2021年高中数学1.5.1曲边梯形的面积教学案新人教A版选修
高中数学 专题1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程教案 新人教A版选修2-2(2
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1.5.1 曲边梯形的面积 1。
5.2 汽车行驶的路程【教学目标】1．了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．【教法指导】本节学习重点：求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．本节学习难点：了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f(x）所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？☆探索新知☆探究点一求曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S？思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题?（归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间［0,1］分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值,随着拆分越来越细,近似程度会越来越好．S n＝错误!S i≈错误!（错误!）2·Δx＝错误!（错误!)2·错误!（i＝1，2，…，n）＝0·错误!＋（错误!)2·错误!＋…＋（错误!）2·错误!＝错误!［12＋22＋…＋(n－1)2]＝错误!（1－错误!)(1－错误!)．∴S＝错误!S n＝错误!错误!（1－错误!）(1－错误!)＝错误!.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间［错误!，错误!](i＝1，2，…，n）上的值近似地等于右端点错误!处的函数值f（错误!)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是错误!吗？取任意ξi∈[错误!,错误!]处的函数值f(ξi）作为近似值,情况又怎样?其原理是什么？答以上方法都能求出S＝错误!.我们解决此类问题的原理是“近似代替"和“以直代曲”，在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…，ΔS n.（2）近似代替在区间［错误!，错误!］（i＝1，2，…,n）上，以错误!的函数值错误!2作为高,小区间的长度Δx ＝错误!作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔS i≈（错误!）2·错误!。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积(第1课时)教案 新人教A版选修22
§1.5.1曲边梯形的面积 （第1课时）教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
． 教学重点： 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）； 教学难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
(二)、探究新知，揭示概念定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）． （三）、分析归纳，抽象概括问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ （四）、知识应用，深化理解例1．例1：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． yyy0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
人教A版高中数学选修2-2《1.5.1曲边梯形的面积》教学设计
人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-21.5.1曲边梯形的面积（教学设计）课题：1.5.1 曲边梯形的面积1.教学目标（1）知识与技能：1.通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景；2.借助几何直观体会定积分的基本思想。
（2）过程与方法：1.经历探求曲边梯形的面积的过程；2.感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法；3.初步掌握求曲边梯形面积的四步曲。
（3）情感与态度：1.培养学生辩证地看待问题；2.体验并认同“有限与无限对立统一”的辩证观点；3.享受数学学习的乐趣。
2.重点、难点重点：感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法以及求曲边梯形面积的四步曲。
难点：“以直代曲”与“逼近”思想的形成过程；3.教法分析即：以问题为核心，通过引导、启发、评价等方式帮助学生完成问题的发现、探究并解决的过程。
同时充分借助几何直观，使抽象的问题形象化、具体化。
4.学法指导遵循中学生的心理特征与认知规律，本节课采用高效课堂教学模式，把学生分成六个学习小组，通过自主探究与合作探究相结合的学习方法，让学生真正成为学习的主人，感受数学学习的成功与快乐。
5.教学过程展示图形，学生观察，讨论，找出曲边图形与直边图形的区别。
到理性。
在此使用了与教材中不同的图形进行定义，目的是为了与前面情境中的图形以及后面例题中的图形保持一致，便于学生理解，体现数学的和谐之美。
根据由特殊到一问题2：对每个小曲边梯形如何以直代曲？“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”6.教学评价为了激励并鼓舞学生，实施多元化评价，采用自评，互评，小组评价与教师评价相结合的评价方法。
具体做法是借用学生比较熟悉的QQ等级记法：根据学生的课堂表现得星星，然后积累四个星星换一个月亮，四个月亮换一个太阳。
高二数学1.5.1曲边梯形的面积学案新人教A版选修2-2
1
2
A.
B.
n
n
2
C. n－ 1
D.
