一般曲边梯形，如何求面积？

2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？

（四）当堂检测

求由y=2x 2＋1,和x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。

课后练习与提高

1、把区间[1,3]等分,所得个小区间,每个小区间的长度为( )

A. B. C. D.

2、把区间等分后,第个小区间是( )

A. B. C. D. )](),(1[a b n

i a a b n i a -+--+ 3、在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（ ）

A.只能是左端点的函数值

B.只能是右端点的函数值

C.可以是该区间内的任一函数值）

D.以上答案均正确

练习答案：1、（B ）；2、（D ）；3、（C ）

1.5.1曲边梯形的面积教案

一、学习目标

1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求

和、求极限；

2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．

二、重点、难点

重点：求曲边梯形的面积；

难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．

三、知识链接

1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；

2、匀速直线运动的时间（t ）、速度（v ）与路程（S ）的关系 ．

四、学法指导

探求、讨论、体会以直代曲数学思想．

五、自主探究

1、概念：如图，由直线x =a , x = b , x 轴，曲线y =f (x )

所围成的图形称为 ．

2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？

例１、求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面

积S ． 分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是

线段。我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题

的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积

的问题．

解： （1）分割

把区间[0，1]等分成n 个小区间：

过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作

（2） 以直代曲

（3）作和

],n n ,n 1n [,],n i ,n 1i [,],n 2,n 1[],n 1,0[-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n

1n 1i n i x =--=∆每个区间的长度为n 1)n 1i (x )n 1i (f S 2i -=∆-≈∆n 1)n

1-i (n 1)n 1-i f( S S S S S n 1i 2n 1i n

1i i

n 21=≈∆=∆+⋅⋅⋅+∆+∆=∑∑∑===

（4）逼近

分割 以曲代直 作和 逼近

当分点非常多（n 非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi 对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x 来近似表示小曲边梯形的面积

表示了曲边梯形面积的近似值。

变式拓展：求直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2

所围成的曲边梯形的面积．

反思:

例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位，求它在(单位：)这段时间内行使的路程(单位:)．

变式拓展：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位,求它在(单位:)这段时间内行使的路程(单位:)．

反思:

六、目标检测

见学案 。面积为，即所求曲边三角形的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S 31)n 12)(n 11(61)12n (n )1n (61n 1])1n (210[n 1)n (0x 322223=→--=--=-+⋅⋅⋅++++∞→→∆x )f(x x )f(x x )x (f n 21∆+⋅⋅⋅+∆+∆