2 n＋ 1
1 2．在求由函数 y＝x与直线 x＝ 1，x＝ 2，y＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间
[1 ，
2] 等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ( B)
i －1 i
A. n ，n
B.
n＋i － 1 n＋ i n ，n
C． [ i － 1， i ]
D.
i n，
i
＋ n
1
解析： 把区间 [1 ， 2] 等分成 n 个小区间后，每个小区间的长度为
1 n，且第 i 个小区间的
左端点不小于 1，故选 B. 3．在“近似代替”中，函数 f ( x) 在区间 [ xi ， xi ＋ 1] 上的近似值 ( C) A．只能是左端点的函数值 f ( xi )
B．只能是右端点的函数值 f ( xi ＋1)
解析： 分 别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝
(0
2
＋ 1＋ 0.4
2
＋ 1＋ 0.8
2
＋ 1＋1.2
2
＋ 1＋ 1.6
2
＋1) ×0.4
＝
3.92
；
S2＝ (0.4 2＋1＋ 0.8 2＋1＋ 1.2 2＋ 1＋ 1.6 2＋ 1＋22＋1) ×0.4 ＝ 5.52.
答案： 3.92 5.52
解析： 函数 f ( x) ＝ x2 在区间
i －1 i n ，n 上，随着
n 的增大， f ( x) 的值的变化逐渐缩小，
当 n 很大时， f ( x) 的值变化很小．
2．当 n 很大时，函数
高中数学 1.5.1 曲边梯形的面积、1.5.2 汽车行驶的路程学案 新人教A版选修2-2
§1.5.1 曲边梯形的面积 §1.5.2 汽车行驶的路程学习目标： 1、了解“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法；2、会求曲边梯形的面积和汽车作行驶的路程。
一、主要知识：1、连续函数：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条 ，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的 。
2、曲边梯形的面积：（1）曲边梯形： 。
（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割： ； ②近似代替： ； ③求和： ； ④取极限： 。
3、求变速直线运动的位移（路程）：如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在内a t b ≤≤所作的位移s 。
4、两个求和公式：2222123n ++++= ；3333123n ++++= 。
二、典例分析：〖例1〗：求由直线1x =，2x =和0y =及曲线3y x =围成的图形的面积。
〖例2〗：汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()25v t t =-+，试计算这辆汽车在02t ≤≤这段时间内汽车的行驶路程s 。
三、课后作业：1、在“近似代替”中，函数()f x 在区间[]1,i i x x +上的近似值等于（ ）A 、只能是左端点的函数值()i f xB 、只能是右端点的函数值()1i f x +C 、可以是该区间内任一点的函数值()[]()1,i i i i f x x ξξ+∈D 、以上答案均正确 2、求由抛物线22y x =与0x =，()0x t t =>和0y =所围成的曲边梯形面积时，将区间[]0,t 等分成n 个小区间，则第1i -个区间为（ ） A 、1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、()1,t i ti n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、()()21,t i t i nn --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3、由直线0x =，1x =和0y =及曲线3y x =围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值（取每个区间的右端点）是（ ）A 、119B 、111256C 、110270 D 、25644、在等分区间的情况下，()[]()210,21f x x x=∈+及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是（ ） A 、21121lim n n i n i n →∞=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ B 、211221lim n n i n i n →∞=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ C 、21121lim n n i i n →∞=⎡⎤⋅⎢⎥+⎣⎦∑ D 、2111lim n n i n i n →∞=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ 5、变速直线运动的物体速度为2v t =，在02t ≤≤内的路程是（ ）A 、13B 、23C 、43D 、836、由直线0x =，2x =和0y =及曲线2y x =围成的图形的面积为 。
最新人教版高中数学选修2-2《1.5.1 曲边梯形的面积》说课稿教案及教案说明
《1.5.1 曲边梯形的面积》教案课题：曲边梯形的面积教材：人教A版《数学》选修2-2第一章第五节第一课时一、【教学目标】1、知识目标：①初步了解、感受定积分的实际背景。
②体会“以直代曲”，“逼近”的思想。
2、能力目标：①通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题，从而培养学生的逻辑思维能力，了解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。
②体会“以直代曲”，“逼近”的思想。
以直代曲的过程中体会直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系。
③体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。
3、情感、态度与价值观目标：①认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；②感受数学的简单、简洁之美。
③通过历史题材培养学生的爱国情操。
二、【教学的重点、难点】重点：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，通过化整为零，积零为整求曲边梯形的面积这一过程，初步掌握求曲边梯形面积的步骤的“四步曲”，即“分割、近似代替、求和、取极限”，领会其微积分思想方法。
难点：“以直代曲”、“逼近”思想的形成过程。
（由于这种“以直代曲”、“逼近”思想学生比较陌生）三、【教学方法和手段】（1）在教学过程中我选用启发式、讨论探究式的教学方法，运用多媒体的直观的功能，让学生在观察过程中通过类比、分析、归纳等方法解决问题；在师生互动中启发学生，促进学生积极思维、主动学习，激发学生的学习兴趣.（2）运用多媒体课件辅助课堂教学，通过创设情境，为学生提供丰富、生动、直观的观察材料，激发学生学习的积极性和主动性。
四、【教学过程】线，有些边是直线，又如何测量该问题三：以下三个图形有什么不定义：由直线x=a ，yay=f(xy o 直线几条线段连成的折线曲线怎样减小误差？怎样分割？yxS≈曲边梯形S黄色部分xyi-1n(y f=ini-1 n( y f =in第过剩近似：《曲边梯形的面积》教案说明本课是以学生为主体，以问题为主线，以老师为主导，通过环环相扣的问题链，层层深入，不断启发学生的思维活动，使探究活动贯穿整节课始终。
高中数学新人教版A版精品教案《1.5.1 曲边梯形的面积》
1.5.1曲边梯形的面积一、教学目标1、理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”；2、经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想；3、通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。
二、学情分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生学习过通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积；二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论；三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值。
三、教学重、难点重点：探究求曲边梯形面积的方法。
难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入，明确主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼本质”四个阶段．（一）问题引入，明确主题1.贴近生活引入农田，求抽象出的不规则图形面积来激发学生兴趣，让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形的区别是什么？2.让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转化成我们熟悉的直边图形面积问题？（二）类比探究，形成方法这一阶段的主要问题是如何获得解决曲边梯形面积问题的思想以及把思想转化为可操作的方法。
为了使学生不偏离本节课主要任务，这一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学。
1.5.1曲边梯形的面积教案
跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
当堂检测拓展延伸
当堂检测：1在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于()
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
有什么区别？
思考2能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
思考3在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？
课题
1．5.1曲边梯形的面积
课型
新授课
时间
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【课前预习案】
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的
图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些__________，对每个____________“以直代曲”，即用______的面积近似代替____________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________
(3)求曲边梯形面积的步骤：①_______，②_________，③________，④__________.
【课内探究案】
检查反馈导入新课
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为()
A.B.C.D.
吉林省吉林市第一中学校高中数学 1.5.1曲边梯形的面积
1.5.1曲边梯形的面积课前预习学案【预习目标】预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.【预习内容】1、曲边梯形的概念。
2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？3、如何实施曲边梯形的面积的求解？【提出疑惑】同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案【学习目标】1、理解“以直代曲”的意义；2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；3、了解“近似代替”时取点的任意性。
学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。
以及一般曲边梯形的面积的求法。
【学习过程】情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。
而现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？合作探究、精讲点拨例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？特别帮助：12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
（三）反思总结1、对于一般曲边梯形，如何求面积？2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？（四）当堂检测求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。
自我反思：课后练习与提高1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n 3 D.n 212、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )A.],1[n i n i -B. )](),(1[a b n ia b n i ---C.],1[n ia n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+3、在“近似替代”中，函数)(xf在区间],[1+iixx上的近似值（）A.只能是左端点的函数值)(ixfB.只能是右端点的函数值)(1+ixfC.可以是该区间内的任一函数值()∈iifξξ(],[1+iixx） D.以上答案均正确。
高中数学 1.5.1曲边梯形的面积2教学设计 新人教A版选修2-2
1.5.1曲边梯形的面积 一、教学目标 1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．二、预习导学1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；2、匀速直线运动的时间（t ）、速度（v ）与路程（S ）的关系 ．三、问题引领，知识探究1、概念：如图，由直线x =a , x = b , x 轴，曲线y =f (x )所围成的图形称为 ．2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？例１、求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面积S ．分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。
我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．解： （1）分割把区间[0，1]等分成n 个小区间：过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作（2） 以直代曲（3）作和],n n ,n 1n [,],n i ,n 1i [,],n 2,n 1[],n 1,0[-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n1n 1i n i x =--=∆每个区间的长度为.S ,,S ,,S ,S n i 21∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅∆∆n 1)n 1i (x )n 1i (f S 2i -=∆-≈∆])1n (210[n1 n 1)n 1-i (n 1)n 1-i f( S S S S S 22223n 1i 2n 1i n1i in 21-+⋅⋅⋅+++==≈∆=∆+⋅⋅⋅+∆+∆=∑∑∑===（4）逼近分割 以曲代直 作和 逼近当分点非常多（n 非常大）时，可以认为f (x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi 对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x 来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值。
吉林省吉林市第一中学校高中数学 1.5.1曲边梯形的面积学案 新人教A版选修22
1.5.1曲边梯形的面积课前预习学案【预习目标】预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.【预习内容】1、曲边梯形的概念。
2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？3、如何实施曲边梯形的面积的求解？【提出疑惑】同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案【学习目标】1、理解“以直代曲”的意义；2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；3、了解“近似代替”时取点的任意性。
学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。
以及一般曲边梯形的面积的求法。
【学习过程】情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。
而现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？合作探究、精讲点拨例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？特别帮助：12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
（三）反思总结1、对于一般曲边梯形，如何求面积？2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？（四）当堂检测求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。
自我反思：课后练习与提高1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n 3 D.n 212、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )A.],1[n i n i -B. )](),(1[a b n ia b n i ---C.],1[n ia n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+3、在“近似替代”中，函数)(xf在区间],[1+iixx上的近似值（）A.只能是左端点的函数值)(ixfB.只能是右端点的函数值)(1+ixfC.可以是该区间内的任一函数值()∈iifξξ(],[1+iixx） D.以上答案均正确。
高中数学高中数学选修22公开课教案1.5.1《曲边梯形的面积》
1．5.1 曲边梯形的面积 教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础. 教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号∑教学过程：复习引入 问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？问题二：圆的面积是怎样求得的？问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y =f (x )的一段.我们吧由直线x =a ，x =b(a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？ 问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？ 问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲” 问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？ 问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？问题九：样？作为近似值，情况又怎处的函数值吗？去任意个值也是的值吗？若能求出，这，用这种方法能求出处的函数值等于右端点上的值近似地，，在区间果认为函数在“近似代替”中，如)(],1[31)(),21](,1[)(2i i f n i n i S n i f n i n i n i n i x x f ξξ-∈=-= 练习：P42面练习归纳：如何求曲边梯形的面积？小结：1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？2.具体步骤是什么？3.最终形式是什么？作业《习案》作业十四.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。
2.先熟后生。
3.先同后异。
先做同科同类型的题目。
4.先小后大。
先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。
5.先点后面。
高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。
高中数学新人教版A版精品教案《1.5.1 曲边梯形的面积》
《曲边梯形的面积》教学设计长春市九台区第一中学火丹一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-2第一章第五节《定积分的概念》的起始课．曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，为引入定积分的概念和体会定积分的基本思想奠定基础二、学生学情分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：1、学生了解了割圆术的基本思想和操作方法．2、学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论．3、学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识．学生在本节课学习中将会面临两个难点：1、如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算．2、对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值．三、教学目标设置根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，我确定了本节课的教学目标：1 理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”．2 经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想．3 通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想．重点是：探究求曲边梯形面积的方法．难点是：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法．四、教学策略分析针对本节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用从一般到特殊再到一般的教学过程，先通过讨论一般的曲边梯形如何以直代曲，再通过特例应用实施，小结步骤，最后进行一般推广，共性归纳，从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，突出教学重点．本节课的难点之一就是如何“以直代曲”．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生在回顾割圆术的过程中思考：为什么用正多边形计算圆的面积？为什么让边数逐次加倍？怎样才能“越来越接近”？通过以上几个问题的讨论使学生对割圆术的认识不仅仅停留在思想和方法层面，同时使学生对具体的操作程序有一定的认识．二是让学生课上讨论，通过分析和比较各种方案优劣繁简，为后面的具体操作奠定基础．本节课的另一个难点是对“极限”和“无限逼近”的理解．针对这个难点，教学中先分别采用图形方式呈现逐渐细分和无限逼近的过程，再在此基础上引出取极限的方法，使学生从感性认识上升到理性认识的过程水到渠成．再用几何画板呈现分割过程，夯实理论知识。
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2021年高中数学1.5.1曲边梯形的面积教学案新人教A版选修2-2
【预习目标】
预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.
【预习内容】
1、曲边梯形的概念。
2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？
3、如何实施曲边梯形的面积的求解？
【提出疑惑】
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
【学习目标】
1、理解“以直代曲”的意义；
2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；
3、了解“近似代替”时取点的任意性。
学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。
以及一般曲边梯形的面积的求法。
【学习过程】
（一）情景问题：
我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。
而现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？
（二）合作探究、精讲点拨
例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）
探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？
探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？
探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？
变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
特别帮助：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)
变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。
（三）反思总结
1、对于一般曲边梯形，如何求面积？
2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？
（四）当堂检测
求由y=2x 2＋1,和x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。
课后练习与提高
1、把区间[1,3]等分,所得个小区间,每个小区间的长度为( )
A. B. C. D.
2、把区间等分后,第个小区间是( )
A. B. C. D. )](),(1[a b n
i a a b n i a -+--+ 3、在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（ ）
A.只能是左端点的函数值
B.只能是右端点的函数值
C.可以是该区间内的任一函数值）
D.以上答案均正确
练习答案：1、（B ）；2、（D ）；3、（C ）
1.5.1曲边梯形的面积教案
一、学习目标
1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求
和、求极限；
2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．
二、重点、难点
重点：求曲边梯形的面积；
难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．
三、知识链接
1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；
2、匀速直线运动的时间（t ）、速度（v ）与路程（S ）的关系 ．
四、学法指导
探求、讨论、体会以直代曲数学思想．
五、自主探究
1、概念：如图，由直线x =a , x = b , x 轴，曲线y =f (x )
所围成的图形称为 ．
2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？
例１、求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面
积S ． 分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是
线段。
我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题
的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积
的问题．
解： （1）分割
把区间[0，1]等分成n 个小区间：
过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
（2） 以直代曲
（3）作和
],n n ,n 1n [,],n i ,n 1i [,],n 2,n 1[],n 1,0[-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n
1n 1i n i x =--=∆每个区间的长度为n 1)n 1i (x )n 1i (f S 2i -=∆-≈∆n 1)n
1-i (n 1)n 1-i f( S S S S S n 1i 2n 1i n
1i i
n 21=≈∆=∆+⋅⋅⋅+∆+∆=∑∑∑===
（4）逼近
分割 以曲代直 作和 逼近
当分点非常多（n 非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi 对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x 来近似表示小曲边梯形的面积
表示了曲边梯形面积的近似值。
变式拓展：求直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2
所围成的曲边梯形的面积．
反思:
例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位，求它在(单位：)这段时间内行使的路程(单位:)．
变式拓展：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位,求它在(单位:)这段时间内行使的路程(单位:)．
反思:
六、目标检测
见学案 。
面积为，即所求曲边三角形的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S 31)n 12)(n 11(61)12n (n )1n (61n 1])1n (210[n 1)n (0x 322223=→--=--=-+⋅⋅⋅++++∞→→∆x )f(x x )f(x x )x (f n 21∆+⋅⋅⋅+∆+∆
七、作业布置P50 B组1． 2（1）（2）
八、小结。